大学物理实验设计 摩擦中的自锁现象分析

摩擦中的自锁现象

[案例概述]

自锁现象是力学中非常常见的现象，而其中摩擦自锁又是自锁现象中非常重要的一种。对于与摩擦有关的问题，用摩擦角来解决都十分容易，因此利用摩擦角原理来设计夹具也是十分方便的。工程实际中常应用自锁原理来设计一些机构或夹具，如斜楔夹具、螺旋夹具、千斤顶等，使它们始终在平衡状态下工作。就千斤顶而言，它结构简单，但功效强大，当斯加一个很小的力却能举起很重的物体，而且在撤去外力时，仍能在原有位置保持平衡，不会下落。它之所以能在原位置保持平衡，正是因为在千斤顶取得螺纹和螺杆之间存在摩擦，而摩擦的自锁现象使其能让重物固定在需要的高度上。

[相关物理学知识点]

摩擦角，自锁现象，平衡条件，理论力学

[相关物理学原理]

1﹑自锁现象

两个物体接触面之间存在着滑动摩擦，如把木块放在粗糙水平面上，当给木块一水平作用力时，桌面就会给木块一静摩擦力F ，阻碍木块的运动；水平力越大，F 也越大以保持木块平衡。但是静摩擦力有个上限，当水平力大过某个值，木块将开始运动。这个上限值称为最大静摩擦力，记为max F 。由库仑定律max F N μ=。

当摩擦力达到最大静摩擦力时，全约束反力

R(包括法向反力和摩擦力)和约束面法向的夹角称为

摩擦角，记为m θ；以约束面法向为中心轴，以2m

θ顶角的正圆锥叫作摩擦锥。（如右图1）如意发现摩

擦系数与摩擦角的关系是tan m μθ=。

当物体受到一个主动力时（如左图），设主动力P 与法向的夹角为φ，且方向指向接触点，法向约束反力大小为N ，摩擦力大小为F 。约束限制了物体沿法向的运动，cos P N φ=,主动力沿切向分量满足下面关系

max sin cos tan tan tan m P P N N F φφφφθ==≤=

因此物体处于平衡状态。上述结论说明，如果主动力作用线落在摩擦锥之内且方向指向接触点，则无论主动力有多大，都不能使物体运动。这种现象就叫做自锁现象。

2﹑用自锁现象解释平衡位置的固定

我截取一小段螺杆螺纹进行分析。（图a ）螺杆螺纹所受的是千斤顶支座螺纹对它们作用的法向约束力12,,i N N N 和摩擦力12,,i F F F 。螺纹被展开后为一斜面。（图b ）为被展开螺纹的一个螺距的斜面示意图。法向约束力i N 沿斜面的垂线方向，摩擦力i F 沿斜面方向。max tan i m i

F N θ=。而千斤顶通过螺纹分散了重物的重量。可以认为螺纹受到了竖直向下的分布力的作用，结合螺纹斜面示意图，斜面的倾角φ即分布力与约束面法向的夹角，tan 2h

r φπ=。

将已知数据12,24h mm r mm ==代入上式，得tan 0.079580.1tan m φθ=<=，这表明此千斤顶的螺纹满足自锁条件。于是无论重物有多重，螺纹接触面之间都不会相对滑动，从而保证了重物位置的固定。

[与力学专业的联系]

为何能用“小力”举起“大重物”

为了讨论方便，我们先给定一个主动力P=160N ，求能举起的重物B 。之后用求解过程中推出的式子来说明这个问题。

3.1 求解重物B

我们把手柄与螺杆作为研究对象。摩擦力视为主动力，则此机械系统所受的约束仍可视为

理想约束，可以用静力学普遍方程来分析它的问题。系统所受主动力为人对手柄的力P 、重物给螺杆的反作用力W 和支座螺纹对螺杆螺纹的摩擦力i F ∑。受力图如下。

取手柄OA 的转角θ为广义坐标，并给出一逆时针转向的虚位移δθ。按照右螺旋规则，螺杆将产生一个上升的虚位移B r δ，螺杆的螺纹将沿支座的螺纹斜面向上滑移虚位移F r δ。B r δ、F r δ与δθ的关系可由下述比例关系求解。

3.1.1手柄－螺杆一起转动，手柄的虚位移为δθ，螺杆螺纹平均半径端点沿水平截面的虚位移为r

δθ，螺杆螺纹平均半径沿斜面方向的虚伪为F r δ，二者关系可从螺纹斜面示意图求得，

即 cos F r r δθδφ

= ① 3.1.2手柄逆时针转动一周，螺杆上升一个螺距，手柄的虚位移δθ与螺杆的虚位移B r δ二者应满足比例关系，即

2B h r δδθπ

=

② 此系统的虚功方程为 0B i F A Pl W r F r δδθδδ=•-•-∑•= ③

将①、②式代入上式，得

()02cos i h r Pl W F δθπφ

--•∑= 因为 δθ独立，我们可以设δθ≠0，则 02cos i h r Pl W F πφ

--∑= ④ 式中的摩擦力i F ∑可通过摩擦定律

i i F N μ∑=∑ ⑤

（在这里，我们假设螺杆上升时没有加速度，而且可以找到一个坐标系使螺杆处于静止。） 在受力图中，将螺杆所受的力投影到y 轴上，即

()cos ()sin 0i i N W F φφ∑--∑=

将⑤式代入上式，解得

cos sin i W F μφμφ

∑=

- ⑥ 将⑥式代入④式，解得 222cos (1tan )cos (1tan )2l W P h r πφμφφμφπμ

-=-+ ⑦ 将已知数据600,12,24,l mm h mm r mm ===0.1,tan 0.07958,μφ==160P N =， 21/2cos (1tan )0.9968φφ-=+=代入⑦式，得

3138.122.110W P N =≈⨯

此千斤顶能举起的重物B 的重量是力P 的138.1倍，即W=22.1kN 。

3.2﹑解释“小力”举“重物”的原因 由tan 0.079582h

r φπ==，我们可以作一下近似，因为φ角很小，认为

cos 1,sin 0φφ≈≈，则由⑥式可得

i F W μ∑≈

再把上式代入④式，可得 2W l h P r μπ

=+ 由所给数据可以看出，因为,2h l r W P μπ>>

+>>所以。