大一高数期末复习课提纲笔记

n1 x2 x3 x ln( 1 x) x ( 1) n o( x n1 ) 2 3 n1
2
4
6
2n
19
1 1 x x 2 x n o( x n ) 1 x m( m 1) 2 (1 x ) 1 mx x 2! m( m 1) ( m n 1) n x o( x n ) n!
第一章 极限与连续 单调有界必有极限 极限存在准则 夹逼定理 sin x 1 lim x 0 x 两类重要极限 1 x lim (1 ) e x x
有限个无穷小的和,积仍是无穷小 无穷小性质 无穷小与有界量的积仍是无穷小
与 无穷大 比较 (高阶, 低阶,同阶, 等价, k 阶)
(4) 同乘共轭因式; (5) 利用无穷小运算性质 (6) 复合函数求极限法则
(7) 利用左、右极限求分段函数极限; (8) 利用夹逼定理;
(9) 利用两类重要极限;
(10) 利用等价无穷小代换;
(11) 利用连续函数的性质(代入法); (12) 利用洛必达法则.
洛必达法则+等价无穷小代换 洛必达法则+变上限积分求导
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函数的单调性( 利用导数判断 ) 驻点 函 函数的极值 极值存在的必要条件 数 极值存在的充分条件 性 态 函数的凹凸性 (拐点, 凹凸性和判别法) 函数的最大最小值 函数的渐近线 (水平, 垂直)
所以x 1是函数的第一类间断点 , 且是可去间断点 .
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a (1 cos x ) x2
例 设函数
在x = 0连续,则a=

2
, b=
e .
a (1 cos x ) a 提示: f ( 0 ) lim 2 x0 2 x
f ( 0 ) lim ln ( b x 2 ) ln b
x0
a 1 ln b 2
1 2 1 cos x ~ x 2
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1 2 x sin , 例 讨论 f ( x ) x 0,
x0 x0
在x 0处的连续性与可导性.
e ax , x0 处处可导 , 那么 例 如果 f ( x ) 2 b ( 1 x ), x 0 ( )
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带Peano型余项的泰勒公式
设 f ( x) 在含 x0 的区间 (a, b)内有n 阶连续
导数, 则对于x (a, b), 有
f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2
f ( n ) ( x0 ) n n ( x x0 ) o[( x x0 ) ]. 2
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第三章 微分中值定理及其应用
罗尔定理 拉格朗日中值定理 中值定理 柯西中值定理 泰勒定理 ( 泰勒公式 ,麦克劳林公式) 0 洛 必 达 法 则 ( 计算 , , , 1 等未定型极限) 0 证明不等式 中值定理的应用 数 讨论方程根的存在与个
( a ) 水平渐近线 若函数 f ( x )满足
x ( , )
lim
f ( x ) a,
则函数 f ( x )的曲线有水平渐近线 y a.
( b ) 垂直渐近线 若函数 f ( x )满足
x x0 ( x0 , x0 )
lim
f ( x ) ,
则函数 f ( x)的曲线有垂直渐近线 x x0 .
2
5
x x0 连续的定义 左连续、右连续 第一类间断 (可去型, 跳跃型) 间断点的分类 第二类间断 (无穷型, 振荡型) 最大,最小值定理 闭区间连续函数的性质 有界性 零点定理 介值定理,
lim f ( x ) f ( x0 )
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x (t ) 参数方程 求导数： y (t ) dy dy dt ( t ) dx dx ( t ) dt ( t ) dy d( ) d( ) dy ( t ) d x d( ) 2 d y d x dt dt 2 dx dx dx dx dt dt
1
常用等价无穷小
e 1
x
当 x 0,
~x sin x ~ x tan x ~ x ln( 1 x) ~ ~
~ x ln a arcsin x ~ x arctan x ~ x
ax 1
xBiblioteka Baidu
x 2
2
(1 x ) 1
tan x sin x
~ x
~
x 2
3
1 cos x
2
(1) 消去零因子法; (2) 同除最高次幂; (3) 通分; 函 数 极 限 的 求 法
4
两对重要的单侧极限
(a 1)
x 0
lim a 0,
1 x
x0
lim a ,
1 x
1 1 arctan . lim arctan , l im x 0 x 2 x 2 x 0
一类需要注意的极限
x2 1 lim 1, x x x 1 lim 1. x x
当 x 0, etan x sin x 1 ~ tan x sinx, 1 tan x sin x 故 原式 lim sin x tan x sin x 2 x 0 e (e 1)
1 tan x sinx 1 lim sin x 2 x 0 e (tan x sinx ) 2
x 1, 由于 lim f ( x ) lim
x1
x 1

0
x1
lim f ( x ) lim
x 1
x 1 x

1
7
所以 x 1 是函数的第一类间断点, 且是跳跃型.
例求
的间断点, 并判别其类型.
解 x 1, x 1, x 0是间断点,
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常用函数的麦克劳林公式
2 n1 x 3 x5 x n 2 n 2 sinx x ( 1) o( x ) 3! 5! ( 2n 1)!
x x x n x cos x 1 ( 1) o( x 2 n ) 2! 4! 6! ( 2n)!
微分

求微分 dy f ( x0 )dx 可导与微分的关系 可 导 可 微
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按定义求导 复合函数求导 求导数方法 隐函数, 参数方程求导 对数法求导 分段函数在分段点求导 1 x 高阶导数(sin x, cos x,e , ) 1 x
f ( x ) 0, 则 f ( x)在x0处取极小值 .
(c ) 若 f ( x)在邻域U ( x0 )内 符号相同 ,则 f ( x)在x0处无极值 .
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定理(第二充分条件)
设 f ( x )在 x0 处具有二阶导数 , 且 f ( x0 ) 0, f ( x0 ) 0, 则 , (a) 当 f ( x0 ) 0, f ( x )在 x0 处取得极大值 . (b) 当 f ( x0 ) 0, f ( x )在 x0 处取得极小值
6
例 求 f ( x)
1 1 e
x 1 x
的间断点 , 并指出其类型.
解 当x 0, x 1时, 函数无定义, 是函数的间断点.
f ( x ) lim x 0, 由于 lim x 0 x0
1 1 e 1 1 e 1 1 e
x 1 x x 1 x
,
所以 x 0 是函数的第二类间断点, 且是无穷型.
因在x 0处的左右极限都存在 , 但不相等，
所以x 0为函数的第一类间断点 , 且是跳跃间断点 .
9
( 2) 在x 1处，
lim y lim[
x 1 x 1
2 1 2 1
1 x
1 x
1 1 sin( x 1) sin ] x 1 3
即在x 1处函数的左右极限都存 在且相等，
3
1 tan x 1 sin x 例 lim tan x sin x x 0 e e tan x sin x lim x 0 ( 1 tan x 1 sin x )(etan x esin x ) tan x sin x 1 tan x si n x 1 lim sin x tan x sin x l im tan x sin x 2 x 0 e (e 1) 2 x 0 e e
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计算题
2 1. 设 y f ( x ) 1 x 2 ax b x 1处可导, 确定 a, b. x1 , 已知函数在 x1
1 2 2. lim x x ln( 1 ) x x
3.求极限 e sinx x(1 x ) (1) lim 3 x 0 x
x 0 x 0
x = 0为第一类跳跃间断点
8
例 求y
2 1
1 x
1 x
2 1 并判断其类型 .
1 sin( x 1) sin 的间断点, x 1
解 : 可知 x 0， x 1是可能的间断点 . (1) 在 x 0 处，
x 0 2 2 lim y 1 sin ( 1 ) ， lim y 1 sin ( 1) x 0
( A) (C )
a b 1; a 1, b 0;
( B) ( D)
a 2, b 1; a 0, b 1.
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第二章 导数与微分
左导数 f( x0 ), 右导数 f( x0 ) 定义 导数存在的充要条件 导数 几何意义 切线斜率 k f ( x ) 0 可导性与连续性的关系 可导 连续
m
20
洛必达法则
0 基本类型： 型, 型 0 变 型: 0 , , 00 , 1 , 0型 f ( x) f ( x ) 法则： lim lim . g( x ) g( x )
注 (1) 当上式右端极限存在时, 才能用此法则, (2) 在求极限过程中,可能要多次使用此法则, (3) 在使用中, 要进行适当的化简, (4) 在使用中, 注意和其它求极限方法相结合.
x
x ( 2) lim ( e 1 x) x 0 1 ln x
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计算题解答
lim f ( x ) lim f ( x ) f (1) 1. 由 连 续 性, 有 x 1 x 1
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求极值的步骤:
a. 求导数 f ( x ); b. 求驻点 (方程 f ( x ) 0 的根) 及 f ( x )不存在 的 点. c. 检查 f ( x ) 在b中所有点左右的正负号 , . 或 f ( x ) 在该点的符号 , 判断极值点 d . 求极值 .
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渐近线的求法
1 (1 x ) sin x sin 1 , x 1, xlim 1 x ( x 1)( x 1) 2
x = –1为第一类可去间断点
f ( x) , x 1, lim x 1
x = 1为第二类无穷间断点
x 0, lim f ( x ) 1 , lim f ( x ) 1 .
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定理(第一充分条件) 设 f ( x)在邻域 U ( x0 )内,
(a) 当 x x0 , 有 f ( x ) 0; 而当x x0 , 有
f ( x ) 0, 则 f ( x)在x0处取极大值 .
(b) 当 x x0 , 有 f ( x ) 0; 而当x x0 , 有