最新1-6极限存在准则与两个重要极限

合集下载

1-6 两个重要极限

n n2 1 n2 2
n2 n
2.单调有界准则
如果数列 xn满足条件 x1 x2 xn xn1 , 单调增加 x1 x2 xn xn1 , 单调减少
单调数列
几何解释:
x1 x2 x3xn xn1 A M
x
二、两个重要极限
证:
当
x(0,
π 2
)
时，
△AOB 的面积＜圆扇形AOB的面积
•
7、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。。20 20年12 月上午 12时31 分20.1 2.1000: 31Dece mber 10, 2020
•
8、业余生活要有意义，不要越轨。20 20年12 月10日星期四 12时31 分35秒 00:31:3 510 December 2020
•
9、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。上午 12时31 分35秒上午12 时31分 00:31:3 520.12. 10
x0 x
(2) lim sin 5x x0 sin 8x
(4) lim
x0
1
cos x2
x
arcsin x
(5) lim
x0
x
(3) lim tan x x0 x
(6) lim sin x x x
说明：1. 以下结论也可直接作为公式使用
lim tan u 1 u0 u lim arcsin u 1 u0 u
• 10、你要做多大的事情，就该承受多大的压力。12/10/
2020 12:31:35 AM00:31:352020/12/10
• 11、自己要先看得起自己，别人才会看得起你。12/10/
谢谢大家 2020 12:31 AM12/10/2020 12:31 AM20.12.1020.12.10

1-6极限存在准则与两个重要极限

x 0
返回
微积分
第一章极限与连续
五、连续复利公式
设本金为 A , 年利率为 r .
按年计息 : 一年末本利和为二年末本利和为 t 年末本利和为 : A(1 r) .
t
: A ( 1 r ); : A (1 r ) ;
2
返回
微积分
按月计息 : 一年末本利和为二年末本利和为 t 年末本利和为
n
x n 6 ( n 1, 2 , )，
返回
微积分
第一章极限与连续
四、第二个重要极限
1
lim (1 x )
x 0
x
e 或 lim (1
x
1 x
) e
x
返回
微积分
第一章极限与连续
例4 求下列极限：
(1) lim (1
x 2
3 x
)
x
( 2 ) lim x 1 x
微积分
第一章极限与连续
第六节
极限存在准则与两个重要极限
一、夹逼准则
定理1： ( 1 ) 若当
n
n N 0时 , 有 y n x n z n , 且
n n
lim y n lim z n a , 则 lim x n a . ( 2 ) 若当 x U ( x 0 ) 时 , 有 g ( x ) f ( x ) h ( x ), 且
x 0
是
x 0
而 lim
x

;
sin[ ( x ]
( 3 ) 将 x 换成 ( x ), 则有 sin( 1 x ) 1 x 1.
(x)
1 ( ( x ) 0 ),

高等数学1-6极限存在准则,两种重要极限

n
xn a 成立,
该准则可以推广到函数的极限
准则 I'
如果当 x U ( x0 ) (或 | x | M )时,有
(1) g( x ) f ( x ) h( x ),
(2) lim g ( x ) A,
x x0 ( x ) x x0 ( x )
o
lim h( x ) A,
lim 那么 x x f ( x ) 存在, 且等于 A .
( x )
0
准则 I 和准则 I’ 称为夹逼准则. 注意: 利用夹逼准则求极限关键是构造出 yn与 zn
( g( x ), h( x )), 并且 yn ( g ( x ))与zn ( h( x )) 的极限
1 x lim (1 ) e . x x
1 x 再证 xlim (1 ) e , x
令 t x,
1 x lim (1 ) e . x x
1 x 1 t t t lim (1 ) lim(1 ) lim( ) x t t t 1 x t 1 t lim(1 ) lim(1 1 )t 1 (1 1 ) e. t t 1 t t 1 t 1 1 令t , x
复习
1. 无穷小与无穷大的定义
2. 无穷小与函数极限的关系 3. 无穷小与无穷大的关系
几点注意:
1. 无穷小和无穷大是相对于过程而言的;
2. 无穷小(大) 是变量，不能与很小(大)的数混淆; 3. 零是唯一可作为无穷小的数； 4. 无界变量未必是无穷大.
1. 极限运算法则
(1) 无穷小运算法则 (2) 极限四则运算法则 (3) 复合函数极限运算法则
arcsin x . 例5. 求 lim x 0 x

1-6极限准则两重要极限

例8 求极限解令
arcsin x lim x 0 x
则
arcsin x t
x sin t
t 1 原式= lim t 0 sin t
思考
arctan x lim ? x 0 x arccos x lim ? x 0 x
(2)
1 x lim (1 ) e x x
1 1 1 1 1 1 n 1 xn 1 1 2! n! 2 2 1 xn 是有界的; 3 n 1 3, 2 1 n lim x n 存在. 记为 lim (1 ) e (e 2.71828) n n n
0 ( )型 0
tan x sin x 例4 求极限 lim 3 x 0 x
0 ( )型 0
tan x sin x 解 lim 3 x 0 x 1 1 sin x cos x lim x 0 x x2
sin x 1 cos x 1 lim 2 x 0 x x cos x
2
sin x 即 cos x 1, x
2
lim cos x 1,
x 0
又 lim 1 1,
x 0
sin x lim 1. x 0 x
0 ( )型 0
例2 求极限解
tan x lim x 0 x
0 ( )型 0
tan x lim x 0 x
sin x 1 lim x 0 x cos x
1 2
cos x cos 3 x 例5 求极限 lim x 0 x2 cos x cos 3 x 解 lim x 0 x2
2 sin(2 x ) sin x lim 2 x 0 x

1-6 极限存在性定理与两个重要极限

g ( x) lim h( x) A 且有 lim g( x ) lim h( x ) A ， lim x x
x x0 x x0

则极限 lim f ( x ) （ lim f ( x) ）存在，
x x0
x
且也等于 A .
证略.
3
如果数列 un满足条件
n
证略.
1
例
求 lim(
n
1 n 1
2

1 n 2
2

1 n n
2
).
n 1 1 n , 解 2 2 2 2 n n n 1 n n n 1
n 又 lim 2 lim n n n n
lim
n
1 1 1 n
1,
由夹逼定理得
1 1 1 2 2! 3! n! 1 1 1 2 1 2 2 3 n( n 1)
1 1 1 1 1 1 2 1 3 3. 2 2 3 n1 n n
11
综上所述， { un } 单调增加且有上界,
1 n (1 ) 存在 , 记为 e. 因此 li m n n
x1 x2 xn xn1 , 称单调增加
单调数列
x1 x2 xn xn1 , 称单调减少
定理
单调有界数列必有极限.
具体：单调增加有上界，或单调减少有下界.
4
二、两个重要极限
sin x 1. lim 1 x 0 x
y
1
x
5
sin x lim 1 x 0 x
1 n( n 1) 1 n( n 1)(n 2) 1 n( n 1)1 2 2 3 2! n 3! n n! nn

极限存在准则两个重要极限公式

夹逼准则不仅说明了极限存在，而且给出了求极限的
方法．下面利用它证明另一个重要的
极限公式： lim sin x 1 x0 x
证:
当
x
(
0
,
2
)
时，
BD
1x
oC
A
△AOB 的面积＜圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积
即
1 2
sin
x
1 2
x
1 2
tan
x
亦故即有
1sin sxinxxxctoa1snxx
1. 单调有界准则
数列 xn : 单调增加 x1 x2 xn xn1 ,
单调减少 x1 x2 xn xn1 ,
准则I 单调有界数列必有极限单调上升有上界数列必有极限
说明: 单调下降有下界数列必有极限 (1) 在收敛数列的性质中曾证明：收敛的数列一定有界，但有界的数列不一定收敛．
1
1 1 n1 n 1
1 yn1
由于数列 yn 是单调增加的，所以数列 zn 是单调减少的.
又
xn
1
1
n
n
1
1
ห้องสมุดไป่ตู้n1
n
zn
z1
4
则 2 xn 4. 综上，根据极限存在准则Ⅰ可知，数列是
收敛的.
2023年12月9日星期六
4
目录
上页
下页
返回
通常用字母 e 来表示这个极限，即
lim
n
1
1
n
)
( n 1, 2,
), 且
x1 0,
a0,
求
lim
n
xn
.
利用极限存在准则

极限存在准则与两个重要极限

100 000 2.718 27 100 000 2.718 30
1 000 000 2.718 28 1 000 000 2.718 28
e e
1.2 准则Ⅱ与第二个重要极限
因此，
lim
x
1
1 x
x
e
．
e 是无理数，它的值是 2.718 28 ．在 1.1 中提到的指数函数 y ex 及自然对数 y ln x 中的
（2） lim g(x) lim h(x) A ，
xx0
xx0
则有 lim f (x) A ． xx0
1.1 准则Ⅰ与第一个重要极限
作为准则Ⅰ及准则Ⅰ'的应用，下面证明一个重要极限： lim sin x 1 ． x0 x
证明在图所示的单位圆中，设圆心角 BOA x ， AD 切圆 O 于 A ，且与 OB 延长线相交于 D ，于是有
3 1
x 1
1
lim
x 1
3
x
2x 1
2x
lim
x
2x 2x
3 1
lim
x
1 1
3
x
2x
1 x 2x
1
3
e2
1
e2
e．
1.7 无穷小阶的比较
在 1.4 节中我们已经知道，两个无穷小的和、差及乘积仍是无穷小．但是关于两
个无穷小的商却会出现不同的情况．例如，当 x 0 时，2x ， x2 ，sin x 都是无穷小
an1
1
n
1
n1
1
1
1
21!1
n
1
1
1 3!
1
1 n
1

高等数学1.6极限存在准则、两个重要极限

二、两个重要极限
例4
1 cos x 求 lim . 2 x0 x
2 x x 2 sin 2sin 2 1 lim 2 解原式 lim 2 x 0 2 x x 0 x 2 2 2
0 0
sin x lim 1 x 0 x
lim cos x 1,
x 0
x x0 x x0
lim f ( u ) A，则 lim f [ g ( x )] A lim f ( u )
u a
证明
lim(1 x ) e
x 0
1 x
x x0 1 x
u a
1 1 令 x , lim(1 )t ＝ lim(1 x ) t t t x0
x x0 ( x ) x x0 ( x )
f ( x) lim h( x ) A, 那末 xlim x
( x)
0
存在, 且等于 A 上述两准则称为两边夹准则.
例1 求 lim( n 解：
1 n 1
2

1 n 2
2

1 n n
2
).
n n n
2
n
x 1 sin x 1, cos x 1 sin x cos x x
A
下面证 lim cos x 1,
x0
2 x x x 2 2 1 cos x 2 sin 2( ) , 2 2 2
0 cos x 1 x2 lim 0, lim(1 cos x ) 0, x0 x0 2 sin x lim cos x 1, lim1 1, lim x 0 x0 x0 x
(2)
1 x lim (1 ) e x x

极限存在准则两个重要极限公式

令t =1x, 则:
lim(1
1
x)x
=
lim(1
1)t
=
e.
x0
t
t
此结论可推广到
1
lim1 ( x)( x) = e
xa
条件是x a时, ( x) 0，其中a可为
有限值，也可为
2020年9月1日星期二
(20ppt,scau,L.G.YUAN)
14
例5 求 lim(1 1 )x .
n2 n n2 1
又 lim n
n = lim n2 n n
1 1 1 = 1,
n
lim
n
n = lim n2 1 n
1 = 1,
1 1 n2
由夹逼定理得
lim( 1 1 L 1 ) = 1.
n n2 1 n2 2
n2 n
2020年9月1日星期二
(20ppt,scau,L.G.YUAN)
2020年9月1日星期二
(20ppt,scau,L.G.YUAN)
6
例2 证明数列 xn = 3 3 L 3 (n重根式)的极限存在.
证: 显然 xn1 > xn , xn是单调递增的 ;
又 x1 = 3 3, 假定 xk 3, xk1 = 3 xk 3 3 3,
xn 是有界的 ;
原式
=
lim x (1
x 1 )x
x
=
e e 1
=
e2
2020年9月1日星期二
(20ppt,scau,L.G.YUAN)
16
三、小结
1.两个准则
夹逼准则; 单调有界准则 .
2.两个重要极限
10 lim sin x = 1; x0 x

1-6极限准则、重要极限

有上界.
根据准则 2 可知数列 xn 有极限 .
记此极限为 e , 即
n
lim (1 1 ) n e n
e 为无理数 , 其值为 e 2.718281828459045 利用夹逼准则可以证明
(证明见P54小字部分) (略)
说明: 此极限也可写为 lim (1 z ) e
则{xn } 单调递增; (2)再证有界性: x1 2 2, 假设
xk 2
n k 1 时, xk 1 2 xk 2 2 2
所以
{xn } 单调递增且有上界,所以极限存在.
(3)求极限: 设 lim xn a n 由 xn1 2 xn
2 得 xn1 2 xn
2. 两个重要极限
或注: 代表相同的表达式
思考与练习
填空题
sin x 0 1. lim _____ ; x x 1 0 3. lim x sin ____ ; x 0 x
1 2. lim x sin ____ ; 1 x x 1 n e 1 4. lim(1 ) ____. n n
例2. 证明 limcos x 1 x 0 证: 0
x x 0 1 cos x 2 sin 2 2 2 2
lim(1 cos x ) 0.
x 0

2
x2 2
0
即 limcos x 1.
x 0
2. 单调有界数列必有极限 ( 准则2 )
n
lim xn a ( M )
a
n
lim xn b ( m )
b
( 证明略 )
例3. 证明数列 x1 2,, xn1 2 xn , 极限存在, 并求之. 证: (1)先证单调性: 假设

1.6极限存在准则两个重要极限

准则1：若数列}{n x 、}{n y 、}{n z 满足以下条件：（i ） N n ∈∃0，当0n n >时，有n n n z y x ≤≤；（ii ）a y n n =∞→lim ，a z n n =∞→lim 。

那么数列}{n x 极限存在，且a x n n =∞→lim 。

证明：因为a z y n n n n ==∞→∞→lim lim ，所以对0,01>∃>∀N ε，当1N n >时，有ε<-a y n ，即εε+<<-a y a n ，对2N ∃，当2N n >时，有ε<-a z n ，即εε+<<-a z a n ，又因为n n n z x y ≤≤，所以当},{21N N Max N n =>时，有εε+<≤≤<-a z x y a n n n ，即有：εε+<<-a x a n ，即ε<-a x n ，所以 a x n n =∞→lim 。

准则1′如果函数)(),(),(x h x g x f 满足下列条件：（i ）当))(,(0M x r x U x >∈∧时，有)()()(x h x f x g ≤≤。

（ii ）当)(0∞→→x x x 时，有A x h A x g →→)(,)(。

那么当)(0∞→→x x x 时，)(x f 的极限存在，且等于A 。

第一个重要极限：1sin lim0=→xxx作为准则I ′的应用，下面将证明第一个重要极限：1sin lim 0=→xxx 。

证明：作单位圆，如下图：设x 为圆心角AOB ∠，并设20π<<x 见图不难发现：AOD AOB AOB S S S ∆∆<<扇形，即：x x x tan 2121sin 21<<，即 x x x tan sin <<，（因为20π<<x ，所以上不等式不改变方向，若02<<-x π，不等式也成立）当x 改变符号时，x x x sin ,cos 及1的值均不变，故对满足20π<<x 的一切 x ，有1si n co s <<x xx 。

同济大学高等数学第七版1-6极限存在准则与两个重要极限

x0
lim(1 k )lx ekl
x
x
l
lim(1 kx) x ekl
x0
例8
lim
x
1
x

x x 2
(1 )
解：
lim x
x 1 x
x2
lim x
1
1
x
x
1
2
x
x

e e2
e3.
则 lim f ( x) A
常见形式：
| f ( x) | g( x) lim g(x) 0
lim f (x) 0
例1 求 lim( 1 1 1 ).
n n2 1 n2 2
n2 n
解 n 1 1 n ,
n2 n n2 1
lim(1 1 )x e
x
x
第二个重要极限
lim(1 1 )x e
x
x
11
例 llxxiimm00((11xx))xx e
lim(1 1 )x e
x
x
1
lim(1 x) x e
x0
该极限的特点: 1 型;
这个重要极限应灵活的记为: “以1加非零无穷小为底,指数是无穷小的
解: 当n 1时 x1 2 2 ,设xk 2 ，则
xk1 2 xk 2 2 2
又 2 x1 2 2 2 x1
设 xk1 xk ，则 xk2 2 xk1 2 xk xk1
∴｛xn ｝单增有上界，从而必有极限。
设 lim n
lim
n
yn
a N1

1-6极限存在准则-两个重要极限

令 t = − x,
1 x 1 −t 1 t ∴ lim (1 + ) = lim (1 − ) = lim (1 + ) x → −∞ t → +∞ t → +∞ x t t −1 1 t −1 1 = lim (1 + ) (1 + ) = e. t → +∞ t −1 t −1
1 x ∴ lim (1 + ) = e x→∞ x
n→ ∞
证 Q yn → a ,
zn → a ,
∀ ε > 0, ∃N 1 > 0, N 2 > 0, 使得
当 n > N 1时恒有 y n − a < ε ,
当 n > N 2时恒有 z n − a < ε ,
取 N = max{ N 1 , N 2 }, 即 a − ε < yn < a + ε,
0
(1) g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h( x ), ( 2) x lim g ( x ) = A , lim h ( x ) = A , →x x→ x
( x →∞ )
0
( x →∞ )
0
那末 lim f ( x )存在, 存在, 且等于 A.
x → x0 ( x →∞ )
准则
和准则
'称为夹逼准则称为夹逼准则.
一、极限存在准则
1.夹逼准则
准则Ⅰ 准则Ⅰ 如果数列 x n , y n 及z n 满足下列条件: 满足下列条件:
(1) yn ≤ xn ≤ z n
n→ ∞
( n = 1,2,3L)
n→ ∞
( 2) lim yn = a , lim z n = a ,

六节极限存在准则两个重要极限

证明：必要性
| xn xm |
充分性（不证）见参照书《数学分析》。
柯西极限存在准则也称为柯西审敛原理。
三、小结
1.两个准则 2.两个主要极限
sin x lim 1 x0 x
lim(1 1 )n e
n
n
lim (1 1 )x e
x
x
lim (1 1 )x e
x
x
lim(1 1 )x e
2
x
1
sin lim(
2 x0 x
2
)2
1 2
12
1 2
2
例7 求 lim(1 1 )x
x
x
解
原式 lim[(1 1 ) x ]1 lim
x
x
x
(1
1 1
) x
1 e
x
例8 求 lim( 3 x )2x x 2 x
解原式 lim[(1 1 ) x2 ]2 (1 1 )4 e2
x
x
lim (1 1 )x e 令 t 1 ,做换元，得
x
x
x
1
lim(1 x) x
lim(1 1)t
e
x 0
t
1
t
lim(1 x) x e x0
tan x 例4 求 lim
x0 x
sin x
解
tan x lim x0 x
lim x 0
cos x x
sin x 1 lim( )
即 a yn a (1)
lim n
zn
a
0,
N 2
0 ,使得当 n
N
时
2
就有 zn a

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

x
x
2
( 2 ) lim x 1 x x 1
( 3 ) lim ( 2 x 1 ) 3 x x 2 x 1
第一章极限与连续
返回
微积分
第一章极限与连续
注意：
(1)第二个重要极 1型限 ,方属法于为固定的;机
1
(2)它的形 :[1 式 (x) ](x 特 ) e点 ( (x) 0).
2
例5. 求 lim(1 x)sin x x0
返回
微积分
思考与练习求
第一章极限与连续
解: 原式 = xl i m [(s1 xinco1 x)s2]2 x
x
xl im (1sin2x)2
1
(1sin2x)sin
2 x
e
返回
微积分
第一章极限与连续
作业： 57页：1（奇数题），2，4（2）
返回
微积分
第一章极限与连续
练习题
求下列极限：
cos x cos 3 x
(8) lim x0
x2
返回
微积分
1
(9) l i m(3x 9x)x x
1cos2x (11)l i m
x0 xsi nx
(13)l i m(coxs)cot2 x x0
第一章极限与连续
1
(10)l i m(12n 3n)n n
1cos2x
(12)l i m
x0
x
lim A(1 r)nt Aert.
n
n
返回
微积分
第一章极限与连续
问题：
1元钱存入 ,年银利行率 10% 为 1,0年后的本利?和
答案：
P1e1% 0 10 e.
由于这个有趣的发现，在金融界人们称e为银行家
常数。
返回
微积分
第一章极限与连续
小结
1.两个准则夹逼准则; 单调有界准则 .
2.两个重要极限设(x)为某过程中的无, 穷小
1-6极限存在准则与两个重要极限
微积分
第一章极限与连续
例1 求下列极限：
(1)lim( 1 1 1 )
n n2 1 n2 2
n2 n
(2)limn n n
返回
微积分
第一章极限与连续
返回
微积分
第一章极限与连续
返回
微积分
第一章极限与连续
返回
微积分
第一章极限与连续
返回
微积分
第一章极限与连续
返回
微积分
第一章极限与连续
五、连续复利公式
设本金A为 ,年利率r.为
按年计息: 一年末本利和为: A(1 r); 二年末本利和为: A(1 r)2; t年末本利和为: A(1 r)t .
返回
微积分
第一章极限与连续
按月计息 :
一年末本利和为
二年末本利和为返回 Nhomakorabea微积分
第一章极限与连续
返回
微积分
第一章极限与连续
例3 数列{xn}中，x1 10，xn1 xn 6 (n1,2, )，求lni m xn.
返回
微积分
第一章极限与连续
四、第二个重要极限
1
lim(1 x)x e 或 lim(11)x e
x0
x x
返回
微积分
例4 求下列极限：
(1) lim (1 3 ) x
l n(si2nxex)x (14l)i m
x0 l n(x2 e2x)2x
返回
1 (1) lim(
x
1
)x
x0 1 x
ln(1 x )
(2) lim
x0
x
2
(3) lim[1 ln(1 x )] x x0
1 x
(5) lim
x1
cot x
2
(4) lim n[ln n ln( n 2)] n
tan x sin x
(6) lim
x0
x3
(7) lim sin 4 x x0 x 1 1
: A(1 r )12 ; 12
: A(1 r )122 ; 12
t年末本利和为 : A(1 r )12t . 12
按日计 : 息
t年末本利 :A(和 1 r为 )36.5t 365
返回
微积分
第一章极限与连续
每年按n期 : 计息年末 t 本利为:和 A(1r)nt. n
令n ,则t年末本利和:为