正余弦定理的应用PPT课件.ppt

求角A.
A
解：条件整理变形得
c
b
b2 c2 a2 bc
B
a
C
Hale Waihona Puke Baidu
即 b2 c2 a2
1
2bc
2
cos A 1 A=120 0
2
动手实践：在ABC中，已知
a2 b2 c2 2ac ,求角B.
变式3： 在ABC中，已知
sin2 B sin2 C sin A（ 2 sin B sin A）
b2 c2 a2 cos A
2bc c2 a2 b2 cos B
2ca a2 b2 c2 cosC
2ab
二、余弦定理应用
（1）已知三边 （2）已知两边和夹角
a2 b2 c2 2bc cos A b2 c2 a2 2ca cosB c2 a2 b2 2ab cosC
（A） 3: 4 : 5
（C） 1: 3 : 2
（B） （D）
2 : 6 : ( 3 1)
2: 3: 3 2 2
本课小测
4、 在△ABC中，A=60o，b=2，S△ABC= 3
sin
abc A sin B sin C

？
5、已知△ABC中，满足acosA=bcosB，试判断 △ABC的形状。
在ABC中， 1.已知b 8，c 3，A 60,求a; 2.已知a 20,b 29, c 21,求B; 3.已知a 3 3, c 2, B 150,求b.
练习题答案: 1. 7; 2. 90°; 3. 7.
问题2：
在三角形中,已知(a+b)(a- b)=c(b+c),
求角C. 开拓创新：1.在ABC中，证明:
sin2 A sin2 B sin2 C 2sin B sin C cos A
2.求 sin2 20 sin2 10 3 sin 20sin10
的值.
例3 在△ABC中，a、b、c分别是A、
B、C的对边，试证明：
a=bcosC+ccosB
练习： 已知ΔABC中， (a b c)(b c - a) 3bc, sinA 2sinBcosC 试确定 三角形的形状.
例 . 在ΔABC中，已知 2 2(sin2A - sin2C) (a - b)sinB , 并且外接圆的半径为 2， 求C
四.高考试题：
已知ΔABC中， b2 c2 - bc a2 , c 1 3,求A和 tanB的值 . b2
正弦定理及其变形
a b c 2R sin A sin B sin C
边角分离 a 2Rsin A
b 2Rsin B
c 2RsinC
S1
1
1
absin C acsin B bcsin A
ABC 2
2
2
练习.在ABC中，已知 断三角形的形状。
a2 b2
tan A tan B
例题精选
例3 在△ABC中，如果 lg a lg c lg sin B lg 2 并且B为锐角，试判断此三角形的形状特征。
解：由 lg a lg c lg sin B lg 2 ，
得：sin B 2 B=45o
2
a c
2 2

sin A sin C
2 2
答案： ∠B=30o
本课小测
1、在△ABC中，一定成立的等式是（ ）
（A）asinA=bsinA
（B）asinB=bsinA
（C）acosA=bcosB
（D）acosB=bcosA
2、在△ABC中，若A>B，则sinA>sinB （ ）
3、在△ABC中，若A：B：C=3：4：5，则a：b：c等于（ ）
练习1 在△ABC中，已知
1）A=120o，B=30o，a=8，求c；
2）a=14，b=7
6
，B=

3
，求A；
3）b= 3，c= 5 ，A=120o，求a；
4）a=2，b=3，c= 7，求C
经验：根据已知条件适当选用正弦定理、余弦定理。
二.判断三角形的形状：
例.已知ΔABC中， a 2b cosC, 试确定三角形的形状.
a b c 1, ABC的三边为a, b, c, b c a
c a b
2 当△ABC直角三角形时（c>a>b）
c2 a2 b2
当△ABC为钝角三角形时（c>b>a）
a2 b2 c2 0
当△ABC为锐角三角形时（c>b>a）
a2 b2 c2 0
，将A=135o-C代入上式，得
2 sin C 2sin(135 C) sin C sin C cosC
∴C=90o ，综上所述，△ABC是等腰直角三角形。
例题精选
例4 在△ABC中，已知，AB 1, BC 2,
且
2
AB BC 5 2
3
则∠B等于多少？
a2 b2 c2 0
当△ABC为锐角三角形时

b
2

c2

a2

0
c2 a 2 b2 0
例1、a ,a+1,a+2 构成钝角三角形，求a 的取值范围。 -1＜a＜3 例2、锐角三角形的三边长为2,x,3， 求x的取值范围。 5＜x＜ 13 练习：
三条线段长度为2,x,6 (1)求构成直角三角形时，x的取值范围 (2)求构成锐角三角形时，x的取值范围 (3)求构成钝角三角形时，x的取值范围
证明：由余弦定理知： cos C a
2

b2

c， 2
cos B c2 a2 b2
2ab
2ca
a2 b2 c2
c2 a2 b2
右边= b
c
2ab
2ca
a2 b2 c2 c2 a2 b2


A
2a
2a
b
2a2 a 左边
2a
c
D
B
a
C
三、已知三角形形状， 讨论边的取值范围。
,判
解(略)等腰三角形或直角三角形
练习
2、在△ABC 中，已知 （a+b+c)(b+c-a)=3bc,且sin2A=sinBsinC, 判断三角形的形状。
等边三角形
一、要点复习：余弦定理
在Rt中，c2 a2 b2
a2 b2 c2 2bc cos A b2 c2 a2 2ca cos B 变形 c2 a2 b2 2abcosC