第三章 系统的时间响应分析
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2 n Y ( s) W ( s) 2 R( s) s 2 n s 2
(2). 二阶系统闭环极点的分布P.89-90
根据系统阻尼比ζ的值，二阶系统有：
j n 2 n j n 1 n n ( 2 1)
相当于加一突变的给定位置信号。
(2)、斜坡函数
At r (t ) 0 t0 t0
A=1时，称为单位斜坡函数
r(t)
At
0
式中A为常数。该函数的拉氏变换是 Xr(s)=L[At]=A/s2
t
这种函数相当于随动系统中加入一按恒速变化的位置信号，该恒速 度为A。当A＝l时，称为单位斜坡函数.
取拉氏反变换，得到零状态响应:
y(t ) L1[Y1 ( s)] ck e pk t ci e pit
k 1 i 1 n v
零状态响应的模式由 系统G（s）和输入u（s） 的极点共同确定。
等号右边的第一项是系统的自然响应，其变化规律只取决于系统函数G的极点在 s平面的位置，体现了系统本身的特点，与激励函数的形式无关，其中的每一项称 为自然响应模式； 第二项是系统的强迫响应，其变化规律只取决于输入激励u的极点在S平面的位 置，即输入信号的性质。
零状态响应
仅有激励而初始 状态为零的响应
零输入响应
仅有初始状态而激 励为零时的响应
若将系统的初始状态看成系统的另一种输人激励， 则对于线性系统，根据系统的线性特性，其输出总响应 必然是每个输入单独作用时相应输出的叠加。
☆ 系统的零状态响应
设系统输入为： u(s)
(s z )
l
u
(s p )
i i 1
l 1 v
设系统传递函数为：G ( s) K
(s z
j 1 n
m
j
) )
(s pห้องสมุดไป่ตู้
k 1
k
零状态响应为： 若函数中不含有多重极 点，可展成部分分式:
y G(s)u(s)
v ck c y ( s) i k 1 s pk i 1 s pi n
第三章 系统的时间响应分析p.82
控制系统的时域分析就是在时间域内，直接求 解描述系统性能的运动微分方程或动态方程，它们 的解就是系统的输出响应，亦称为时间响应。
方法的实质 时间域的 微分方程 时域解 直接解系统的运动微分方程式 拉氏变换 复数域的 代数方程 复域解
拉氏反变换
瞬态解 自由解 瞬态响应
自由响应 强迫相应 y(0) F 1 F 1 y(t ) sin nt y(0) cosnt cosn t cost 2 2 n k 1 k 1 零输入响应 零状态响应 零状态响应
t
当A＝1，ε→0时，称为单位脉冲函数δ(t)，如图 所示。单位脉冲函数 的面积等于l.
(5)、正弦函数
当用正弦函数作输入信号，可以求 得系统对不同频率的正弦输入函数 的稳态响应，由此可以间接判断系 统的性能。
3.3 一阶系统的响应分析 (1)单位脉冲响应 当系统的输入信号xi(t)是理想的单位脉冲函数δ(t)时，系 统的输出xo(t)称为单位脉冲响应函数w(t)。
n k / m
代入求得特解
F 1 Y k 1 2 / n
F 1 则完全解为 y (t ) A sin nt B cos nt cos t 2 k 1
代入初始条件， y(0) F A , B y(0) 可求得A,B
n
1 2 k 1
2.5 5 2.5 Y ( s) s s 1 s 2
取反变换后，得到y(t)
y(t ) 2.5 5e 1t 2.5e 2t
注意：系统传递函数的两个极点在指数上。第一项是稳态响应，是阶 跃函数；后两项是瞬态响应，因系统极点具有负实部，随着时间的增加 将逐渐衰减为零。极点距s平面虚轴越远衰减越快。 结论：系统极点决定了系统瞬态响应的特性。
稳态解 强迫解 稳态响应
时域 问题
变换 方法
复域 问题
3.1 时间响应及其组成
k
m
Fcosωt
质量m弹簧k系统（图3.1.1 无阻尼单自由度 M-K系统），在外力Fcosωt作用下， m(t ) ky(t ) F cost y 其微分方程为 其解为 y(t)=y1(t)+y2(t) 即 通解+特解 y1(t)=Asinωnt+Bcosωnt y2(t)=Ycosωt 式中： ωn为系统的无阻尼固有频率。
W ( s ) Xo( s ) G ( s ) X i ( s ) W ( s ) Xo( s ) G ( s ) X ii ( s ) X i ( s ) L[ (t )] 1 X ii ( s ) L[ (t )] 1 W ( s) G( s) W ( s) G( s) 1 1 1 1 ] 1 [G ( s )] L1 [ 1 1 w(t ) L1[G ( s)] L1[ 1 ] w(t ) L [G ( s )] L [ w(t ) L Ts 1] Ts 1 1 tt // T w(t ) 1 e t / T w(t ) T e T
☆ 瞬态响应和稳态响应p.84-85
瞬（暂）态响应和稳态响应
系统的完全响应y(t)还可以分为瞬态响应和稳态响应。随 着时间t的增大而衰减为零的部分为瞬态响应，其余部分为稳 态响应。瞬态响应与G(s)和u(s)都有关系。 当G(s)和u(s)的极点都在S域左半平面时，瞬态响应等于 自然响应与强迫响应之和，稳态响应等于零。
• 这一单自由度的质量弹簧系统，在外力 F cos t 作用下，其响应函数的前二项与激励信号无关， 故称为零输入响应；而后二项与激励信号有关， 故称为零状态响应。 • 以激励频率划分，则有自然响应（前三项）和强 迫响应之分。 • 控制工程主要研究系统的零状态响应。
一 零状态响应和零输入响应
控制系统的时间响应
②无阻尼系统
y(t ) 1 cos n t
t
有一对共轭虚极点， 响应是等幅振荡曲线
③临界阻尼系统 y(t ) 1 e n (1 n t ) 单调上升曲线 两个相同的负实数极点，两个相同的惯性环节的串联
④过阻尼系统
有两个负实数极点
y (t ) 1
(3)、加速度函数
At 2 t 0 r (t ) t0 0
A=1/2时，称为单位加速度函数 r(t) At2 t
0
式中A为常数。这种函数相当于随动系统中加入一按照恒加速变化的位置信 号，该恒加速度为A。抛物线函数的拉氏变换是 Xr(s)=L[At2]=2A/s3 当A＝1/2时，称为单位抛物线函数，即Xr(s)=1/s3。
例1 已知系统的传递函数，输人为单位阶跃函数，初始条件均为 零。求系统的输出响应。
阶跃输入的拉氏变换为：R ( s ) 解：根据传递函数定义有：
Y ( s ) G ( s ) R( s ) 5 1 5 s 2 3s 2 s s( s 1)(s 2)
G ( s)
.
响应分析：
t T
xo (T ) 1 e1 0.632
d 1 T t xo (t ) e dt T
1 t 0
1 xi 1(t )...X i ( s ) s X O (s) G (S ) X i (S ) xo (t ) 1 e
t T
1 T
1 1 Ts 1 s
一阶系统的单位脉冲响应函数是一单调下降的指数曲 线。如果将曲线衰减到初值得2%之前的过程定义为过 渡过程，则可计算相应的过渡过程响应时间为4T。
一阶系统惯性大，过渡过程时间长。
(2) 一阶系统的单位阶跃响应p.88
T xo (t ) xo (t ) xi (t )
X ( s) 1 G( s) O X i ( s) Ts 1
s1, 2
0 0 1 1 1
(3) 二阶系统的单位阶跃响应
①欠阻尼系统
y (t ) 1
系统在s左半平面上有一对共轭复数极点
e nt 1
2
sin(d t arccos ).....(3.4.10 )
欠阻尼系统的瞬态响 应是正弦衰减振荡，衰 减的快慢与系统极点的 负实部有关，距虚轴越 远，衰减越快；振荡频 率取决于极点的虚部。 阻尼比影响振荡的程度。
(4)、脉冲函数
A r (t ) h 0 0t h t0, t h (h 0)
当 A=1 时，则称为单位脉 冲函数或 函数。
(t )
1 h
h
式中A为常数，ε为趋于零的正数。脉冲函数的拉氏变换是
A X r ( s) L lim A 0
y 2 (t ) 1 0.5e t 0.5e 2t
可见，尽管这两个系统的极点 相同，但由于零点不同，它们的 响应截然不同，系统1有超调。
结论
G2 ( s )
1.5s 2 s 2 3s 2
系统的零点影响系 统响应曲线的形状。
小结
• 1、时间响应的直接求解及一般表达式：微 分方程的解以及零输入和零状态时间响应。 • 2、复域的代数解及分析
系统的零点对响应的影响
例2 已知两个系统的传递函数
G1 ( s ) 4s 2 s 2 3s 2
G2 (s)
1 .5 s 2 s 2 3s 2
G1 ( s ) 4s 2 s 3s 2
2
单位阶跃响应分别为 y1 (t ) 1 2e t 3e 2t
对比单位脉冲与单位阶跃响应可知P.89
• 1、
(t ) x o
• 2、
(t ) u (t )
• 3、有,如果输入函数等于某一函数的微分, 则该输入函数的响应函数也等于这一函数 的响应函数的微分.
3.4 二阶系统的响应分析P.89 (1) 二阶系统的传递函数
二阶系统结构如图
二阶系统闭环传递函数为
若u(s)的极点实部大于或等于零，或者极点在原点， 仍假定G(s)具有负实部的极点，在此情况下，自然响应就 是瞬态响应，强迫响应就是稳态响应（即不等于零）。
控制系统时间响应的求解
实质：用拉普拉斯反变换求解系统运动微分方程 求系统的零状态响应，可按下列步骤进行： (1) 设初始条件为零，对高阶微分方程进行拉氏变换； (2)求解关于s的代数方程，得输出响应的拉氏变换Y(s)； (3) 对y(s)进行部分分式展开； (4) 取反变换后，得到y(t)。
(1) 阶跃函数
A t 0 r (t ) 0 t 0
A=1时，称为单位阶跃函数， 记为 r(t) A 0 t
1(t )
单位阶跃函数的拉氏变换为 Xr(s)=L[1(t)]=1/s 在t＝0处的阶跃信号，相当于一个不变的信号突然加到系统上；
对于恒值系统，相当于给定值突然变化或者突然变化的扰动量；对于随动系统，
3.2 典型输入信号 p85-86
控制系统必须具有良好的动态特性， 从而使系统能迅速跟踪参考输入信号，并 且不产生剧烈的振荡。因此，对系统动态 性能进行分析，改善瞬态响应是自动控制 的核心工作。 为了衡量系统的动态性能，同时能对不 同系统的性能进行比较，通常在实验研究过 程中一般采用单位脉冲 、单位阶跃等函数作 为测试信号p.86。相应地，系统的响应称为 单位脉冲或阶跃响应。
5 s 2 3s 2
1 s
部分分式展开： Y ( s) a1 a 2 a3
s s 1
s2
待定系数的求法：用
(s pi )
s pi
乘上式两边，取s→pi的极限。
ai lim[Y ( s)( s pi )]
a1
5 5 5 2.5 a2 5 2.5 a3 s(s 1) s 2 s(s 2) s 1 ( s 1)(s 2) s 0
(2). 二阶系统闭环极点的分布P.89-90
根据系统阻尼比ζ的值，二阶系统有：
j n 2 n j n 1 n n ( 2 1)
相当于加一突变的给定位置信号。
(2)、斜坡函数
At r (t ) 0 t0 t0
A=1时，称为单位斜坡函数
r(t)
At
0
式中A为常数。该函数的拉氏变换是 Xr(s)=L[At]=A/s2
t
这种函数相当于随动系统中加入一按恒速变化的位置信号，该恒速 度为A。当A＝l时，称为单位斜坡函数.
取拉氏反变换，得到零状态响应:
y(t ) L1[Y1 ( s)] ck e pk t ci e pit
k 1 i 1 n v
零状态响应的模式由 系统G（s）和输入u（s） 的极点共同确定。
等号右边的第一项是系统的自然响应，其变化规律只取决于系统函数G的极点在 s平面的位置，体现了系统本身的特点，与激励函数的形式无关，其中的每一项称 为自然响应模式； 第二项是系统的强迫响应，其变化规律只取决于输入激励u的极点在S平面的位 置，即输入信号的性质。
零状态响应
仅有激励而初始 状态为零的响应
零输入响应
仅有初始状态而激 励为零时的响应
若将系统的初始状态看成系统的另一种输人激励， 则对于线性系统，根据系统的线性特性，其输出总响应 必然是每个输入单独作用时相应输出的叠加。
☆ 系统的零状态响应
设系统输入为： u(s)
(s z )
l
u
(s p )
i i 1
l 1 v
设系统传递函数为：G ( s) K
(s z
j 1 n
m
j
) )
(s pห้องสมุดไป่ตู้
k 1
k
零状态响应为： 若函数中不含有多重极 点，可展成部分分式:
y G(s)u(s)
v ck c y ( s) i k 1 s pk i 1 s pi n
第三章 系统的时间响应分析p.82
控制系统的时域分析就是在时间域内，直接求 解描述系统性能的运动微分方程或动态方程，它们 的解就是系统的输出响应，亦称为时间响应。
方法的实质 时间域的 微分方程 时域解 直接解系统的运动微分方程式 拉氏变换 复数域的 代数方程 复域解
拉氏反变换
瞬态解 自由解 瞬态响应
自由响应 强迫相应 y(0) F 1 F 1 y(t ) sin nt y(0) cosnt cosn t cost 2 2 n k 1 k 1 零输入响应 零状态响应 零状态响应
t
当A＝1，ε→0时，称为单位脉冲函数δ(t)，如图 所示。单位脉冲函数 的面积等于l.
(5)、正弦函数
当用正弦函数作输入信号，可以求 得系统对不同频率的正弦输入函数 的稳态响应，由此可以间接判断系 统的性能。
3.3 一阶系统的响应分析 (1)单位脉冲响应 当系统的输入信号xi(t)是理想的单位脉冲函数δ(t)时，系 统的输出xo(t)称为单位脉冲响应函数w(t)。
n k / m
代入求得特解
F 1 Y k 1 2 / n
F 1 则完全解为 y (t ) A sin nt B cos nt cos t 2 k 1
代入初始条件， y(0) F A , B y(0) 可求得A,B
n
1 2 k 1
2.5 5 2.5 Y ( s) s s 1 s 2
取反变换后，得到y(t)
y(t ) 2.5 5e 1t 2.5e 2t
注意：系统传递函数的两个极点在指数上。第一项是稳态响应，是阶 跃函数；后两项是瞬态响应，因系统极点具有负实部，随着时间的增加 将逐渐衰减为零。极点距s平面虚轴越远衰减越快。 结论：系统极点决定了系统瞬态响应的特性。
稳态解 强迫解 稳态响应
时域 问题
变换 方法
复域 问题
3.1 时间响应及其组成
k
m
Fcosωt
质量m弹簧k系统（图3.1.1 无阻尼单自由度 M-K系统），在外力Fcosωt作用下， m(t ) ky(t ) F cost y 其微分方程为 其解为 y(t)=y1(t)+y2(t) 即 通解+特解 y1(t)=Asinωnt+Bcosωnt y2(t)=Ycosωt 式中： ωn为系统的无阻尼固有频率。
W ( s ) Xo( s ) G ( s ) X i ( s ) W ( s ) Xo( s ) G ( s ) X ii ( s ) X i ( s ) L[ (t )] 1 X ii ( s ) L[ (t )] 1 W ( s) G( s) W ( s) G( s) 1 1 1 1 ] 1 [G ( s )] L1 [ 1 1 w(t ) L1[G ( s)] L1[ 1 ] w(t ) L [G ( s )] L [ w(t ) L Ts 1] Ts 1 1 tt // T w(t ) 1 e t / T w(t ) T e T
☆ 瞬态响应和稳态响应p.84-85
瞬（暂）态响应和稳态响应
系统的完全响应y(t)还可以分为瞬态响应和稳态响应。随 着时间t的增大而衰减为零的部分为瞬态响应，其余部分为稳 态响应。瞬态响应与G(s)和u(s)都有关系。 当G(s)和u(s)的极点都在S域左半平面时，瞬态响应等于 自然响应与强迫响应之和，稳态响应等于零。
• 这一单自由度的质量弹簧系统，在外力 F cos t 作用下，其响应函数的前二项与激励信号无关， 故称为零输入响应；而后二项与激励信号有关， 故称为零状态响应。 • 以激励频率划分，则有自然响应（前三项）和强 迫响应之分。 • 控制工程主要研究系统的零状态响应。
一 零状态响应和零输入响应
控制系统的时间响应
②无阻尼系统
y(t ) 1 cos n t
t
有一对共轭虚极点， 响应是等幅振荡曲线
③临界阻尼系统 y(t ) 1 e n (1 n t ) 单调上升曲线 两个相同的负实数极点，两个相同的惯性环节的串联
④过阻尼系统
有两个负实数极点
y (t ) 1
(3)、加速度函数
At 2 t 0 r (t ) t0 0
A=1/2时，称为单位加速度函数 r(t) At2 t
0
式中A为常数。这种函数相当于随动系统中加入一按照恒加速变化的位置信 号，该恒加速度为A。抛物线函数的拉氏变换是 Xr(s)=L[At2]=2A/s3 当A＝1/2时，称为单位抛物线函数，即Xr(s)=1/s3。
例1 已知系统的传递函数，输人为单位阶跃函数，初始条件均为 零。求系统的输出响应。
阶跃输入的拉氏变换为：R ( s ) 解：根据传递函数定义有：
Y ( s ) G ( s ) R( s ) 5 1 5 s 2 3s 2 s s( s 1)(s 2)
G ( s)
.
响应分析：
t T
xo (T ) 1 e1 0.632
d 1 T t xo (t ) e dt T
1 t 0
1 xi 1(t )...X i ( s ) s X O (s) G (S ) X i (S ) xo (t ) 1 e
t T
1 T
1 1 Ts 1 s
一阶系统的单位脉冲响应函数是一单调下降的指数曲 线。如果将曲线衰减到初值得2%之前的过程定义为过 渡过程，则可计算相应的过渡过程响应时间为4T。
一阶系统惯性大，过渡过程时间长。
(2) 一阶系统的单位阶跃响应p.88
T xo (t ) xo (t ) xi (t )
X ( s) 1 G( s) O X i ( s) Ts 1
s1, 2
0 0 1 1 1
(3) 二阶系统的单位阶跃响应
①欠阻尼系统
y (t ) 1
系统在s左半平面上有一对共轭复数极点
e nt 1
2
sin(d t arccos ).....(3.4.10 )
欠阻尼系统的瞬态响 应是正弦衰减振荡，衰 减的快慢与系统极点的 负实部有关，距虚轴越 远，衰减越快；振荡频 率取决于极点的虚部。 阻尼比影响振荡的程度。
(4)、脉冲函数
A r (t ) h 0 0t h t0, t h (h 0)
当 A=1 时，则称为单位脉 冲函数或 函数。
(t )
1 h
h
式中A为常数，ε为趋于零的正数。脉冲函数的拉氏变换是
A X r ( s) L lim A 0
y 2 (t ) 1 0.5e t 0.5e 2t
可见，尽管这两个系统的极点 相同，但由于零点不同，它们的 响应截然不同，系统1有超调。
结论
G2 ( s )
1.5s 2 s 2 3s 2
系统的零点影响系 统响应曲线的形状。
小结
• 1、时间响应的直接求解及一般表达式：微 分方程的解以及零输入和零状态时间响应。 • 2、复域的代数解及分析
系统的零点对响应的影响
例2 已知两个系统的传递函数
G1 ( s ) 4s 2 s 2 3s 2
G2 (s)
1 .5 s 2 s 2 3s 2
G1 ( s ) 4s 2 s 3s 2
2
单位阶跃响应分别为 y1 (t ) 1 2e t 3e 2t
对比单位脉冲与单位阶跃响应可知P.89
• 1、
(t ) x o
• 2、
(t ) u (t )
• 3、有,如果输入函数等于某一函数的微分, 则该输入函数的响应函数也等于这一函数 的响应函数的微分.
3.4 二阶系统的响应分析P.89 (1) 二阶系统的传递函数
二阶系统结构如图
二阶系统闭环传递函数为
若u(s)的极点实部大于或等于零，或者极点在原点， 仍假定G(s)具有负实部的极点，在此情况下，自然响应就 是瞬态响应，强迫响应就是稳态响应（即不等于零）。
控制系统时间响应的求解
实质：用拉普拉斯反变换求解系统运动微分方程 求系统的零状态响应，可按下列步骤进行： (1) 设初始条件为零，对高阶微分方程进行拉氏变换； (2)求解关于s的代数方程，得输出响应的拉氏变换Y(s)； (3) 对y(s)进行部分分式展开； (4) 取反变换后，得到y(t)。
(1) 阶跃函数
A t 0 r (t ) 0 t 0
A=1时，称为单位阶跃函数， 记为 r(t) A 0 t
1(t )
单位阶跃函数的拉氏变换为 Xr(s)=L[1(t)]=1/s 在t＝0处的阶跃信号，相当于一个不变的信号突然加到系统上；
对于恒值系统，相当于给定值突然变化或者突然变化的扰动量；对于随动系统，
3.2 典型输入信号 p85-86
控制系统必须具有良好的动态特性， 从而使系统能迅速跟踪参考输入信号，并 且不产生剧烈的振荡。因此，对系统动态 性能进行分析，改善瞬态响应是自动控制 的核心工作。 为了衡量系统的动态性能，同时能对不 同系统的性能进行比较，通常在实验研究过 程中一般采用单位脉冲 、单位阶跃等函数作 为测试信号p.86。相应地，系统的响应称为 单位脉冲或阶跃响应。
5 s 2 3s 2
1 s
部分分式展开： Y ( s) a1 a 2 a3
s s 1
s2
待定系数的求法：用
(s pi )
s pi
乘上式两边，取s→pi的极限。
ai lim[Y ( s)( s pi )]
a1
5 5 5 2.5 a2 5 2.5 a3 s(s 1) s 2 s(s 2) s 1 ( s 1)(s 2) s 0