系统微分方程的建立与求解

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冲激响应的定义
•零状态；
•单位冲激信号作用下，系统的响应为冲激响应。
冲激响应说明：在时域，对于不同系统，零状态情况
下加同样的激励 t，看响应 h(t)，h(t)不同，说明其
系统特性不同，冲激响应可以衡量系统的特性。
冲激响应的求解至关重要。
用变换域(拉氏变换)方法求冲激响应和阶跃响应简捷方 便，但时域求解方法直观、物理概念明确。
X
5
3．阶跃响应与冲激响应的关系
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线性时不变系统满足微、积分特性
(t) d ut
dt
t
u(t) ( ) d
h(t) d gt
dt
t
g(t) h( ) d
阶跃响应是冲激响应的 积分，注意积分限：
t
－
,对因果系统：t
0
X
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总结
C0 d t n C1 d t n1 Cn1 d t Cnr(t)
dm e(t)
dm1 e(t)
d e(t)
E0 d t m E1 d t m1 Em1 d t Eme(t )
响应及其各 阶导数(最 高阶为n次)
令 e(t)=(t)
则 r(t)=h(t)
激励及其各 阶导数(最 高阶为m次)
C0hn(t ) C1hn1(t ) Cn1h1(t ) Cnh(t )
E0 m(t ) E1 m1(t ) Em1 1(t ) Em (t )
X
3
(2) h(t) 解答的形式
第
•当n m时，ht 中应包含 t ；
•当n m时，ht 应包含 t 及其各阶导数。
X源自文库
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二．阶跃响应g(t)
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1．定义
系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应，称为单 位阶跃响应，简称阶跃响应。
ut
gt
H
2．求解
我们可以根据线性时不变系统特性，利用冲激响应与阶 跃响应关系求阶跃响应。
X
页
由于 t 及其导数在 t 0 时都为零，因而方程式右
端的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次
解的形式相同。
①与特征根有关
设特征根为简单根（无重根的单根）
n
h(t )
Ai
e
i
t

u(
t
)
i1

②与n, m相对大小有关
•当n m时，ht 不含 t 及其各阶导数；
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一．冲激响应h(t)
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1．定义
系统在单位冲激信号 (作t) 用下产生的零状态响应，称
为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。
t
ht
H
X
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第
2. 冲激响应求解
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(1)冲激响应的数学模型
对于线性时不变系统,可以用一高阶微分方程表示
dn r(t)
dn1 r(t)
d r(t)