2.2.1直线的参数方程

直线参数方程的应用
学习目标：
1． 掌握直线参数方程的标准形式和一般形式，理解参数的几何意义； 2． 熟悉直线的参数方程与普通方程之间的互化；
3． 利用直线的参数方程求线段的长，求距离与中点有关等问题； 教学重点
1．分析直线的几何条件，选择恰当的参数写出直线的参数方程； 2．直线的参数方程中参数t 的几何意义． 教学难点
1．直线的参数方程中参数t 的几何意义；
2．直线参数方程中参数t 的几何意义的初步应用． 课前检测：
1.直线的参数方程：过点()000,y x M ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为 。

2.参数的几何意义：直线的参数方程中参数t 的几何意义是： 。

3.设直线l 经过点()5,10M ，倾斜角为
（1）求直线l 的参数方程；
（2）求直线l 和直线 的交点与点0M 的距离。

例题讲解：
例1：已知直线l 经过点()1,1P ，倾斜角为6
π
α=
（1）写出直线l 的参数方程
（2）设l 与圆42
2
=+y x 相交于B A ,两点，求点P 到B A ,两点的距离之积；
（3）求直线l 被圆42
2=+y x 所截得的弦长
例题小结：数轴上任意两点1x ，2x
之间的距离是12x x -点间的距离刚好等于A ，B
两点对应的参数之差的绝对值12AB t t =-=练习：已知曲线C 1
：⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝－4＋2
2
t ，y ＝22
t (t 为参数)，C 2：⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－2＋cos θ，
y ＝1＋sin θ(θ为参
数)（1）化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
(2)若曲线C 1和C 2相交于A ，B 两点，求|AB|.
例2：在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为()为参数t t y t x ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+=22226，现以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐表系，曲线C 的极坐标方程为θρcos 6=.
（1）求直线l 和曲线C 的普通方程；
（2）求过点()0,1-M 且与直线l 平行的直线1l 交曲线C 交于B A ,两点，求||AB 及
|||M |MB A +.
例3．已知直线l 过点(1,2)M -，斜率为1-，且与抛物线2
y x =交于A ，B 两点．求线段AB 中点Q 的坐标．
练习：经过点
(2,1)
M 作直线l ，交椭圆
22
+1164
x y =于A ，B 两点．如果点M 恰好为线段AB 的中点，求直线l 的方程．
方法总结：利用直线l 的参数方程⎩
⎨
⎧+=+=αα
sin cos 00t y y t x x （t 为参数），给研究直线与圆锥曲线C ：
F(y x ,)=0的位置关系提供了简便的方法.
一般地，把l 的参数方程代入圆锥曲线C ：F(y x ,)=0后，可得一个关于t 的一元二次方程，
)(t f =0,
1、(1)当Δ<0时，l 与C 相离；(2) 当Δ＝0时，l 与C 相切；(3) 当Δ>0时，
l 与C 相交有两个交点；
2、 当Δ>0时，方程)(t f =0的两个根分别记为t 1、t 2，把t 1、t 2分别代入l 的参数方程即可求的
l 与C 的两个交点A 和B 的坐标.
3、 定点P 0(00,y x )是弦AB 中点⇔ t 1+t 2=0
4、 l 被C 截得的弦AB 的长|AB|＝|t 1－t 2|；|P 0A|·|P 0B|= |t 1·t 2|；弦AB 中点M 点对应的参
数为
2
2
1t t +；| P 0M |=221t t +
基础知识测试： 1.直线⎩⎨
⎧+-=+=t
21y t x (t 为参数)与椭圆822
2=+y x 交于A 、B 两点，则|AB|等于( )
A 22 B
334 C 2 D 3
6
2.直线⎩
⎨
⎧+=+=αα
sin cos 00t y y t x x （t 为参数）与二次曲线A 、B 两点，则|AB|等于( )
A |t 1+t 2|
B |t 1|＋|t 2|
C |t 1－t 2| D
2
2
1t t +
3.直线⎪⎩
⎪⎨
⎧
+-=-=t
21
1212y t x (t 为参数)与圆122=+y x 有两个交点A 、B ，若P 点的坐 标为(2,-1),则|PA|·|PB|=
4.过点P(6, 27)的直线⎪⎩
⎪⎨⎧+=+=t
2
726y t
x (t 为参数)与抛物线y 2=2x 相交于A 、B 两点， 则点P 到A,B 距离之积为 .
5.已知直线l 过点P （2，0），斜率为3
4，直线l 和抛物线x y 22
=相交于A 、B 两点，
设线段AB 的中点为M,求：
(1)P 、M 两点间的距离|PM|；
(2)M 点的坐标； (3)线段AB 的长|AB|
x。