高中数学第3章概率3.3几何概型自主练习苏教版必修3
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答案： B 3．在线段［ 0， 3］上任取一点，则此点坐标不小于 2 的概率是 ( )
A．
B．
C．
D．
思路解析：在线段［ 0， 3］上任取一点的可能性是相等的，若在其上任意取一点
, 此点
坐标不小于 2, 则该点应落在线段 [2 ， 3] 上 . 所以，在线段［ 0， 3］上任取一点，则此点坐
标不小于 2 的概率应是线段 [2 ，3] 的长度与线段［ 0， 3］的长度之比，即为 .
特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件
的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点
.
答案：（ 1）每次试验的结果是无限多个，且全体结果可用一个有度量的区域来表示
1/4
（2）每次试验的各种结果是等可能的
5．某人忘记了时间去看闹钟，看闹钟的一刹那，秒针指在
思路解析：由于人任何时候到达路中是等可能的，则本题的概率模型是几何概型
. 则看
到红、黄、绿灯的概率为红、黄、绿灯的时间与三种颜色灯时间和的比
.
答案：（ 1） ；（ 2） ；（ 3） .
12．已知线段 AB 和它的中点 概率是多少？
思路解析：如下图：
M，在 AB 上随机选取一点，这点到
M 比到 A 的距离较接近的
思路解析：如下图 , 设 AB 长度为 4， AD 和 EB 的长度都为 1，则要使截得的两段的长
度都不小于 1m，小张应在 DE间锯开 . 又要锯开此木料，在木料上任意一点下锯的可能性相
等，则由几何概型的计算公式可得：截得的两段的长度都不小于
1 m 的概率是线段 DE长度
与线段 AB长度之比 .
答案： .
答案： .
9．某人打开收音机，想听电台报时，问他等待的时间小于
15min 的概率是多少？（假定电
台每小时报时一次）
思路解析：因为电台每小时报时一次，我们自然认为这个人打开收音机时处于两次报
时之间，例如 (13:00 ， 14:00) ，而且取各点的可能性一样，要遇到等待时间短于
15 分钟，
只有当他打开收音机的时间正好处于
蓝、黑四种颜色，现向正方形区域投掷飞镖，求：（
1）飞镖投中黑色或黄色区域的概率是
多少？（ 2）飞镖投不中红色区域的概率是多少？
3/4
图 7-11
பைடு நூலகம்
思路解析：本题的概率模型是几何概型，事件发生的概率为各色区域面积与总面积的
比. 记“投中黑色区域或投中黄色区域”为事件
A；记“投不中红色区域”为事件 B. 由于飞
3 和 5 之间的概率是 _________.
思路解析：由于闹钟的秒针指在 0～ 60 秒的任意一时刻的可能性是相等的，而
3和 5
包含了 10，则由几何概型的概率计算公式可得秒针指在
3 和 5 之间的概率是
=.
答案：
6．圆 O 有一内接正三角形，向圆 O 随机投一点，则该点落在内接正三角形内的概率是 _______.
3.3 几何概型
自主广场 我夯基 我达标 1．转动图中各转盘，指针指向红色区域的概率最大的是
()
图 7-8
思路解析：由于转盘指针指转盘圆周上任一点是等可能的，所以此题是一个几何概型
问题 . 则指针指向各色区域的概率应为各色区域所对应的圆弧的长度与圆的周长之比
. 由题
图可知指针指向红色区域的概率最大应是图形
0， 1］上的诸数字，另一半
上均匀地刻上区间［ 1， 3］上的诸数字，旋转该陀螺，求它停下时，其圆周上触及桌面的
刻度位于［ 0.5 ， 1．5］上的概率 .
思路解析：本题的概率模型是几何概型，解本题的关键是求出刻度位于［
0.5 ， 1.5 ］
内圆弧的长度 . 由于其圆周的一半上均匀地刻上区间［ 0， 1］上的诸数字，则 [0.5 ， 1] 包
含了 个圆周，而另一半上均匀地刻上区间［ 1， 3］上的诸数字，则 [1 ， 1.5] 包含了 ，
所以刻度位于［ 0.5 ， 1.5 ］内圆弧的长度为圆周的
.
答案： .
4/4
D，因为在此图形中红色区域所对应的圆弧
长为圆周长的一半 .
答案： D
2．某人向下图的靶子上射箭，假设能中靶，且箭头落在任何位置都是等可能的，最容易射
中阴影区的是 (
)
图 7-9
思路解析：由于箭头落在图中任意一点的可能性是相等的，箭头射中阴影区的概率应 为阴影的面积与图形面积的比值 . 若最容易射中，则阴影部分的面积与图形的面积的比值最 大.
镖投中正方形区域内任意一点的机会是等可能的，则
P（ A）为黑色区域和黄色区域的面积
和与大正方形面积的比，为
，若投不中红色区域，就相当于投中了黑、黄和蓝色区域，
则 P（ B）为黑、黄和蓝色区域的面积和与大正方形面积的比为
.
答案： (1) ； (2) .
我创新 我超越
14．设有一个均匀的陀螺，其圆周的一半上均匀地刻上区间［
0.1 升水样可视为区域
d， 1 升自来水视为区域 D. 由于取水样的随机性，所求事件的概率等于水样的体积与总体积
之比，即为 0.1.
答案： 0.1.
11．一个路口的红绿灯，红灯的时间为 30 秒，黄灯的时间为 5 秒，绿灯的时间为 40 秒 . 当
你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？
（ 1）红灯；（ 2）黄灯；（ 3）不是红灯 .
取 AM中点 D，在 AB 上随机选取一点，这点到 M 的距离比到 A 的距离较接近，则所选点应 落在线段 DB上 . 则在 AB上随机选取一点，这点到 M的距离比到 A 的距离较接近的概率是线 段 DB与线段 AB的比 .
答案： .
13．如图 7-11 所示，一个边长为 a 的正方形被平均分成了四等份，分别涂上了红、黄、
13:45 至 14:00 之间才有可能，相应的概率是
= =0.25.
2/4
答案： 0.25.
我综合 我发展 10．如图 7-10 所示 , 有一杯 1 升的水，其中含有 0.1 升水，求小杯水中含有这个细菌的概率 .
1 个细菌，用一个小杯从这杯水中取出
图 7-10
思路解析：细菌在 1 升水中的分布可以看作是随机的，取得的
思路解析：向圆内投点，所投的点落在圆形区域内任意一点的可能性相等，所以本题 的概率模型是几何概型 . 向圆 O随机投一点，则该点落在内接正三角形内的概率应为正三角 形的面积与圆的面积的比 .
答案：
7．有一根 4m 长的木料，小张不知何用，随便把它锯成两截，则截得的两段的长度都不小
于 1m的概率是多少？
8．已知线段 AB，在这条线段上随机选一点 多少？
思路解析：如下图：
M， M点到 A 点距离比它到 B 点距离近的概率是
取线段 AB 的中点 C，若 M 点到 A 点距离比它到 B 点距离近，则 M 点应落在线段 AC 上，则 M点到 A 点距离比它到 B点距离近的概率应为线段 AC与线段 AB之比 .
答案： A
4．几何概型的两个特征：
（ 1） _________________________________________________ ；
（ 2） _________________________________________________.
思路解析：充分利用几何概型的定义 . 在几何概型中我们将每个基本事件理解为从某个
A．
B．
C．
D．
思路解析：在线段［ 0， 3］上任取一点的可能性是相等的，若在其上任意取一点
, 此点
坐标不小于 2, 则该点应落在线段 [2 ， 3] 上 . 所以，在线段［ 0， 3］上任取一点，则此点坐
标不小于 2 的概率应是线段 [2 ，3] 的长度与线段［ 0， 3］的长度之比，即为 .
特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件
的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点
.
答案：（ 1）每次试验的结果是无限多个，且全体结果可用一个有度量的区域来表示
1/4
（2）每次试验的各种结果是等可能的
5．某人忘记了时间去看闹钟，看闹钟的一刹那，秒针指在
思路解析：由于人任何时候到达路中是等可能的，则本题的概率模型是几何概型
. 则看
到红、黄、绿灯的概率为红、黄、绿灯的时间与三种颜色灯时间和的比
.
答案：（ 1） ；（ 2） ；（ 3） .
12．已知线段 AB 和它的中点 概率是多少？
思路解析：如下图：
M，在 AB 上随机选取一点，这点到
M 比到 A 的距离较接近的
思路解析：如下图 , 设 AB 长度为 4， AD 和 EB 的长度都为 1，则要使截得的两段的长
度都不小于 1m，小张应在 DE间锯开 . 又要锯开此木料，在木料上任意一点下锯的可能性相
等，则由几何概型的计算公式可得：截得的两段的长度都不小于
1 m 的概率是线段 DE长度
与线段 AB长度之比 .
答案： .
答案： .
9．某人打开收音机，想听电台报时，问他等待的时间小于
15min 的概率是多少？（假定电
台每小时报时一次）
思路解析：因为电台每小时报时一次，我们自然认为这个人打开收音机时处于两次报
时之间，例如 (13:00 ， 14:00) ，而且取各点的可能性一样，要遇到等待时间短于
15 分钟，
只有当他打开收音机的时间正好处于
蓝、黑四种颜色，现向正方形区域投掷飞镖，求：（
1）飞镖投中黑色或黄色区域的概率是
多少？（ 2）飞镖投不中红色区域的概率是多少？
3/4
图 7-11
பைடு நூலகம்
思路解析：本题的概率模型是几何概型，事件发生的概率为各色区域面积与总面积的
比. 记“投中黑色区域或投中黄色区域”为事件
A；记“投不中红色区域”为事件 B. 由于飞
3 和 5 之间的概率是 _________.
思路解析：由于闹钟的秒针指在 0～ 60 秒的任意一时刻的可能性是相等的，而
3和 5
包含了 10，则由几何概型的概率计算公式可得秒针指在
3 和 5 之间的概率是
=.
答案：
6．圆 O 有一内接正三角形，向圆 O 随机投一点，则该点落在内接正三角形内的概率是 _______.
3.3 几何概型
自主广场 我夯基 我达标 1．转动图中各转盘，指针指向红色区域的概率最大的是
()
图 7-8
思路解析：由于转盘指针指转盘圆周上任一点是等可能的，所以此题是一个几何概型
问题 . 则指针指向各色区域的概率应为各色区域所对应的圆弧的长度与圆的周长之比
. 由题
图可知指针指向红色区域的概率最大应是图形
0， 1］上的诸数字，另一半
上均匀地刻上区间［ 1， 3］上的诸数字，旋转该陀螺，求它停下时，其圆周上触及桌面的
刻度位于［ 0.5 ， 1．5］上的概率 .
思路解析：本题的概率模型是几何概型，解本题的关键是求出刻度位于［
0.5 ， 1.5 ］
内圆弧的长度 . 由于其圆周的一半上均匀地刻上区间［ 0， 1］上的诸数字，则 [0.5 ， 1] 包
含了 个圆周，而另一半上均匀地刻上区间［ 1， 3］上的诸数字，则 [1 ， 1.5] 包含了 ，
所以刻度位于［ 0.5 ， 1.5 ］内圆弧的长度为圆周的
.
答案： .
4/4
D，因为在此图形中红色区域所对应的圆弧
长为圆周长的一半 .
答案： D
2．某人向下图的靶子上射箭，假设能中靶，且箭头落在任何位置都是等可能的，最容易射
中阴影区的是 (
)
图 7-9
思路解析：由于箭头落在图中任意一点的可能性是相等的，箭头射中阴影区的概率应 为阴影的面积与图形面积的比值 . 若最容易射中，则阴影部分的面积与图形的面积的比值最 大.
镖投中正方形区域内任意一点的机会是等可能的，则
P（ A）为黑色区域和黄色区域的面积
和与大正方形面积的比，为
，若投不中红色区域，就相当于投中了黑、黄和蓝色区域，
则 P（ B）为黑、黄和蓝色区域的面积和与大正方形面积的比为
.
答案： (1) ； (2) .
我创新 我超越
14．设有一个均匀的陀螺，其圆周的一半上均匀地刻上区间［
0.1 升水样可视为区域
d， 1 升自来水视为区域 D. 由于取水样的随机性，所求事件的概率等于水样的体积与总体积
之比，即为 0.1.
答案： 0.1.
11．一个路口的红绿灯，红灯的时间为 30 秒，黄灯的时间为 5 秒，绿灯的时间为 40 秒 . 当
你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？
（ 1）红灯；（ 2）黄灯；（ 3）不是红灯 .
取 AM中点 D，在 AB 上随机选取一点，这点到 M 的距离比到 A 的距离较接近，则所选点应 落在线段 DB上 . 则在 AB上随机选取一点，这点到 M的距离比到 A 的距离较接近的概率是线 段 DB与线段 AB的比 .
答案： .
13．如图 7-11 所示，一个边长为 a 的正方形被平均分成了四等份，分别涂上了红、黄、
13:45 至 14:00 之间才有可能，相应的概率是
= =0.25.
2/4
答案： 0.25.
我综合 我发展 10．如图 7-10 所示 , 有一杯 1 升的水，其中含有 0.1 升水，求小杯水中含有这个细菌的概率 .
1 个细菌，用一个小杯从这杯水中取出
图 7-10
思路解析：细菌在 1 升水中的分布可以看作是随机的，取得的
思路解析：向圆内投点，所投的点落在圆形区域内任意一点的可能性相等，所以本题 的概率模型是几何概型 . 向圆 O随机投一点，则该点落在内接正三角形内的概率应为正三角 形的面积与圆的面积的比 .
答案：
7．有一根 4m 长的木料，小张不知何用，随便把它锯成两截，则截得的两段的长度都不小
于 1m的概率是多少？
8．已知线段 AB，在这条线段上随机选一点 多少？
思路解析：如下图：
M， M点到 A 点距离比它到 B 点距离近的概率是
取线段 AB 的中点 C，若 M 点到 A 点距离比它到 B 点距离近，则 M 点应落在线段 AC 上，则 M点到 A 点距离比它到 B点距离近的概率应为线段 AC与线段 AB之比 .
答案： A
4．几何概型的两个特征：
（ 1） _________________________________________________ ；
（ 2） _________________________________________________.
思路解析：充分利用几何概型的定义 . 在几何概型中我们将每个基本事件理解为从某个