离散数学 3-6关系的性质和3-7 复合关系

离散数学
5、结论 (两个充要条件 两个充要条件) 、 两个充要条件 R是X上的二元关系，则： 上的二元关系， 是 上的二元关系 (1)R是自反关系的充要条件是 X⊆R； 是自反关系的充要条件是I 是自反关系的充要条件是 ； (2)R是反自反关系的充要条件是 (2)R是反自反关系的充要条件是R∩IX=∅。 是反自反关系的充要条件是R
离散数学
3、关系矩阵的特点 、 自反关系的关系矩阵的对角元素均为1， 自反关系的关系矩阵的对角元素均为 ，反自反 关系的关系矩阵的对角元素均为0。 关系的关系矩阵的对角元素均为 。 4、关系图的特点 、 自反关系的关系图，每个结点均有自回路， 自反关系的关系图，每个结点均有自回路，而反 自反关系的关系图，每个结点均没有自回路。 自反关系的关系图，每个结点均没有自回路。
离散数学
112页 页 例题4 设某人有三个儿子，组成集合A={T,G,H}， 例题 设某人有三个儿子，组成集合 ， 上的兄弟关系具有哪些性质。 在A上的兄弟关系具有哪些性质。 上的兄弟关系具有哪些性质 例题5 集合I={1,2,3,4}，I上的关系 例题 集合 ， 上的关系 R={<1,1>,<1,3>,<2,2>,<3,3>,<3,1>,<3,4>,<4,3>,<4, 4>}讨论 的性质。 讨论R的性质 讨论 的性质。
离散数学
自反性： 自反性： 是集合X上的二元关系 设R是集合 上的二元关系，如果对于每一个 是集合 上的二元关系，如果对于每一个 x∈X，有<x，x>∈R，则称 是自反的。 ∈ ， 是自反的。 ， ∈ ，则称R是自反的 对称性： 对称性： 设R是集合 上的二元关系，如果对于每一个x， 是集合X上的二元关系，如果对于每一个 ， 是集合 上的二元关系 y∈X，每当 ，y>∈R，就有 ，x>∈R，则称 是 ，每当<x， ，就有<y， ，则称R是 对称的。 对称的。 传递性： 传递性： 是集合X上的二元关系 设R是集合 上的二元关系，如果对于任意 是集合 上的二元关系，如果对于任意x,y,z∈X， ∈ ， 每当<x， ∈ ， ， ∈ 时就有 时就有<x， ∈ ， 每当 ，y>∈R，<y，z>∈R时就有 ，z>∈R，则 离散数学 是传递的。 称R是传递的。 是传递的
离散数学
二、对称性和反对称性
1、对称性：设R是集合 上的二元关系，如果对于 是集合X上的二元关系 、对称性： 是集合 上的二元关系， 每一个x， 每一个 ，y∈X，每当 ，y>∈R，就有 ，x>∈R， ，每当<x， ，就有<y， ， 则称R是对称的。 则称 是对称的。 是对称的 R在X上对称 R在X上对称 ⇔(∀x)(∀y)(x∈X∧y∈X∧<x,y>∈R→<y,x>∈R) 是集合X上的二元关系 2、反对称性：设R是集合 上的二元关系，如果对 是集合 上的二元关系， 、反对称性： 于每一个x， ∈ ，每当<x， ∈ 和 ， ∈ 必有 于每一个 ，y∈X，每当 ，y>∈R和<y，x>∈R必有 x=y，则称R是反对称的。 ，则称 是反对称的 是反对称的。 R在X上反对称⇔ 在 上反对称 (∀x)(∀y)(x∈X∧y∈X∧<x,y>∈R∧<y,x>∈R→x=y)
离散数学
3、关系矩阵和关系图的特点 、 对称关系的关系矩阵是对称矩阵，即对所有i， 对称关系的关系矩阵是对称矩阵，即对所有 ， j，rij＝rji；对称关系的关系图，任何两个不同的 对称关系的关系图， ， 结点之间，或者有双向两条弧，或者没有弧。 结点之间，或者有双向两条弧，或者没有弧。 反对称关系的关系矩阵， 反对称关系的关系矩阵，如果在非对角元上 rij＝1，则在其对称位置上rji＝0，反对称关系的 ，则在其对称位置上 ， 关系图，任何两个不同的结点之间至多有一条弧。 关系图，任何两个不同的结点之间至多有一条弧。
离散数学
说明： 说明：R与S能进行复合的前提是R的值域所属集 是同一个集合。 合Y与S前域所属集合Y是同一个集合。 例：X={1，2，3，4，5}，Y={3，4，5}，Z={1，2，3}， R是X到Y的关系，S是Y到Z的关系： 的关系， 的关系： R={<x，y>|x+y=6}={<1，5>，<2，4>，<3，3>}， S={<y，z>y-z=2}={<3，1>，<4，2>，<5，3>}， 则R°S={<1，3>，<2，2>，<3，1>} 另可以用推导： 另可以用推导：∵x+y=6，y-z=2，消去y得x+z=4 例：集合X={x，y，z，d，e}， R={<x，y>，<y，y>，<z，d>}， S={<d，y>，<y，e>，<z，x>}， 则R°S={<x，e>，<y，e>，<z，y>}， S°R={<d，y>，<z，y>}，R°R={<x，y>，<y，y>}， S°S={<d，e>} 离散数学
自反性是说对于每一个 ∈ ， 自反性是说对于每一个x∈X，有<x，x>∈R。 对于每一个 ， ∈ 。 对称性是说每当 每当<x， ∈ ，就有<y， ∈ ， 对称性是说每当 ，y>∈R，就有 ，x>∈R，没 有要求对于每一个 ∈ ，传递性是说每当 每当<x， 有要求对于每一个x∈X，传递性是说每当 ， 对于每一个 y>∈R，<y，z>∈R时就有 ，z>∈R ，也没有要 时就有<x， ∈ ∈ ， ， ∈ 时就有 求对于每一个x∈X。因此不能从一个关系是对称 对于每一个 ∈ 。 且传递的推出它是是自反的。 且传递的推出它是是自反的。 ， ， ， 例如A={a，b，c}， 例如 R={<a,a>，<b,b>，<a,b>，<b,a>}是A上的 ， ， ， 是 上的 一个二元关系，R是对称且传递的，但R不是自 一个二元关系， 是对称且传递的， 不是自 是对称且传递的 反的，因为对于c∈ ，没有<c,c> ∈R。 离散数学 反的，因为对于 ∈A，没有 。
综合练习： 综合练习：
集合A上的关系 ，如果是对称且传递的， 集合 上的关系R，如果是对称且传递的，则它 上的关系 也是自反的。其理由是， 也是自反的。其理由是，从aRb，由对称性得 ， bRa，再由传递性得aRa，你说对吗？为什么？ ，再由传递性得 ，你说对吗？为什么？ 不对！再看自反性、对称性、传递性的定义。
离散数学
三、传递性 1、定义：设R是集合 上的二元关系，如果对于任 是集合X上的二元关系 、定义： 是集合 上的二元关系， 意x，y，z∈X，每当 ，y>∈R，<y，z>∈R时就有 ， ， ，每当<x， ， ， 时就有 <x，z>∈R，则称 是传递的。 是传递的。 ， ，则称R是传递的 R在X上传递 在 上传递 ⇔(∀x)(∀y)(∀z)(x∈X∧y∈X∧z∈X∧<x,y>∈R∧<y,z>∈R →<x,z>∈R) 例： R1={<x,y>,<z,x>,<z,y>}是传递的， 是传递的， 是传递的 R2={<x,b>,<c,d>}也是传递的，它没有违背定义。 也是传递的，它没有违背定义。 也是传递的 离散数学 R3={<x,b>,<b,x>}不是传递的。 不是传递的。 不是传递的
离 散 数 学
Discrete Mathematics
陈明
Email:mingchen_gang@163.com
信息科学与工程学院 二零一一年十月
离散数学
回顾
1、序偶：记作<x，y> 、序偶：记作 ， 2、笛卡尔积：记作 ×B 、笛卡尔积：记作A× 3、关系：序偶的集合；前域、值域 、关系：序偶的集合；前域、 4、X到Y的关系，X上的关系 的关系， 5、关系的表示：关系矩阵、关系图 、关系的表示：关系矩阵、
离散数学
例如，平面上三角形的相似关系是对称的。 例如，平面上三角形的相似关系是对称的。 例： R1={<1，1>，<2，3>，<3，2>} ， ， ， ， ， R2={<1，1>，<3，3>} ， ， ， R3={<2，2>，<2，3>，<3，2>，<3，1>} ， ， ， ， ， ， ， R4={<2，2>，<2，3>，<3，1>} ， ， ， ， ， 注意：存在关系既不是对称的，也不是反对称的。 注意：存在关系既不是对称的，也不是反对称的。 也存在关系既是对称的，也是反对称的。 也存在关系既是对称的，也是反对称的。
离散数学
＝｛-2, 设A＝｛ -1, 0, 1｝ ＝｛ ｝ ρ1 ＝｛ ＝｛<-2, -2>, <-1,-1>, <0, 0>, <1, 1>，<-1, 0>, <0, -1>, <1, -2>, ， <-2, 1>｝ ｝
百度文库
离散数学
3-6 关系的性质
离散数学
一、自反性和反自反性
1、自反性：设R是集合 上的二元关系，如果对于 是集合X上的二元关系 、自反性： 是集合 上的二元关系， 每一个x ， 是自反的。 每一个 ∈X，有<x，x>∈R，则称 是自反的。 ， ，则称R是自反的 R在X上自反⇔(∀x)(x∈X→<x，x>∈R) 在 上自反 ， 2、反自反性：设R是集合 上的二元关系，如果对 是集合X上的二元关系 、反自反性： 是集合 上的二元关系， 每一个x ， 是反自反的。 于每一个 ∈X，有<x，x>∉R，则称 是反自反的。 ， ，则称R是反自反的 R在X上反自反⇔(∀x)(x∈X→<x，x>∉R) 在 上反自反 ，
2、定理：设R、S是A上的传递关系，则R∩S也 上的传递关系， 、定理： 、 是 上的传递关系 也 上的传递关系。 是A上的传递关系。 上的传递关系 证明：设<x,y> R∩S ，<y,z>∈ R∩S ，则<x,y> R， <x,y> R S <y,z> R S <x,y> R <y,z>∈ R且<x,y> ∈ S ，<y,z>∈ S 。 因为R、S是A ∈ ∈ 上的传递关系，所以<x,z>∈R ，<x,z> ∈S ，从而 <x,z> ∈ R∩S，即R∩S是A上的传递关系。 注意：R、S均是传递的，但R∪S未必是传递的。 例：R={<a，b>}，S={<b，c>}，则R、S均是传 递的，但R∪S={<a，b>，<b，c>}不是传递的。 离散数学
离散数学
例如，在实数集合中， 例如，在实数集合中，”≤”是自反的，因为对于任意实 是自反的， 成立。 数x≤x成立。 平面上三角形的全等关系是自反的。 平面上三角形的全等关系是自反的。 例：X={a，b，c}， R1={<a，a>，<b，b>，<c，c>，<a，b>，<c，a>} R2={<a，b>，<b，c>，<c，a>} R3={<a，a>，<b，c>} 注意： 不是自反的，未必一定是反自反的。 注意：R不是自反的，未必一定是反自反的。一个关系可 能既不是自反的，也不是反自反的。 能既不是自反的，也不是反自反的。
非空集合上的空关系是反自反的，对称的， ◆非空集合上的空关系是反自反的，对称的，反 对称的和传递的，但不是自反的。 对称的和传递的，但不是自反的。 空集合上的空关系则是自反的，反自反的， ◆空集合上的空关系则是自反的，反自反的，对 称的，反对称的和传递的。 称的，反对称的和传递的。 非空集合上的全域关系是自反的， ◆非空集合上的全域关系是自反的，对称的和传 递的，但不是反自反的和反对称的。 递的，但不是反自反的和反对称的。
离散数学
1、复合关系 关系的复合运算 关系的复合运算) 、复合关系(关系的复合运算 定义3-7.1：设X、Y、Z是三个集合，R是X到Y的关系， 是三个集合， 是 到 的关系 的关系， 定义 ： 、 、 是三个集合 S是Y到Z的关系，则R°S称为 和S的复合关系，表示 的关系， 称为R和 的复合关系 的复合关系， 是 到 的关系 称为 为 R°S={<x,z>x∈X∧z∈Z∧(∃y)(y∈Y∧<x,y>∈R∧<y,z>∈S)} 从R和S求R°S，称为关系的合成运算。 和 求 ，称为关系的合成运算。
离散数学
3-7 复合关系和逆关系
本节讲述关系的运算。 本节讲述关系的运算。
离散数学
一、复合关系
引例： 引例： 是兄妹关系， 是母子关系 是母子关系， （1）若设 是兄妹关系，S是母子关系，则R与S的复 ）若设R是兄妹关系 与 的复 是舅甥关系。 合T是舅甥关系。 是舅甥关系 是父子关系， 与 复合是祖孙关系 复合是祖孙关系。 （2）如R是父子关系，R与R复合是祖孙关系。 ） 是父子关系