第3节 二阶常系数线性差分方程
考研数学重难点之二阶常系数线性非齐次差分方程的通解分析
2018考研数学重难点之二阶常系数线性非齐次差分方程的通解分析
差分方程除了用于对离散变量建立离散数学模型外，也可用于将连续变量及其连续数学模型离散化，换句话说，就是将微分方程离散化为差分方程，这对于难以求出精确解的微分方程来说具有重要的作用，事实上微分方程的数值解法就是如此，它通过差分方程来求出微分方程的近似解。
下面本文对二阶常系数线性非齐次差分方程的求解方法做些分析总结，供有兴趣的2018考研的同学拓展思路参考。
一、二阶常系数线性非齐次差分方程的通解
从前面的分析我们看到，二阶常系数线性非齐次差分方程的通解与二阶常系数线性非齐次微分方程的通解有非常相似的结论，比如其通解都是其特解与对应齐次方程的通解之和，而齐次方程的通解可以通过特征根求出，对于几类常见的自由项blob.png类型，包括：多项式、指数函数及二者乘积，其相应差分方程的特解也与微分方程的情形很类似，当然，二者还是有有些差别的，这一点希望大家注意。
二阶常系数线性差分方程ppt课件
等于对应齐次方程的通解加上非齐次方程的一个
特解.即
yx
yx
y
x
.
一 、二阶常系数齐次线性差分方程的求解
设Yx x ( 0)为对应齐次方程一个解，代入得
x2 ax1 bx 0
即2 a b 0
此方程称为对应齐次方程的特征方程, 其根
1 a
a2 2
4b
, 2
a
a2 4b 2
称为相应方程的特征根.
b
ii)当q2 aq b 0但2q a 0时，取s 1得其特解为
y
x
cx qx1 2q a
iii)当q2 aq b 0但2q a 0时，取s 2得其特解为
y
x
cx qx1 4q a
(3) f ( x) cxn (c为常数)，即方程为
yx2 ayx1 byx cxn 设其具有形式为yx x s (B0 B1 x Bn xn ) 的特解(其中B0 , B1,, Bn为待定系数). i)当1 a b 0时，取s 0; ii)当1 a b 0且a 2时，取s 1;
解 2 2 0
即( 2)( 1) 0 解得1 2,2 1
yx A1(2)x A2
1 a b 1 1 2 0,但a 1 2,
y
x
12x 1 2
4x
所给方程通解为yx 4x A1(2)x A2
由y0 A1 A2 ,即A1 A2 0 y1 4 2A1 A2 ,即2A1 A2 4
a 2
)
x
(
A1
,
A2为 任 意 常 数)
(3)第三种情形 a2 4b时
方程有一对共轭的复特征根,
1
1 2
a
i
4b a2 i
7-13 二阶常系数线性差分方程解析
通解为
yx
x( 7 50
1 10
x)
A1 (4) x
A2
三、小结
1.二阶常系数齐次线性差分方程求通解 2.二阶常系数非齐次线性差分方程求通解
练习题
1.求下列差分方程的通解及特解． (1) yx2 4 yx1 16 yx 0,( y0 1, y1 1) (2) yx2 2 yx1 2 yx 0,( y0 2, y1 2)
的和组成：
一 项 是 该 方 程 的 一 个 特解yx， 另一项是对应的齐次差分方程的通解Yx .
即差分方程（2）的通解为y x
Yx
y
x
.
(1) f ( x) c(c为常数),即方程为 yx2 ayx1 byx c
可设
其
特解
形
式为y
x
kxs .
i)当1
a
b
练习题答案
1.(1) yx
4x ( Acos
3
x
B sin
3
x),
yx
4x ( 1 )sin
23 3
x;
(2) yx (
2)x ( Acos x B sin x),
4
4
yx (
2)x 2 cos x 1
4
§7-13 二阶常系数线性差分方程
一、二阶常系数齐次线性差分方程的求解 二、二阶常系数非齐次线性差分方程的求解 三、小结
1.定义
形如yx2 ayx1 byx f ( x)
(其中a, b 0均为常数，f ( x)为已知函数)
差分方程的全面介绍
当a=-1时,改设特解 y t =(a+bt)t=at+bt2 将其代入方程可求得特解
1 1 2 y = (b0 - b1 )t + b1t 2 2
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方程的通解为
b0 b1 b1 t A( - a ) + 1 + a - (1 + a ) 2 + 1 + a t , a 1, yt = A + (b0 - 1 b1 )t + 1 b1 t 2 , a = -1. 2 2
y(t)=A1y1(t)+A2y2(t)+…+Anyn(t)+y (t)， 这里A1，A2,…,An为n个任意(独立)常数．
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第二节 一阶常系数线性差分方程
一阶常系数线性差分方程的一般形式为 yt+1+ayt=f(t) 和 yt+1+ayt=0, 其中f(t)为t的已知函数,a≠0为常数.分别称为一阶常 系数非齐次线性差分方程和其对应的齐次差分方程.
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一般地,k阶差分(k为正整数)定义为
D yt = D ( D
k
k -1
yt )
k -1
=D
k -1
yt +1 - D
yt ( k = 1,2,3, )
i = ( -1) i C k yt + k - i i =0
k
这里
k! C = i! ( k - i )!
i k
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二、 差分方程
依此定义类推,有 D2yt+1= Dyt+2- Dyt+1=yt+3-2yt+2+yt+1, D2yt+2= Dyt+3- Dyt+2=yt+4-2yt+3+yt+2, ………………
差分方程基础知识
2B1 x + B0 + B1 = x +1. 比较系数, 得 2B1 = 1, B0 + B1 = 1, 1 B0 B1 , 2 1 y x C x ( x 1). 2
设特解的待定式为
y x B0 B1 x Bm x m (a 1)
或
(6)
(7)
y x ( B0 B1 x Bm x m ) x (a 1)
其中B0 , B1 , , Bm为待定系数.
例5 求差分方程 yx+1 #43; 3x + 1)
= 3(x + 1)2 + 3(x + 1) + 1 (3x2 + 3x + 1) = 6x + 6, 3(x3) = (6x + 6) = 6(x + 1) + 6 (6x + 6)
= 6, 4(x3) = (6) 6 = 0.
二、差分方程的概念 定义2 含有自变量、未知函数及其差分的方程, 称 为差分方程. 差分方程的一般形式为 F(x, yx, yx, , n yx) = 0. (1)
为二阶差分, 记为2 yx, 即
2 yx = (yx) = yx+2 2 yx+1 + yx
同样可定义三阶差分3yx, 四阶差分4yx, 即
3yx = (2yx), 4yx = (3yx) .
例1 求(x3), 2(x3), 3(x3), 4(x3). 解 (x3) = (x + 1)3 x3 = 3x2 + 3x + 1,
定义1 设函数 y = f (x), 记为 yx, 则差
二阶线性常系数齐次差分方程及其应用
3.3.3
3.模型一（蛛网模型）
市场经济中的蛛网模型
在 x~y 直角坐标系画出需求曲线和供应曲线，两 条曲线相交于点 P ，称为平衡点. 一旦第 k 时 0 ( x0 , y0 ) 段的上市量 xk x0 ， 则 yk y0 ， yk 1 y0 …… xk 1 x0 ， 即以后的上市量和价格永远保持在平衡点 P . 0 但是实际上由于种种干扰使得上市量和价格不 可能保持在 P ，不妨设 x1 偏离 x0 ，利用需求曲线和供 0 应曲线分析 xk 和 yk 的变化趋势， 可发现 P 有渐进稳定 0 或不渐进稳定两种情况. 此图形模型称为蛛网模型.
3.3.3
4. 模型二（差分方程模型）
市场经济中的蛛网模型
在 (3.3.7)式中，令 xk 1 xk x ， yk y ，可求得 平衡点. 由于 α>0，β>0，所以(3.3.7)式有且仅有平衡 点 ( x0 , y0 ) ，即蛛网模型的平衡点 P . 0 由于 α>0，β>0，所以： 当 αβ<1 时，平衡点 P 渐进稳定； 0 当 αβ>1 时，平衡点 P 不稳定. 0 由于 K f ， Kg 1 ，所以差分方程模型的结 果与蛛网模型完全一致.
而供应函数 g 在 P 附近也可以用一次函数近似表示为 0
xk 1 x0 yk y0 , ( 0, k 1,2, )
, k 1, 2, yk y0 xk x0
联立(3.3.5)式与(3.3.6)式，得到差分方程组 xk 1 x0 yk y0
1,2 12 2
于是平衡点 P 渐进稳定当且仅当 αβ<2. 与之前的稳 0 定条件 αβ<1 相比，范围放大了，对经济稳定更有利.
3常系数线性差分方程
该“线性”与线性系统的“线性”含义不 同
2、常系数差分方程的求解：
① 经典解法：类似于模拟系统求解微分方程的方法，要求 齐次解、特解，并由边界条件求待定系数。 由于计算复杂，较少使用。 ② 递推(迭代)法：简单、适于用计算机进行求解。但只能 得到一系列数值解，不易得到封闭式(公 式)解答。 ③ 变换域法：将差分方程变换到z域求解。 ④ 卷积法：由差分方程求出系统的h(n)，再与已知的x(n) 进行卷积，得到y(n)。
前面已经证明： 当 x1(n)=(n) 时，y1(n) = anu(n) 当 x2(n)=(n-1) 时， y2(n) = anu(n)+ an-1u(n-1) 令：x3(n)=(n)+(n-1)， y3(0)=1 y3(1) = ay3(0)+x3(1) = a+1 y3(2) = ay3(1)+x3(2) = a2+a … y3(n) = ay3(n-1)+x3(n) = an+an-1 ∴ y3(n) = anu(n)+ an-1u(n-1) ∵ 当x3(n)=x1(n)+x2(n)时，y3(n)≠y1(n)+y2(n)， 所以，该系统也不是线性系统。
B、当边界条件为y(0)=0时，为线性、移变系统 C、当边界条件为y(-1)=0时，为线性、移不变系统 证：(这里只证明A，B和C留给大家课后思考证明。)
令：x1(n)=(n)， y1(0)=1 y1(1) = ay1(0)+x1(1) = a y1(2) = ay1(1)+x1(2) = a2 … y1(n) = ay1(n-1)+x1(n) = an ∴ y1(n) = anu(n)
§1.3 常系数线性差分方程
差分方程的解法及应用
差分方程的解法及应用随着科学技术的不断进步，人类对于数学这一学科的探索和研究也越来越深入。
在数学的众多分支中，差分方程是一种重要的数学工具。
它具有广泛的应用领域，比如利用差分方程可以对物理、化学、生态学和经济学等领域中的一些现象进行建模和预测。
一、差分方程的定义与类型差分方程是一种描述序列之间关系的数学工具。
简单来说，差分方程就是一种具有递推性质的方程。
通过对序列中前一项和后一项之间的差值进行分析，差分方程可以对序列之间的关系进行确定。
根据差分方程的形式，我们可以将其分为线性差分方程和非线性差分方程两种类型。
线性差分方程通常可以表示为：$$a_n=c_1a_{n-1}+c_2a_{n-2}+···+c_ka_{n-k}+F(n)$$其中，$a_n$表示数列中第n项的值，$F(n)$为非齐次项，$c_1,c_2,...,c_k$为系数。
非线性差分方程则不具有这种明显的简洁形式，但是常常可以利用变量代换的方法将其转化为线性差分方程的形式求解。
二、差分方程的求解方法差分方程的解法依赖于方程的类型和系数，不同的差分方程往往需要使用不同的方法进行求解。
1.一阶线性差分方程一阶线性差分方程的形式通常为：$$a_n=c·a_{n-1}+F(n)$$其中，$c$为常数，$F(n)$为非齐次项。
为求解这种类型的差分方程，我们可以采用欧拉定理，得到方程的通解为：$$a_n=A·c^n+\frac{F(n)}{1-c}$$其中$A$是待定系数。
2.二阶常系数线性差分方程二阶常系数线性差分方程的形式通常为：$$a_n=c_1·a_{n-1}+c_2·a_{n-2}+f(n)$$其中$c_1,c_2$为常数，$f(n)$为非齐次项。
为了求解这种类型的差分方程，我们需要先找到其特征方程：$$\lambda^2-c_1\lambda-c_2=0$$然后，我们可以根据该特征方程的根以及非齐次项来计算该方程的通解。
差分方程
ad 当a d时，解得y * (n) b nd n
d
20
三、小结
1.齐次方程的通解 y C(a)n
2.非齐次方程的特解与通解
f (n) Pm (n)
f (n) bd n
21
§10.3 二阶常系数线性差分方程
一、齐次方程的通解 二、非齐次方程的特解和通解
22
二阶常系数线性差分方程的一般形式为
yn2 ayn1 byn f (n), n 0,1,2, (10 3)
其中 a ，b 为已知常数，且b 不为零，f(n)为已知 函数，方程(10-3)的对应齐次方程为
yn2 ayn1 byn 0, n 0,1,2, (10 4)
23
一、齐次方程的通解
设 yn n是方程(10 4)的特解,其中为非零待定
nyn3 3yn1 0
对应的齐次方程
9
三、差分方程的解
差分方程的解: 代入差分方程能使方程成为恒等式的函数称之.
设yn (n),
F(n,(n),(n 1), ,(n k)) 0.
10
差分方程的解的分类：
(1)通解: 差分方程的解中含有任意常数,且任 意常数的个数与差分方程的阶数相同.
例 yn1 3yn 3n ,
k阶差分方程的一般形式为
F (n, yn , yn1, , ynk ) 0
其中F (n, yn , yn1, , ynk )为n, yn , yn1, , ynk
的已知函数，且yn和ynk一定要在式中出现。
注：差分方程的两个定义不是完全等价的；后面
使用第二个定义
8
形如 ynk a1(n) ynk1 ak1(n) yn1 ak (n) yn f (n)
二阶常系数
第三节 二阶常系数线性差分方程二阶常系数线性差分方程的一般形式为y t +2+a 1y t +1+a 2y t =f (t )，t =0,1,2,…， (11-3-1)其中f (t )为t 的已知函数，a 1,a 2为已知常数，且a 2≠0．特别地,当f (t )0≡时，方程(11-3-1)变为y t +2+a 1y t +1+a 2y t =0． (11-3-2)我们称(11-3-1)为二阶常系数非齐次线性差分方程．而方程(11-3-2)称为方程(11-3-1)对应的齐次差分方程．根据定理4，只需求方程(11-3-1)的一个特解及其对应的齐次方程(11-3-2)的通解，然后两者相加，即可求得方程(11-3-1)的通解．下面，我们分别讨论齐次方程(11-3-2)的通解和非齐次方程(11-3-1)的特解的求解方法．一、 齐次差分方程的通解根据定理3，为求方程(11-3-2)的通解，只需找出它的两个线性无关的特解，然后将它们线性组合，即得方程(11-3-2)的通解．与二阶常微分方程相类似，我们称λ2＋a 1λ+a 2=0 (11-3-3)为方程(11-3-1)或(11-3-2)的特征方程．它的解(或根)称为方程(11-3-1)或(11-3-2)的特征根(值)．显然(11-3-3)的两个根为λ1,2=21(-a 1±2214a a -), 记Δ=a 12-4a 2．(1) 特征根为相异的两实根当Δ＞0时，λ1，λ2为两相异的实根，可以验证：y 1(t )=λ1t 与y 2(t )=λ2t 是方程(11-3-2)的两个线性无关的特解，故方程(11-3-2)的通解为y A (t )=A 1·λ1t +A 2·λ2t ， (11-3-4)这里λ1，λ2由方程(11-3-3)确定，A 1，A 2为两任意(独立)常数．例1 求差分方程y t +2-7y t +1+12y t =0的通解．解 特征方程为λ2-7λ+12=(λ-3)(λ-4)=0,故有两相异实特征根λ1=3,λ2=4．于是原方程的通解为y A (t )=A 1·３t +A 2·4t ，A 1,A 2为任意常数．(2) 特征根为两相等的实根当Δ=0时，λ=λ1＝λ2＝21a -为两相等的实根，这时只能求出方程(11-3-2)的一个特解： y t (t )=λt ．为求另一个特解，以y (t )=t λt 试之，代入方程(11-3-2)，可以验证t λt 也是(11-3-2)的一个特解，且与λt 线性无关，从而可求得方程(11-3-2)的通解为y A (t )=(A 1+A 2t )·λt ，或者写成y A (t )=(A 1+A 2t )·(21a -)t ， （11-3-5）其中A 1，A 2为任意常数．例2 求差分方程y t +2-4y t +1+4y t =0的通解．解 特征方程为λ2-4λ+4=(λ-2)2＝0，故方程有重特征根λ=λ1＝λ2＝2，于是由(11-3-5)式，原方程的通解为y A (t )=(A 1+A 2t )·2t , A 1,A 2为任意常数．(3) 特征根为一对共轭复根当Δ＜0时，λ1，λ2为一对共轭复根λ1，2=21(-a 1±i ∆), (i 2=-１）， 记为λ1,2=α±i β=r (cos ω±isin ω)，于是有：1cos ,sin 2πtan ,0,2a r r r αωβωβωωα⎧==-==⎪⎪⎨⎪===<<⎪⎩（11-3-6） 这里,r 为复特征根的模，ω为复特征根的辐角．可以直接验证，y 1(t )=r t cos ωt , y 2(t )=r t sin ωt是方程(11-3-2)的两个线性无关特解，故方程(11-3-2)的通解为y A (t )=r t (A 1cos ωt +A 2sin ωt )， (11-3-7)其中r ,ω由(11-3-6)式确定，A 1，A 2为任意常数．例3 求差分方程y t +2-2y t +1+2y t =0的通解．解 特征方程λ2-2λ+2=(λ-1)2＋１＝０，故特征根为一对共轭复根λ1,2=1±i ．由(11-3-6)式得r =2, tan ω=1, 于是ω=π4， 从而，所给方程的通解为y A (t )=22t(A 1cos π4t +A 2sin π4t )， 其中A 1，A 2为任意常数．二、 非齐次方程的特解与通解为了解得非齐次线性差分方程的通解，由定理4知，在解得对应齐次方程的通解后， 只需解得非齐次方程的一个特解．与二阶常系数线性微分方程相类似，求二阶常系数线性差分方程(11-3-1)的一个特解，常用的方法仍是待定系数法．当方程(11-3-1)的右端自由项函数f (t )为常数、多项式函数、指数函数、正弦余弦型三角函数以及这四类函数的线性组合型函数时，可采用与一阶常系数非齐次线性差分方程完全类似的待定系数法，通过适当的设定试解函数，求出非齐次方程(11-3-1)的特解，下面通过实例说明具体求特解过程．例4 求差分方程y t +2-7y t +1+12y t =6的通解． 解 由例1知，对应的齐次方程的通解为y A (t )=A 1·3t +A 2·4t ，由于1+a 1+a 2=1-7+12≠0，设特解y t =B ,B 为待定常数，将其代入原 方程，求得B =1,于是原方程的通解为y t =y A (t )+t y =A 1·3t +A 2·4t +1，这里A 1，A 2为任意常数．例5 求差分方程y t +2-3y t +1+2y t =4的通解． 解 特征方程为λ2-3λ+2=(λ-1)(λ-2)＝０，特征根λ1＝1，λ2＝2，故对应齐次方程的通解为y A (t )=A 1+A 2·2t ．因1+a 1+a 2=1-3+2=0,故应设非齐次方程的特解为t y =Bt ,B 为待定系数，将其代入原方程，求得B =-4．于是原方程的通解为y t =y A (t )+y t =A 1+A 2·2t -4t ，这里A 1，A 2为任意常数．例6 求差分方程y t +2-4y t +1+4y t =3+2t 的通解． 解 由例2知，对应齐次方程的通解为y A (t )=(A 1+A 2t )·2t ．现在设非齐次方程有特解y t =B 0+B 1t ,B 0,B 1为待定系数．将其代入原方程中，得(B 0-2B 1)+B 1t =3+2t ,此式对t =0,1,2,…恒成立的充要条件是B 0-2B 1=3, B 1=2.由此解得：B 0=7，B 1=2．因此所求非齐次方程的特解为t y =7+2t ．从而，原方程的通解为y (t )=y A (t )+ t y =(A 1+A 2t )·2t +7+2t ，这里A 1，A 2为任意常数．例7 求差分方程y t +2-4y t +1+4y t =5t 的通解． 解 由例2知，对应齐次方程的通解为y A (t )=(A 1+A 2t )·2t ． 现设所给非齐次方程的特特为t y =B ·5t ,B 为待定系数．将其代入所给方程，可得B ·5t +2-4B ·5t +1+4B ·5t =5t ．由此求得B =91．故非齐次方程的特解为 t y =91·5t , 从而，所给方程的通解为y (t )=y A (t )+t y =(A 1+A 2t )·2t +91·5t ， 其中A 1，A 2为任意常数．例8 求差分方程y t +2-4y t +1+4y t =25sin π2t 的通解．解 由例2知，对应齐次方程的通解为y A (t )=(A 1+A 2t )·2t ,现设所给非齐次方程的特解为t y =B 1cos π2t +B 2sin π2t ，其中B 1，B 2为待定系数．将其代入所给方程并利用三角函数有关公式，得(4B 1+2B 2)sin π2t +(3B 1-4B 2)cos π2t =25sin π2t,即有 ⎩⎨⎧=-=+.043,25342121B B B B由此求得B 1=4,B 2=3,即非齐次方程特解为t y =4cos π2t +3sin π2t ．于是，所求非齐次方程的通解为y (t )=y A (t )+t y =(A 1+A 2t )·2t +4cos π2t +3sin π2t ，其中A 1，A 2为任意常数．例9 求差分方程y t +2-4y t +1+4y t =3+2t +5t +25sin π2t 的通解．解 由例2知，对应齐次方程的通解为y A (t )=(A 1+A 2t )·2t ．又由例6，例7，例8分别求出方程y t +2-4y t +1+4y t =3+2t ,y t +2-4y t +1+4y t =5t ,y t +2-4y t +1+4y t =25sin π2t的特解)(1t y =7+2t ,)(2t y =19·５t ,)(3t y =4cos π2t +3sin π2t ，从而，所求非齐次差分方程的通解为y (t )=y A (t )+y (t )=(A 1+A 2t )·2t +7+2t +91·5t +4cos π2t +3sin π2t ，这里A 1，A 2为任意常数．习题11-31． 求下列二阶齐次线性差分方程的通解：(1) y t +2+21y t +1-21y t =0;(2) y t +2+2y t +1+3y t =0;(3) y t +2-4y t +1+16y t =0;(4) y t +2=y t +1-y t ;(5) y t +2-3.9y t +1+3.78y t =0;(6) y t +2-4(a +1)y t +1+4a 2y t =0,a 为常数，1+2a ＞0．2． 求下列二阶非齐次线性差分方程的通解：(1) y t +2-5y t +1+2y t =2;(2) y t +2-2y t +1+4y t =a +bt , a ,b 为常数；(3) y t +2-3y t +1+2y t =3×5t ;(4) 3y t +2-2y t +1-y t =10sin π2t ;(5) y t +2+3y t +1+2y t =20+4t +6t 2;(6) y t +2-y t +1-6y t =3t ·(2t +1)．3． 求下列差分方程满足初始条件的解：(1) y t +1+4y t =2t 2+t +3, y 0=2;(2) y t +2+y t +1-2y t =12, y 0=0,y 1=0;(3) y t +2+3y t +1-4y t =(31)t , y 0=1,y 1=2;(4) y t +2+3y t ＋1-47y t =9, y 0=6,y 1=3．。
信号分析第五章第三节 常系数线性差分方程的求解法
X
第 5 页
例5-3-1 已知y(k ) + 3 y(k − 1) + 2 y(k − 2) = x(k)， 且y(0) = 0, y(1) = 2, x(k) = 2k ε (k), 求y(k)。
将差分方程变化为： 将差分方程变化为： y(k ) = −3y(k − 1) − 2 y(k − 2) + x(k) k = 2 y(2) = −3y(1) − 2 y(0) + x(2) = −2
提问:以上求解方法用 有问题吗 书上方法) 提问 以上求解方法用0-有问题吗 书上方法 以上求解方法用 有问题吗?(书上方法
X
第 1系数要用系统的 +值即 确定自由响应的待定系数要用系统的0 值即y(0),y(1) 确定自由响应的待定系数要用系统的 由差分方程从y(-1),y(-2)递推出 递推出y(0),y(1). 由差分方程从 递推出
k
y a 说明序列 (k)是一个公比为 1的几何级数可表示为 式中， 为常数， 定 A 式中， 为常数，由初始条件确
X
第 8 页
根据特征根(或解)的三种情况讨论
y(k) + a1 y(k − 1) + LL + an−1 y(k − n + 1) + an y(k − n) = 0
特征方程: 1 + a1r + a2 r + L + an r
2.零状态响应：系统初始状态为0，即
第 17 页
例5-3-6
y(k ) − 4 y(k − 1) + 3 y(k − 2) = 2k 已知： 已知： (其中k ≥ 0) y(− 1) = −1, y(−2) = 1 态响应法求解 利用零输入响应和零状
二阶常系数线性差分方程的应用
一、二阶常系数线性差分方程的应用张芳平 指导老师 魏平 摘要 本文介绍一、二阶差分方程的基本概念、解的几种应用以及这些解在计算 几种特殊行列式的值和概率论中的应用 .关键词 差分方程 特征值 特征方程 行列式 全概率公式1. 差分方程的概念 含有自变量，未知函数以及未知函数差分的函数方程，称为差分方程 . 由于差分方程中必须含有未知函数的差分(自变量、未知函数可以不显含) ，因 此差分方程也可称为含有未知函数差分的函数方程 . 差分方程中实际所含差分的最高 阶数，称为差分方程的阶数 . 或者说，差分方程中未知函数下标的最大差数，称为差 分方程的阶数 .n 阶差分方程的一般形式可表示为(t, y t , y t , 2y t , n y t ) 0， (1)或 F^y t ’y t i , y t n ) 0, (2)由于经常遇到是形如( 2)式的差分方程，所以以后我们只讨论由( 2)式的差分 方程. 若把一个函数y t (t)代入差分方程中，使其成为恒等式，则称 y t (t)为差分方程的解 . 含有任意常数的个数等于差分方程的阶数的解，称为差分方程得通解；给 任意常数以确定值的解，称为差分方程得特解 . 用以确定通解中任意常数的条件称为 初始条件•当t 1时，称为一阶差分方程，当t 2时，称为二阶差分方程 1.1 一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程的一般形式为y t 1 ay t f (t) ( 3) 其中常数a 0， f (t)为t 的已知函数，当f(t)不恒为零时，(3)称为一阶非齐次差分 方程；当f (t)0时，差分方程y t 1 ay t 0.(4)称为齐次线性差分方程齐次差分方程的通解形式为y t C( a)t ( C 为任意常数) .非齐次差分方程的通解形式：y t C( a)t b ( C ， b 为任意常数) .(5)下面仅就函数f(t)为几种常见形式用待定系数法求非齐次线性差分方程(5)的 特解•根据f(t)的形式，按下表确定特解的形式，比较方程两端的系数，可得到特解 y *(t).标准形式齐次：y t 2 ay t 1 by t 0, ( 6)非齐次：y t 2 ay t 1 by t f(t). ( 7)定理1若函数y1(t), y2(t)是二阶齐次线性差分方程(6)的线性无关特解，则y c(t) Cy(t) C2y2(t)是该方程的通解，其中C i、C2是任意常数•定理2若y* (t)是二阶非齐次线性差分方程(6)的一个特解，y c(t)是齐次线性差分方程(7)的通解，则差分方程(6)的通解为y t y c(t) y*(t).1.3解的形式1.3.1二阶常系数齐次二阶常系数齐次差分方程(5)的解与其特征方程2 a b 0根的判别式a 4b的符号有关.a)当a2 4b 0时，差分方程(5)有两特解y't)，以⑴2,’1® 常数,y (t) 2它的通解是y c (t)C1 1C 2 2 ；2 b)当 a 4b 0时，有两个相同的特征根， 1 12a，差分方程(5)有特解 %(t) c)当 a 24b 特解 1 1 (-a)t ,y 2(t) t( ^a)t ，它的通解是 0时，特征方程有两个共轭复特征根 t ■tr sin t, r r t cos t, y 2 (t) tan y (t) 2j4b a 2 a r t (C j cos t C 2sin t)， y c (t) (0,)(G 1C 2(t))( -a)t，差分方程( ， 它 的通 5) 有两 由 y c (t) 的解类似一阶常系数线性差分方程，如下表 非齐次二阶常系数非齐次差分方程(6) (1)形如a b b L b(a b) b b b Lbc a b L bca b Lbc c a Lbcc a L bM M M OM 1MM M OAc c c Lacc c L aa b bb L b b b b L b0 ab Lbc a b Lb0 c a Lb c c a LbM M M O/I M M M OM10 cc Lac c c La1 1 1 L 1a cb a 0L 0c a b L ba cb aLn 1b c c a L b(a b)D n1b0 0 a c L 0M M M OAMM M O M c cc LaLa cD n (a b)D(a b)D n 1 b(a c)n 1 由 D n (ab)D n 1 b(a c)n1知 Dn 1(a b)D nb(a c)n上式是一个一阶常系数非齐次线性差分方程差分方程对应的特征方程为 (a b) 0解得，齐次方程通解为D n C(a b)n Ab(a c)n 又由 D 1 x,D a 2 bc 知a C(a b) Ab(a c)2 2a bc C(a b) Ab(a c)解得Ccb c故D nb(a c)nc(a b)nb ca b 00 0 0c a b 0 0 00 c a0 0 0(2) D naD n ibcD n 20 0 0 cab0 0 00 c a特征方程2 abca)当 a24bc 0时，方程有两特解a Va 24bc2Aaa 2 4bc 2，通解为D nC i(由D iD 22 a 2 4bc 、n a a 2 4bc 、n) C 2(- )bc，C i (a 2 bcC i (a '一 a 2 4bc 2 a 、a 2 4bC)2)C 2( a 、a 2 4bC)C 2 (2 a . a 2 4bc )22 )解得所以b)当 a 2解为C iD n2* ia 24bc(aa 2 4bc) C 22n -a 2 4bc 0时，即「24bc2* ia \ a 2 4bc(a a 2 4bc)n i4bca a 2 4bc2，得a 4bc ，故通2iD n (G C 2n)(-a)n由D 1aD 2a 2 be ，得a 2 be1 (G C 2)( a)21 2(C 1 2C 2)( a)22解得C 1 1,C 2 1，代入得D n a n(1%)e)当 (3)计算n 阶行列式a 2 4be 0 时, D nab ab abM ab 解:将上式第一列先提 b 再按第一行展开得 D n ba nAba n 1，由 D 1 2ab B( be) Abaa 2b abe B( be)2 Aba 3 — 代入其通解中，得 a be D (a be e)ba n a( be)nna be 以上行列式如果改成如下形式，也可根据差分方程的解得出结果 故其通解为D n B( 化简可得D n a 又由D 1 a ， D 2 解得 将其代入通解得 be)n beD n ab, D 2 a 2b abe 得 D nbD n 1，故其通解为D n a ab ，得aab D n ( 1)nanB(b)nAa nBb Bb 2 AaAa 2a(1 a b) b(ab)b)b n1⑷D n代入通解中得3、差分方程在概率中的应用利用差分方程解决概率问题，首先要对所解决的问题建立差分方程， 然后再求它 的解，在概率问题中建立差分方程有两种方法， 一种是建立递推关系，另一种是利用 全概率公式，有时这两种方法交替使用可使计算过程更加简洁 • 3.1全概率公式上式按第一行展开得D n a n故Dm a) bD n 1,即 D n a n 1 b 时，其通解为bD n 1 bD n当a D nCb ab CbAa 22 Aa3 解得Cb n Aa n 1，又由 D 11a ba b aD 2 a 2 ab 知D n b)当aD 2b 时，有D na 2 ab 知aDn 1n n、a(a b ) a b，其通解表达式为D n (C Ana)a n ，由D 1 Aa)a a (C 2 2 a ab (C Aa)a解得AC 代入通解表达式中得 当上面行列式中1时, D n上式可化为nnaD n按第一行展开得 1 C A 2 C 2A 故D nnD n1D n 1，其通解表达式为D n C An ，由D 1A 1 解得C 01,D 2 2可知设B i (i 1,2, ,n)为 的一个划分，且P(BJ 0,i 1,2, ,n.则对任一事件A 有nP(A) P(B i )P(A B i )1 13.2 实际应用3.2.1 一阶差分方程的应用例1甲袋中有9只白球和1只黑球，乙袋中有10只白球，每次从甲乙两袋中 随机各取一球交换放入另一袋中，这样做了四次，求黑球出现在甲袋中的概率 .解 设A i 表示“第i 次交换后黑球出现在甲袋中”，则A 表示“第i 次交换后黑球 出现在乙袋中” ，i 1,2,3,4.利用递推关系，可得到以下差分方程P i 0.9P 1 0.1(1 P 1) 0.8P 1 0.1( 8) 则(8)式的通解为P i C(0.8)1 0.5( 9)又P 1 0.9代入(9)式得 C=0.5因此(1)式的解为P 0.5 0.8i 0.5P 2 0.82 , P 3 0.7536, P 4 0.7048 .例2在n 重伯努利试验中，“成功”事件发生的概率为 P 证A n 为n 次试验中“成 功”偶数次的事件，求P(AJ .解：n 次试验中“成功”出现偶数次，等价于第一次试验“失败” ，随后n 1次中出 现偶数次“成功”，或者第一次试验出现“成功”，随后n 1次中出现奇数次“成功”， 其概率可以表示为P(A n ) qP(A n1)P[1 P(Am)]即P(A n ) (1 2q)P(Am)P(10)其中 P(A 。
(优选)高数第七章二阶差分方程
A1 (4) x
A2
三、小结
1.二阶常系数齐次线性差分方程求通解 2.二阶常系数非齐次线性差分方程求通解
练习题
1、 求 下 列 差 分 方 程 的 通解 及 特 解 ． (1) yx2 4 yx1 16 yx 0, ( y0 1, y1 1) (2) yx2 2 yx1 2 yx 0, ( y0 2, y1 2)
iii)当1 a b 0，且a 2时，取s 2.
分别就以上情形，将设定特解代入原方程, 可确定 其特解.
例 1 求差分方程 yx2 5 yx1 4 yx x的特解．
解 1 a b 1 5 4 10 0
可
设y
x
B0
B1 x
代入方程 B0 B1( x 2) 5B0 5B1( x 1) 4B0 4B1 x x 比较两端同次项系数有
的和组成：
一 项 是 该 方 程 的 一 个 特解yx， 另一项是对应的齐次差分方程的通解Yx .
即差分方程（2）的通解为y x
Yx
y
x
.
(1) f ( x) c(c为常数),即方程为 yx2 ayx1 byx c
可设
其
特解
形
式为y
x
kxs .
i)当1
a
b
0时，取s
0，即y
x
k,代入原方程得
a 2
)
x
(
A1
,
A2为 任 意 常 数)
(3)第三种情形 a2 4b时
方程有一对共轭的复特征根,
1
1 2
a
i
4b a2 i
2
1 2
a
i
4b a2 i
把它们化为三角表示式：
差分方程
yn 2 2 yn1 yn
称为函数yn的二阶差分，记为 2 yn .
同样，二阶差分的差分 称为三阶差分，记为 yn ,即
3
3 yn yn 3 3 yn 2 3 yn 1 yn
类似地，m 1阶差分的差分称为 yn的m阶差分，记作 m yn。
3、线性、非线性差分方程
定义 差分方程中未知函数都 是一次幂的，称为线性 差分方程，
否则，称为非线性差分 方程。
3 yn 32 yn y n yn yn3 6 yn2 10 yn1 6 yn 0。
例如
（1） yn3 2 yn1 3 yn 2
* 将yn 代入方程后可用比较系 数法求。
例 求yn1 2 yn 2n 的通解。
2
A0 2 2 A0 A1 0 A A A 0 1 2 0
A0 2, A1 4, A2 6.
yn * 2n 4n 6,
2
2
n
研究yn1 byn (n)的解法:
设(n) a n pm (n)型(a 0),其中pm (n)
为已知m次多项式，可以证明非齐次方程 的特 解形式是
a Qm (n), a不是特征根， y n na Qm (n), a是特征根。
n * n
其中Qm为m次多项式，有 m 1个特定系数 ,
则称为齐次方程。
1、迭代法
设y0已知，将 n 0,1,2Fra bibliotek.... 依次代入
2 yn1 byn中得y1 by0 , y2 by1 by0
y3 by2 b3 y0 ,..., yn b n y0 ,
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yt 2 ayt 1 byt f (t )
对应齐次方程 yt 2 ayt 1 byt 0
(1) (2)
1.方程(1)的任意一个解加上方程(2)的任意一个解 是(1)的解； 2.方程(1)的任意两个解之差是(2)的解 . 定理2 设 yt 是方程(1)的一个特解,
yc (t ) 是(2)的通解, 那么方程(1)的通解为
t 而 0 ,于是有
a b 0
2
(3)
代数方程(3)称为差分方程(2)的特征方程, 它的根称为特征根(或特征值).
4
a b 0
2
(3)
记
a 4b ,
2
情形1 若 0 , 则特征方程(3)有两个相异的实根
a , 1, 2 2 t t 得到方程(2)的两个特解 y1 ( t ) 1 ,y2 ( t ) 2 ,
特征方程为 2 4 4 0
解得 1， 2 , 2
t 故所求通解为 yc (C1 C2t )2
9
例3 求差分方程 yt 2 yt 1 yt 0 的通解.
解 特征方程为
2 1 0
3 0 ,
故所求通解为 yc ( t ) C1 cos t C 2 si n t 3 3
于是(2)的通解为
情形2 若 0 , 则特征方程(3)有两个相等的实根 a a t 1, 2 , 只得到方程(2)的一个特解 y1 ( t ) ( ) , 2 2
a t yc ( t ) (C1 C 2 t )( ) 2
6
情形3 若 0 , 则特征方程(3)有一对共轭复根
y t yc ( t ) y t .
3
一、二阶常系数齐次线性差分方程的解法
yt 2 ayt 1 byt 0
(2)
t 下面来寻找方程 (2)的形如 y t ( 0) 的特解.
将 yt t 代入方程(2),得 (2 a b) t 0 ,
13
例5
解
求差分方程 yt 2 4 yt 1 4 yt 5 t 的通解.
已求出对应齐次方程的通解为
yc (C1 C2t )2t
因为 f (t ) (5 t ) 1t , q 1 不是特征根, 则设形式特解为
yt A Bt , 代入原差分方程得 A 7 , B 1 ,
7
小结 y ay by 0 , 2 a b 0 t 2 t 1 t
特征根的情况
实根 r1 r2 通解的表达式
t yc ( t ) C11 C 2t2 a t yc ( t ) (C1 C 2 t )( ) 2 yc (t ) r t (C1 cos x C2 sin x)
而 y1 (t ) / y2 (t ) (1 / 2 ) C , 故它们线性无关,
t
因此(2)的通解为
yc ( t ) C C 2
t 1 1
t 2
5
a t 直接验证可知 y2 ( t ) t ( ) 也是方程(2)的一个特解, 2 且 y1 (t ), y2 (t ) 线性无关,
2
练习：
P384 习题十
17
故原方程通解为
yt (C1 C2t )2 7 t .
t
14
例6 求差分方程 yt 2 yt 1 2 yt 12 的通解.
解 特征方程为 2 2 0 特征根为 1 1, 2 2 所以对应齐次方程的通解为 yc (t ) C1 C2 (2)t
第三节
标准形式
二阶常系数线性差分方程
(1)
yt 2 ayt 1 byt f (t )
其中 t 0, 1, 2, ，常数b 0 ， 函数 f (t ) 当 t 0, 1, 2,
时有定义.
如果当 t 0, 1, 2, 时有 f ( t ) 0 ，则称方程
t 因为 f ( t ) 12 1 ,
q 1 是单特征根, 则设形式特解为
yt A t , 代入原差分方程得
A(t 2) A(t 1) 2 At 12, A 4 ,
yt C1 C2 (2)t 4t . 故原方程通解为
15
1 t 例7 求差分方程 4 yt 2 4 yt 1 yt 5 ( ) 的通解. 2 解 特征方程为 42 4 1 0
1,2 i
可以证明, y1 (t ) r cos t , y2 (t ) r sin t ,
t t
是(2)的解，且线性无关， 所以方程(2)的通解为
yc ( t ) r (C1 cos x C 2 a 2 ). 其中 r b , arctan( a
12
例4
解
求差分方程 yt 2 5 yt 1 6 yt 10 的通解.
已求出对应齐次方程的通解为
yc (t ) C1 2t C2 3t
因为 f (t ) 10 1 , q 1 不是特征根, 则设形式特解为
t
yt A , 代入原差分方程得 A 5 ,
故原方程通解为 yt C1 2t C2 3t 5 .
yt 2 ayt 1 byt 0
(2)
设 yt 是方程(1)的一个特解,
yc (t ) 是(2)的通解,
那么方程(1)的通解为
y t yc ( t ) y t .
问题归结为求方程(1)的一个特解. 用待定系数法求解.
11
在此只介绍 f (t ) Pm (t ) q 时特解的求法.即差分方程为
1 t2 1 t 5 2 1 t 1 2 1 t 4 A( t 2) ( ) 4 A( t 1) ( ) At ( ) 5( ) , A , 2 2 2 2 2 1 t 5 2 1 t 故原方程通解为 yt (C1 C 2 t ) ( ) t ( ) . 16 2 2 2
a 实根 r1 r2 2 复根 r1, 2 i
4b a r b , arctan arctan( ). a
2 2 2
8
例1 求差分方程 yt 2 5 yt 1 6 yt 0 的通解.
解 特征方程为 2 5 6 0 特征根为 1 2, 2 3 故所求通解为 yc (t ) C1 2t C2 3t 例2 求差分方程 yt 2 4 yt 1 4 yt 0 的通解. 解
yt 2 ayt 1 byt 0
为二阶常系数齐次线性差分方程，
(2)
否则，称为二阶常系数非齐次线性差分方程. (2)称为(1)对应的齐次线性差分方程.
1
二阶常系数齐次差分线性方程解的性质
yt 2 ayt 1 byt 0
(2)
1.方程(2)的任意两个解的和仍是(2)的解；
1 特征根为 1 2 2 1 t 所以对应齐次方程的通解为 yc ( t ) (C1 C 2 t ) ( ) 2 1 t 1 因为 f ( t ) 5 ( ) , q 是特征重根,则设形式特解为 2 2 2 1 t yt A t ( ) , 代入原差分方程得 2
yc (t ) r t (C1 cos x C2 sin x)
4b a 2 r 2 2 b , arctan arctan( ). a
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二、二阶常系数非齐次线性差分方程的解法
yt 2 ayt 1 byt f (t )
对应齐次方程 (1)
2.方程(2)的任意一个解的常数倍仍是(2)的解；
定理1 如果 y1 (t ), y2 (t ) 是方程(2)的两个解,则
yt C1 y1 (t ) C 2 y2 (t )
也是(2)的解.
y1 ( t ) 如果 常 数(称线性无关), 则上式为(2)的通解. y2 ( t )
2
二阶常系数非齐次线性差分方程解的性质及求解法
t
yt 2 ayt 1 byt Pm (t ) q t
其中 Pm (t ) 是 m 次多项式, q 为非零常数.
设特解的形式为 yt t k Qm (t )qt ,
其中 Qm (t ) 是与 Pm (t ) 同次的多项式,其系数待定，
0, k 1, 2，
q不 是 特 征 根 ， q是 特 征 单 根 ， q是 特 征 重 根 .