最新2019年高一下学期月考数学试卷

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1.在中，设角所对边分别为，若，则角________．
【答案】
【解析】
【分析】
化简得：，从而求解。

【详解】，由正弦定理得：，
，
【点睛】本题主要考查了正弦定理，属于基础题。

2.在等差数列中，若则．
【答案】420
【解析】
试题分析：利用
考点：等差数列的前n项和公式，等差数列的性质
3.已知关于的不等式的解集是，则 .
【答案】2
【解析】
试题分析：化分式不等式为整式不等式，根据解集是得，,方程的两实根分别为，，所以=，a=2
考点：解分式不等式，二次方程与二次不等式之间的关系.
4.已知等比数列公比，若，，则
【答案】42
【解析】
【分析】
由，列方程组求出，从而求出。

【详解】，
，解得：或（舍去）
【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及等比数列的性质，计算简单，属于基础题。

5.在中，，，，则__________．
【答案】或
【解析】
试题分析：利用正弦定理得或
①B=600时C=900，,②B=1200时C=300，
考点：解三角形
6. “远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百八十一，试问塔顶几盏灯？”
答曰：盏．
【答案】
【解析】
试题分析：可以构造等比数列，易知q=2，n=7,Sn=381,求a1=?,利用等比数列的求和公式
带入数据求得a1=3
考点：等比数列的求和公式的应用
7.如一个算法的流程图，则输出S的值是____.
【答案】7500
【解析】
【分析】
按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，并判断每一次得到的结果是否满足判断框中的条件，直到满足条件，执行输出．
【详解】由流程图得：
不成立，
，
，
不成立，
，
不成立，
，
不成立，
，
成立
输出=
【点睛】本题主要考查了循环结构，在解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律，属于基础题．
8.设动点满足,则的最大值是________．
【答案】100
【解析】
【分析】
作出不等式组对应的平面区域，求区域出各顶点的坐标，分别代入，即可判断的最大值。

【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：
求得：,,,将四点分别代入得：，
，，，
所以。

【点睛】本题考查了线性规划问题，作出可行域，当不等式组为线性约束条件，目标函数是线性函数，可行域为多边形区域时（或有顶点的无限区域），直接代端点即可求得目标函数的最值。

9.,,则与的大小关系为________ ．
【答案】
【解析】
【分析】
利用作差法，因式分解，即可得到结论．
【详解】：
又,，所以，所以，
所以
【点睛】本题主要考查不等式的大小比较，利用作差法是解决本题的关键．
10.已知正项等比数列满足，若存在两项使得，则的最小值是；
【答案】
【解析】
试题分析：设正项等比数列{an}公比为，则因此
考点：等比数列，基本不等式
11.中，已知，则三角形的形状为 .
【答案】等腰或直角三角形
【解析】
试题分析：中，，利用余弦定理把用边表示出来，带入原式得整理得
，分组分解因式提取公因式，得
，三角形的形状为等腰或直角三角形
考点：正余弦定理，三角形形状的判定
12.已知圆内接四边形中，则四边形的面积
为 .
【答案】
【解析】
试题分析：连接BD,圆内接四边形对角互补，A+C=π，利用余弦定理得
∴cosC=0.5,C=600, A=1200四边形面积
考点：解三角形，三角形的面积公式
13.设为数列的前n项和，若是非零常数，则称该数列为“和等比数列”.若数列是首项为，公差为（）的等差数列，且数列是“和等比数列”，则与的关系式为_________________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据等差数列的前n项和公式，先求S n和S2n，然后根据“和等比数列”的定义，得到为非零常数，从而得到d与c1的关系．
【详解】数列是首项为，公差为（）的等差数列，
，，
，
又数列是“和等比数列”，
（其中为常数），
整理得：，恒成立，
又是非零常数得：
则，即，
【点睛】本题考主要查和等比关系的确定和性质，解答的关键是正确理解“和等比数列”的定义，并能根据定义构造出满足条件的方程．考查学生的运算推导能力．
14.已知圆心角为120°的扇形AOB的半径为1，C为弧的中点，点D，E分别在半径OA，OB 上．若，则的最大值是 .
【答案】
【解析】
在△COD中，由余弦定理得CD2＝1＋OD2－OD，同理在△EOC、△DOE中，由余弦定理分别得CE2＝1＋OE2－OE，DE2＝OE2＋OD2＋OD·OE，代入CD2＋CE2＋DE2＝整理得2(OD＋OE)2－(OE＋OD)－＝3OD·OE，由基本不等式得3OD·OE≤，
所以2(OD＋OE)2－(OE＋OD)－≤，解得0≤OD＋OE≤，即OD＋OE的最大值是.
二、解答题（本大题共6小题，满分90分）
15.解关于的不等式.
【答案】当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为。

【解析】
试题分析：解关于的含参不等式，分三方面讨论①二次项系数②判别式的符号③两根的大小
本题中二次项系数，，方程的两根
故只需对两根的大小进行讨论，即可结合二次函数的图像写出不等式的解集
试题解析：不等式即.
∵，不等式可以化为.
若，则，此时不等式的解集为；
若，则不等式为，不等式的解集为；
若，则，此时不等式的解集为.
综上所述，
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为。

考点：解含参不等式
16.在中，A、B、C所对的边分别是a、b、c，是，的等差中项．
(1)求B的大小；
(2)若，，求的面积．
【答案】（1）（2）
【解析】
(1)由题意，得acosC＋ccosA＝2bcosB.由正弦定理，得sinAcosC＋cosAsinC＝2sinBcosB，即sin(A＋C)＝2sinBcosB.
∵A＋C＝π－B，0＜B＜π，∴sin(A＋C)＝sinB≠0.∴cosB＝，∴B＝.
(2)由B＝，得＝，即＝，∴ac＝2.
∴S△ABC＝acsinB＝.
17.对任意函数，可按流程图构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据
，数列发生器输出；②若，则数列发生器结束工作；若，则将反
馈回输入端再输出,并且依此规律继续下去.现定义.
（1）若输入，则由数列发生器产生数列，请写出数列的所有项；
（2）若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输入的初始数据的值；
（3）若输入时，产生的无穷数列满足：对任意正整数，均有，求的
取值范围.
【答案】（1）数列只有三项；（2）；(3)
【解析】
试题分析：（1）由题意知的定义域为，因此数列只有三项
（2）要使该数列发生器产生一个无穷的常数数列，则有，通过构造函数
，求得时，，因此当时，；时，
（）
（3）解不等式得，，
要使，则，
由于，若，则不合题意；
当时，且，
同理的所有项均满足，综上所述，。

试题解析：（1）由题意知的定义域为，因此数列只有三项；
（2）要使该数列发生器产生一个无穷的常数数列，则有，则设，即
，即时，，因此当时，；时，（）.
（3）解不等式得，，
要使，则，由于，若，则不合题意；当时，且，
依次类推可得数列的所有项均满足，
综上所述，。

考点：程序框图，数列
18.设数列的前n项和，数列满足．
（1）若成等比数列，试求的值；
（2）是否存在，使得数列中存在某项满足()成等差数列？若存在，请指出符合题意的的个数；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在在9个的值满足要求.
【解析】
（Ⅰ）因为，所以当时，…………………………3分
又当时，，适合上式，所以（）…………………………4分
所以，则，由，
得，解得（舍）或，所以………………………7分（Ⅱ）假设存在，使得成等差数列，即，则
，化简得…………………………………………12分
所以当时，分别存在适合题意，
即存在这样，且符合题意的共有9个……………………………………………………14分19.某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元。

为了增加企业竞争力，决定优化
产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利为
万元，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高.
（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？
（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则的取值范围是多少？
【答案】（1）500（2）(0，．
【解析】
试题分析：设调整名工人从事第三产业，由于剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高，要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则
，解出，最多调整500名员工从事第三产业；第二步从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，从事原来产业的员工的年总利润为万元，
若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润：
所以，所以，即
恒成立，由于，当且仅当时取等号，所以的最小值为；又，所以．
试题解析：（1）设调整名工人从事第三产业，由题意，得，即，又x＞0，所以．即最多调整500名员工从事第三产业
（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，从事原来产业的员工的年总利润为万元，则，所以
，所以，即恒成立，
因为，当且仅当＝，即时等号成立，所以，又，所以．
所以a的取值范围为
考点：函数应用题
20.已知数列满足对任意的，都有且.
(1)求，的值；
(2)求数列的通项公式；
(3)设数列的前n项和为，不等式对任意的正整数n恒成立，求实数a 的取值范围．
【答案】(1) ，；(2) ；(3)
【解析】
【分析】
（1）令n=1，2可以求a1=1，a2=2．
（2）由已知可得a13+a23+…+a n+13=(a1+a2+…+a n+1)2，两式相减，结合a n＞0可求得a n+12＝
2(a1+a2+…+a n)+a n+1，则可得a n2＝2(a1+a2+…+a n−1)+a n，n≥2，两式相减整理可得a n+1-a n=1，从而可得数列{a n}是等差数列，可求通项公式
（3）由（2）知，利用裂项可求和，即可求出的最小值，从而解决问题。

【详解】解：(1)当时，有，
由于，所以.
当时，有，
将代入上式，由于，所以.
(2)由于，①
则有.②
②－①，得，
由于，所以.③
同样有，④
③－④，得，
所以，
由于，即当时都有，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列．
故.
(3)由(2)知
则，
所以
.
，
∴数列单调递增．
所以.
要使不等式对任意正整数n恒成立，
只要．，
，即.所以，实数的取值范围是.
【点睛】本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的项，及构造等差数列求解通项公式，还考查了裂项求解数列的和，要注意中的系数不要漏掉。