必修二第2章点线面的位置关系归纳整合
数学必修2第二章知识点小结
第二章点线面位置关系总复习1.（1）平面含义: 平面是无限延展的, 没有大小, 厚薄之分。
2.四个公理与等角定理:（1）公理1: 如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线在此平面内.公理1作用: 判断直线是否在平面内.（只要找到直线的两点在平面内, 则直线在平面内）（2）公理2：过不在一条直线上的三点, 有且只有一个平面。
公理2的三个推论: （1）: 经过一条直线和这条直线外的一点, 有且只有一个平面。
（2）: 经过两条相交直线, 有且只有一个平面。
（3）: 经过两条平行直线, 有且只有一个平面。
公理2作用: 确定一个平面的依据。
（3）公理3: 如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
公理3作用：判定两个平面是否相交的依据, 是证明三线共点、三点共线的依据。
（4）公理4: 平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为: 设a、b、c是三条直线a∥b Array a∥cc∥b公理4作用: 判断空间两条直线平行的依据。
（表明空间中平行于一条已知直线的所有直线都互相平行）（②异面直线性质：既不平行, 又不相交。
③异面直线判定: 过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线④异面直线所成角: 直线a、b是异面直线, 经过空间任意一点O, 分别引直线a’∥a, b’∥b, 则把直线a’和b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。
两条异面直线所成角的范围是（0°, 90°], 若两条异面直线所成的角是直角, 我们就说这两条异面直线互相垂直。
（两条直线互相垂直, 有共面垂直与异面垂直两种情形）说明: （1）判定空间直线是异面直线方法: ①根据异面直线的定义；②异面直线的判定定理（2）在异面直线所成角定义中, 空间一点O是任取的, 而和点O的位置无关。
（3）求异面直线所成角步骤: （一作、二证、三计算）第一步作角：先固定其中一条直线, 在这条直线取一点, 过这个点作另一条直线的平行先；或两条同时平移到某个特殊的位置, 顶点选在特殊的位置上。
点直线平面之间的位置关系知识点总结
点、直线、平面之间的位置关系知识点总结立体几何知识点总结1.直线在平面内的判定1利用公理1：一直线上不重合的两点在平面内;则这条直线在平面内.2若两个平面互相垂直;则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内;即若α⊥β;A∈α;AB⊥β;则ABα.3过一点和一条已知直线垂直的所有直线;都在过此点而垂直于已知直线的平面内;即若A∈a;a⊥b;A∈α;b⊥α;则aα.4过平面外一点和该平面平行的直线;都在过此点而与该平面平行的平面内;即若Pα;P∈β;β∥α;P∈a;a∥α;则aβ.5如果一条直线与一个平面平行;那么过这个平面内一点与这条直线平行的直线必在这个平面内;即若a∥α;A∈α;A∈b;b∥a;则bα.2.存在性和唯一性定理1过直线外一点与这条直线平行的直线有且只有一条；2过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条；3过平面外一点与这个平面平行的平面有且只有一个；4与两条异面直线都垂直相交的直线有且只有一条；5过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；6过平面的一条斜线且与该平面垂直的平面有且只有一个；7过两条异面直线中的一条而与另一条平行的平面有且只有一个；8过两条互相垂直的异面直线中的一条而与另一条垂直的平面有且只有一个.3.射影及有关性质1点在平面上的射影自一点向平面引垂线;垂足叫做这点在这个平面上的射影;点的射影还是点.2直线在平面上的射影自直线上的两个点向平面引垂线;过两垂足的直线叫做直线在这平面上的射影.和射影面垂直的直线的射影是一个点；不与射影面垂直的直线的射影是一条直线.3图形在平面上的射影一个平面图形上所有的点在一个平面上的射影的集合叫做这个平面图形在该平面上的射影.当图形所在平面与射影面垂直时;射影是一条线段；当图形所在平面不与射影面垂直时;射影仍是一个图形.4射影的有关性质从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：i射影相等的两条斜线段相等;射影较长的斜线段也较长；ii相等的斜线段的射影相等;较长的斜线段的射影也较长；iii垂线段比任何一条斜线段都短.4.空间中的各种角等角定理及其推论定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行;并且方向相同;则这两个角相等.推论若两条相交直线和另两条相交直线分别平行;则这两组直线所成的锐角或直角相等.异面直线所成的角1定义：a、b是两条异面直线;经过空间任意一点O;分别引直线a′∥a;b′∥b;则a′和b′所成的锐角或直角叫做异面直线a和b所成的角.2取值范围：0°＜θ≤90°.3求解方法①根据定义;通过平移;找到异面直线所成的角θ；②解含有θ的三角形;求出角θ的大小.5.直线和平面所成的角1定义和平面所成的角有三种：i垂线面所成的角的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角;叫做这条直线和这个平面所成的角.ii垂线与平面所成的角直线垂直于平面;则它们所成的角是直角.iii一条直线和平面平行;或在平面内;则它们所成的角是0°的角.2取值范围0°≤θ≤90°3求解方法①作出斜线在平面上的射影;找到斜线与平面所成的角θ.②解含θ的三角形;求出其大小.③最小角定理斜线和平面所成的角;是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角;亦可说;斜线和平面所成的角不大于斜线与平面内任何直线所成的角.6.二面角及二面角的平面角1半平面直线把平面分成两个部分;每一部分都叫做半平面.2二面角条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱;这两个平面叫做二面角的面;即二面角由半平面一棱一半平面组成.若两个平面相交;则以两个平面的交线为棱形成四个二面角.二面角的大小用它的平面角来度量;通常认为二面角的平面角θ的取值范围是0°＜θ≤180°3二面角的平面角①以二面角棱上任意一点为端点;分别在两个面内作垂直于棱的射线;这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.如图;∠PCD是二面角α-AB-β的平面角.平面角∠PCD的大小与顶点C在棱AB上的位置无关.②二面角的平面角具有下列性质：i二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面;即AB⊥平面PCD.ii从二面角的平面角的一边上任意一点异于角的顶点作另一面的垂线;垂足必在平面角的另一边或其反向延长线上.iii二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直;即平面PCD⊥α;平面PCD⊥β.③找或作二面角的平面角的主要方法.i定义法ii垂面法iii三垂线法Ⅳ根据特殊图形的性质4求二面角大小的常见方法①先找或作出二面角的平面角θ;再通过解三角形求得θ的值.②利用面积射影定理S′=S·cosα其中S为二面角一个面内平面图形的面积;S′是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积;α为二面角的大小.③利用异面直线上两点间的距离公式求二面角的大小.7.空间的各种距离点到平面的距离1定义面外一点引一个平面的垂线;这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.2求点面距离常用的方法：1直接利用定义求①找到或作出表示距离的线段；②抓住线段所求距离所在三角形解之.2利用两平面互相垂直的性质.即如果已知点在已知平面的垂面上;则已知点到两平面交线的距离就是所求的点面距离.3体积法其步骤是：①在平面内选取适当三点;和已知点构成三棱锥；②求出此三棱锥的体积V和所取三点构成三角形的面积S；③由V=S·h;求出h即为所求.这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离.难点在于如何构造合适的三棱锥以便于计算.4转化法将点到平面的距离转化为平行直线与平面的距离来求.8.直线和平面的距离1定义一条直线和一个平面平行;这条直线上任意一点到平面的距离;叫做这条直线和平面的距离.2求线面距离常用的方法①直接利用定义求证或连或作某线段为距离;然后通过解三角形计算之.②将线面距离转化为点面距离;然后运用解三角形或体积法求解之.③作辅助垂直平面;把求线面距离转化为求点线距离.9.平行平面的距离1定义个平行平面同时垂直的直线;叫做这两个平行平面的公垂线.公垂线夹在两个平行平面间的部分;叫做这两个平行平面的公垂线段.两个平行平面的公垂线段的长度叫做这两个平行平面的距离.2求平行平面距离常用的方法①直接利用定义求证或连或作某线段为距离;然后通过解三角形计算之.②把面面平行距离转化为线面平行距离;再转化为线线平行距离;最后转化为点线面距离;通过解三角形或体积法求解之.10.异面直线的距离1定义条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度;叫做两条异面直线的距离.任何两条确定的异面直线都存在唯一的公垂线段.2求两条异面直线的距离常用的方法①定义法题目所给的条件;找出或作出两条异面直线的公垂线段;再根据有关定理、性质求出公垂线段的长.此法一般多用于两异面直线互相垂直的情形.②转化法为以下两种形式：线面距离面面距离③等体积法④最值法⑤射影法⑥公式法。
必修2第二章《点线面之间的位置关系》知识点及练习
2.1 点、线、面之间的位置关系1．平面概述（1）平面的两个特征：①无限延展 ②平的（没有厚度） （2）平面的画法：通常画平行四边形来表示平面（3）平面的表示：用一个小写的希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β；用表示平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面AC 。
（4）点A 在直线l 上，记作：A l ∈；点A 在平面α内，记作：A α∈；直线l 在平面α内，记作l α⊂ 2.平面的基本性质:推论一：经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。
推论二：经过两条相交直线,有且只有一个平面。
推论三：经过两条平行直线,有且只有一个平面。
异面直线的画法常用的有下列三种：公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行，即c a c b b a ////,//⇒ 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 相等 或 互补aba bαα2.2线面平行的判定与性质1.线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
推理模式：,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒．2.线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
推理模式：//,,//a a b a b αβαβ⊂=⇒ ．3．两个平面的位置关系有两种：两平面相交（有一条公共直线）两平面平行（没有公共点）（1）两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，那么这两个平面平行。
定理的模式：//////a b a b P a b ββαβαα⊂⎫⎪⊂⎪⎪=⇒⎬⎪⎪⎪⎭推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行。
推论模式：,,,,,,//,////a b P a b a b P a b a a b b ααββαβ'''''''=⊂⊂=⊂⊂⇒ （2）两个平面平行的性质a) 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面； b) 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
必修二点线面之间的位置关系汇总
第二章点线面之间的位置关系2.1.1平面一、学习目标:知识与技能：利用生活中的实物对平面进行描述；掌握平面的表示法及水平放置的直观图；掌握平面的基本性质及作用；培养学生的空间想象能力。
过程与方法：通过共同讨论，增强对平面的感性认识；归纳整理本节所学知识情感态度与价值观：认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣。
二、学习重、难点学习重点:1、平面的概念及表示；2、平面的基本性质，注意它们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言。
学习难点:平面基本性质的掌握与运用。
三、使用说明及学法指导:通过阅读教材，联系身边的实物思考、交流，从而较好地完成本节课的学习目标。
四、知识链接:生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象，你们能举出更多例子吗？五、学习过程:A问题1、平面含义A问题2、平面的画法A问题3、平面的表示平面通常用希腊字母（）等表示，如（）等，也可以用表示平面的平行四边形的（）来表示，如（）等。
如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成（）A问题４、点与平面的关系：平面内有无数个点，平面可以看成点的集合。
点A在平面α内，记作：点B在平面α外，记作：A例1、判断下列各题的说法正确与否，在正确的说法的题号后打√，否则打× :1）、一个平面长 4 米，宽 2 米； ( )2）、平面有边界； ( )3）、一个平面的面积是 25 cm 2； ( )4）、菱形的面积是 4 cm 2； ( )5）、一个平面可以把空间分成两部分. ( )A问题5如果直线l与平面α有一个公共点，直线l是否在平面α内？如果直线l 与平面α有两个公共点呢？A问题6公理1：符号表示为公理1作用：判断直线是否在平面内B问题7公理2：符号表示为：公理2作用：确定一个平面的依据。
·B C·B·A·α注意：（1）公理中“有且只有一个”的含义是：“有”，是说图形存在，“只有一个”，是说图形惟一，“有且只有一个平面”的意思是说“经过不在同一直线上的三个点的平面是有的，而且只有一个”，也即不共线的三点确定一个平面.“有且只有一个平面”也可以说成“确定一个平面. B 问题8公理3： 符号表示为：公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 B 例题教材P43 例1 六、达标训练B 课本P43 练习1、2、3、4①为什么有的自行车后轮旁只安装一只撑脚？ ②三角形、梯形是否一定是平面图形？为什么？③四条线段顺次首尾连接，所得的图形一定是平面图形吗？ 为什么？④用符号表示下列语句，并画出图形： ⑴点A 在平面α内，点B 在平面α外； ⑵直线L 在平面α内，直线m 不在平面α内； ⑶平面α和β相交于直线L⑷直线L 经过平面α外一点P 和平面α内一点Q ；⑸直线L 是平面α和β的交线，直线m 在平面α内, 和m 相交于点P.2.1.2空间直线与直线的位置关系1一、学习目标:知识与技能：1．掌握空间两条直线的位置关系，理解异面直线的概念 。
必修2 第二章空间点线面的位置关系知识点
必修2 第二章《点、直线、平面之间的位置关系》知识点
编写人：元丽丽
第一讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 1.四个公理
2.异面直线的概念：把 的两条直线叫做异面直线.
3.等角定理
空间中如果有两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 或 . 4.两条异面直线所成的角（夹角）
（1）定义：已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ''，我们把a '与b '所成的角（或 角）叫异面直线,a b 所成的夹角. （2）异面直线所成角的范围：
5.空间两条直线的位置关系：
7.空间中平面与平面之间的位置关系
第二讲 直线、平面平行的判定及其性质
1.四个定理
第三讲直线、平面平垂直的判定及其性质
1.直线与平面垂直：
如果直线l与平面α内的一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α垂直，记作 .
直线l叫做平面α的，平面α叫做直线l的 .直线与平面的公共点P叫做 .
2. 直线与平面所成的角：
过斜足上斜足以外的一点向平面平面引，过和的直线叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的，叫做这条直线和这个平面所成的角.
角的取值范围： .
3.二面角。
高一数学必修二第二章“点、直线、平面之间的位置关系”知识点总结
数学必修2第二章"点、直线、平面之间的位置关系”知识点
1、平面的特征：
平的，无厚度，可以无限延展.
2、平面的基本性质：
公理1、若一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.
,,,
l l l
公理2、过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.
三点不共线有且只有一个平面使
C C
,,,,,
公理3、若两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
且
l l
推论1、经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面.
推论2、经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3、经过两条平行直线，有且只有一个平面.
公理4、平行于同一条直线的两条直线互相平行.
a b b c a c
//,////
3、等角定理：
空间中若两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
推论：若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.
4、直线与平面平行的判定定理：
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.
a b a b a
数学符号表示：,,////
直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.
a a
b a b
数学符号表示：//,,//
5、平面与平面平行的判定定理：
（1）一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.
a b a b a b
数学符号表示：,,,//,////
（2）垂直于同一条直线的两个平面平行.
a a
符号表示：,//
1。
【新必修2·立体几何】空间点线面的位置关系知识梳理
第1课时平面※知识梳理1 平面1．平面的概念几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的，平面的特征是和．2．平面的画法(1)水平放置的平面通常画成一个，它的锐角通常画成，且横边长等于其邻边长的倍．如图①.(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用画出来．如图②.图①图②3．平面的表示法图①的平面可表示为、、或．【即时训练1】下列说法：①书桌面是平面；②8个平面重叠后，要比6个平面重叠后厚；③有一个平面的长是100 m，宽是90 m；④平面是绝对平滑，无厚度，无限延展的抽象概念．其中正确的个数为()A．0 B．1 C．2 D．3※知识梳理2 平面的基本性质1．公理1：如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线在此平面内，如图1所示．(1)符号语言：．2．公理2过的三点，有且只有一个平面，如图2所示；(1)符号语言：A，B，C不共线⇒存在惟一的α使A，B，C∈α3．公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的，如图3所示．；(1)符号语言：．图1 图2 图3【即时训练2】判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)三点可以确定一个平面．()(2)一条直线和一个点可以确定一个平面．()(3)四边形是平面图形．()(4)两条相交直线可以确定一个平面．()※课堂反馈1．用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”正确的是() A．A∈l，l∉αB．A∈l，l⊄αC．A⊂l，l⊄αD．A⊂l，l∉α2．下列说法中正确的个数为()①三角形一定是平面图形；②若四边形的两对角线相交于一点，则该四边形是平面图形；③圆心和圆上两点可确定一个平面；④三条平行线最多可确定三个平面．A．1 B．2 C．3 D．43．设平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈α，且直线AB∩l＝C，则直线AB∩β＝________.4．有以下三个说法：①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；②直线l在平面α内，可以用符号“l∈α”表示；③已知平面α与β不重合，若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交，则α与β相交．其中正确的序号是________．5．如图，已知平面α，β，且α∩β＝l.在梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.求证：AB，CD，l共点(相交于一点)．第2课时 点线面之间的位置关系※知识梳理1 空间直线的位置关系 1．异面直线(1)定义：把的两条直线叫做异面直线． (2)画法：(通常用平面衬托)2．空间两条直线的位置关系位置关系的分类⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎨⎧异面直线：不同在任何一个平面内【即时训练1】判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两条直线无公共点，则这两条直线平行．( ) (2)两直线若不是异面直线，则必相交或平行．( )(3)过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任意一条直线均构成异面直线．( )※知识梳理2 直线与平面的位置关系 位置关系公共点数符号表示图形表示【即时训练2】判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线与平面不相交，则直线与平面平行．( ) (2)过一点有且只有一条直线与已知直线平行．( ) (3)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．( ) (4)过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行．( )位置关系图示 表示法 公共点个数【即时训练3】在三棱锥的四个面中，任意两个面的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．异面 D ．不确定※课堂反馈1．对于任意的直线l 与平面α，在平面α内必有直线m ，使m 与l ( ) A ．平行 B ．相交 C ．垂直 D ．互为异面直线 2．a 、b 为异面直线是指①a ∩b ＝∅，且a 不平行于b ；②a ⊂平面α，b ⊄平面α，且a ∩b ＝∅； ③a ⊂平面α，b ⊂平面β，且α∩β＝∅；④不存在平面α能使a ⊂α，且b ⊂α成立．( )A ．①②③B ．①③④C ．②③D ．①④3．如果平面α外有两点A 、B ，它们到平面α的距离都是a ，则直线AB 和平面α的位置关系一定是( ) A ．平行 B ．相交 C ．平行或相交 D ．AB ⊂α 4．以下四个命题：①三个平面最多可以把空间分成八部分；②若a ⊂面α，b ⊂面β，则“a 与b 相交”与“α与β相交”等价； ③若α∩β＝l ， a ⊂平面α，b ⊂平面β，且a ∩b ＝P ，则P ∈l ； ④若n 条直线中任意两条共面，则它们共面． 其中正确的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①③ 5．若直线a 不平行于平面α，则下列结论成立的是( ) A ．α内的所有直线均与a 异面 B ．α内不存在与a 平行的直线 C ．α内直线均与a 相交D ．直线a 与平面α有公共点第3课时 线面平行的判定与性质※知识梳理1 公理4及等角定理 1．公理4文字表述：平行于同一条直线的两条直线 ．这一性质叫做空间平行线的 性．符号表述：⎭⎬⎫a ∥b b ∥c ⇒ . 2．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应 ，那么这两个角 ．【即时训练1】已知AB ∥PQ ，BC ∥QR ，若∠ABC ＝30°， 则∠PQR 等于( ) A ．30° B ．30°或150° C ．150° D ．以上结论都不对※知识梳理2 直线与平面平行的判定定理(1)自然语言： 的一条直线与此平面内的一条直线 ，则该直线与此平面平行；注：该定理可简记为： ⇒ ； (2)符号语言： ⇒a ∥α； (3)图形语言：【即时训练2】能保证直线a 与平面α平行的条件是( ) A ．b ⊂α，a ∥bB ．b ⊂α，c ∥α，a ∥b ，a ∥cC ．b ⊂α，A 、B ∈a ，C 、D ∈b ，且AC ＝BD D ．a ⊄α，b ⊂α，a ∥b※知识梳理3 直线与平面平行的性质定理(1)自然语言：一条直线与一个平面 ，则过这条直线的任一平面与此平面的 与该直线 ； 注：该定理可简记为： ⇒ ； (2)符号语言： ⇒a ∥b ； (3)图形语言：【即时训练3】判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行．( )(2)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点．( )(3)过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行．( ) (4)如果直线l 和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l 平行的直线在α内．( )※课堂反馈1．在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，M 是棱CD 上的动点，则直线MC 1与平面AA 1B 1B 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．异面D ．相交或平行 2．如图，四棱锥P ABCD 中，M ，N 分别为AC ，PC 上的点，且MN ∥平面P AD ，则( ) A ．MN ∥PD B ．MN ∥P A C ．MN ∥ADD ．以上均有可能3．如图，四边形ABCD 是平行四边形，S 是平面ABCD 外一点，M 为SC 的中点，求证：SA ∥平面MDB .4．已知公共边为AB 的两个全等的矩形ABCD 和ABEF 不在同一平面内，P ，Q 分别是对角线AE ，BD 上的点，且AP ＝DQ (如图所示)．求证：PQ ∥平面CBE .5．如图，四边形EFGH 是空间四边形ABCD 的一个截面，若截面为平行四边形，求证：AB ∥平面EFGH .第4课时面面平行的判定与性质※知识梳理1 平面与平面平行的判定定理(1)自然语言：一个平面内的直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；注：该定理可简记为：⇒；(2)符号语言：⇒β∥α；(3)图形语言：【即时训练1】判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．()(2)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．()(3)平行于同一平面的两条直线平行．()(4)若α∥β，且直线a∥α，则直线a∥β.()※知识梳理2平面与平面平行的性质定理(1)自然语言：如果两个平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线；注：该定理可简记为：⇒；(2)符号语言：⇒a∥b；(3)图形语言：【即时训练2】已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线a的平面γ，与平面β相交，交线为直线b，则a，b的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．不确定※课堂反馈1．已知m，n是两条直线，α，β是两个平面．有以下说法：①m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.其中正确的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．32．已知平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB和CD 交于点S，若AS=18，BS=9，CD=34，则SC= ．3．如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，M为OA的中点，N为BC的中点．证明：直线MN∥平面OCD. 4．如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2CD，E，E1分别是棱AD，AA1上的点．设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1.5．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面P AO?第5课时线面垂直的判定与性质※知识梳理1 直线与平面垂直的定义(1)文字语言：如果直线l与平面α内的直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直；(2)符号语言：直线l与平面α内的任意直线⇒；(3)图形语言：【即时训练1】直线l⊥平面α，m⊂α，则l与m不可能() A．平行B．相交C．异面D．垂直※知识梳理2直线与平面垂直的判定定理(1)文字语言：一条直线与一个平面内的都垂直，则该直线与此平面垂直，可简记为：⇒；(2)符号语言：⇒l⊥α；(3)图形语言：【即时训练2】一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是()A．平行B．垂直C．相交不垂直D．不确定※知识梳理3直线与平面所成的角1．定义：平面的一条斜线和它在平面上的所成的；2．范围：直线与平面所成的角为θ的范围是；3．画法：如图所示，斜线AP与平面α所成的角是.【即时训练3】若斜线段AB是它在平面α内射影长的2倍，则AB与平面α所成角的大小为()A．60°B．45°C．30°D．90°※知识梳理4 直线与平面垂直的性质定理1(1)文字语言：垂直于同一个平面的两条直线；(2)符号语言：⇒a∥b；※知识梳理5直线与平面垂直的性质定理2(1)文字语言：垂直于一个平面的直线这个平面内的所有直线，可简记为：⇒；(2)符号语言：；【即时训练4】判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)垂直于同一条直线的两个平面互相平行．()(2)垂直于同一平面的两条直线互相平行．()(3)一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直．()※课堂反馈1．垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是() A．垂直B．相交但不垂直C．平行D．不确定2．若两条不同的直线与同一平面所成的角相等，则这两条直线()A．平行B．相交C．异面D．以上皆有可能3．在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，AC＝6，BC＝8，EC ⊥平面ABC，且EC＝12，则ED＝________.4．正四棱锥的侧棱长为23，侧棱与底面所成角为60°，则该四棱锥的高为________.5．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC 所在平面外一点，且SA＝SB＝SC.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.11．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC ＝AA1.(1)求证：AB1⊥平面A1BC1.(2)若D为B1C1的中点，求AD与平面A1B1C1所成角的正弦值．第6课时面面垂直的判定与性质※知识梳理1 二面角1．定义：从一条直线出发的所组成的图形叫做二面角(如图1)．叫做二面角的棱，叫做二面角的面，记法：．在α，β内，分别取点P，Q时，可记作；当棱记为l时，可记作或. 2．二面角的平面角(1)定义：在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，如图2所示，以点O为垂足，在分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线和构成的∠AOB叫做二面角的平面角．(2)直二面角：平面角是的二面角．图1 图2 图3【即时训练1】如图3，三棱锥P-ABC中，P A⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B-P A-C的大小等于________．※知识梳理2平面与平面垂直的判定1．平面与平面垂直(1)定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是，就说这两个平面互相垂直(如图4)，记作：．2．判定定理(1)文字语言：一个平面过另一个平面的，则这两个平面垂直(如图5)，可简记为：⇒；(2)符号语言：⇒α⊥β图3 图4【即时训练2】对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是()A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n⊂αC．m∥n，n⊥β，m⊂αD．m∥n，m⊥α，n⊥β※知识梳理3平面与平面垂直的性质定理(1)文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于的直线与另一个平面(如图所示)．注：该定理可简记为⇒；(2)符号语言：⇒a⊥β；【即时训练3】在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1于F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是() A．平行B．EF⊂平面A1B1C1D1C．相交但不垂直D．相交且垂直※课堂反馈1．已知l⊥α，则过l与α垂直的平面()A．有1个B．有2个C．有无数个D．不存在2．空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，AD⊥BD，那么有() A．平面ABC⊥平面ACD B．平面ABC⊥平面ABD C．平面ABC⊥平面BCD D．平面ADC⊥平面BCD 3．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，(1)二面角D1-AB-D的大小是________；(2)二面角A1-AB-D的大小是________．4．下列说法正确的有________.①α∥β，β⊥γ，则α⊥γ；②α∥β，β∥γ，则α∥γ；③α⊥β，γ⊥β，则α⊥γ；④α⊥β，γ⊥β，则α∥γ.5．如图，四棱锥VABCD的底面是矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD.求证：平面VBC⊥平面VAC.11．如图，在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且AEAC＝AFAD＝λ(0<λ<1)．(1)求证：无论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC.(2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD?。
新人教A版必修2高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系章末归纳整合
当平面α，β，γ的位置关系如图①所示时，将空间分成4部 分；
当平面α，β，γ的位置关系如图②所示时，将空间分成6部 分；
当平面α，β，γ的位置关系如图③所示时，将空间分成6部 分；
当平面α，β，γ的位置关系如图④所示时，将空间分成7部 分；
因为 D 为 AC 的中点，所以 DE＝12PA＝1，BD＝DC＝ 2.
由(1)知 PA⊥平面 ABC，所以 DE⊥平面 ABC．
所以三棱锥 E－BCD 的体积 V＝16BD·DC·DE＝13.
转化思想是证明线面平行与垂直的主要思路，其关系为
【变式训练2】 在斜三棱柱A1B1C1 －ABC(侧棱与底面不垂直)中，底面是等
章末归纳整合
分类讨论思想
分类讨论思想是一种“化繁为简、化整为零，分别对待， 各个击破，再化零为整”的思维策略．由于需要分类讨论的问 题存在着诸多不确定性，所以在应用分类讨论思想时应明确分 类的对象，确定对象的全体；确定分类的标准，正确分类；逐 类进行讨论，获得阶段性的结果；归纳小结，综合结论．
【例1】 已知一个平面把空间分成两部分，两个平面把 空间可分成3部分或4部分，那么三个平面能把空间分成几部 分，你能归纳出n个平面最多能把空间分成几部分吗？
又AC⊥DD1且BD∩DD1＝D， ∴AC⊥平面BDD1B1. ∵E，F分别为棱AB，BC的中点，∴EF∥AC. ∴EF⊥平面BDD1B1. ∵EF⊂平面B1EF， ∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.
(2)∵平面 B1EF⊥平面 BDD1B1 且交线为 B1G，
∴作 D1H⊥B1G 于 H，则 D1H⊥平面 B1EF，
当平面α，β，γ的位置关系如图⑤所示时，将空间分成8部 分．
《金识源专版》高中新人教A版必修2数学课件第二章点、直线、平面之间的位置关系小结
•
下面四个命题中，正确命题的个数是( )
• ①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一 个平面；②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内 的任何一条直线平行；③如果直线a，b满足a∥α，b∥α，则 a∥b；④如果直线a与平面α内的无数条直线平行，那么直线 a必平行于平面α.
• [解析] (1)证明：如图所示，连接AC，BD， AC交BD于O，连接EO.
• ∵底面ABCD是正方形， • ∴点O是AC的中点． • 在△PAC中，∵EO是中位线， • ∴PA∥EO. • 又∵EO⊂平面EDB，PA⊄平面EDB，
• ∴PA∥平面EDB．
• (2)证明：∵PD⊥底面ABCD，DC⊂底面ABCD，
BE.
(Ⅰ)证明：PB⊥平面 DEF.试判断四面体 DBEF 是否为鳖 臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说 明理由；
(Ⅱ)若面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为π3，求DBCC的 值．
• [解析] (Ⅰ)因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC， • 由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD＝D，
BD⊥AE
AF∩AE＝A
⇒BD⊥平面 AEF.
•
规律总结：证明线面垂直可转化为证
线线垂直，而要证线线垂直又转化为证线面
垂直，本题就是通过多次转化而获得证明的，
这是证垂直问题的一个基本规律，须熟悉其
转化关系．
•
如右图所示，在四棱锥P－ABCD中，底
面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E
• 所以BC⊥平面PCD．而DE⊂平面PCD，所以BC⊥DE. • 又因为PD＝CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC． • 而PC∩BC＝C，所以DE⊥平面PBC．
【人教A版】高中数学必修二第二章：点、直线、平面之间的位置关系 复习
a 1e1 2e2
四、数量积的主要应用
2
1、计算向量的模：a a a , a a a
坐标表示： a x2 y2
2、两点间距离公式：
AB (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
3、计算两个向量的夹角：
cos a b
x1x2 y1y2
ab
x12 y12 x22 y22
DAC为等腰三角形 DO AC
平面DAC 平面ABC, A
o
C
600
平面DAC 平面ABC AC,
DO 平面ABC
B
例题2.（2015年全国Ⅰ卷） 如图，四边形 ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E，F 是平面 ABCD 同一侧的两点，BE⊥平面ABCD， DF⊥平面 ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.
直线和平面垂直的判定与性质
1．直线与平面垂直的概念
如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都 垂直，我们说直线 l 与平面 互相垂直，
2．直线与平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直， 则该直线与此平面垂直．
简记为:线线垂直，则线面垂直。
3．直线与平面垂直的另一种判定方法
两条平行直线中的一条垂直一个平面,则另 一条直线也垂直这个平面.
直线和平面平行的判定与性质
1.判定定理：平面外的一条直线和平面内的一 条直线平行，则该直线和这个平面平行。 简记为:线线平行，则线面平行。
2.性质定理:如果一条直线和一个平面平行， 经过这条直线的平面和这个平面相交，那么 这条直线就和交线平行。
简记为:线面平行，则线线平行。
平面和平面平行的判定与性质
3、使三线共点，确定坐标原点（以 垂足或者面内线线垂直的交点为原 点）
高中数学必修二-空间点、线、面之间的位置关系
空间点、线、面之间的位置关系知识集结知识元文字语言、图形语言、符号语言的相互转化知识讲解平面的概念、表示及其基本性质1．平面的概念几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是无限延展的．2．平面的画法(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍．如图①.(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来．如图②.图①图②3．平面的表示法图①的平面可表示为平面α、平面ABCD 、平面AC 或平面BD.4．平面的基本性质公理内容图形符号公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内A ∈l ，B ∈l ，且A ∈α，B ∈α⇒l ⊂α公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A ，B ，C 三点不共线⇒存在唯一的α使A ，B ，C ∈α公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P ∈α，P ∈β⇒α∩β＝l ，且P ∈l例题精讲文字语言、图形语言、符号语言的相互转化例1.下面说法中(其中A ，B 表示点，a 表示直线，α表示平面)：①因为A ⊂α，B ⊂α，所以AB ⊂α；②因为A∈α，B∈α，所以AB∈α；③因为A∉a，a⊂α，所以A∉α；④因为A∉α，a⊂α，所以A∉a.其中正确的说法的序号是()A．①④B．②③C．④D．③例2.用符号语言表示下列语句，正确的个数是()(1)点A在平面α内，但不在平面β内：A⊂α，A⊄β.(2)直线a经过平面α外的点A，且a不在平面α内：A∈a，A∉α，a⊄α.(3)平面α与平面β相交于直线l，且l经过点P：α∩β=l，P∈l.(4)直线l经过平面α外一点P，且与平面α相交于点M：P∈l，l∩α=M.A．1B．2C．3D．4例3.AB，AD⊂α，CB，CD⊂β，E∈AB，F∈BC，G∈CD，H∈DA，若直线EH与FG相交于点P，则点P必在直线________上.点、线共面问题知识讲解平面的概念、表示及其基本性质1．平面的概念几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是无限延展的．2．平面的画法(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍．如图①.(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来．如图②.图①图②3．平面的表示法图①的平面可表示为平面α、平面ABCD 、平面AC 或平面BD.4．平面的基本性质公理内容图形符号公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内A ∈l ，B ∈l ，且A ∈α，B ∈α⇒l ⊂α公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A ，B ，C 三点不共线⇒存在唯一的α使A ，B ，C ∈α公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P ∈α，P ∈β⇒α∩β＝l ，且P ∈l例题精讲点、线共面问题例1.若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是__________.例2.'如图所示，在空间四边形各边AD，AB，BC，CD上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH 交于一点P，求证：点P在直线BD上.'例3.下列说法中正确的是()A．空间不同的三点确定一个平面B．空间两两相交的三条直线确定一个平面C．空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形D．和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内例4.在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如EF与HG交于点M，那么()A．M一定在直线AC上B．M一定在直线BD上C．M可能在直线AC上，也可能在直线BD上D ．M 既不在直线AC 上，也不在直线BD 上点共线与线共点问题知识讲解平面的概念、表示及其基本性质1．平面的概念几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是无限延展的．2．平面的画法(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍．如图①.(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来．如图②.图①图②3．平面的表示法图①的平面可表示为平面α、平面ABCD 、平面AC 或平面BD.4．平面的基本性质公理内容图形符号公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那A ∈l ，B ∈l ，且A ∈α，么这条直线在此平面内B ∈α⇒l ⊂α公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A ，B ，C 三点不共线⇒存在唯一的α使A ，B ，C ∈α公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P ∈α，P ∈β⇒α∩β＝l ，且P ∈l例题精讲点共线与线共点问题例1.如图，平面α∩平面β＝l ，A 、B ∈α，C ∈β，C ∉l ，直线AB ∩l ＝D ，过A 、B 、C 三点确定的平面为γ，则平面γ、β的交线必过()A ．点AB ．点BC ．点C ，但不过点D D ．点C 和点D例2.'如图，△ABC与△A1B1C1不全等，且A1B1∥AB，B1C1∥BC，C1A1∥CA.求证：AA1，BB1，CC1交于一点.'例3.'求证：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．'例4.'在正方体AC1中，E、F分别为D1C1、B1C1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q，如图. (1)求证：D、B、E、F四点共面；(2)作出直线A1C与平面BDEF的交点R的位置．'空间两直线位置关系的判定知识讲解空间中直线与直线之间的位置关系1．异面直线(1)定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．(2)画法：(通常用平面衬托)2．空间两条直线的位置关系平行、相交、异面直线例题精讲空间两直线位置关系的判定例1.所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________(注：把你认为正确结论的序号都填上)．例2.如图，E，F是AD上互异的两点，G，H是BC上互异的两点，由图可知，①AB与CD互为异面直线；②FH分别与DC，DB互为异面直线；③EG与FH互为异面直线；④EG与AB互为异面直线.其中叙述正确的是()A．①③B．②④C．①④D．①②例3.如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN是异面直线．以上四个命题中，正确命题的序号是()A．①②③B．②④C．③④D．②③④公理4、等角定理的应用知识讲解空间中直线与直线之间的位置关系1．公理4文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质叫做空间平行线的传递性．符号表述：⇒a∥c.2．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．例题精讲公理4、等角定理的应用例1.'如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点．(1)求证：D1E∥BF；(2)求证：∠B1BF＝∠D1EA1.'例2.已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中(如图)，l⊂平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列一定不可能的是()A．l与AD平行B．l与AD不平行C．l与AC平行D．l与BD垂直例3.'如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC AD，BEFA，G，H分别为FA，FD的中点.(1)证明：四边形BCHG是平行四边形.(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？'求异面直线所成的角知识讲解空间中直线与直线之间的位置关系1．异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．(2)异面直线所成的角θ的取值范围：0°<θ≤90°(3)当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b.例题精讲求异面直线所成的角例1.如图，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别为AB，CD的中点，EF=，则AD与BC所成的角为()A．30°B．60°C．90°D．120°例2.在正方体ABCD-A′B′C′D′中，点P在线段AD′上运动，则异面直线CP与BA′所的θ角的取值范围是()A．0<θ<B．0<θ≤C．0≤θ≤D．0<θ≤例3.'已知A是△BCD外的一点，E，F分别是BC，AD的中点，(1)求证：直线EF与BD是异面直线.(2)若AC⊥BD，AC=BD，求EF与BD所成的角.'直线与平面的位置关系知识讲解空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示a⊂αa∩α＝A a∥α图形表示平面与平面的位置关系位置关系图示表示法公共点个数两平面平行α∥β0个两平面相交α∩β＝l无数个点(共线)例题精讲直线与平面的位置关系例1.下列说法中，正确的个数是()(1)平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有2条或3条交线.(2)如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面.(3)直线a不平行于平面α，则a不平行于α内任何一条直线.(4)如果α∥β，a∥α，那么a∥β.A．0B．1C．2D．3例2.'如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，E，F分别为B′C′，A′D′的中点，求证：平面ABB′A′与平面CDFE相交.'例3.两平面α、β平行，a⊂α，下列四个命题：(1)a与β内的所有直线平行；(2)a与β内无数条直线平行；(3)直线a与β内任何一条直线都不垂直；(4)a与β无公共点．其中正确命题的个数有()A．1个B．2个C．3个D．4个例4.'如图所示，ABCDA1B1C1D1是正方体，在图中，E，F分别是D1C1，B1B的中点，画出图①②中有阴影的平面与平面ABCD的交线，并给出证明．'备选题库知识讲解本题库作为知识点“平面的基本性质和推论”的题目补充.例题精讲备选题库例1.下列说法正确的是（）A．三点确定一个平面B．过一条直线的平面有无数多个C．两条直线确定一个平面D．两条相交平面的交线是一条线段例2.已知正四棱锥S-ABCD侧棱长为，底面边长为，E是SA的中点，则异面直线BE与SC 所成角的大小为（）A．B．C．D．例3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，BC=1，AA1=，则异面直线AD1与B1C所成角的余弦值为（）A．B．-C．D．-例4.已知α，β是相异两个平面，m，n是相异两直线，则下列命题中正确的是（）A．若m∥n，m⊂α，则n∥αB．若m⊥α，m⊥β，则α∥βC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若α∩B=m，n∥m，则n∥β当堂练习单选题练习1.下列说法中错误的是（）①如果一条直线和平面内的一条直线垂直，那么该直线与这个平面必相交；②如果一条直线和平面内的两条平行线垂直，那么该直线必在这个平面内；③如果一条直线和平面的一条垂线垂直，那么该直线必定在这个平面内；④如果一条直线和一个平面垂直，那么该直线垂直于平面内的任何直线．A．①②B．②③④C．①②④D．①②③练习2.已知两个平行平面α，β，直线l⊂α，过l上一点P作与l所成角为40°的直线m，则直线m与β的交点M的轨迹是（）A．椭圆B．抛物线C．双曲线D．圆练习3.已知异面直线a，b所成的角为60°，过空间一点O的直线与a，b所成的角均为60°，这样的直线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条练习4.已知l、m为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若l∥m，l∥α，则m∥αB．若α⊥β，l∥α，则l⊥βC．若l⊥β，α⊥β，则l∥αD．若l⊥m，l⊥α，且m⊥β，则α⊥β练习1.在△ABC中，D为AB的中点，AC=2CD=4，△ABC的面积为6，BE⊥CD且BE交CD于点E，将△BCD沿CD翻折，翻折过程中，AC与BE所成角的余弦值取值范围是_____．练习2.如图，点M为正方形ABCD边DC上异于点C，D的动点，将△ADM沿AM翻折成△PAM，使得平面PAM⊥平面ABCM，则下列说法中正确的是________．（填序号）（1）在平面PBM内存在直线与BC平行；（2）在平面PBM内存在直线与AC垂直（3）存在点M使得直线PA⊥平面PBC（4）平面PBC内存在直线与平面PAM平行．（5）存在点M使得直线PA⊥平面PBM练习3.若平面α与平面β平行，a⊂α，b⊂β，则a与b的位置关系是_______．练习1.'长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AA1=2，AB=1，E是DD1上的一点。
高中数学必修2点线面常用定理汇总
高中数学必修2 点、线、面知识小结第一部分 课本相关概念一、关于异面直线：1.定义：不同在任一平面的两条直线；既不平行也不相交的两条直线2.异面直线夹角：对于异面直线l 和m ，在空间任取一点P ，过P 分别作l 和m 的平行线1l 和1m ，我们把1l 和1m 所成的角叫做异面直线l 和m 所成的角α 其中，⎥⎦⎤⎝⎛∈20πα，3.异面直线的公垂线与两异面直线都垂直且相交的直线 两异面直线的公垂线段有且仅有一条 说明：两直线所成角θ的范围：⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈20πθ， 二、关于线面角 1.直线与平面斜交：当直线与平面相交且不垂直时，称直线与平面斜交，直线叫做平面的斜线 2.斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角α ，⎥⎦⎤⎝⎛∈20πα，当直线与平面垂直时，直线与平面所成角为︒90 3.直线与平面所成角：记作“θ”，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈20πθ，三、关于二面角1.半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中每一个部分都叫做一个半平面2.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 这条直线称为二面角的棱；两个半平面称为二面角的面3.二面角的平面角：以二面角棱上任意一点为端点，在两个面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角 二面角的大小用它的平面角的大小来表示 平面角是直角的二面角称为直二面角4.二面角的范围：记作“θ”，[]πθ，0∈四、空间中的距离问题：1.点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段长2.点到平面的距离：平面外一点到平面的垂线段长3.两异面直线间的距离：两异面直线间公垂线段的长4.平行直线到平面的距离：直线上任一点到平面的距离5.两平行平面间的距离：其中一个平面内任意一点到另一个平面的距离 五、空间中的位置关系： 1.点与直线的位置关系：点在直线上；点不在直线上； 2.点与平面的位置关系：点在平面内；点不在平面内；3.两直线的位置关系：相交，平行，异面；空间中垂直有两种：相交垂直和异面垂直 4.直线与平面间的位置关系：直线与平面平行α//l ；直线与平面相交P l =α ；直线在平面内α⊆l 直线与平面垂直是直线与平面相交的一种；直线与平面平行和直线与平面相交统称为直线不在平面内5.平面与平面的位置关系：相交l =βα ；平行βα//；重合βα=；第二部分 课本公理定理公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 αα∈∈∈∈B A l B l A ,,,且 ⇒ α⊆l用途：常用来判断点在平面内；或者直线在平面内 公理2 过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面 推论 ①过直线与直线外一点，有且仅有一个平面②过两条相交直线，有且仅有一个平面 ③过两条平行直线，有且仅有一个平面 用途：常用来确定平面 公理3 若两个不重合的平面有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线．βα∈∈P P 且 ⇒ l P l ∈=且,βα用途：证明两平面相交；或三点共线；或三线共点公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行 b a //，c b // ⇒ c a //空间等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补若方向相同，则两角相等；若方向相反，则两角互补 异面直线的判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线 l B B A l ∉∈∉⊆,,,ααα⇒AB 和l 是异面直线 线面平行判定定理 若不在平面内的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行 m l m l //,,αα⊆⊄ ⇒ α//l面面平行判定定理 若一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，则这两个平面平行第三部分 立体几何中的唯一性定理辨析1、经过平面外一点，有无数条直线和已知平面平行 经过平面外一点，有且只有一个平面和已知平面平行2、经过平面外一点，有且只有一条直线和已知平面垂直 经过平面外一点，有无数个平面和已知平面垂直3、经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行 经过直线外一点，有无数个平面和已知直线平行4、经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线垂直 经过直线外一点，有无数个平面和已知直线垂直第四部分 关于平行的判定方法一、线线平行的判定 1.定义法：在同一平面内,没有公共点的两条直线 ∅≠⊆⊆l m l m ;,αα ⇒ l m //2.平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行 b a //，c b // ⇒ c a //3.线面平行性质定理 若一条直线与一个平面平行，过这条直线的任意平面与此平面相交，则交线与该直线平行l m m =⊆βαβα ,,// ⇒ l m //4.面面平行性质定理 若两个平行平面同时和第三个平面相交，则它们的交线平行一、线线垂直的判定 1.定义法：两直线所成角为o90；两直线所成角，是两直线相交所得较小的角；也可以是异面直线平移后相交所得较小的角2.线面垂直性质：若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于平面内的所有直线αα⊆⊥n l , ⇒ n l ⊥3.三垂线定理：在平面内的一条直线，若和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直AB l l PB A PA ⊥⊆⊥=,,,ααα ⇒ PA l ⊥4.三垂线定理的逆定理：在平面内的一直线，若和这个平 交线的直线与另一个平面垂直 n l n l ⊥=⊆⊥,,,βααβα ⇒ β⊥l二、线面垂直的判定1.定义法：若直线和平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，则称这条直线和这个平面互相垂直2.线面垂直判定定理 若一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线垂直于此平面n l m l P n m n m ⊥⊥=⊆⊆,;,, αα⇒α⊥l3.线面垂直性质 若一条直线垂直于垂直于两个平行平面中的一个平面，则它也垂直于另一个平面 βαα//,⊥l ⇒ β⊥l 面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线的射影垂直PA l l PB A PA ⊥⊆⊥=,,,ααα ⇒ AB l ⊥5.线面垂直性质 若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面 α⊥l n l ,// ⇒ α⊥n6.面面垂直性质 若两个平面垂直，则一个平面内垂直于三、面面垂直的判定1.定义法：两个平面相交，若它们所成的二面角是直二面角，则这两个平面互相垂直.2.面面垂直判定定理 若一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直 βα⊆⊥l l , ⇒ βα⊥。
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(2)证明线线垂直的方法 ①线线垂直的定义：两条直线所成的角是直角，在研究异面直 线所成的角时，要通过平移把异面直线转化为相交直线； ②线面垂直的性质：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b； ③线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b.
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2．线面关系 直线与平面之间的位置关系有且只有线在面内、相交、平行三 种 . (1)证明直线与平面平行的方法 ①线面平行的定义； ②判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α； ③平面与平面平行的性质：α∥β，a⊂α⇒a∥β.
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3．三线共点问题 证明三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直 线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题．
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【例 1】 如图所示，空间四边形 ABCD 中 E，F 分别为 AB， AD 的中点，G，H 分别在 BC，CD 上，且 BG∶GC＝DH∶HC ＝1∶2.求证：
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(2)证明面面垂直的方法 ①面面垂直的定义：两个平面相交所成的二面角是直二面角； ②面面垂直的判定定理：a⊥β，a⊂α⇒α⊥β.
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4．证明空间线面平行或垂直需注意的三点 (1)由已知想性质，由求证想判定． (2)适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一． (3)用定理时要先明确条件，再由定理得出相应结论． 5．“升降维”思想 用降维的方法把空间问题转化为平面或直线问题，可以使问题得 到解决．用升维的方法把平面或直线中的概念、定义或方法向空 间推广，可以从已知探索未知，是“学会学习”的重要方法． 平面图形的翻折问题的分析与解决，就是升维与降维思想方法的 不断转化运用的过程．
(1)E，F，G，H 四点共面； (2)EG 与 HF 的交点在直线 AC 上．
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证明 (1)∵BG∶GC＝DH∶HC， ∴GH∥BD. 又 EF∥BD，∴EF∥GH，∴E，F，G，H 四点共面． (2)∵G，H 不是 BC，CD 的中点， ∴EF∥GH，且 EF≠GH，∴EG 与 FH 必相交， 设交点为 M，而 EG⊂平面 ABC，HF⊂平面 ACD， ∴M∈平面 ABC，且 M∈平面 ACD， ∴M∈平面 ABC∩平面 ACD， ∴M∈AC，即 GE 与 HF 的交点在直线 AC 上．
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(2)证明直线与平面垂直的方法 ①线面垂直的定义； m，n⊂α，m∩n＝A ⇒l⊥α； ②判定定理 1： l⊥m，l⊥n ③判定定理 2：a∥b，a⊥α⇒b⊥α； ④面面平行的性质定理：α∥β，a⊥α⇒a⊥β； ⑤面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.
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专题一 共点、共线、共面问题 1．三点共线问题 证明空间三点共线问题， 通常证明这些点都在两个面的交线上， 即先确定出某两点在某两个平面的交线上，再证第三点是两个 平面的公共点，则此点必在两个平面的交线上 . 2．共面问题 证明共面问题，一般有两种证法：一是由某些元素确定一个平 面，然后证明其余元素在这个平面内；二是分别由不同元素确 定若干个平面，然后证明这些平面重合．
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(2)线面平行的判定方法： ①线面平行的定义(无公共点)； ②利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)； ③利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)； ④利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．
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(3)面面平行的判定方法： ①平面平行的定义(无公共点)； ②面面平行的判定定理(a∥β，b∥β，a，b⊂α，且 a∩b＝A⇒α ∥β)； ③面面平行的判定定理的推论(若 a∥a′，b∥b′，a⊂α，b⊂ α 且 a∩b＝A，a′⊂β，b′⊂β，且 a′∩b′＝A′，则 α∥β)； ④线面垂直的性质(a⊥α，a⊥β⇒α∥β)； ⑤平面平行的性质(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)；
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专题二 平行问题 1．空间平行关系的判定方法 (1)线线平行的判定方法： ①利用线线平行的定义证共面而且无公共点； ②利用平行公理 4； ③利用线面平行的性质定理； ④利用线面垂直的性质定理(a⊥α，b⊥α⇒a∥b)； ⑤利用面面平行的性质定理(α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b)； ⑥利用平行四边形的性质、三角形、梯形中位线、线段对应成 比例等．
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2．平行关系的转化
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【例 2】 如图，S 为矩形 ABCD 所在平面外一点，E，F 分别 是 SD，BC 上的点，且 SE∶ED＝BF∶FC. 求证：EF∥平面 SAB.
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证明
法一 转化为证面面平行．
过 F 作 FG∥AB，交 AD 于 G，连接 EG.∵FG∥AB， ∴AG∶GD＝BF∶FC， ∴AG∶GD＝SE∶ED，故 EG∥SA. ∴EG∥平面 SAB， 又∵FG∥AB，∴FG∥平面 SAB，EG∩FG＝G， ∴平面 SAB∥平面 EFG， 因此，EF∥平面 SAB.
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3．面面关系 两个平面之间的位置关系有且只有平行、相交两种． (1)证明面面平行的方法 ①面面平行的定义； ②面面平行的判定定理：a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α，a∩b＝A ⇒α∥β； ③线面垂直的性质定理：垂直于同一条直线的两个平面平行， 即 a⊥α，a⊥β⇒α∥β； ④公理 4 的推广：平行于同一平面的两个平面平行，即 α∥γ， β∥γ⇒α∥β.
本 章 归 纳 整 合
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专题归纳
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要点归纳 1．线线关系 空间两条直线的位置关系有且只有相交、平行、异面三种．两 直线垂直有“相交垂直”与“异面垂直”两种情况． (1)证明线线平行的方法 ①线线平行的定义； ②公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行； ③线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b； ④线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b； ⑤面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.