大学基础物理学答案(习岗) 电磁感应与电磁场

电磁阻尼力矩产生的原因是因为线圈在磁场中运动时的电磁感应现象。根据 电磁感应定律，线圈在磁场中运动时会产生感应电动势。灵敏电流计的内阻 Rg 和外电路的电阻 R 构成一个回路，因而有感应电流 i 流过线圈，这个电流又与磁 场相互作用，产生了一个阻止线圈运动的电磁阻尼力矩 M。可以证明，M 与回路 的总电阻 Rg+R 成反比，有
E H 电磁波的传播速度为
v 1
其中， 和 分别为介质的电容率和磁导率。在真空中 0 =8.8542×10－12F/m， 0 =4 ×107 H/m。由此可知，电磁波在真空中的传播速度为
C= 1 =2.9979×108 m/s 00
电磁波的能流密度 S 满足如下矢量形式： S E H
长载流直导线 I 在该处产生的磁感应强度为
B 0I 2 x
导线 ab 在磁场中运动时产生的感生电动势为
v
dx x
O
a
b
x
Id
l
l
98
图 7-1
第七章 电磁感应
ab
(v B) dl
ab
d l 0I vdx d 2x
－ 0Iv ln d l
2
d
其中负号表示电动势方向由 b 指向 a，故 a 端电势较高。
d v B dr B rdr
指向 dr 的正方向。则整个辐条上产生的动生电动势 为
=d
R
vB
dr
1 B R2
0
2
其方向由轴心沿辐条向外。
于是，ab 之间的感应电动势为
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第七章 电磁感应
7-2 灵敏电流计的线圈处于永磁体的磁场中，通入电流线圈就会发生偏转， 切断电流后线圈在回到原来位置前总要来回摆动几次。这时，如果用导线把线圈 的两个头短路，摆动就会马上停止，这是为什么？
答：处于永磁体磁场中的灵敏电流计的通电线圈要受到四个力矩的作用，它 们是：（1）磁场对线圈的电磁力矩 BSNIg，其中，B 为磁场的磁感应强度，S 为线 圈的截面积，N 为线圈的总匝数，Ig 为线圈中通过的电流；（2）线圈转动时张丝 扭转而产生的反抗（恢复）力矩－Dθ，其中，D 为张丝的扭转系数，θ 为线圈的 偏转角；（3）电磁阻尼力矩；（4）空气阻尼力矩。
12

d12 dt
M
dI2 dt
其中，M 为互感系数。
7. 磁场的能量
对于分布在有限体积V 内的磁场，其磁场的能量可通过下述积分来获得
Wm
V
mdV

1 2
BHdV
V
其中， m

1 2
BH

1 2
B
H
称为磁场能量密度，积分遍及磁场分布的空间。
8. 麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组全面反映了电磁场的规律，它由以下 4 个方程组成：
i


dm dt
2. 楞次定律
楞次定律可直接判断感应电流方向，其表述为：闭合回路中感应电流的方向 总是要用自己激发的磁场来阻碍引起感应电流的磁通量的变化。
3. 动生电动势
当磁感应强度不变，而回路或回路的一部分相对于磁场运动时产生的电动 势称动生电动势。
动生电动势是由洛仑兹力引起的。由动生电动势的定义可得
7-5 要求用金属线绕制的标准电阻无自感，怎样绕制才能达到此目的？ 答：将金属线对折，然后绕成螺线圈。螺线圈内的磁感应强度为零，电阻也 就无自感。
7-6 两个共轴长线圈的自感系数 L1 和 L2 的比为 4，这两线圈的匝数比是多 少？
答：设长线圈单位长度上线圈的匝数为 n，线圈的体积为 V，则其自感为
2 d 2 (d a)
L I
d Βιβλιοθήκη Baidua h
图 7-2
N 匝线圈中的总动生电动势为
N 0I Lv
N 0I Lv
2d
2 (d a)
带入数据后解得
2 10－3 sin100 t(V)
（2）由磁通量变化引起的电动势为感生电动
势。为求线圈中的磁通量，取如图 7-3 所示的坐标
x
系。现考虑一匝线圈的情况。
O
电流 I 在图 7-3 所示阴影区域产生的磁通量为
答：变压器中的铁芯由于处在交变电流的磁场中，因而在铁芯内部要出现涡 流，由于金属导体电阻很小，涡流会很大，从而产生大量的焦耳热，使铁芯发热， 浪费电能，甚至引起事故。为了较少涡流，将铁芯做成片状，而且涂上绝缘漆相 互隔开，可以减小电流的截面，增大电阻，减小涡流，使涡流损耗也随之减小。 为了减小磁通量，进而减小涡流，铁片放置的方向应和线圈中磁场的方向平行。
S
B
dS
其中，Ek 为感生电场。
5. 自感
当回路中的电流发生变化时，它所激发的磁场产生的通过自身回路的磁通量
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第七章 电磁感应
也会发生变化，此变化将在自身回路中产生感应电动势，这种现象称为自感现象，
产生的电动势为自感电动势，其表达式为：
i

dm dt

L dI dt
负号表明自感电动势阻碍回路中电流的变化，比例系数 L 称为电感或自感系数。
练习题
7-1 如图 7-1 所示，在通有电流 I 的无限长直导线近旁有一个导线 ab，导线
长为 l，ab 导线与载流长直导线的距离为 d。当它沿平行于长直导线的方向以速
度 v 平移时，导线中的感应电动势有多大？a、b 哪端的电势高？
解：建立如图 7-1 所示的坐标系，在导线 ab 中取导体元 dl dx ，由于无限
解：（1）导体在磁场中运动时产生的感应电动势就是动生电动势。在图 7-2
中，易知导体 eh 段和 fg 段上的动生电动势为零，因 而一匝线圈中的动生电动势为
f
g
1
ef
gh
v B dl
ef
v B dl
gh
v B dl
ef
0 Iv
L
dl
2d 0
2
v B dl
hg
0 Iv
L
dl
da 0
0I Lv
0I Lv
S 又称为坡印亭矢量。
思考题
7-1 一个导体圆线圈在均匀磁场中运动，在下列几种情况下，那些会产生感 应电流？为什么？(1)线圈沿磁场方向平移；(2)线圈沿垂直方向平移；(3)线圈以 自身的直径为轴转动，轴与磁场方向平行；(4)线圈以自身的直径为轴转动，轴与 磁场方向垂直。
答：(1)通过导体圆线圈的磁通量Φ＝B S 。当线圈沿磁场方向平移和沿垂直 方向平移时，磁感应强度和面积矢量方向相同，且大小不变，所以，磁通量也保 持不变。由法拉第电磁感应定律 dΦ / dt 可知，线圈中感应电动势为零，因而 线圈中也就没有感应电流。(2) 在线圈以自身的直径为轴（轴与磁场方向平行） 转动过程中，磁感应强度和面积矢量方向保持垂直，磁通量为零，因此，线圈中 也没有感应电流。(3) 在线圈以自身的直径为轴（轴与磁场方向垂直）转动过程 时，由于磁通量为 BS cos ，其中 是磁感应强度和面积法向矢量方向的夹角，它 随时间的变化而变化。所以，磁通量发生变化，线圈中会产生感应电动势，也就 有感应电流产生。
7-8 感生电场与静电场有什么相同之处？又有什么不同？ 答：感生电场与静电场都对电荷有力的作用，他们的不同之处在于：静电场 存在于静止电荷周围的空间内，而感生电场则是由变化的磁场所激发，不是由电 荷所激发；静电场的电场线起始于正电荷，终止于负电荷，而感生电场的电场线 则是闭合的。正是由于感生电场的存在，才在闭合回路中形成感生电动势。
6. 互感
对于两个临近的载流回路，当其中一个回路中的电流变化时，电流所激发 的变化磁场会在另一个回路中产生感应电动势，这种现象称为互感现象。对应产 生的电动势称为互感电动势。
因为回路 1 中的电流 I1 变化而在回路 2 中产生的互感电动势为
21


d 21 dt

M
dI 1 dt
因为回路 2 中电流 I2 变化而在回路 1 中产生的互感电动势为
D dS q0
S

l
E
dl
S
dB dt
dS
B dS 0
S

L
H
dl

I0


S
dD dt
dS
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第七章 电磁感应
9. 电磁波
E 和 H 都按正弦(或余弦)规律变化，且相位相同。 电磁波是横波。在传播过程中，E 和 H 的振动方向与传播方向三者相互垂 成右手螺旋关系。 E 和 H 的振幅成比例，满足关系
dΦ B dS BdS 0I Ldx 2x
在整个线圈中产生的磁通量为
I
L
Φ
d a 0I Ldx 0IL ln d a
d
d 2x
2
d
dx x
a
图 7-3
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第七章 电磁感应
于是，在 d=10cm 时，一匝线圈中产生的感生电动势为
2
N 匝线圈中产生的感生电动势为
N2
由于 dI dt
带入数据，得
0L ln a d dI
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第七章 电磁感应
L 0n2V 。由此可知，若两共轴长线圈的自感系数之比为 4，则这两个线圈的匝 数比是 2：1。
7-7 什么叫位移电流？位移电流和传导电流有什么不同？ 答：通过电场中某一横截面的位移电流等于通过该截面电位移通量的时间变 化率。位移电流的实质是电场的时间变化率，即变化的电场要激发磁场。而传导 电流则是电荷的时间变化率，其对应着电荷的移动。
4. 感生电动势
＝
ab
b
(v
a
B) dl
当导体回路静止，而通过导体回路磁通量的变化仅由磁场的变化引起时， 导体中产生的电动势称为感生电动势。
产生感生电动势的原因是变化的磁场在空间激发了感生电场。由电动势的 定义和法拉第电磁感应定律可知感生电动势为


l
Ek
dl


dm dt
d dt
7-2 在图 7-2 中，无限长直导线通有电流 I 5sin100 t(A) ，另一个矩形线 圈共 1103 匝，宽 a=10cm，长 L=20cm，以 v 2m/s 的速度向右运动。当 d=10cm 时求：（1）线圈中的动生电动势；（2）线圈中的感生电动势；（3）线圈中的感应 电动势。
M BNSi d dt
其中， B2 N 2S 2 ，称为阻尼系数。 Rg R
当用导线把线圈的两个头短路时，外电路的电阻 R 减小，阻尼系数增大，电 磁阻尼力矩 M 增大。设计时使短路后的外阻等于临界阻尼，摆动就会马上停止。
7-3 变压器的铁芯为什么总做成片状的，而且涂上绝缘漆相互隔开？铁片放 置的方向应和线圈中磁场的方向有什么关系？
7-9 变化磁场所产生的电场是否也一定随时间变化？ 答：变化磁场所产生的电场不一定随时间变化。如果 dB / dt 为常数，即磁场 均匀变化时，感生电场不会随时间变化。
7-10 电荷作下列两种运动时，能否辐射电磁波？(1) 电荷在空间作简谐振 动；(2)电荷作圆周运动。
答：变化着的电场和磁场相互激发，形成在空间中传播的电磁波。电磁场的 传播，也就是电磁波的产生总是和电荷的加速运动相联系的。电荷在空间作简谐 振动，它的加速度和时间就按正弦关系变化。离它较远各点的电场和磁场也将随 时间按正弦变化，这种变化的电磁场还不断向外传播，这就形成了最简单形式的 电磁波——简谐电磁波。电子作圆周运动时，在圆周平面远处进行观察，电子可 以看作是简谐振动，因此电荷作圆周运动时，也能辐射电磁波。
通过各自的刷子分别与轮轴和轮边接触。求:（1）a、b 间的感应电动势 ；（2）若
在 a、b 间接一个电阻，流过辐条的电流方向如何？（3）当轮子反转时，电流方 向是否会反向？（4）若轮子的辐条是对称的两根或更多，结果又将如何？
解：（1）在辐条上距离轴心 r 处取长度为 dr 的微元，当辐条运动时在该微元 上产生的动生电动势为
2
d dt
0NL ln a d dI
2
d dt
500 cos100 t
4.36 10 2 cos100 t(V)
（3）线圈中的感应电动势为动生电动势和感生电动势的代数和
1
2
7-3 只有一根辐条的轮子在均匀外磁场 B 中转动，轮轴与 B 平行，如图 7-4 所示。轮子和辐条都是导体，辐条长为 R，轮子每秒转 N 圈子。两根导线 a 和 b
第七章 电磁感应
第 10 章 电磁感应与电磁场
本章提要
1. 法拉第电磁感应定律
当穿过闭合导体回路所包围面积的磁通量发生变化时，导体回路中将产生 电流，这种现象称为电磁感应现象，此时产生的电流称为感应电流。
法拉第电磁感应定律表述为：通过导体回路所包围面积的磁通量发生变化 时，回路中产生的感应电动势 i 与磁通量m 对时间的变化率的负值成正比，即
7-4 让一块磁铁在一根长的铅直管内落下，若不计空气阻力，试描述磁铁的 运动情况，并说明理由。
答：磁铁入管前后，铁管中磁通量发生变化而出现感生电流，从而阻碍磁铁 的运动，此时磁铁作加速度小于重力加速度的加速运动。磁铁在管内运动时，铁 管中磁通量不发生变化，此时磁铁作自由落体运动。磁铁出管前后，管中也出现 感生电流，磁铁的运动受到阻碍，作加速度小于重力加速度的加速运动。