线性代数第八章习题解说课讲解

线性代数第八章习题

解

线性代数第八章习题解

习题八

1. 验证

1) 全体m n ⨯级的实矩阵的集合)(R M m n ⨯关于矩阵的加法和(实)数乘矩阵构成一线性空间.

2) 给定实数轴上一闭区间[a ,b ](a

证: 1) 任给三m n ⨯级矩阵)(,,R M C B A m n ⨯∈, 任给二实数R l k ∈,, 因有

A +

B =B +A ,

(A +B )+C =A +(B +C )

O +A =A

A +(-A )=O

k (A +B )=kA +kB

(k +l )A =kA +lA

(kl )A =k (lA )

1A =A

因此, )(R M m n ⨯关于矩阵的加法和(实)数乘矩阵构成一线性空间.

2) 任给三个在闭区间[a ,b ]上的连续函数],[)(),(),(b a C x h x g x f ∈, 任给二实数R l k ∈,, 并用O (x )在此闭区间上的函数值总取0值的函数, 即O (x )=0, a ≤x ≤b , f (x )的负函数则为-f (x )因有

f (x )+

g (x )=g (x )+f (x )

[f (x )+g (x )]+h (x )=f (x )+[g (x )+h (x )]

O (x )+f (x )=f (x )

f (x )+[-f (x )]=O (x )

k [f (x )+g (x )]=kf (x )+kg (x )

(k +l )f (x )=kf (x )+lf (x )

(kl )f (x )=k [lf (x )]

1f (x )=f (x )

因此, C [a ,b ]关于函数的相加和实数乘函数松成一线性空间.

2. 取上一题中)(R M m n ⨯的n ×m 个元素E ij 为(i ,j )位元素为1, 其它全为零的矩阵, i =1,2,…,n ; j =1,2,…,m . 验证这n ×m 个元素为M n ×m (R )的一个基. 从而M n ×m (R )的维数为n ×m .

证: 首先验证n ×m 个元素线性无关, 考察关于k ij , i =1,2,…,n ; j =1,2,…,m 的齐次方程

O E k

m j n i ij ij =∑∑==11, 这n ×m 个相加的矩阵中的每一个k ij E ij 都是只有一个第i 行第j

列的元素为k ij , 其余元素为0, 这样就有

n m ij m j n i ij ij k E k

⨯===∑∑}{11, 只有当k ij =0, i =1,2,…,n ; j =1,2,…,m 时才有{k ij }m ×n =O m ×n , 因

此知这n ×m 个元素E ij 线性无关.

此外, 任何)(}{R M a m n m n ij ⨯⨯∈, 都有

∑∑==⨯=m j n

i ij ij m n ij E a a 11}{

从而这n ×m 个元素为M n ×m (R )的一个基. 从而M n ×m (R )的维数为n ×m .

3. 判断下述变换中哪些是线性变换.

1) 线性空间V 中, V ∈=ααξ,A 是一固定向量.

2) 线性空间V 中, V ∈+=αξαξ,A 是一固定向量。

3) R 3中, A((x 1,x 2,x 3)=(2x 1+x 2, x 3-x 2, x 1).

4) R 3中, A((x 1,x 2,x 3)=(x 12, x 1+x 2, x 3).

5) 全体实系数多项式构成的线性空间R [x ]中, A (f (x ))=f (x -a ), a 是一固定的数.

6) 同上, R [x ]中, A (f (x ))=f (x 2).

解: 1) 如果α≠O , 则不是线性变换, 因A O =α并没有将零向量映射为零向量.

2) 如果α≠O , 则不是线性变换, 同样因为A O =α.

3) 任给α,β∈R 3, α=(a 1,a 2,a 3), β=(b 1,b 2,b 3), k 为任意实数, 则

A (α+β)=A (a 1+b 1,a 2+b 2,a 3+b 3)=(2(a 1+b 1)+(a 2+b 2), (a 3+b 3)-(a 2+b 2),(a 1+b 1)) =(2a 1+a 2, a 3-a 2, a 1)+(2a 1+a 2, a 3-a 2, a 1)=A (α)+A (β)

A (kα)=A (ka 1,ka 2,ka 3)=(2ka 1+ka 2, ka 3-ka 2, ka 1)=k (2a 1+a 2, a 3-a 2, a 1)=k A (α) 因此A 为线性变换.

4) 不是线性变换, 第一个分量产生平方项x 12是非线性的原因. 因此找任何一个第一个分量不为零的向量作反例即可, 因此令α=(1,0,0), 并给出实数2, 则A α=A (1,0,0)=(1, 1, 0), 而A (2α)=A (2,0,0)=(4,2,0)≠(2,2,0)=2A α.

5) 任给实系数多项式f (x ),g (x )∈R [x ], 任给实数k ∈R ,

A (f (x ))=f (x -a ), A (g (x ))=g (x -a ),

A (f (x )+g (x ))=f (x -a )+g (x -a )=A (f (x ))+A (g (x )),

A (kf (x ))=kf (x -a )=k A (f (x )),

因此A 是线性变换.

6) 任给实系数多项式f (x ),g (x )∈R [x ], 任给实数k ∈R ,

A (f (x ))=f (x 2), A (g (x ))=g (x 2),

A (f (x )+g (x ))=f (x 2)+g (x 2)=A (f (x ))+A (g (x )),

A (kf (x ))=kf (x 2)=k A (f (x )),

因此A 是线性变换.

4. 在R [x ]中, )()((),())((x xf x f x f x f ='=B A , 验证A ,B 均是线性变换, 且 AB -BA =E . 其中, E 是指恒等变换.

证: )()()(()(())((x f x x f x xf x xf x f '+='==A AB

)())(())((x f x x f x f '='=B BA

因此有

)()()()())(())(())()((x f x f x x f x x f x f x f x f ='-'+=-=-BA AB BA AB 即AB -BA =E .

5. 设矩阵