第五章约束优化方法
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管理会计应用指引第504号——约束资源优化
附件4：管理会计应用指引第504号——约束资源优化第一章总则第一条约束资源优化，是指企业通过识别制约其实现生产经营目标的瓶颈资源，并对相关资源进行改善和调整，以优化企业资源配置、提高企业资源使用效率的方法。
约束资源，是指企业拥有的实际资源能力小于需要的资源能力的资源，即制约企业实现生产经营目标的瓶颈资源，如流动资金、原材料、劳动力、生产设备、技术等要素及要素投入的时间安排等。
第二条约束资源优化一般适用于企业的投融资管理和营运管理等领域。
第二章应用环境第三条企业应用约束资源优化工具方法，约束资源的缺口一般应相对稳定。
第四条企业应用约束资源优化工具方法，相关数据一般应完整并可获取，必要时提供信息技术的支持。
第三章应用程序第五条企业应用约束资源优化工具方法，一般按照识别约束资源、寻找突破方法、协同非约束资源、评价实施效果等程序进行。
第六条企业应用约束资源优化工具方法，应识别出管理过程中制约既定目标实现的约束资源，并对约束资源进行定量分析。
在约束资源难以进行定量分析时，可以通过内部评审法、专家评价法等，识别出管理过程中的约束资源。
内部评审法，是指企业通过内部组织开展评议、审查识别约束资源的方法。
企业通常应组建满足约束资源识别所需的，由财务部门、生产部门和其他相关部门人员组成的内部评审小组或类似评审组织，通过集中研讨等方式，识别出管理过程中的约束资源。
专家评价法，是指利用专家的经验、知识等识别约束资源的方法。
对于企业既定目标的实现形成重大制约影响的约束资源，企业通常采用此方法进行综合评判。
第七条在识别约束资源的基础上，企业应比较约束资源的资源能力差距，搜集约束资源的相关数据等信息，系统分析约束资源形成的原因和涉及的实施责任主体，制定约束资源优化的实施方案，建立实现约束资源优化的长效机制，促进约束资源的资源能力提升。
（一）当约束资源是流动资金时，通常采取企业资金内部调剂、缩短应收账款回收周期、加快存货周转、延长付款周期等方法消除流动资金缺口，也可以通过外部融资扩大企业的资金来源，如债务融资、权益融资等。
约束问题的最优化方法
可用于处理等式约束。
§5.3 外点惩罚函数法
三. 几个参数的选择：
r(0) 的选择:
r(0) 过大，会使惩罚函数的等值线变形或偏心，求极值困难。r (0) 过小，迭代次数太多。
建议 ：r0 max ru0 u 1,2,...m
其中：ru0
m gu
0.02 x0 f
x0
x(0) 的选择：
2
若均满足，停止迭代，有约束优化问题的最优点为 x* = xk*； 若有一个准则不满足，则令 x(0) xk * (r(k) ),r(k1) c r(k) , k k 1 并转入第 3 步，继续计算。
§5.2 内点惩罚函数法
算法框图
§5.2 内点惩罚函数法
四. 几个参数的选择： 1. 惩罚因子初始值 r(0) 的选择：
§5.1 引言
有解的条件： ① f(x) 和 g(x) 都连续可微； ② 存在一个有界的可行域； ③ 可行域为非空集； ④ 迭代要有目标函数的下降性和设计变量的可行性。
三. 间接解法的基本思想： 目的：将有约束优化问题转化为无约束优化问题来解决。
方法：以原目标函数和加权的约束函数共同构成一个新的目标函数
（略） 2. 数学模型：
设计变量 ： X x1,x2 T t f ,h T
目标函数 ： min. f x 120x1 x2
单位长度的质量
§5.2 内点惩罚函数法
约束函数 ： g1x x1 0 g 2 x x2 0 g3 x 1 0.25x2 0
g4
x
1
7 45
x1x2
0
g5
x
§5.3 外点惩罚函数法 (衰减函数法）
一. 基本思想：
外点法将新目标函数 Φ( x , r ) 构筑在可行域 D 外， 随着惩罚因子 r(k) 的不断递增， 生成一系列新目标函数 Φ(xk ,r(k))，在可行域外逐步迭 代，产生的极值点 xk*(r(k)) 序 列从可行域外部趋向原目标函 数的约束最优点 x* 。
机械优化设计第5章 约束优化方法
是
X*=XL ,F*=F(XL)
否
XC 1 K Xj, j H K 1 j 1
结 束
是
X R X C ( X C X H ), FR F ( X R )
FR<F(XH)
是 否
XR∈D
否
否
α =0.5α
是
找出次坏点XSH ，XH=XSH
轧机
§5-5 可行方向法
研究室
轧机
CAD/CAM/CAE
直接法搜索路线
间接法框图
研究室
间接法是目前在机械优化设计中得到广泛应用的一种有效方 法。
轧机
CAD/CAM/CAE
研究室
§5-2 约束坐标轮换法
一.基本思路
1.依次沿各坐标轴方向---e1,e2,…,en方向搜索; 2.将迭代点限制在可行域内. •①可取定步长、加速步长和收缩步长,但不能取 最优步长; ②对每一迭代点均需进行可行性和下降性检查.
若仍不可行, 则重 复此步骤, 直至进入 可行域为止.
X
X
( q 1)
轧机
CAD/CAM/CAE
研究室
三. 终止判别条件
各顶点与好点函数值之差的均方根应不大于误差限
1 { [ F ( X ( j ) ) F ( X L )] } k j 1
k
1 2 2
不是十分可靠, 可改变 重作, 看结果是否相同.
给定内点X 0 , 0 , m,
α =α 0, F0=F(X0)
K=0, j=0
研究室
0 初始步长；
m 在一迭代点处允许产生 的方向数；
终止误差限(步长)
产生随机方向
数学建模：第五章 运筹与优化模型
max c j x j
n
s.t aij x j bi
j 1
n
j 1
i 1.2 m
xj 0
j 1.2 n
8
二、整数规划模型
n min f c j x j j 1 n aij x j bi j 1 x j 0
对于线性规划：
22
二、货机装运
问题 某架货机有三个货舱：前仓、中仓、后仓。三个 货舱所能装载的货物的最大重量和体积都有限制，如表 3所示。并且，为了保持飞机的平衡，三个货舱中实际 装载货物的重量必须与其最大容许重量成比例。
重量限制 （吨）
前仓 中仓 后仓 10 16 8 6800 8700 5300
体积限制 （米3）
5
解：设x ij 表示 Ai (i=1.2)煤厂提供给 B j （j=1.2.3)居民区的煤量； f表示总运输费 此问题归结为：
min f 10 x11 5 x12 6 x13
s.t
x11 x12 x13 60 x21 x22 x23 100 x11 x21 50
s.t gi ( X ) 0
hi ( X ) 0
(1)
(2)
(3)
i 1,2,, m .
j 1,2,, l .
X D
其中X ( x1 , x2 ,, xn )T , D R n为可行集
f(X)为目标函数，(2)、(3)为约束条件， (2)为不等式约束，(3)为等式约束； 若只有(1)称为无约束问题。
max f x1 x2 15 x1 12 x2 85 如 5 x1 11 x , x 0 1 2 x1 , x2 为整数
Ch5_综合的约束与优化
`第五章综合的约束与优化综合的一个很重要的概念就是：单纯的映射是远远不够的，更重要的是设计的整体优化。
一方面设计工程师为综合规定必要的约束，例如对面积、速度、功耗的要求等，从而使优化有所依据；另一方面选择合适的综合器是优化程度的决定性因素。
同一个设计使用不同的综合器所得到的优化结果可以相差3～5倍。
第一节综合约束5-1-1 概述综合约束是对可测量的电路特性所定义的设计目标，比如面积、速度和电容等。
如果没有这些约束，Design Compiler工具将不能有效地对你的设计进行最优化。
在对设计进行优化时，Design Compiler支持两种类型的约束：●设计规则约束（Design rule constraints）●最优化约束（Optimization constraints）设计规则约束是固有的，在工艺库里定义；这些约束条件是为了保证设计的功能正确性，适用于使用工艺库的每一个设计；可以使这些约束比最优化约束更为严格。
最优化约束是外在的，由设计者自己定义；最优化约束描述设计指标，在整个dc_shell 工作期间应用于当前设计；它们必须接近于现实情况。
D esign Compiler试图同时满足设计规则约束和最优化约束，但设计规则约束必须首先被满足。
设计者可以以命令行形式交互式的指定约束或者在一个约束文件里指令约束。
图5.1显示了主要的设计规则约束和最优化约束，以及如何用dc_shell界面命令来设置这些约束。
图5.1 Major Design Compiler Constraints第二节设置设计规则约束这一节将讨论最常用的设计规则约束：•转换时间（Transition time）•扇出负载（Fanout load）•电容（Capacitance）Design Compiler给设计对象赋予属性来表示这些设计规则约束。
表5.1列出了每一个设计规则约束对应的属性名。
表5.1 设计规则属性Design Rule Constraint Attribute NameTransition time max_transitionFanout load max_fanoutCapacitance max_capacitancemin_capacitanceCell degradation cell_degradationConnection class connection_class 设计规则约束是工艺库里指定属性，你也可以明确地、随意地指定这些约束。
运筹学-约束最优化方法
若AT的各个行向量线性无 关.根据Kuhn-Tucker条件, 在该线性规划的最优点y* 处存在乘子向量x*≥0,使得
即Ax*=b 对偶规划约束条件 及(ATy*-c)T x*=0 线性规划互补松弛条件
29
5.1.3 一般约束问题的最优性条件
定理1.3.1 在上述问题中,若 (i)x*为局部最优解, 有效集I*={i|ci(x*)=0,i∈I}; (ii)f(x),ci(x)(1≤i≤m)在x*点可微; (iii)对于i∈E∪I*, 线性无关, 则存在向量l*=(l1*,· · · ,lm*)使得
解:本问题是求点(1,1)T到如图三角形区域的最短 距离.显然唯一最优解为x*=(1/2,1/2)T.
19
例题(Fritz-John条件)
min f(x)=(x1-1)2+(x2-1)2 s.t. c1(x1,x2)=(1-x1-x2)3≥0 c2(x)=x1≥0 c3(x)=x2≥0 即
35
惩罚函数法
惩罚是手段，不是目的
KT条件中li*ci(x*)=0 称为互补松弛条件. 它表明li*与ci(x*)不能 同时不为0.
28
线性规划情形
对于线性规划问题 min f(y)=-bTy s.t. -ATy≥-c 其中 y∈Rm,A∈Rm×n, b∈Rm,c∈Rn 问题有n个约束条件. 各个约束条件关于y 的梯度为-AT的行向 量(-pi).
借助于Farkas引理,可推出存在li*≥0(i∈I*), 使得
类似与Fritz-John条件的证明,可以证明KuhnTucker条件. 有效约束函数的梯度线性无关称为KuhnTucker约束规范. 如果该约束规范不满足,最优点不一定是KT点.
数理经济学第五章
其中c(0)和B(0)由k (0) k0 , k (T ) kT 决定。
注2：某些特殊情形的欧拉方程
(1) F F (t , x) d 由Euler方程 Fx Fx dt d Fx 0 dt Fx C
例：找出下列泛函的极值曲线 V [ x] (tx x )dt
t0 t1
F (t , x (t ) ah(t ), x (t ) ah(t ))dt
* * t0
t1
g (a)是R R上的连续可微函数，且 g (0)为g (a)的最大值点，所以： g (0) 0, g (0) 0。
(1) g (0) {Fx (t , x (t ), x (t ))h(t )
解： min :
T 0
1 [ f ( x)] dx
2
T
0
1 [ y] dx
2
s.t. y(0) A, y(T ) Z
根据Euler定理： d 2 2 ( 1 y ) 1 y dx y y d y ( x ) ( )0 dx 1 y ( x) 2 y ( x ) c y ( x ) cx b Nhomakorabeat
dt
s.t. k f (k ) nk c k (0) k0 , k (T ) kT
解： max
T
0
u ( f (k ) nk k )e
t
dt
t
k (0) k0 , k (T ) kT 所以：F (k ) u ( f (k ) nk k )e Fk u (c)( f (k ) n)e Fk u (c)e
数理经济学
第五章 变分法
第五章惩罚函数法详解
㈣关于几个参数的选择
⑴初始罚因子r(0)的选取
如果 值选得太大，则在一开始罚函数的惩罚项的 值将远远超出原目标函数的值，因此，它的第一次无约束极 小点将远离原问题的约束最优点。在以后的迭代中，需要很 长时间的搜索才能使序列无约束极小点逐渐向约束最优点逼近。
如果 值选得太小，则在一开始惩罚项的作用甚小，
而在可行域内部惩罚函数
与原目标函数F(x)很相近，
只在约束边界附近罚函数值才突然增高。这样，使其罚函数
在在约束边界附近出现深沟谷地，罚函数的性态变得恶劣。
如下图，对于有深沟谷地性态差的函数，不仅搜索所需的 时间长，而且很难使迭代点进入最优的邻域，以致极易使 迭代点落入非可行域而导致计算的失败。
或
r（0）=1~50
函数
的一系(x,列r(k最) ) 优点，
xk* (k 0,1,2, )
显见，无约束最优点序列将逐渐趋近于原约
束优化问题的最优点x*。
㈡内点罚数法的形式及特点
⑴具有不等式约束的优化问题的数学模型
S.T. :
u=1，2……，p
⑵构造如下形式的内点罚函数
p
(x, r (k) ) F (x) r (k)
而且，当x越趋近于约束边界时，由于惩罚项 r(k) 1
增大，所以罚函数 (x, r(的k) )值越大。当x←b时，罚g１函(x)
数的值将趋近于+∞。因此，当初始点取在可行域内，求
函数 (x, r(k)的) 极小值时，只要适当控制搜索步长，
防止迭代点跨入非可行域，则所搜索到的无约束极小点 x*必可保持在可行域内。
⑹由终止准则，若满足则转步骤⑺，否则转⑸⑺,输出最优解(x*,F*)
入口
给定：x(0) ∈D,r(0),C,ε1,ε2
《数学广角——优化》教案
二、核心素养目标
《数学广角——优化》教案，本节课的核心素养目标如下：
1.培养学生运用数学语言描述现实问题的能力，增强数学抽象与建模的核心素养。
2.培养学生运用逻辑推理和数学运算解决优化问题的能力，提高数学分析和解决问题的核心素养。
3.培养学生通过小组合作、讨论交流等形式，发展数学交流与合作的核心素养。
（3）能够将实际问题抽象为数学模型，并利用优化知识求解。
2.教学难点
（1）将实际问题抽象为数学模型的过程。
-难点解析：学生需要掌握如何从实际问题中提取关键信息，建立数学模型，特别是目标函数和约束条件的设定。
-举例：如何将一个实际问题转化为线性规划的标准形式。
（2）线性规划图解法的理解和应用。
-难点解析：学生需要理解图解法的原理，掌握如何在坐标系中表示约束条件，以及如何确定目标函数的最大或最小值。
-举例：在实际问题中，如何通过画图找出最优解。
（3）优化问题在实际生活中的应用。
-难点解析：学生需要能够将学到的优化知识应用到不同的现实情境中，这要求他们具备较强的观察力和创造力。
-举例：如何将线性规划应用于生产计划、物流配送等领域。
在教学过程中，教师应针对这些重点和难点内容，采用适当的例子、图示、动画等辅助教学工具，以及小组讨论、互动问答等教学方法，帮助学生深入理解核心知识，并突破学习难点。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解优化的基本概念。优化是指在一定条件下，寻找使某一指标达到最大或最小值的方法。它在生产、经济、管理等领域有着广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何利用优化方法解决实际问题，如工厂生产中如何安排生产线以达到最高效率。
五、教学反思
《数学广角——优化》教案，本节课的核心素养目标如下：
1.培养学生运用数学语言描述现实问题的能力，增强数学抽象与建模的核心素养。
2.培养学生运用逻辑推理和数学运算解决优化问题的能力，提高数学分析和解决问题的核心素养。
3.培养学生通过小组合作、讨论交流等形式，发展数学交流与合作的核心素养。
（3）能够将实际问题抽象为数学模型，并利用优化知识求解。
2.教学难点
（1）将实际问题抽象为数学模型的过程。
-难点解析：学生需要掌握如何从实际问题中提取关键信息，建立数学模型，特别是目标函数和约束条件的设定。
-举例：如何将一个实际问题转化为线性规划的标准形式。
（2）线性规划图解法的理解和应用。
-难点解析：学生需要理解图解法的原理，掌握如何在坐标系中表示约束条件，以及如何确定目标函数的最大或最小值。
-举例：在实际问题中，如何通过画图找出最优解。
（3）优化问题在实际生活中的应用。
-难点解析：学生需要能够将学到的优化知识应用到不同的现实情境中，这要求他们具备较强的观察力和创造力。
-举例：如何将线性规划应用于生产计划、物流配送等领域。
在教学过程中，教师应针对这些重点和难点内容，采用适当的例子、图示、动画等辅助教学工具，以及小组讨论、互动问答等教学方法，帮助学生深入理解核心知识，并突破学习难点。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解优化的基本概念。优化是指在一定条件下，寻找使某一指标达到最大或最小值的方法。它在生产、经济、管理等领域有着广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何利用优化方法解决实际问题，如工厂生产中如何安排生产线以达到最高效率。
五、教学反思
约束优化方法
条件,以用来作为约束极值的判断条件。
对于目标函数和约束函数都是凸函数的情 况， 符合K-T条件的点一定是全局最优点。这种
情况K-T条件即为多元函数取得约束极值的充分 必要条件。
约束优化设计问题求解方式:
（1）直接法 直接法是在满足不等式约束的可行设计区域内直 接搜索问题的最优解x*和f(x*)。 （2）间接法 间接法是将优化问题转化为一系列无约束优化问 题来求解。
随机方向法基本原理
1 初始点的选择
1) 人为确定； 2) 随机选择：
(1)输入设计变量的下限值和上限值，即
ai≤xi≤bi (i=1,2,…,n) (2)产生n个随机数qi. （ 0≤ qi ≤ 1） xi=ai+qi(bi-ai) (3)计算随机点x的各分量：
(4)判别随机点x是否可行，若随机点x为可行点，则取初始
§5-1 约束最优解及其必要条件
min s.t. f ( x1 , x2 ) ( x1 2) 2 x22 g1 ( x1 , x2 ) x1 0 g 2 ( x1 , x2 ) x2 0 g 3 ( x1 , x2 ) 1 x12 x2 0
§5-1 约束最优解及其必要条件
3
4）判断k个随机点的可行性：
x1 x3
5）判断可行搜索方向：
f 1 (0.6 3) 2 0.8 2 13.6 f 3 (1 3) 2 02 4
f 3 f ( x ( 0) )
d x 3 x ( 0) [1
6）从可行点沿着可行方向前进：
0]T
1 1 2 x x 0 d x 3 d 0 0 0
§5-1 约束最优解及其必要条件
第五章约束问题的最优化方法
g1 ( x ) x1 x2 4,
g1 ( x) [ 1 , 1 ]T
g2 ( x) x1 ,
g2 ( x) [ 1 , 0 ]T 。
g3 ( x) x2 ,
g3 ( x) [ 0 , 1 ]T 。
18
由K T条件得
x1 3 1 1 0 x 3 1 1 2 0 3 1 0 2
第七讲 约束非线性规划
约束极值及最优性条件
等式约束 不等式约束 一般约束问题
约束极值问题的算法
外点法 内点法 乘子法
1
一 、约束极值问题的最优性条件
1、约束极值问题的表示 min f ( x ) hi ( x ) 0 i 1 , 2 ,, m s .t . g j ( x ) 0 j 1 , 2 , , l
8
2 g3 ( x ) 0。 2
I ( x ) { 1 , 2 }。
x2 g2 ( x ) 0
g3 ( x ) 0
O
g1 ( x ) 0
x
x1
②如何判断一个方向是可行方向?
9
定理1:
给 定 点x Q , 记 点 x 的 积 极 约 束 指 标 集 为 I ( x )。 给 定 向 量 d ， 如果对任意的 i I ( x ) 有 gi ( x )T d 0 , 则 d 是 点 x 的 可 行 方 向 。
则 向 量d 是 点 x 处 的 可 行 下 降 方 向 。
证略
③极值点的必要条件: 定理3:
设 x* Q， I ( x*)是其积极约束指标集。
f ( x) 和 gi ( x) (i I ( x*)) 在点x * 处可微，
g1 ( x) [ 1 , 1 ]T
g2 ( x) x1 ,
g2 ( x) [ 1 , 0 ]T 。
g3 ( x) x2 ,
g3 ( x) [ 0 , 1 ]T 。
18
由K T条件得
x1 3 1 1 0 x 3 1 1 2 0 3 1 0 2
第七讲 约束非线性规划
约束极值及最优性条件
等式约束 不等式约束 一般约束问题
约束极值问题的算法
外点法 内点法 乘子法
1
一 、约束极值问题的最优性条件
1、约束极值问题的表示 min f ( x ) hi ( x ) 0 i 1 , 2 ,, m s .t . g j ( x ) 0 j 1 , 2 , , l
8
2 g3 ( x ) 0。 2
I ( x ) { 1 , 2 }。
x2 g2 ( x ) 0
g3 ( x ) 0
O
g1 ( x ) 0
x
x1
②如何判断一个方向是可行方向?
9
定理1:
给 定 点x Q , 记 点 x 的 积 极 约 束 指 标 集 为 I ( x )。 给 定 向 量 d ， 如果对任意的 i I ( x ) 有 gi ( x )T d 0 , 则 d 是 点 x 的 可 行 方 向 。
则 向 量d 是 点 x 处 的 可 行 下 降 方 向 。
证略
③极值点的必要条件: 定理3:
设 x* Q， I ( x*)是其积极约束指标集。
f ( x) 和 gi ( x) (i I ( x*)) 在点x * 处可微，
第五章约束优化方法2惩罚函数法课件
5.3.4.1 内点法
㈠引例 设有一维不等式约束优化问题的数学模型
S.T. :
由图可见，目标函数的可行域为x≥b，在可行域内目标函数 单调上升，它的最优解显然是
x*=b ，F*=ab
对引例的惩罚函数进行分析，以对内点法有初步认识：
⑴本问题是不等式约束优化问题，故只有一项惩罚项
，一个罚因子 ⑵规定罚因子 为某一正数，当迭代点是在可行域内 时，则惩罚项的值必为正值，因此必有
⑹由终止准则，若满足则转步骤⑺，否则转⑸
⑺,
输出最优解(x*,F*)
入口
给定：x(0) ∈D,r(0),C,ε1,ε2
内
点
k←0
法
流 程 图
用无约束优化方法求罚函数
的优化点 xk* F F(xk* )
出口
x* xk* , F* F(xk* )
+
-
K=0?
+
r ( k 1) Cr ( k )
1
u1 gu (x)
关于惩罚因子规定为正，即 。且在优化过程中
是减小的，为确保为递减数列，取常数C
r (k) Cr (k1) ,
0<C<1
称系数C为罚因子降低系数
=0 或
p
关于惩罚项 r (k)
，1由于在可行域内有
u1 gu (x)
g，u (x) 0
且 r(永k) 远取正值，故在可行域内惩罚项永为正。 r ( k )的值越小则惩罚项的值越小。
先讨论解不等式约束优化问题 设有不等式约束优化问题
S.T. :
u=1，2……，p
构造外点法惩罚函数的常见形式
取正递增
引入罚因子递增系数C>1，并令
第五章 约束优化方法
如果点 是最优点，则必须满足K-T条件； 反之，满足K-T条件的点则不一定是约束最优点。
只有当目标函数是凸函数，约束构成的可行域是凸集 时，则满足K-T条件的点 是全局极小点的必要而充 分条件。
讨论: 约束最优解的必要条件——几何条件
当迭代点 有两个起作用约束，写出目标函数与 约束集的关系如下：
区域内
5.3.1 约束坐标轮换法
一、约束坐标轮换法与无约束坐标轮换法的区别
约束坐标轮换法的基本思想与无约束坐标轮换 法基本相同，其主要区别如下：
1、沿坐标方向搜索的迭代步长采用加速步长， 而不是采用最优步长。因为按照最优步长所得到的迭 代点往往超出了可行域。
2、对于每一个迭代点，不仅要检查目标函数值 是否下降，而且必须检查是否在可行域内，即进行适 用性和可行性的检查。
2、将非可行点移入可行域
用上述方法的随机点不一定是可行点。但是只 要它们中至少有一个点在可行域内，就可以用一定 的方法将非可行点移入可行域。如果k个随机点没 有一个是可行点，则应重新产生随机点，直至其中 有至少一个是可行点为止。
对于具有等式约束的优化问题，若出现两个或两个
以上的局部最优点，此时全局最优点是全部局部最优点 中函数值最小的一个。
对于具有一般约束的优化问题，若出现两个或两个 以上的局部最优点，此时全局最优点是全部局部最优点 中函数值最小且同时满足等式约束与不等式约束的一个。 例如：设数学模型为
该优化问题的最优点如下图所示，对于这两个局部最小
5.3.2 随机方向法
参看右图 预先选定可行初始点 ， 利用随机函数构成随机方 向S1，按给定的初始步长
，沿S1方向取得 试探点
检查x点的适用性和可行性
若满足
继续按下面的迭代式在S1方向上获取新点。重复上 述步骤，迭代点可沿S1方向前进。直至到达某迭代点 不
只有当目标函数是凸函数，约束构成的可行域是凸集 时，则满足K-T条件的点 是全局极小点的必要而充 分条件。
讨论: 约束最优解的必要条件——几何条件
当迭代点 有两个起作用约束，写出目标函数与 约束集的关系如下：
区域内
5.3.1 约束坐标轮换法
一、约束坐标轮换法与无约束坐标轮换法的区别
约束坐标轮换法的基本思想与无约束坐标轮换 法基本相同，其主要区别如下：
1、沿坐标方向搜索的迭代步长采用加速步长， 而不是采用最优步长。因为按照最优步长所得到的迭 代点往往超出了可行域。
2、对于每一个迭代点，不仅要检查目标函数值 是否下降，而且必须检查是否在可行域内，即进行适 用性和可行性的检查。
2、将非可行点移入可行域
用上述方法的随机点不一定是可行点。但是只 要它们中至少有一个点在可行域内，就可以用一定 的方法将非可行点移入可行域。如果k个随机点没 有一个是可行点，则应重新产生随机点，直至其中 有至少一个是可行点为止。
对于具有等式约束的优化问题，若出现两个或两个
以上的局部最优点，此时全局最优点是全部局部最优点 中函数值最小的一个。
对于具有一般约束的优化问题，若出现两个或两个 以上的局部最优点，此时全局最优点是全部局部最优点 中函数值最小且同时满足等式约束与不等式约束的一个。 例如：设数学模型为
该优化问题的最优点如下图所示，对于这两个局部最小
5.3.2 随机方向法
参看右图 预先选定可行初始点 ， 利用随机函数构成随机方 向S1，按给定的初始步长
，沿S1方向取得 试探点
检查x点的适用性和可行性
若满足
继续按下面的迭代式在S1方向上获取新点。重复上 述步骤，迭代点可沿S1方向前进。直至到达某迭代点 不
第五章+约束优化计算方法
机械优化设计
x(k+1)＝ x(k)+α(k) S(k)
(k=0,1,2,…)
逐步趋向最优解，直到满足终止准则才停止迭代。
机械优化设计
直接解法通常适用于仅含不等式约束的问题，思路是在m个不 等式约束条件所确定的可行域内，选择一个初始点，然后决定可行 搜索方向 S且以适当的步长 ，进行搜索，得到一个使目标函数 值下降的可行的新点，即完成一次迭代。再以新点为起点，重复上 述搜索过程，直至满足收敛条件。
直接方法，仅通过选取各顶点并比较各点处函数值
的大小，就可寻找下一步的探索方向。但复合形各
顶点的选择和替换，不仅要满足目标函数值下降的
要求，还应当满足所有的约束条件。 （2）复合形法适用于仅含不等式约束的问题。
机械优化设计
§5-5 惩罚函数法
惩罚函数法是一种很广泛、很有效的间接解法。它 的基本原理是将约束优化问题中的不等式和不等式约 束函数经加权后，和原目标函数结合为新的目标函 数——惩罚函数。
3）从统计的观点来看，一般情况下，最坏点XH和中心点XC 的连线方向为目标函数的下降方向。
机械优化设计
xR xC a xC xH
4）判别反射点XR的位置
若XR 为可行点，则比较XR 和XH 两点的目标函数值， 如果f(XR) <f(XH)，则用XR取代XH ，构成新的复合形， 完成一次迭代；如果f(XR) >=f(XH),则将α缩小0.7倍，重 新计算新的反射点，若仍不行，继续缩小α，直至f(XR) <f(XH)为止。
1 L xc x j L j 1
xL1 xc 0.5 xL1 xc
机械优化设计
3）由计算机自动生成初始复合形的所有顶点。 二、复合形法的搜索方法 1.反射
约束问题的最优化方法
3. 优化方法： 选用内点惩罚法，惩罚函数形式为： 6 1 T k k x,r f x r 取 x 0 1,30 , r 0 3 , c 0.7 u 1 g x u 调用 Powell 法求序列无约束优化极值，以逐渐逼近原问 题的极值点。
k 2 x r ( 1 x ) x 1时； x, r k x 1时。 x
4
min.
s.t
f (x) = x
x ∈ R1
g (x) = 1-x ≤ 0
§5.3 外点惩罚函数法
二. 惩罚函数的形式：
①
x, r ( k ) f x r k maxg u x ,0 I u g u x 0 u 1,2,...,m,
(k ) (k ) m
1 u 1 g ( x ) u
m
其中：gu ( x) 0, u 1,2,...m
1 u 1 g ( x ) u m 1 (k ) (k ) ③ . ( x, r ) f ( x) ru u 1 g u ( x) m 1 (k ) (k ) ④ .( x, r ) f ( x) r 2 u 1 [ g ( x )] u
§5.2 内点惩罚函数法
4. 求解过程分析：
§5.3 外点惩罚函数法 (衰减函数法）
一. 基本思想： 外点法将新目标函数
Φ( x , r )
构筑在可行域 D
外，随着惩罚因子 r(k) 的不断 递增，生成一系列新目标函数
Φ(xk ,r(k))，在可行域外逐步
迭代，产生的极值点 xk*(r(k)) 序列从可行域外部趋向原目标 函数的约束最优点 x* 。 例：求下述约束优化问题的最优点。 新目标函数：
64103316现代机械设计方法
现代机械设计方法课程教学大纲课程英文名称：Modern Methods for Machine Design课程编号：64103316学时数：64其中实验学时数：6学分数：4适用专业：机械设计制造及其自动化一、课程的性质、目的和任务现代科学技术的发展，对产品提出了功能更高、可靠性、经济性更好的要求，迫使设计者要从经验的、静止的、随意性很大的传统设计中摆脱出来，通过运用计算机技术和各种新的科学理论，收集和分析获取必要的信息，用快速寻优设计出最佳结构、进而运用CAD 技术进行零部件设计，满足市场竞争的需要。
因此，《现代机械设计方法》课程是以设计产品为目标的一个现代设计知识群体的总称，并作为机械制造及自动化专业本科生的一门专业技术基础必修课程。
开设本课程的主要目的和任务是：1．了解现代设计与传统设计的联系与区别，熟悉设计方法相关新知识；2．明确应用各种现代设计方法解决生产实际问题的思路；拓宽学生的知识面和专业面；3．初步掌握优化设计方法在机电工程领域中的应用。
二、课程教学内容的基本要求、重点和难点其主要内容分为为软科学和硬科学两部分。
前者是设计方法总论，包括设计过程及特点、设计进程、设计程式、步骤及评价方法，后者包括基本理论及技术，主要有优化设计理论、可靠性设计、CAD技术、相似理论、动态设计等理论及技术。
现代机械设计方法Ⅰ：现代设计方法基本要求：⒈明确现代设计与传统设计的区别与联系，熟悉现代设计方法的目的、基本概念、基本术语和范畴；⒉掌握系统分析设计方法的适用范围、过程和功能分析的意义；⒊熟悉创造性思维及其特点、创造力和创造过程、创造技法及常用的创造性设计方法⒋了解价值与价值设计；熟悉产品的成本构成与价值优化的方法；⒌掌握各种评价的方法及应用范围；⒍了解面向“X”的设计（DFX）方法重点：系统分析设计方法，评价与决策难点：模糊评价法(隶属度和隶属函数、模糊综合评价方法)第一章现代设计方法概述1-1传统设计与现代设计及其范畴；1-2常用现代机械设计方法综述；1-3 课程的基本内容和研究方法。
第五章-优化设计方法课件
第五章-优化设计方法
一、目标与过程
•目 标：
•方案的价值系数：
v F ——功能 C ——成本
方案优化法：
➢以功能分析为基础 ➢运用创造技巧
总体优化的过程：
➢确定优化对象
➢最大程度降低成本 ➢努力提高功能
➢ 优化方案的建立
➢寻求最大价值系数
➢ 优化方案的评选
第五章-优化设计方法
二、优化对象的确定
产品返修率高 次品率、废品率高 产品赔偿率，退换率高
效果显著 具备各种改善条件 有改善潜力 情报资料齐全 无需大量人力物力 牵涉面不广
•具体方法
•1 .从技术角度选择优化对象 •（1）经验分析法 •（2）综合分析法
确定评价指标 计入权重 专家评分 按加权总评分决策
第五章-优化设计方法
案例：某产品有A、B、C、D4个组成部分。经过企业有关人 士的分析,决定以可靠性、操作性、维修性、工艺性、生产 效率和安全性等6项指标来评价每一部分的技术水平，并根 据6项指标对产品的不同工艺重要性赋予不同的权重
• 2）针对难以处理性态不好的问题、难以求得全局最 优解等弱点，发展了一批新的方法，如：模拟退火法、 遗传算法、人工神经网络法、模糊算法、小波变换法、 分形几何法等。
• 3）在数学模型描述能力上，由仅能处理连续变量、 离散变量，发展到能处理随机变量、模糊变量、非数 值变量等，在建模方面，开展了柔性建模和智能建模 的研究。
• 2）建模难度大，技术性高，数学模型描述 能力低，数学模型误差大。
• 3）方法程序的求解能力有限，难以处理复 杂问题和性态不好的问题，难以求得全局最 优解。
第五章-优化设计方法
现 为了提高最优化方法的综合求解能力，人们探索： 状
• 1）引入了人工智能、专家系统技术，增加了最优化 方法中处理方案设计、决策等优化问题的能力，在优 化方法中的参数选择时借助专家系统，减少了参数选 择的盲目性，提高了程序求解能力。
一、目标与过程
•目 标：
•方案的价值系数：
v F ——功能 C ——成本
方案优化法：
➢以功能分析为基础 ➢运用创造技巧
总体优化的过程：
➢确定优化对象
➢最大程度降低成本 ➢努力提高功能
➢ 优化方案的建立
➢寻求最大价值系数
➢ 优化方案的评选
第五章-优化设计方法
二、优化对象的确定
产品返修率高 次品率、废品率高 产品赔偿率，退换率高
效果显著 具备各种改善条件 有改善潜力 情报资料齐全 无需大量人力物力 牵涉面不广
•具体方法
•1 .从技术角度选择优化对象 •（1）经验分析法 •（2）综合分析法
确定评价指标 计入权重 专家评分 按加权总评分决策
第五章-优化设计方法
案例：某产品有A、B、C、D4个组成部分。经过企业有关人 士的分析,决定以可靠性、操作性、维修性、工艺性、生产 效率和安全性等6项指标来评价每一部分的技术水平，并根 据6项指标对产品的不同工艺重要性赋予不同的权重
• 2）针对难以处理性态不好的问题、难以求得全局最 优解等弱点，发展了一批新的方法，如：模拟退火法、 遗传算法、人工神经网络法、模糊算法、小波变换法、 分形几何法等。
• 3）在数学模型描述能力上，由仅能处理连续变量、 离散变量，发展到能处理随机变量、模糊变量、非数 值变量等，在建模方面，开展了柔性建模和智能建模 的研究。
• 2）建模难度大，技术性高，数学模型描述 能力低，数学模型误差大。
• 3）方法程序的求解能力有限，难以处理复 杂问题和性态不好的问题，难以求得全局最 优解。
第五章-优化设计方法
现 为了提高最优化方法的综合求解能力，人们探索： 状
• 1）引入了人工智能、专家系统技术，增加了最优化 方法中处理方案设计、决策等优化问题的能力，在优 化方法中的参数选择时借助专家系统，减少了参数选 择的盲目性，提高了程序求解能力。
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第五章 约束优化方法
5.1 约束优化问题的最优解 5.2 约束优化问题极小点的条件 5.3 常用的约束优化方法
5.3.1 约束坐标轮换法 5.3.2 约束随机方向法 5.3.3 复合形法 5.3.5 惩罚函数法
1
概述
约束优化问题
最优点 X x x ... x 最优解 最优值 min F ( X ) F ( X * )
2. 等式约束优化问题(EP型)
3. 一般约束优化问题(GP型)
6
约束优化方法分类
约束坐标轮换法 直接法：约束随机方向法 复合形法
约束优化方法
间接法：惩罚函数法
直接法：设法使每一次迭代产生的新迭代点限制在可行域内， 且一步一步的降低目标函数值，直至最后获得一个 可行域内的约束最优解。 间接法：将约束优化问题通过一定形式的变换，转化为无约 束优化问题，然后采用约束优化方法进行求解。
在算法语言所使用的函数库中，有一种随机函数RND(X)。利用这一随机函数 可在程序运行过程中产生一个0到1之间的随机数。 0, 1( i＝l，2，…，n)
在（a,b）之间的随机数： yi= ai + i ( bi –ai) （-1,1）之间的随机数： yi= 2 i - 1
i
可行性: X1(1) D ?
检查
可行性: X1(1) D ? ()
适用性:
o
(1) X (1) X 3
x1
9
沿e2方向 0
X1(2) X (1) e2
(1) 可行性: X 2 D?
x2
X 1(2)
(1) X (0) X 1(1) X 2
检查
适用性: F X1(2) F X (1) ? ()
检查
(2) 适用性: F X 2 F X (1) ?
X 3(2)
2 , X 3(2) X (0) e2 可行性: X 3(2) D ? () 检查 适用性:
o
(2) X (2) X 2
x1
10
x2
沿e1方向 0
X1(3) X (2) e1
3
约束最优解
F ( x)
数学模型:
可行域
x2
x1
4
x2
g1 ( X ) g2 ( X ) g3 ( X )
* X2
无约束最优点 X1* 2 0
T
1
T
* 约束最优点 X 2 0.58 1.34
o
g4 ( X )
2
X 1*
x1
5
约束优化问题的类型
1. 不等式约束优化问题(IP型)
3
X0
X(R)
21
x1
o
步骤： 第一步：初始复合形的构成 第二步：对复合形进行调优迭代计算 x2 形心点X0 映射点 X(R) X ( R) X 0 ( X 0 X ( H ) ) 1 X ( R) X 0 ( X 0 X ( H ) ) α:反射系数， 2 一般开始是取α=1.3
x2
X 1(2)
(1) X (0) X 1(1) X 2
X 3(1) X (1) X 1(2)
(1) X4
X
(2)
X
(2) 2
X (3)
X 3(2)
o
13
x1
5.3.2 约束随机方向法
基本原理：典型的“瞎子爬山”式的数值选代解法。在可行 域内，任选初始点 x(0)， 以给定的步长 a=a0 ，沿按某方 法产生的随机方向 S(1) 取探索点 x = x(0) + a S(1 ） ，若 该点同时符合下降性（F(x)<F(x (0)) )和可行性（x∈D)则 表示x 点探索成功。并以它为新的起始点，继续按上面的 迭代公式在 S(1）方向上获取新的成功探索点……..
约束随机方向法的搜索方向比坐标轮换法要灵活得多。当预 定的随机方向限定数m足够大时，它不会像约束坐标轮换法 那样出现“病态”而导致输出伪最优点。
16
随机搜索方向的产生
设 是在区间(一l，1)上的两个 随机数。将它们分别作为坐标轴 上的分量所构成的向量即为相应的二 维随机向量，其单位向量：
同理，n维问题,随机方向的单位向量：
* * 1 * 2
* T n
约束最优解和无约束最优解无论是在数学模型上还是几何 意义上均是不同的概念
2
无约束最优解解：等值线的共同中心.
数学模型:
2 min F ( X ) x12 x2 4 x1 4
F ( x)
X x1
x2 R n
T
等值线
x2
(2, 0)
x1
等值线族的中心
17
约束随机方向搜索法的特点： 对目标函数的性态无特殊要求，程序设计简 单，使用方便。在维数较少的情况下是一种 十分有效的方法，适用于小型问题。
18
5.3.3 复合形法
基本思想：在可行域中选取K个点作为一复合形（多面体）的K个顶 点。比较各点函数值的大小，去掉函数值最大所对应的最坏点，而 代之最坏点的映射点构成新的复合形。不断重复上述过程，使复合 形不断向最优点移动和收缩，直至满足选代精度为止。 x2
检查......
沿坐标轴方向找不到合适的点: 缩减初始步长 α0←0.5α0 x 2 继续迭代 终止准则: α0≤ε
X 1(2)
(1) X (0) X 1(1) X 2
约束坐标轮换法与无约束 坐标轮换法的区别： ① 步长 无约束: 最优步长 约 束: 加速步长 ② 对每一个迭代点的检查 无约束: 检查适用性 约 束: 检查适用性和 o 可行性 ③ 终止准则 无约束: 点距准则 约 束: 步长准则
X 1(2)
检查
可行性: X1(3) D ?
(3) (2) 适用性: F X1 F X ?
X (0) X 1(1)
(1) X2
X 3(1) X (1) X 1(2)
(1) X4
2
检查
(3) X2 X (2) e1
(3) 可行性: X 2 D ? ()
X (0) X , X X (0) S (1)
检查
若m个方向都不行,则减小步长:α0←0.5α0
终止准则: α0≤ε
15
说明 当在某个转折点处沿 m个(预先限定的次数 )随机方向试探均 失败，则说明以此点为中心，α0为半径的圆周上各点都不是 适用、可行点。此时，可将初始步长α0缩半后继续试探。直 到α0≤ε，且沿m个随机方向都试探失败时，则最后一个成功 点 ( 如图中的 x(3)) 就是达到预定精度 ε要求的约束最优点，迭 代即可结束。 m是预先规定在某转折点处产生随机方向所允许的最大数目。 一般可在50~500范围内选取。
(C ) (C ) X X 将 代入诸约束条件均满足，可知 在可行城内。
( R) 取 a 1.3 ，求坏点 X ( H )的映射点 X
X ( R) X (C ) a( X (c) X ( H ) )
0.8 0.8 0.6 1.06 1.3( ) 2 . 2 2 . 2 3 1 . 16
n+l≤k≤2n
3
1 X0 2
X(R)
19
x1
[引例] 设有一约束优化问题的数学模型
x2
g4 g5
g1 g2
g3
x1
o
20
一、复合形法的基本思想
步骤：
第一步：初始复合形的构成 顶点X(1)、 X(2)、 X(3) x2 第二步：对复合形进行 调优迭代计算 顶点 X(1)、 X(2)、 X(3) 1 F 1 > F 2 > F3 ↓ ↓ X(H) X(L) 2 坏点 好点 先求出除坏点外，其余各点 构成的图形的形心点X0 再求坏点X(H)相对于形心点X0 的映射点 X(R)
X1(2) X (1) e2 可行性: X1(2) D ?
X 3(1) X (1) X 1(2)
(1) X4
检查
适用性: F X1(2) F X (1) ?
(2) D? 可行性: X 2
(2) X (2) X 2
(2) 2 , X 2 X (0) e2
0.6 X ( 3) 3
本例采用人为给定四个点
( 2)
0.5 2
X
1 2
0.9 X ( 4) 2.6
检验各点是否可行：将各点的坐标值代入以上三个约束方程，均满 25 足约束要求，这四个点为可行点，用作初始复合形的四个顶点
(2)迭代计算获得新复合形
计算复合形各顶点目标函数值， f ( X (1) ) 10.25
f ( X (3) ) 14.76
f ( X ( 2) ) 8
f ( X ( 4) ) 11.17
定出最坏点 X ( H ) X (3) 最好点 计算除坏点外其余各顶点的中心
X ( L ) X ( 2)
1 ( X (1) X ( 2 ) X ( 4 ) } K 1 1 0.5 1 0.9 0.8 { } 4 1 2 2 2.6 2.2 X (C )
X1(1) X (0) e1
(1) X (0) X 1(1) X 2
X 3(1) X (1)
(1) X4
检查பைடு நூலகம்
适用性: F X1(1) F X (0) ? 2 加速步长 (1) X2 X (0) e1 检查 ...... 2 , X 3(1) X (0) e1 (1) 2 , X 4 X (0) e1
5.1 约束优化问题的最优解 5.2 约束优化问题极小点的条件 5.3 常用的约束优化方法
5.3.1 约束坐标轮换法 5.3.2 约束随机方向法 5.3.3 复合形法 5.3.5 惩罚函数法
1
概述
约束优化问题
最优点 X x x ... x 最优解 最优值 min F ( X ) F ( X * )
2. 等式约束优化问题(EP型)
3. 一般约束优化问题(GP型)
6
约束优化方法分类
约束坐标轮换法 直接法：约束随机方向法 复合形法
约束优化方法
间接法：惩罚函数法
直接法：设法使每一次迭代产生的新迭代点限制在可行域内， 且一步一步的降低目标函数值，直至最后获得一个 可行域内的约束最优解。 间接法：将约束优化问题通过一定形式的变换，转化为无约 束优化问题，然后采用约束优化方法进行求解。
在算法语言所使用的函数库中，有一种随机函数RND(X)。利用这一随机函数 可在程序运行过程中产生一个0到1之间的随机数。 0, 1( i＝l，2，…，n)
在（a,b）之间的随机数： yi= ai + i ( bi –ai) （-1,1）之间的随机数： yi= 2 i - 1
i
可行性: X1(1) D ?
检查
可行性: X1(1) D ? ()
适用性:
o
(1) X (1) X 3
x1
9
沿e2方向 0
X1(2) X (1) e2
(1) 可行性: X 2 D?
x2
X 1(2)
(1) X (0) X 1(1) X 2
检查
适用性: F X1(2) F X (1) ? ()
检查
(2) 适用性: F X 2 F X (1) ?
X 3(2)
2 , X 3(2) X (0) e2 可行性: X 3(2) D ? () 检查 适用性:
o
(2) X (2) X 2
x1
10
x2
沿e1方向 0
X1(3) X (2) e1
3
约束最优解
F ( x)
数学模型:
可行域
x2
x1
4
x2
g1 ( X ) g2 ( X ) g3 ( X )
* X2
无约束最优点 X1* 2 0
T
1
T
* 约束最优点 X 2 0.58 1.34
o
g4 ( X )
2
X 1*
x1
5
约束优化问题的类型
1. 不等式约束优化问题(IP型)
3
X0
X(R)
21
x1
o
步骤： 第一步：初始复合形的构成 第二步：对复合形进行调优迭代计算 x2 形心点X0 映射点 X(R) X ( R) X 0 ( X 0 X ( H ) ) 1 X ( R) X 0 ( X 0 X ( H ) ) α:反射系数， 2 一般开始是取α=1.3
x2
X 1(2)
(1) X (0) X 1(1) X 2
X 3(1) X (1) X 1(2)
(1) X4
X
(2)
X
(2) 2
X (3)
X 3(2)
o
13
x1
5.3.2 约束随机方向法
基本原理：典型的“瞎子爬山”式的数值选代解法。在可行 域内，任选初始点 x(0)， 以给定的步长 a=a0 ，沿按某方 法产生的随机方向 S(1) 取探索点 x = x(0) + a S(1 ） ，若 该点同时符合下降性（F(x)<F(x (0)) )和可行性（x∈D)则 表示x 点探索成功。并以它为新的起始点，继续按上面的 迭代公式在 S(1）方向上获取新的成功探索点……..
约束随机方向法的搜索方向比坐标轮换法要灵活得多。当预 定的随机方向限定数m足够大时，它不会像约束坐标轮换法 那样出现“病态”而导致输出伪最优点。
16
随机搜索方向的产生
设 是在区间(一l，1)上的两个 随机数。将它们分别作为坐标轴 上的分量所构成的向量即为相应的二 维随机向量，其单位向量：
同理，n维问题,随机方向的单位向量：
* * 1 * 2
* T n
约束最优解和无约束最优解无论是在数学模型上还是几何 意义上均是不同的概念
2
无约束最优解解：等值线的共同中心.
数学模型:
2 min F ( X ) x12 x2 4 x1 4
F ( x)
X x1
x2 R n
T
等值线
x2
(2, 0)
x1
等值线族的中心
17
约束随机方向搜索法的特点： 对目标函数的性态无特殊要求，程序设计简 单，使用方便。在维数较少的情况下是一种 十分有效的方法，适用于小型问题。
18
5.3.3 复合形法
基本思想：在可行域中选取K个点作为一复合形（多面体）的K个顶 点。比较各点函数值的大小，去掉函数值最大所对应的最坏点，而 代之最坏点的映射点构成新的复合形。不断重复上述过程，使复合 形不断向最优点移动和收缩，直至满足选代精度为止。 x2
检查......
沿坐标轴方向找不到合适的点: 缩减初始步长 α0←0.5α0 x 2 继续迭代 终止准则: α0≤ε
X 1(2)
(1) X (0) X 1(1) X 2
约束坐标轮换法与无约束 坐标轮换法的区别： ① 步长 无约束: 最优步长 约 束: 加速步长 ② 对每一个迭代点的检查 无约束: 检查适用性 约 束: 检查适用性和 o 可行性 ③ 终止准则 无约束: 点距准则 约 束: 步长准则
X 1(2)
检查
可行性: X1(3) D ?
(3) (2) 适用性: F X1 F X ?
X (0) X 1(1)
(1) X2
X 3(1) X (1) X 1(2)
(1) X4
2
检查
(3) X2 X (2) e1
(3) 可行性: X 2 D ? ()
X (0) X , X X (0) S (1)
检查
若m个方向都不行,则减小步长:α0←0.5α0
终止准则: α0≤ε
15
说明 当在某个转折点处沿 m个(预先限定的次数 )随机方向试探均 失败，则说明以此点为中心，α0为半径的圆周上各点都不是 适用、可行点。此时，可将初始步长α0缩半后继续试探。直 到α0≤ε，且沿m个随机方向都试探失败时，则最后一个成功 点 ( 如图中的 x(3)) 就是达到预定精度 ε要求的约束最优点，迭 代即可结束。 m是预先规定在某转折点处产生随机方向所允许的最大数目。 一般可在50~500范围内选取。
(C ) (C ) X X 将 代入诸约束条件均满足，可知 在可行城内。
( R) 取 a 1.3 ，求坏点 X ( H )的映射点 X
X ( R) X (C ) a( X (c) X ( H ) )
0.8 0.8 0.6 1.06 1.3( ) 2 . 2 2 . 2 3 1 . 16
n+l≤k≤2n
3
1 X0 2
X(R)
19
x1
[引例] 设有一约束优化问题的数学模型
x2
g4 g5
g1 g2
g3
x1
o
20
一、复合形法的基本思想
步骤：
第一步：初始复合形的构成 顶点X(1)、 X(2)、 X(3) x2 第二步：对复合形进行 调优迭代计算 顶点 X(1)、 X(2)、 X(3) 1 F 1 > F 2 > F3 ↓ ↓ X(H) X(L) 2 坏点 好点 先求出除坏点外，其余各点 构成的图形的形心点X0 再求坏点X(H)相对于形心点X0 的映射点 X(R)
X1(2) X (1) e2 可行性: X1(2) D ?
X 3(1) X (1) X 1(2)
(1) X4
检查
适用性: F X1(2) F X (1) ?
(2) D? 可行性: X 2
(2) X (2) X 2
(2) 2 , X 2 X (0) e2
0.6 X ( 3) 3
本例采用人为给定四个点
( 2)
0.5 2
X
1 2
0.9 X ( 4) 2.6
检验各点是否可行：将各点的坐标值代入以上三个约束方程，均满 25 足约束要求，这四个点为可行点，用作初始复合形的四个顶点
(2)迭代计算获得新复合形
计算复合形各顶点目标函数值， f ( X (1) ) 10.25
f ( X (3) ) 14.76
f ( X ( 2) ) 8
f ( X ( 4) ) 11.17
定出最坏点 X ( H ) X (3) 最好点 计算除坏点外其余各顶点的中心
X ( L ) X ( 2)
1 ( X (1) X ( 2 ) X ( 4 ) } K 1 1 0.5 1 0.9 0.8 { } 4 1 2 2 2.6 2.2 X (C )
X1(1) X (0) e1
(1) X (0) X 1(1) X 2
X 3(1) X (1)
(1) X4
检查பைடு நூலகம்
适用性: F X1(1) F X (0) ? 2 加速步长 (1) X2 X (0) e1 检查 ...... 2 , X 3(1) X (0) e1 (1) 2 , X 4 X (0) e1