中考综合型问题集五

121．已知直线y ＝－

3

4

x ＋6与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，将∠OBA 对折，使点O 的对应点E 落在直线AB 上，折痕交x 轴于点C ． （1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；

（2）若抛物线的顶点为D ，在直线BC 上是否存在点P ，使得四边形OP AD 为平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；

（3）设抛物线的对称轴与直线BC 的交点为F ，Q 为线段BF 上一点，求|QA －QO |的取值范围．

122．如图，已知抛物线过点A （0，6），B （2，0），C （7，5

2

）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若D 是抛物线的顶点，E 是抛物线的对称轴与直线AC 的交点，F 与E 关于D 对称，求证：∠CFE ＝∠AFE ；

（3）在y 轴上是否存在这样的点P ，使△AFP 与△FDC 相似，若有，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若没有，请说明理由．

123．如图1，抛物线y ＝ax

2

＋bx ＋3经过A （－3，0），B （－1，0）两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线的顶点为M ，直线y ＝－2x ＋9与y 轴交于点C ，与直线OM 交于点D ．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD 上，若平移的抛物线与射线CD （含端点C ）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；

（3）如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q （0，3）作不平行于x 轴的直线交抛物线于E 、F 两点．问在y 轴的负半轴上是否存在点P ，使△PEF 的内心在y 轴上.若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

124．如图所示，过点F （0，1）的直线y ＝kx ＋b 与抛物线y ＝

1

4

x 2

交于M （x 1，y 1）和N （x 2，y 2）两点（其中x 1＜0，x 2＞0）．

（1）求b 的值； （2）求x 1·x 2的值； （3）分别过M 、N 作直线l ：y ＝－1的垂线，垂足分别是M 1和N 1，判断△M 1FN 1的形状，并证明你的结论； （4）对于过点F 的任意直线MN ，是否存在一条定直线m ，使m 与以MN 为直径的圆相切．如果有，请求出这条直线m 的解析式；如果没有，请说明理由．

125．如图，已知抛物线l 1：y ＝x

2

－4与x 轴相交于A 、C 两点，B 是抛物线l 1上的动点（B 不与A 、C 重合），抛物线l 2与l 1关于x 轴对称，以AC 为对角线的平行四边形ABCD 的第四个顶点为D ．

（1）求证：点D 一定在l 2上； （2）试判断动点B 运动到什么位置时平行四边形ABCD 恰好是菱形，并求这个菱形的面积； （3）平行四边形ABCD 能否为矩形？如果能为矩形，求这些矩形公共部分的面积（若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积）；如果不能为矩形，请说明理由．

图

1

图2

4

126．如图，分别以两个彼此相邻的正方形OABC 与CDEF 的边OC 、OA 所在直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系（O 、C 、F 三点在x 轴正半轴上）．若⊙P 过A 、B 、E 三点（圆心在x 轴上），抛物线y ＝

1 4

x

2＋bx ＋c 经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为G ，M 是FG 的中

点，正方形CDEF 的面积为1． （1）求B 点坐标；

（2）求证：ME 是⊙P 的切线；

（3）设直线AC 与抛物线对称轴交于N ，Q 点是此对称轴上不与N 点重合的一动点． ①求△ACQ 周长的最小值；

②若FQ ＝t ，S △ACQ ＝S ，直接写出．．．．S 与t 之间的函数关系式．

127．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （－4，0），点C （0，2），点B 是x 轴上一点（位于点A 的右侧），以AB 为直径的圆恰好．．经过．．

点C ，抛物线y ＝ax

2

＋bx ＋c 经过A 、B 、C 三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）D 是抛物线的顶点，在抛物线上是否存在点P ，使△ADP 为锐角三角形？若存在，求出Q 点横坐标的取值范围；

（3）Q 是y 轴上一点，M 是抛物线的对称轴上一点，且四边形BCMQ 为等腰梯形，直接写．．．出．M 点坐标．

备用图

备用图

备用图

128．如图，已知抛物线y ＝x

2

＋bx ＋c 与x 轴交于点A （1，0）和点B ，与y 轴交于点C （0，－3）．

（1）求抛物线的解析式； （2）如图（1），已知点H （0，－1）．问在抛物线上是否存在点G （点G 在y 轴的左侧），使得S △GHC

＝S △GHA ？若存在，求出点G 的坐标，若不存在，请说明理由； （3）如图（2），抛物线上点D 在x 轴上的正投影为点E （－2，0），F 是OC 的中点，连接DF ，P 为线段BD 上的一点，若∠EPF ＝∠BD F ，求线段PE 的长．

129．如图，在平面直角坐标系xO y 中，AB 在x 轴上，AB ＝10．以AB 为直径的⊙O ′

与y 轴正半轴交于点C ，连接BC 、AC ．CD 是⊙O ′

的切线，AD ⊥CD 于点D ，tan ∠CAD ＝

1

2

，抛物线y ＝ax

2

＋bx ＋c 过A 、B 、C 三点． （1）求证：∠CAD ＝∠CAB ； （2）①求抛物线的解析式；

②判断抛物线的顶点E 是否在直线CD 上，并说明理由；

（3）在抛物线上是否存在一点P ，使四边形PBCA 是直角梯形．若存在，直接写出点P 的

坐标；若不存在，请说明理由．

130．如图，直径为5的⊙M 圆心在x

两点，与y 轴交

于C 、D 两点且CD ＝4，抛物线y ＝ax

2

＋bx ＋c 经过A 、B 、C 三点，顶点为N ． （1）求抛物线的解析式；

（2）直线NC 与x 轴交于点E ，试判断直线CN 与⊙M 的位置关系并说明理由；

（3）设点Q 是抛物线对称轴上的一点，试问在抛物线上是否存在点P ，使以点A 、B 、P 、

图（2）

图（1）