《导数的几何意义》课件
合集下载
5.1.2导数的概念及其几何意义(上课课件)
/人A数学/ 选择性必修 第二册
返回导航 上页 下页
1.导数的几何意义就是切线的斜率，因此比较导数大小的问题可以用 数形结合思想来解决．
曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况， 由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢．
/人A数学/ 选择性必修 第二册
返回导航 上页 下页
4.(1)某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运 输方案，据预测，这四种方案均能在规定时间T内完成预期的运输任务 Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如下所示．在这四种方 案中，运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高的是( B )
/人A数学/ 选择性必修 第二册
返回导航 上页 下页
2．f(x)在x＝x0处的导数、曲线f(x)在x＝x0附近的升降情况、点(x0，f(x0))处切 线的斜率与点(x0，f(x0))处切线的倾斜角的关系如表所示．
f(x)在 x＝x0 处的导数
f′(x0)>0 f′(x0)<0 f′(x0)＝0
曲线f(x)在x ＝x0附近的 升降情况
/人A数学/ 选择性必修 第二册
返回导航 上页 下页
[刻画曲线h(t)在上述 三个时刻附近的变化情况． (1)当t＝t0时，曲线h(t)在t＝t0处的切线l0平行于t轴，h′(t0)＝0. 这时，在t＝t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降． (2)当t＝t1时，曲线h(t)在t＝t1处的切线l1的斜率h′(t1)<0. 这时，在t＝t1附近曲线下降，即函数h(t)在t＝t1附近单调递减．
/人A数学/ 选择性必修 第二册
返回导航 上页 下页
(2)已知函数f1(x)，f2(x)，f3(x)，f4(x)，它们在平面直角坐标系中的图象 如图所示，则f1′(x0)，f2′(x0)，f3′(x0)，f4′(x0)的大小关系是( A ) A.f1′(x0)＞f2′(x0)＞f3′(x0)＞f4′(x0) B.f1′(x0)＞f3′(x0)＞f2′(x0)＞f4′(x0) C.f4′(x0)＞f1′(x0)＞f3′(x0)＞f2′(x0) D.f1′(x0)＞f3′(x0)＞f4′(x0)＞f2′(x0)
导数的几何意义 课件
1
1.
x0 x x0 x x x 2 x
导数的几何意义
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.
函数 y f (x) 在 x x0 处的瞬时变化率是:
lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x x0
x0
x
我们称它为函数 y f (x) 在 x x0 处的导数，记
作 f (x) 或 y |xx0 ，即：
f (x) lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x
(3)取极限，得导数f
( x0
)
lim
x0
y x
.
注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负. 自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择 哪种形式, Δy也必须选择与之相对应的形式.
观察动画你能得到什么结论？
切线的定义：
当点Pn 沿着曲线逼近 P 点
时，即 x 0 ，割线趋近于确 定的位置，这个确定位置上的直 线PT称为点P处的切线。
x x0
x0
x
以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限， 从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。
由导数的定义可知,求函数y=f(x)在点x0处的 导数的步骤是:
(1)求函数的增量y f (x0 x) f (x0 );
回 顾
(2)求平均变化率 y f (x 0 x) f (x0 ) ;
x
割线的斜率 x 0 切线的斜率
应用：
例1：已知 y x2 1 曲线，求过点ｐ
（1，2）的切线方程．
解求：曲线k在 l某ixm0点f (处x0 的x切x) 线f (方x0 ) 程①的求基出本P点步lixm的骤0 (1坐: 标x);2x1 (11)
1.1.3导数的几何意义课件共35张PPT
(3)设切点为(a，b)，则 y′|x＝a＝a2＝1， ∴a＝±1， 当 a＝1 时，b＝53，切点为1，53， 当 a＝－1 时，b＝1，切点为(－1,1)， ∴切线方程为 3x－3y＋2＝0 或 x－y＋2＝0. ………………………………………………………………………………12 分
[反思提升] (1)求“在某点处”的切线：该点必在曲线上且是切点，而求“过某 点”的切线该点不一定在曲线上，且该点不一定是切点． (2)求“过某点”的切线方程的步骤 ①设“过某点”的切线 l 与曲线相切的切点坐标为(x0，y0)． ②用“在点(x0，y0)处”的切线求法，写出切线 l 的方程． ③利用切线“过某点”，其坐标满足切线方程，求出 x0 与 y0. ④将(x0，y0)代入②中的切线 l 化简即求出“过某点”的切线方程． (3)求“过某点”的曲线的切线方程中，该点在曲线上时，所求点的切线中一定包 括“在该点”处曲线的切线.
∴曲线 y＝1x在点(1,1)处的切线方程为 y－1＝－(x－1)，即 y＝－x＋2. 曲线 y＝x2 在点(1,1)处的切线斜率为
f′(1)＝liΔmx→0 1＋ΔΔxx2－12＝liΔmx→0 2Δx＋ΔxΔx2＝liΔmx→0 (2＋Δx)＝2， ∴曲线 y＝x2 在点(1,1)处的切线方程为 y－1＝2(x－1)，即 y＝ 2x－1. 两条切线方程 y＝－x＋2 和 y＝2x－1 与 x 轴所围成的图形如图 所示， ∴S＝12×1×2－12＝34，即三角形的面积为34.
导数几何意义应用问题的解题策略： (1)导数几何意义的应用问题往往涉及解析几何的相关知识，如直线斜率与方 程以及直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题． (2)解题的关键是函数在某点处的导数，已知切点可以求斜率，已知斜率也可 以求切点，切点的坐标是常设的未知量． (3)一定要区分曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线与过点 P(x0，f(x0))的切线 的不同，前者 P 为切点，后者 P 不一定为切点．
导数的概念及几何意义 PPT课件
思考？
观察函数y=f(x)的图象，平均变化率 y f (x0 x) f (x0 ) 表示什么？
x
x
瞬时变化率
f '(x0)xlim0 yxxlim0
f (x0
x) f (x0) x
表示什么？
我们容易发现，平均变化率
y f (x0 x) f (x0)
x
x
表示割线P0P的斜率
如图，在曲线y=f(x）任取一点P（x,f(x))，如果当点P（x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0(x0,f(x0))时， 割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y=f(x)在点P0处的 。
数学上常用简单的对象刻画复杂的 对象。例如，用有理数3.1416近似 代替无理数π，这里，我们用曲线上 某点处的切线近似代替这一点附近 的曲线，这是微积分中重要的思想 方法——以直代曲。
例1.如图，是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数 h ( t )＝一 4.9t2十4.8t十11的图象。根据图象，请描述、比较曲线 h(t )在t=t0 ,t1,t2，附近的变化情况．
解析：我们用曲线h(t)在t=t0,t1,t2处的切 线斜率，刻画曲线h(t)在上述三个小刻 附近的变化情况。 （1）当t=t0时，曲线h(x)在t=t0处的切线 l0平行于t轴，h’(t0)=0.这时，在t=t0附近 曲线比较平坦，几乎没有升降。 （2）当t=t1时，曲线h(x)在t=t1处的切线 l0平行于t轴，h’(t0)<0.这时，在t=t1附近 曲线下降，即函数h(t)在t=t1附近单调递 减。 （3）当t=t2时，曲线h(x)在t=t2处的切线 l0平行于t轴，h’(t0)<0.这时，在t=t2附近 曲线下降，即函数h(t)在t=t2附近单调递 减。 可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2 的倾斜程度，这说明曲线h(t)在t=t1附近 比在t=t2附近下降得缓慢。
观察函数y=f(x)的图象，平均变化率 y f (x0 x) f (x0 ) 表示什么？
x
x
瞬时变化率
f '(x0)xlim0 yxxlim0
f (x0
x) f (x0) x
表示什么？
我们容易发现，平均变化率
y f (x0 x) f (x0)
x
x
表示割线P0P的斜率
如图，在曲线y=f(x）任取一点P（x,f(x))，如果当点P（x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0(x0,f(x0))时， 割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y=f(x)在点P0处的 。
数学上常用简单的对象刻画复杂的 对象。例如，用有理数3.1416近似 代替无理数π，这里，我们用曲线上 某点处的切线近似代替这一点附近 的曲线，这是微积分中重要的思想 方法——以直代曲。
例1.如图，是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数 h ( t )＝一 4.9t2十4.8t十11的图象。根据图象，请描述、比较曲线 h(t )在t=t0 ,t1,t2，附近的变化情况．
解析：我们用曲线h(t)在t=t0,t1,t2处的切 线斜率，刻画曲线h(t)在上述三个小刻 附近的变化情况。 （1）当t=t0时，曲线h(x)在t=t0处的切线 l0平行于t轴，h’(t0)=0.这时，在t=t0附近 曲线比较平坦，几乎没有升降。 （2）当t=t1时，曲线h(x)在t=t1处的切线 l0平行于t轴，h’(t0)<0.这时，在t=t1附近 曲线下降，即函数h(t)在t=t1附近单调递 减。 （3）当t=t2时，曲线h(x)在t=t2处的切线 l0平行于t轴，h’(t0)<0.这时，在t=t2附近 曲线下降，即函数h(t)在t=t2附近单调递 减。 可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2 的倾斜程度，这说明曲线h(t)在t=t1附近 比在t=t2附近下降得缓慢。
导数的几何意义课件人教新课标B版
函数(简称导数)
y=f (x)的导数有时也记作y
f 'x y' lim f x x f x
x0
x
小结
函数 f (x)在x=x0处的导数 f (x0) f (x0)几何意义： (1)函数y f x在 x x0 处的导数 f x0 的几何意义 是；曲线 y f x在 x x0 处的切线的斜率。 (2)若 f (x0)>0.函数 f (x)在 x=x0附近单调递增. (3)若 f (x0)<0.函数 f (x)在 x=x0附近单调递减.
根据导数的含义,血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化 率就是函数 f (t)在此时刻的导数.由于不知道函数c=f (t) 的解析式,因而无法直接计算出函数 f (t)在此时刻的导 数.但根据函数 c=f (t)的图象,由导数的几何意义知,函 数f(t)在此时刻的导数就是对应点处切线的斜率.
例题2讲授
y
解：y x2在区间2,2 x
上的平均变化率为：
4 3
(2 x)2 (2)2 4x (x)2
x
x
4 x 令x 趋于零。知
2 1
-2 -1 O 1 2
L
x
函数 y x2在 x0 2 处的导 数为数。曲线y x2在 (2, 4)
处的切线为 l ，如右图
l
导函数的概念
当x=x0时，f (x0)是一个确定的数. 当x变化时, f (x)便是一个函数,称它为f (x)的导
比在 t4 的上升快
函数y=f(x)在x=x0处的导数 f (x0)的几何意义；
(1)函数 y f x在 x x0处的导数 f x0 的几何意义是；
曲线
y 在f x 处x 的x0 切线的斜率。
(2)若 f (x0)>0.所以,在 x x0 附近曲线上升,即函数 f (x)在 x x0 附近单调递增.
y=f (x)的导数有时也记作y
f 'x y' lim f x x f x
x0
x
小结
函数 f (x)在x=x0处的导数 f (x0) f (x0)几何意义： (1)函数y f x在 x x0 处的导数 f x0 的几何意义 是；曲线 y f x在 x x0 处的切线的斜率。 (2)若 f (x0)>0.函数 f (x)在 x=x0附近单调递增. (3)若 f (x0)<0.函数 f (x)在 x=x0附近单调递减.
根据导数的含义,血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化 率就是函数 f (t)在此时刻的导数.由于不知道函数c=f (t) 的解析式,因而无法直接计算出函数 f (t)在此时刻的导 数.但根据函数 c=f (t)的图象,由导数的几何意义知,函 数f(t)在此时刻的导数就是对应点处切线的斜率.
例题2讲授
y
解：y x2在区间2,2 x
上的平均变化率为：
4 3
(2 x)2 (2)2 4x (x)2
x
x
4 x 令x 趋于零。知
2 1
-2 -1 O 1 2
L
x
函数 y x2在 x0 2 处的导 数为数。曲线y x2在 (2, 4)
处的切线为 l ，如右图
l
导函数的概念
当x=x0时，f (x0)是一个确定的数. 当x变化时, f (x)便是一个函数,称它为f (x)的导
比在 t4 的上升快
函数y=f(x)在x=x0处的导数 f (x0)的几何意义；
(1)函数 y f x在 x x0处的导数 f x0 的几何意义是；
曲线
y 在f x 处x 的x0 切线的斜率。
(2)若 f (x0)>0.所以,在 x x0 附近曲线上升,即函数 f (x)在 x x0 附近单调递增.
导数的几何意义课件
y − y0 = f ′( x0 )( x − x0 )
例3、某物体的运动方程为s(t)=5t2 （位移单位：m，时间单位：s） 求它在 t＝2s 时的速度.
解: ∆ 因为 2 s = 5 ( 从 而
+ ∆ t)
2
∆s =20+5∆t ∆t
− 5 × 2
2
= 20 ∆ t + 5 ∆ t
2
所以
∆s s′(2) = lim = lim (20 + 5∆t ) = 20 ∆t →0 ∆t ∆t →0
2
∆f 1 = 4 + 2∆x + × ∆x 2 从而 ∆x 3
所 以 点P处的切线的斜率是4. 点P处的的切线方程
8 y − = 4 × (x − 2) 3
∆f 1 f ′(2) = lim = lim (4 + 2∆x + × ∆x 2 ) = 4 ∆x →0 ∆x ∆x →0 3
即直线
16 y = 4x − 3
(2) 当t=t1时,曲线h(t)在t1处的切线l1的斜率 h′(t1)<0. 所以,在t=t1附近曲线下降,
即函数h(t)在t=t1附近单调递减. (3) 当t=t2时,曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率 h′(t2)<0. 所以,在t=t2附近曲线下降,
即函数h(t)在t=t2附近也单调递减. 与t2相比,曲线在t1附近下降得缓慢些.
9 练习1、求曲线 y = 在点M(3,3)处的 x
切线的斜率及倾斜角． 斜率为-1,倾斜角为135°
1 2 1 练习2、判断曲线 y = 2 x 在（1，-）处 2
是否有切线，如果有， 求出切线的方程.
1 有,切y =x− 2
例3、某物体的运动方程为s(t)=5t2 （位移单位：m，时间单位：s） 求它在 t＝2s 时的速度.
解: ∆ 因为 2 s = 5 ( 从 而
+ ∆ t)
2
∆s =20+5∆t ∆t
− 5 × 2
2
= 20 ∆ t + 5 ∆ t
2
所以
∆s s′(2) = lim = lim (20 + 5∆t ) = 20 ∆t →0 ∆t ∆t →0
2
∆f 1 = 4 + 2∆x + × ∆x 2 从而 ∆x 3
所 以 点P处的切线的斜率是4. 点P处的的切线方程
8 y − = 4 × (x − 2) 3
∆f 1 f ′(2) = lim = lim (4 + 2∆x + × ∆x 2 ) = 4 ∆x →0 ∆x ∆x →0 3
即直线
16 y = 4x − 3
(2) 当t=t1时,曲线h(t)在t1处的切线l1的斜率 h′(t1)<0. 所以,在t=t1附近曲线下降,
即函数h(t)在t=t1附近单调递减. (3) 当t=t2时,曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率 h′(t2)<0. 所以,在t=t2附近曲线下降,
即函数h(t)在t=t2附近也单调递减. 与t2相比,曲线在t1附近下降得缓慢些.
9 练习1、求曲线 y = 在点M(3,3)处的 x
切线的斜率及倾斜角． 斜率为-1,倾斜角为135°
1 2 1 练习2、判断曲线 y = 2 x 在（1，-）处 2
是否有切线，如果有， 求出切线的方程.
1 有,切y =x− 2
1.1.3导数的几何意义课件人教新课标B版(2)
2x y 1 0
是切点
小结：曲线上某点在 (x0 , y0 ) 处的切线方程求法：
(1)求f ' (x）; (2)求k切 f ' (x0）； (3)切线方程 y f (x0 ) f ' (x0 )( x x0 );
练习：教材12页练习B第1题
变式：求过点（1，0）的切线方程
4x y 4 0 或 y 0
l2 是否为曲线在点 C处的切线?
不是
(3) 你能不能类比圆的割线和切线的动态关系， 寻求一般曲线的切线？
x0
x0 Δx
k割线
f (x0 Δx) f (x0 ) Δx
k 切线
lim Δy lim f (x0 Δx) f (x0 )
Δx0 Δx Δx0
Δx
f ' (x0 )
k切 f ' (x0 )
函数和（差）的求导法则？
[ f (x) g(x)]' f ' (x) g ' (x) [ f (x) g(x)]' f ' (x) g ' (x)
如何求曲线的切线？
(1)初中时，我们怎样定义圆的切线和割线？
2个 1个
（2）l1 是否为曲线在点A 处的切线? 不是 l2 是否为曲线在点 B处的切线? 是
1．我们是怎样一步步抽象出导数的概念的？ 2.基本初等函数导数公式？函数和（差）的求导法则？
一、1．说我教们是材怎样一步步抽象出导数的概念的？
平均变化率
瞬时变化率
导数
平均变化
率： Δy f (x0Δx
瞬时变化率：
lim
Δx0
Δy Δx
lim
Δx0
f
( x0
5.1导数的概念及其几何意义课件(人教版)
x
x
第二步，求极限 lim y， x0 x
若 lim 存y 在，则 x0 x
f
(
x0
)
lim
x0
y x
.
导数的概念
例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原 油进行冷却和加热. 已知在第 x h时，原油的温度（单位：℃）为 y f (x) x2 7x 15 (0 ≤ x ≤8). 计算第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它 们的意义. 追问1 这个实际问题与导数有什么关系？ 答案 导数是瞬时变化率的数学表达.
导数的概念
例1 设 f (x) 1，求 f (1). x
分析：
因为
f
(x0 )
lim
x0
y x
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 ) ,
所以 f (1) lim y lim f (1 x) f (1) .
x x0
x0
x
为了便于计算，我们可以先求出 y ，再对它取极限. x
导数的概念
t 0
t
抛物线的切线斜率
f (x) x2
割线斜率 ——平均变化率
k f (1 x) f (1) x 2 x
切线斜率 ——瞬时变化率
lim f (1 x) f (1) 2
x0
x
答案 都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法.
导数的概念
问题2 一般地，对于函数 y＝f (x)，你能用“平均变化率”逼近 “瞬时变化率”的思想方法研究其在某点 (如 x ＝ x0）处 的瞬时变化率吗？
所以 v(2) lim y lim(t 2) 2.
课件3：5.1.2 导数的概念及其几何意义
2．导数的几何意义
函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数 f′(x0)就是切线 P0T 的斜率 k0， lim fx0＋Δx－fx0
即 k0＝__Δ_x_→_0______Δ_x________＝f′(x0)．
知识点二 导函数的概念
1．定义：当 x 变化时，y＝ f′(x) 就是 x 的函数，我们
[规律方法] 求切点坐标可以按以下步骤进行 (1)设出切点坐标； (2)利用导数或斜率公式求出斜率； (3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标； (4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标．
[跟踪训练] 直线 l：y＝x＋a(a≠0)和曲线 C：y＝x3－x2＋1 相切，则 a 的值为___________，切点坐标为____________． 解析：设直线 l 与曲线 C 的切点为(x0，y0)， 因为 y′＝Δlxi→m0x＋Δx3－x＋ΔxΔ2x＋1－x3－x2＋1＝3x2－2x， 则 y′|x＝x0＝3x20－2x0＝1，解得 x0＝1 或 x0＝－13， 当 x0＝1 时，y0＝x30－x02＋1＝1， 又(x0，y0)在直线 y＝x＋a 上，
答案：B
4．已知函数 y＝f(x)的图象在点 M(1，f(1))处的切线方程是 y＝12x＋2， 则 f(1)＋f′(1)＝________. 解析：由导数的几何意义得 f′(1)＝12，由点 M 在切线上得 f(1)＝12×1＋2＝52，所以 f(1)＋f′(1)＝3. 答案：3
5．曲线 y＝x2－3x 的一条切线的斜率为 1，则切点坐标为________． 解析：设切点坐标为(x0，y0)， y′＝Δlxi→m0x0＋Δx2－3xΔ0＋x Δx－x20＋3x0 ＝Δlxi→m02x0Δx－3ΔΔxx＋Δx2＝2x0－3＝1，故 x0＝2， y0＝x20－3x0＝4－6＝－2，故切点坐标为(2，－2)．
导数的几何意义ppt课件
∴y0＝4，∴点 P 的坐标为(2,4)，
∴切线方程为 y－4＝4(x－2)，即 4x－y－4＝0.
问题导入
知识探究
巩固练习
课堂小结
布置作业
1．与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知 识，如直线间的位置关系，因此要善于综合应用所学知识解题．
2．与导数的几何意义相关的综合问题解题的关键是函数在某 点处的导数，已知切点可以求斜率，已知斜率也可以求切点，切点 的坐标是常设的未知量．
问题导入
知识探究
巩固练习
课堂小结
布置作业
求切线的解题步骤
1．已知切点（x0,f（x0））
①求斜率，求出曲线在点（x0,f（x0））处的切线斜率 f′(x0)
②写方程，y- f（x0）=f′(x0)（x-x0），化为一般式。
2．经过（x1,y1），切点未知
①设切点（x0,f（x0）） ②求斜率，k= f′(x0) ③写出含参 x0 的切线方程，得到 y- f（x0）=f′(x0)（x-x0） ④将已知点代入得 y1- f（x0）=f′(x0)（x1-x0）解出切点坐标 ⑤将切点坐标代入 y- f（x0）=f′(x0)（x-x0），并化为一般式
课堂小结
布置作业
(2)由3y＝x－x3y，－2＝0， 可得(x－1)2(x＋2)＝0， 解得 x1＝1，x2＝－2. 从而求得公共点为 P(1,1)或 P(－2，－8)．
说明切线与曲线 C 的公共点除了切点外，还有另外的点(－2， －8).
问题导入
知识探究
【易错题解析】
巩固练习
课堂小结
布置作业
已知曲线 y＝2x2－7，求曲线过点 P(3,9)的切线方程．
设所求切线的切点为 A(x0，y0)，则切线的斜率 k＝4x0，
导数的概念及其几何意义课件
经济决策
弹性分析：通 过导数计算需 求弹性、供给 弹性等，分析 市场供需关系
动态分析：通 过导数计算动 态均衡、动态 优化等，分析 经济动态变化
经济增长模型： 通过导数建立 经济增长模型， 分析经济增长
规理论：导数在控制系统 中用于计算控制参数，实现 精确控制
优化设计：通过导数计算， 找到最优解，提高工程效率
导数的几何意义
导数与切线斜率的关系
导数是函数在某一点的切线斜率 导数等于函数在该点的切线斜率 导数是函数在某一点的瞬时变化率 导数是函数在某一点的切线斜率的极限
导数与函数图像的变化趋势
导数是函数在某一点的斜率 导数的正负决定了函数图像的变化趋势 导数为正，函数图像上升 导数为负，函数图像下降 导数为零，函数图像在该点处可能存在拐点
导数与极值点的关系
导数是函数在某一点的斜率
导数为0的点可能是极值点
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
极值点是函数在某一点处的最大 值或最小值
导数为正或负的点可能是极值点
导数与函数增减性的关系
导数是函数在某一点的切线斜 率
导数大于0，函数在该点递增
导数小于0，函数在该点递减
导数等于0，函数在该点可能存 在极值
导数的概念及其几何意义
汇报人：
汇报时间：20XX/XX/XX
YOUR LOGO
目录
CONTENTS
1 单击添加目录项标题 2 导数的概念 3 导数的几何意义 4 导数的应用
单击此处添加章节标题
导数的概念
导数的定义
导数是函数在某一点的切线斜率 导数是函数在某一点的瞬时变化率 导数是函数在某一点的极限值 导数是函数在某一点的微分值
导数的应用
弹性分析：通 过导数计算需 求弹性、供给 弹性等，分析 市场供需关系
动态分析：通 过导数计算动 态均衡、动态 优化等，分析 经济动态变化
经济增长模型： 通过导数建立 经济增长模型， 分析经济增长
规理论：导数在控制系统 中用于计算控制参数，实现 精确控制
优化设计：通过导数计算， 找到最优解，提高工程效率
导数的几何意义
导数与切线斜率的关系
导数是函数在某一点的切线斜率 导数等于函数在该点的切线斜率 导数是函数在某一点的瞬时变化率 导数是函数在某一点的切线斜率的极限
导数与函数图像的变化趋势
导数是函数在某一点的斜率 导数的正负决定了函数图像的变化趋势 导数为正，函数图像上升 导数为负，函数图像下降 导数为零，函数图像在该点处可能存在拐点
导数与极值点的关系
导数是函数在某一点的斜率
导数为0的点可能是极值点
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
极值点是函数在某一点处的最大 值或最小值
导数为正或负的点可能是极值点
导数与函数增减性的关系
导数是函数在某一点的切线斜 率
导数大于0，函数在该点递增
导数小于0，函数在该点递减
导数等于0，函数在该点可能存 在极值
导数的概念及其几何意义
汇报人：
汇报时间：20XX/XX/XX
YOUR LOGO
目录
CONTENTS
1 单击添加目录项标题 2 导数的概念 3 导数的几何意义 4 导数的应用
单击此处添加章节标题
导数的概念
导数的定义
导数是函数在某一点的切线斜率 导数是函数在某一点的瞬时变化率 导数是函数在某一点的极限值 导数是函数在某一点的微分值
导数的应用
导数的几何意义ppt
导数的物理意义
80%
速度
导数可以用来描述物理量随时间 的变化速率，例如速度是位移对 时间的导数。
100%
斜率
在物理量中，导数可以表示斜率 ，例如加速度是速度对时间的导 数。
80%
变化率
导数可以用来描述物理量的变化 率，例如电流强度是电荷对时间 的导数。
02
导数与切线斜率
切线的定义
பைடு நூலகம்01
切线是过曲线上某一点的直线， 该点称为切点。
导数在经济问题中的应用
边际分析与决策
导数可以用来描述边际成本、边际收益和边际利润等概念，帮助 企业做出最优的决策。
供需关系
导数可以用来分析市场的供需关系，例如通过分析需求函数和供给 函数的导数，可以了解市场均衡点的变化趋势。
经济增长与人口变化
导数可以用来描述经济增长和人口变化的趋势，例如通过分析GDP 和人口增长率的导数，可以了解经济和人口的发展趋势。
04
导数在实际问题中的应用
导数在物理问题中的应用
速度与加速度
导数可以用来描述物体运动的速度和加速度，通过分析导 数可以了解物体的运动状态和变化趋势。
斜率与曲线
导数可以用来描述曲线的斜率，例如在分析弹性、阻力和 引力等物理现象时，导数可以帮助我们理解物体在曲线上 的运动状态。
能量与功率
在物理中，导数可以用来描述能量和功率的变化，例如在 分析电路、热传导和流体动力学等问题时，导数可以帮助 我们建立数学模型并求解。
导数与函数极值
总结词
导数可以用来确定函数的极值点。
详细描述
函数的极值点出现在导数为零或变号的点上。在极值点处，函数值可能达到最大或最小。因此，通过求函数的导 数并找到导数为零的点，可以确定函数的极值点。
第五章5.1.2第2课时 导数的几何意义课件(人教版)
解析 设切点坐标为(x0，y0)，
则
y
|x＝x0
＝ lim Δx→0
x0＋Δx3－2x0＋Δx－x30－2x0 Δx
＝3x20－2＝tan π4＝1，
所以x0＝±1， 当x0＝1时，y0＝－1. 当x0＝－1时，y0＝1.
当t＝t1时，函数的图象在t＝t1处的切线l1的斜率h′(t1)<0，这时，在t ＝t1附近曲线降落，即函数在t＝t1附近单调递减. 当t＝t2时，函数的图象在t＝t2处的切线l2的斜率h′(t2)<0，这时，在t ＝t2附近曲线降落，即函数在t＝t2附近单调递减. 通过研究t＝t1和t＝t2发现直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这 说明函数在t＝t1附近比在t＝t2附近降落的缓慢.
内容索引
一、导数的几何意义 二、函数的单调性与导数的关系 三、导函数(导数)
随堂演练
课时对点练
一、导数的几何意义
问题1 导数f′(x0)的几何意义是什么？ 提示 我们知道导数f′(x0)表示函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率， 反应了函数y＝f(x)在x＝x0附近的变化情况，如下图.
容易发现，平均变化率ΔΔyx＝fx0＋ΔΔxx－fx0表示的是割线 P0P 的斜率，当
跟踪训练 3 已知函数 f(x)＝x2－12x.求 f′(x).
解 ∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)
＝(Δx)2＋2x·Δx－12Δx，
∴ΔΔyx＝2x＋Δx－12.
∴f′(x)＝ lim Δx→0
ΔΔyx＝2x－12.
课堂小结
1.知识清单： (1)导数的几何意义. (2)函数的单调性与导数的关系. (3)导函数的概念. 2.方法归纳：方程思想、数形结合. 3.常见误区：切线过某点，这点不一定是切点.
1.1.3导数的几何意义课件人教新课标
如图，结合导数的几何意义，我们可以看出： 在 t＝1.5 s 附近曲线比较平坦，也就 是说此时烟花的瞬时速度几乎为 0，达到 最高点并爆裂；在 0～1.5 s 之间，曲线在 任何点的切线斜率大于 0 且切线的倾斜 程度越来越小，也就是说烟花在达到最高点前，以越来越小的 速度上升；在 1.5 s 后，曲线在任何点的切线斜率小于 0 且切线 的倾斜程度越来越大，即烟花达到最高点后，以越来越大的速 度下降，直到落地．
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
3．如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x ＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
解析： 点(5，f(5))在切线y＝－x＋8上， ∴f(5)＝－5＋8＝3. 且f′(5)＝－1， ∴f(5)＋f′(5)＝2. 答案： 2
[思路点拨]
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
程的步骤：
求曲线上某点(x0，y0)处切线方 求出f′x0即切线斜率
↓ 写出切线的点斜式方程
↓ 化简切线方程
特别提醒：在求切线方程的题目中，注意题干给出的点不 一定在曲线上，即使在曲线上也不一定作为切点应用．
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
《导数的几何意义》课件
热量与温度
在热传导问题中，导数的几何意义可以帮助 理解热量在物体中的传递和分布。温度是热 量的度量，而物体中的温度梯度（即温度随
位置的变化率）可以用导数来表示。
经济问题
要点一
供需关系
在经济学中，导数可以用来分析供需关系的变化。需求函 数或供给函数的导数可以描述价格与需求量或供给量之间 的变化率，帮助理解市场的均衡状态和价格调整机制。
隐函数求导
方法
通过对方程两边求导来求解隐函数的导数。
注意事项
在求导过程中，需要保持方程两边的等价关 系，并注意复合函数的求导法则。
04
导数在实际问题中的应用
物理问题
速度与加速度
在物理学中，导数被广泛应用于描述物体的 运动状态。速度是位置函数的导数，表示物 体在单位时间内通过的距离；而加速度是速 度函数的导数，表示物体速度变化的快慢。
02 导数可以用来求解微分方程，通过对方程进行求 导和积分，可以得到微分方程的解。
03 微分方程是描述物理现象的重要工具，通过求解 微分方程，可以了解物理现象的变化规律。
THANKS
感谢观看
信号处理
在信号处理和图像处理中，导数起着关键作用。信号的强度随时间的变化率可以用导数 来描述，而图像的边缘和轮廓可以通过求导来检测。此外，导数还可以用于图像的锐化
和模糊处理等操作。
05
导数的扩展知识
高阶导数
01
定义
高阶导数是函数导数的连续函数 ，表示函数在某一点的n阶导数 。
02
03
应用
计算方法
导数的性质
总结词
导数具有一些基本的性质，如可加性、可乘性、链式法则等。
详细描述
导数具有可加性、可乘性和链式法则等基本性质。这些性质是导数运算的基础，有助于理解和计算复杂的导数表 达式。
人教版高中二年级上学期选修2-2《导数的几何意义》教学课件
[解] Δy＝[3(x＋Δx)2－(x＋Δx)]－[3x2－x]
＝6xΔx＋3(Δx)2－Δx
∴ΔΔyx＝6xΔx＋3ΔΔx x2－Δx＝6x＋3Δx－1.
∴y′＝ lim Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
(6x＋3Δx－1)＝6x－1.
∴f′(1)＝6×1－1＝5，f′(5)＝6×5－1＝29.
求曲线y=x3 经过p点（1，1）的切线方程。
t0
t1
t2
图1.1 3
t
l2
处的切线l1的斜率h`t1 0.所以,在t t1附近曲线下
降,即函数ht在t t1附近单调递减.
3当t t2时,曲线ht在t2处的切线l2的斜率h`t2 0.
所以,在t t2附近曲线下降,即函数ht在t t1附近也
单调递减.
从图1.1 3可见,直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜
3：切线与曲线可以有一个交点，也可以有多个交点
4：切线斜率的倾斜程度不同和曲线有什么关系吗？
h
例 2 如图 1.1 3, 它表
l0
示跳水运动中高度随
时间变化的函 数 h t
l1
4.9 t 2 6.5 t 10 的
图象 . 根 据图象 , 请描 O
述、比较曲线 h t 在 t0 ,
t1
,
t
程度, 这说明曲线ht在t1附近比在t2附近下降得缓慢.
根据图像，请描述、比
较曲线
ht
在t
3、t
附近的变化情况。
4
函数在
t
3、t
处的切线的
4
h
斜率均大于 0，所以在两
点附近曲线上升，即函
数在两点附近单调递增 。Βιβλιοθήκη o t 3t 4t
5.1.2导数的概念及几何意义课件(人教版)
4
巩固练习．求函数 y＝x－x在 x＝2 处的导数．
解： (导数定义法)：
4
4
Δy＝(2＋Δx)－
－2－2
2＋Δx
2Δx
＝Δx＋
，
2＋Δx
2Δx
Δx＋
2＋Δx
Δy
2
＝
＝1＋
，
Δx
Δx
2＋Δx
2
Δy
∴lim
＝lim 1＋2＋Δx＝2，
Δx→0 Δx
Δx→0
从而 y′|x＝2＝2.
y
y
量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．我们把比值
，即 x ＝
x
f（x 0＋Δx）－f（x 0）
______________________叫做函数y＝f(x)从x
0到x0＋Δx的平均变
Δx
化率．
2．函数在x＝x0处的导数
y
y
如果当Δx→0时，平均变化率 x 无限趋近于一个确定的值，即 x 有
曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至
可以有无穷多个．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的
切线．
例 1.
已知函数 f(x)＝2x2＋4x，则 f′(3)＝________.
解析：
(1)Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)
＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx
1
＝3liΔxm→0
Δx
1
＝3li m [3x2＋3xΔx＋(Δx)2]＝x2，
Δx→0
y′|x＝3＝32＝9，
即曲线在P(3,9)处的切线的斜率等于9.
5.1.2导数的概念及其几何意义课件-高中数学人教A版选择性必修第二册
s
v ;
t
(2)求平均速度
（3）求极限 lim
x 0
s
s(t t ) s (t )
lim
.
t
t
x 0
2由导数的定义可得求导数的一般步骤：
（1）求函数的增量Δy=f(x0+Δt)－f(x0)
y
x
讲
课
人
：
邢
启
强
(2)求平均变化率
（3）求极限 f ' ( x0 ) lim
x 0
y
x
是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;
3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.
10
解：我们用曲线h(t)在t=t0, t1,t2处的切线斜率，刻画曲线h(t)
在上述三个时刻附近的变化情况.
(1)当t=t0时，曲线h(t)在t=t0处的切线l0平行于t轴，h'(t0)=0.
x
1
lim [3 x 2 3 xx ( x ) 2 ] x 2 .
3 x 0
y
4
1
y x3
3
3
P
2
1
-2 -1
O
-1
x
1
2
-2
y | x 2 2 2 4.
即点P处的切线的斜率等于4.
讲
课
人
：
邢
启
强
(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.
根据导数的定义,
x
x
x
y
4 x x 2 7x
'
lim x 3 3,
v ;
t
(2)求平均速度
（3）求极限 lim
x 0
s
s(t t ) s (t )
lim
.
t
t
x 0
2由导数的定义可得求导数的一般步骤：
（1）求函数的增量Δy=f(x0+Δt)－f(x0)
y
x
讲
课
人
：
邢
启
强
(2)求平均变化率
（3）求极限 f ' ( x0 ) lim
x 0
y
x
是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;
3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.
10
解：我们用曲线h(t)在t=t0, t1,t2处的切线斜率，刻画曲线h(t)
在上述三个时刻附近的变化情况.
(1)当t=t0时，曲线h(t)在t=t0处的切线l0平行于t轴，h'(t0)=0.
x
1
lim [3 x 2 3 xx ( x ) 2 ] x 2 .
3 x 0
y
4
1
y x3
3
3
P
2
1
-2 -1
O
-1
x
1
2
-2
y | x 2 2 2 4.
即点P处的切线的斜率等于4.
讲
课
人
：
邢
启
强
(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.
根据导数的定义,
x
x
x
y
4 x x 2 7x
'
lim x 3 3,
导数的几何意义课件(共28张PPT)
y
y f x
P1
T P
y
y f x
P2
T
n 1, 2, 3, 4
O
x
O
x
1
y f x
y
2
y f x
时, 割线PPn的 变 化 趋势 是 什么?
P
P3
T
T
P4 P
O
x
O
x
3
4
图1.1 2
新 授
1、曲线上一点的切线的定义
y=f(x) y Q 割 线 T 切线
当点Q沿着曲线无限接近点P即Δ x→0时,割线PQ有一个 极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线. 设切线的倾斜角为α ,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率, 称为曲线在点P处的切线的斜率.
f ( x0 x ) f ( x0 ) y 即: k切线 tan lim lim x 0 x x 0 x
题型三：导数的几何意义的应用
例1:（1）求函数y=3x2在点(1,3)处的导数.
2 3(1 x) 2 3 12 3 x 6x 解：y |x 1 lim lim x 0 x x 0 x
lim 3( x 2) 6
x 0
（2）求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
C
割线与切线的斜率有何关系呢？
k PQ
y=f(x) y Q(x1,y1)
△y
y f ( x x ) f ( x ) ＝ x x
即：当△x→0时，割线 PQ的斜率的极限，就是曲线 在点P处的切线的斜率，
P(x0,y0)
△x
M
o
x
y f x
P1
T P
y
y f x
P2
T
n 1, 2, 3, 4
O
x
O
x
1
y f x
y
2
y f x
时, 割线PPn的 变 化 趋势 是 什么?
P
P3
T
T
P4 P
O
x
O
x
3
4
图1.1 2
新 授
1、曲线上一点的切线的定义
y=f(x) y Q 割 线 T 切线
当点Q沿着曲线无限接近点P即Δ x→0时,割线PQ有一个 极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线. 设切线的倾斜角为α ,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率, 称为曲线在点P处的切线的斜率.
f ( x0 x ) f ( x0 ) y 即: k切线 tan lim lim x 0 x x 0 x
题型三：导数的几何意义的应用
例1:（1）求函数y=3x2在点(1,3)处的导数.
2 3(1 x) 2 3 12 3 x 6x 解：y |x 1 lim lim x 0 x x 0 x
lim 3( x 2) 6
x 0
（2）求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
C
割线与切线的斜率有何关系呢？
k PQ
y=f(x) y Q(x1,y1)
△y
y f ( x x ) f ( x ) ＝ x x
即：当△x→0时，割线 PQ的斜率的极限，就是曲线 在点P处的切线的斜率，
P(x0,y0)
△x
M
o
x
导数的几何意义课件-2025届高三数学一轮复习
例1.已知函数 y f (x) 的图象如图所示， f ( x) 是函数 f ( x) 的导函数，则（
）
题型二、求切线方程
角度1 求曲线在某点处的切线方程
解题步骤：曲线在点P（x0 , f ( x0 ))处的切线方程
（1）求出导函数f ( x);
(2)把切点的横坐标x0 代入导函数f ( x), 得k f ( x0 );
3、公切线问题
应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又
在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求
解。或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列出方程
组求解。
强调：切点的三重含义：①切点处的导函数值才是在该切点处的切线斜率；
②切点在切线上；
③切点也在曲线上
题型突破
题型一、 导数几何意义的应用
y
由两曲线有公切线得
y
1
x 1 ，
相切的切点为
x
0
, ln x0 1 a
，
1
1
1
1
2
ln
a
,
x0
x0 1
2
2
，
2
，则切点为
，解得
1
1
2 x 1 a ln 2
ln
a
y 2 x
2
2
，根据两切线重合,所以
e 1 x y 1 0
，即
.
角度2 求曲线过某点的切线方程
解题步骤:过一点A（m,n)的切线方程
（）设切点为
1
P（x0 , y0 ), 则斜率 k f ( x0 );
）
题型二、求切线方程
角度1 求曲线在某点处的切线方程
解题步骤：曲线在点P（x0 , f ( x0 ))处的切线方程
（1）求出导函数f ( x);
(2)把切点的横坐标x0 代入导函数f ( x), 得k f ( x0 );
3、公切线问题
应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又
在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求
解。或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列出方程
组求解。
强调：切点的三重含义：①切点处的导函数值才是在该切点处的切线斜率；
②切点在切线上；
③切点也在曲线上
题型突破
题型一、 导数几何意义的应用
y
由两曲线有公切线得
y
1
x 1 ，
相切的切点为
x
0
, ln x0 1 a
，
1
1
1
1
2
ln
a
,
x0
x0 1
2
2
，
2
，则切点为
，解得
1
1
2 x 1 a ln 2
ln
a
y 2 x
2
2
，根据两切线重合,所以
e 1 x y 1 0
，即
.
角度2 求曲线过某点的切线方程
解题步骤:过一点A（m,n)的切线方程
（）设切点为
1
P（x0 , y0 ), 则斜率 k f ( x0 );
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
h
l0
l1
O
t0
t1
t2
t
l2
图1.1 3
解 我们用曲线 h x 在t0 , t1 , t2 处的切线 , 刻画曲 线ht 在上述三个时刻附近的 变化情况 .
h
1当t t0时,曲线 ht 在
t0处的切线 l0平行于 x 轴. 所以, 在t t0附近曲线比 较平坦 , 几乎没有升降 .
y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ).
无限逼近的极限思想是建立导数 概念、用导数定义求 函数的导数的 基本思想，丢掉极限思想就无法理解 导 数概念。
函数在点 x0 处的导数 f ( x0 )、导函数 f ( x) 、导数 之 间的区别与联系。 1）函数在一点 x0 处的导数f ( x0 ) ，就是在该点的函 数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是 一个常数，不是变数。 2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的， 就是函数f(x)的导函数 3）函数在点 x0 处的导数 f ( x0 ) 就是导函数 f ( x) 在 x0 处的函数值，这也是 求函数在点 x x0 处的导数 的方法之一。
cm g/ m l
1 .1 1 .0 0 .9 0 .8 0 .7 0 .6 0 .5 0 .4 0 .3 0 .2 0 .1
0 0
0 .1
0 .2
0 .3
0 .4
0 .5
0 .6
0 .7 0 .8
0 .9
1 .0
1 .1
t m in
解 血管中某一时刻药物浓 度的瞬时变化率 , 就是 药物浓度 f t 在此时刻的导数 .从图象上看 ,它表示
2
t0
t1
t2
t
单调递减 . 从图1.1 3可见, 直线l1的倾斜程度小于直线 l2的倾斜 程度, 这说明曲线 ht 在t1附近比在 t2附近下降得缓慢 .
例 3 如图 1 .1 4 , 它 表示人体血管中药 物浓度 c f t (单 位 : mg / ml ) 随时间 t 单位 : min 变化的 函数图象.根据图象, 估计 t 0.2,0.4,0.6. 0.8 min 时, 血管中药 物浓度的瞬时变化 率 精确到0.1 .
继续观察图 1.1 2或动画演示, 可以发现, 在点 P附近, PP2比PP 1更贴近曲线 f x , PP 3 比 PP2 更贴近曲线 f x 过点P的切线 PT 最贴近点P附近的曲线 f x .因此 , 在点 P 附近,曲线 f x 就可以用过点P的切线 PT近似代替.
y
y f x
P1
T P
y
y f x
P2
T
n 1, 2, 3, 4
O
x
O
x
1
y f x
y
2
y f x
时, 割线PPn的 变 化 趋势 是
O
P
P3
T
T
P4 P
x
O
x
什么?
3
4
图1.1 2
我们发现,当点Pn 趋近于点P时, 割线 PPn 趋近于确 定的位置, 这个确定位置的直线PT 称为过点P的 切线 tan gent line .值得关注的问题是 , 割线PPn的 斜率与切线PT的斜率k有什么关系呢?
图1.1 4
f 0.8 1.4. 下表给出了药物浓度瞬 时变化率的估计值 , 验证 一下, 这些值是否正确 .
'
曲线 f t 在此点处的切线的斜率 . 如图1.1 4,画出曲线上某点处的切 线, 利用网格 估计这条切线的斜率 , 可以得到此刻药物浓度 瞬 时变化率的近似值 . 作t 0.8处的切线 ,它的斜率约为 1.4, 所以
此处切线定义与以前学过的切线定义有什么不用？
f xn f x0 容易知道 , 割线 PP . n的斜率是 k n xn x0 当点 Pn无限趋近于点 P时, k n无限趋近于切线 PT 的斜率.因此, 函数 f x 在x x0处的导数就是切 线PT的斜率 k .即 f x0 x f x0 k lim f ' x0 . x 0 x
(简称导数 ). y f x 的导函数有时也记作 f x x f x ' ' ' y , 即 f x y lim . x 0 x
归纳:求切线方程的步骤 （1）求出函数在点x0处的变化率 f ( x0 ) ，得到曲线 在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
药物浓度的瞬时变化率 f t 0.4 0 0.7 1.4
'
t
0.2 0.4
0.6
0.8
从求函数 f x 在 x x0 处导数的过程可以 看到,当 x x0 时, f ' x0 是一个确定的数 .这 样,当 x 变化时, f ' x 便是 x 的一个函数, 我 们称它为f x 的导函数 (derivative function)
O
l0
l1
l 2当t t1时,曲线ht 在t1 图1.1 3 处的切线 l1的斜率 h`t1 0.所以, 在t t1附近曲线下 降, 即函数 ht 在t t1附近单调递减 . 3当t t2时,曲线 ht 在t2处的切线 l2的斜率 h`t2 0. 所以, 在t t2附近曲线下降 , 即函数 ht 在t t1附近也
1.1.3 义
导数的几何意
我们知道, 导数 f x0 表示函数 f x
'
在 x x0 处的瞬时变化率, 反映了函 么, 导数 f x0 的几何意义是什么呢 ?
'
数 f x 在 x x0 附近的变化情况 .那
y
观 察 如图 1 .1 2 ,当点 Pn xn , f xn 沿着曲线 P x0 , f x0 f x 趋近于点
（2）求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
[(1 x)2 1] (12 1) 2x x 2 y |x1 lim lim 2 x 0 x 0 x x
y 2 2( x 1) 2x y 0
例 2 如图1.1 3, 它表 示跳水运动中高度随 时间变化的函数 h t 4.9 t 2 6.5 t 10 的 图象 . 根 据图象, 请描 述、比较曲线 ht 在t0 , t1 , t2附近的变化情况 .
数学上常用简单的对象 刻画复杂的对象.例 如 , 用有理数3.1416 近似代替无理数 . 这里, 我们用曲线上某点处的 切线 近似代替 这 点 附近的曲线, 这是微积分中重要的思 想方法 以直代曲 .
例1: （1）求函数y=3x2在点处(1,3)的导数.
3x 2 3 12 3( x 2 12 ) y |x 1 lim lim lim3( x 1) 6 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1