勾股定理逆定理的三种运用

勾股定理逆定理的三种运用

原《几何》第一册104页给出了勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有下面关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．下面举例说明这一定理在解题中的三种运用．

1．判断三角形形状

例1 已知△ABC的三边a、b、c使方程a(1－x2)+2bx+c(1+x2)=0有等根，试判断三角形的形状．

解原方程可变为

(a－c)x2－2bx－(a+c)=0

∵方程有等根．

∴△=4b2+4(a+c)(a－c)

=4(a2+b2－c2)=0

∴a2+b2－c2=0即a2+b2=c2

∴△ABC为直角三角形，且∠C为直角．

2．用于证明

例2 如图1，在△ABC中，AD⊥BC，且AB2=BD·BC，求证：BA⊥AC．

证明∵AD⊥BC，

∴ AD2+BD2=AB2

AC2=AD2+CD2

=AD2+(BC－BD)2

=AD2+BC2－2BC·BD+BD2

=BC2+AB2－2BC·BD

(∵ AB2=BC·BD)

=BC2+AB2－2AB2

=BC2－AB2

∴AB2+AC2=BC2

∴△ABC为直有三角形，且∠BAC为直角．

∴DA⊥AC

例3如图2，在正方形ABCD中，M为AB的中点，在AD上取一点E，使

1

AE AD

4

=，

EC中点为N。

求证：

1 MN EC

2

=

证明设正方形边长为a，则

∵ME2+MC2

=(AM2+AE2)+(BM2+BC2)

∴ME2+MC2=EC2

∴△EMC为直角三角形，且EC为斜边，又N为EC中点，故MN为斜边中线．

3．用于求角度

例4 如图3，在四边形ABCD中，AB∶BC∶CD∶AD=2∶2∶3∶1，且∠B=90°，求∠DAB=？解连AC，设AD=a，则

AB=BC=2a，CD=3a,

∵∠B=90°，且AB=BC，

又∵ AC2+AD2=8a2+a2=9a2=CD2

∴△CAD为直角三角形，且

∠CAD=90°

∴∠BAD=90°+45°=135°

例5 如图4，P为正三角形内一点，且PC=3，PB=4，PA=5，求∠BPC=？

解如图4，绕点C，将△APC旋转60°得△CBP′，则△CPP′为正三角形，于是∠P′PC=60°，

又P′P=PC=3，BP=4，BP′=PA=5，

∴△BPP′为直角三角形

且∠BPP′=90°，

∴∠BPC=90°+60°=150°