复杂网络基础6
复杂网络基础理论教学设计
复杂网络基础理论教学设计1. 教学目标本课程旨在通过对复杂网络的基础理论及相关实践案例的介绍和讲解，帮助学生掌握以下内容：1.复杂网络的基本概念、特征和分类；2.复杂网络研究中常用的数据分析方法及其应用；3.复杂网络中的模型和算法，包括传统的图论模型和基于复杂系统理论的网络模型，以及最新的深度学习方法；4.复杂网络的应用领域及实际案例分析。
2. 教学内容2.1 复杂网络基础1.复杂网络的基本概念和特征，包括节点、边、度、邻接矩阵、度分布、聚类系数、介数中心性等；2.复杂网络的分类和常见模型，包括随机网络、小世界网络、无标度网络等；3.复杂网络的测量和分析方法，包括网络连通性、网络社区结构、网络中心性等。
2.2 复杂网络模型和算法1.传统网络模型和算法，包括最短路径算法、最小生成树算法、最大流问题等；2.复杂系统理论中的网络模型和算法，如复杂系统自组织性、分形几何等；3.基于深度学习的复杂网络模型和算法，包括卷积神经网络、循环神经网络、图卷积神经网络等。
2.3 复杂网络的应用1.复杂网络在社会科学中的应用，如社交网络分析、情感分析等；2.复杂网络在生物学中的应用，如蛋白质相互作用网络、代谢通路网络等；3.复杂网络在工程学中的应用，如交通网络、电力网络等。
2.4 教学方法本课程将采用多种教学方法，包括讲授、案例分析、小组讨论、实验演示等，学生需要积极参与并完成相关任务。
3. 教学评估1.期末考试：占总成绩的50%；2.实验报告：占总成绩的20%；3.课堂表现：占总成绩的30%。
4. 参考资料1.Barabási, A. L. (2002). Linked: The new science of networks.Cambridge, MA: Perseus Publishing.2.Newman, M. E. (2010). Networks: An introduction. Oxford:Oxford University Press.3.Albert, R., & Barabási, A. L. (2002). Statistical mechanicsof complex networks. Reviews of Modern Physics, 74(1), 47–97.4.Goodfellow, I., Bengio, Y., & Courville, A. (2016). Deeplearning. MIT Press.5.Boccaletti, S., Latora, V., Moreno, Y., Chavez, M., & Hwang,D. U. (2006). Complex networks: Structure and dynamics. PhysicsReports, 424(4-5), 175–308.5. 结语本课程可以帮助学生建立对复杂网络的全面认知，理解和应用复杂网络在不同领域的重要性和作用，为其未来的职业发展提供帮助和指引。
复杂网络简介与基本概念
(Hawoong Jeong)
27
几个基本概念
平均距离 聚类系数 度与度分布 节点介数
(Stephen G. Eick)
28
平均距离
节点 n 与 m的 距离 d(n,m) = 连接他们的最短路径的长度 直径 D = max{d(n,m)} 平均距离 L = 所有 d(n,m)的平均数
24
小世界网络
特征:
(Similar to ER Random Graphs)
齐次性: 每个节点有大约相同 的连接数 节点不增加
25
Scale-Free 网络 (Barabasi-Albert, Science, 1999)
由初始给定的一个具 m0个节点的网络开始 (i) 增加新节点:
With probability p, a new node is added into the network
My Erdös Number is 2:
P. Erdös – C. K. Chui – G. R. Chen
Erdös had a (scale-free) small-world network of mathematical research collaboration
46
小世界实验
Milgram小世界实验
大部分复杂网络有小的平均距离 L 小世界特征
29
例子:
一个具5个节点5个连接的网络:
.
∑ L
=
1
1 N(N
−1)
i> j
d ij
2
d12 = 1
d13 = 1
复杂网络基础理论
无标度网络
定义：无标度网络是指节点的度分布遵循幂律分布的网络即少数节点拥有大量连接大部分节点 只有少数连接。
特性：无标度网络具有高度的异质性其结构可以抵抗随机攻击但容易受到定向攻击。
构建方法：无标度网络的构建通常采用优先连接机制即新节点更倾向于与已经具有大量连接的 节点相连。
应用场景：无标度网络在现实世界中广泛存在如社交网络、互联网、蛋白质相互作用网络等。
07
复杂网络的未来研究方向和挑战
跨领域交叉研究
复杂网络与计算机 科学的交叉：研究 网络算法、网络安 全和网络流量控制 等。
复杂网络与生物学 的交叉：研究生物 系统的网络结构和 功能如蛋白质相互 作用网络和基因调 控网络等。
复杂网络与物理学 的交叉：研究网络 的拓扑结构和动力 学行为如复杂系统 、自组织系统和非 线性系统等。
复杂网络的演化过程中节点和边 的动态变化会导致网络的拓扑结 构和性质发生改变。
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复杂网络具有非线性和自组织的 特性能够涌现出复杂的结构和行 为。
复杂网络在现实世界中广泛存在 如社交网络、生物网络、交通网 络等。
复杂网络的特征
节点数量巨大且具有自组织、 自相似、小世界等特性
03
复杂网络的基本理论
网络拓扑结构
节点：复杂网络中的基本单元
连通性：网络中节点之间是否存 在路径
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边：连接节点的线段表示节点之 间的关系
聚类系数：衡量网络中节点聚类 的程度
网络演化模型
节点增长模型：节点按照一定概 率在网络中加入形成无标度网络
节点属性演化模型：节点属性随 时间发生变化影响网络的演化
复杂网络的基础知识
第二章复杂网络的基础知识2.1 网络的概念所谓“网络”（networks），实际上就是节点（node）和连边（edge）的集合。
如果节点对（i，j）与（j，i）对应为同一条边，那么该网络为无向网络（undirected networks），否则为有向网络（directed networks）。
如果给每条边都赋予相应的权值，那么该网络就为加权网络（weighted networks），否则为无权网络（unweighted networks），如图2-1所示。
图2-1 网络类型示例(a) 无权无向网络(b) 加权网络(c) 无权有向网络如果节点按照确定的规则连边，所得到的网络就称为“规则网络”（regular networks），如图2-2所示。
如果节点按照完全随机的方式连边，所得到的网络就称为“随机网络”（random networks）。
如果节点按照某种（自）组织原则的方式连边，将演化成各种不同的网络，称为“复杂网络”（complex networks）。
图2-2 规则网络示例(a) 一维有限规则网络(b) 二维无限规则网络2.2 复杂网络的基本特征量描述复杂网络的基本特征量主要有：平均路径长度（average path length ）、簇系数（clustering efficient ）、度分布（degree distribution ）、介数（betweenness ）等，下面介绍它们的定义。
2.2.1 平均路径长度（average path length ）定义网络中任何两个节点i 和j 之间的距离l ij 为从其中一个节点出发到达另一个节点所要经过的连边的最少数目。
定义网络的直径（diameter ）为网络中任意两个节点之间距离的最大值。
即}{max ,ij ji l D = （2-1） 定义网络的平均路径长度L 为网络中所有节点对之间距离的平均值。
即∑∑-=+=-=111)1(2N i N i j ij lN N L （2-2）其中N 为网络节点数，不考虑节点自身的距离。
复杂网络理论基础题
复杂网络理论基础题复杂网络理论作为计算机科学和网络科学领域的重要分支，旨在研究复杂系统中的网络拓扑结构及其动态演化规律。
本文将介绍复杂网络理论的基础知识，包括网络拓扑结构、节点度分布、小世界网络和无标度网络等内容。
一、网络拓扑结构网络拓扑结构是指网络中各节点之间连接关系的模式。
最简单的网络拓扑结构是随机网络，其中每个节点以等概率与其他节点相连。
然而，在许多实际网络中，节点的连接并不是完全随机的，而是具有某种特定的模式或结构。
二、节点度分布节点度是指节点连接的边的数量，节点度分布描述了网络中不同节点度值的节点数量。
在随机网络中，节点度分布通常呈现泊松分布，即节点度相差不大。
而在复杂网络中，节点度分布往往呈现幂律分布，即存在少数高度连接的节点（大度节点），大部分节点的度较低。
这也是复杂网络与随机网络的一个显著区别。
三、小世界网络小世界网络是指同时具有较高聚集性和较短平均路径长度的网络。
在小世界网络中，节点之间的平均距离较短，通过少数的中心节点即可实现较快的信息传递。
同时，小世界网络中也存在着高度的聚集性，即节点之间存在较多的局部连接。
四、无标度网络无标度网络是指网络中节点度分布呈现幂律分布的网络。
在无标度网络中，只有少数节点具有极高的度，而大部分节点的度较低。
这些高度连接的节点被称为“超级节点”或“中心节点”，它们在网络中起到关键的作用。
五、复杂网络的动态演化复杂网络的动态演化是指网络随时间发展过程中结构和拓扑特性的变化。
常见的复杂网络动态演化模型包括BA 模型和WS 模型。
BA 模型通过优先连接原则，使具有较高度的节点更容易吸引连接，从而形成无标度网络。
WS 模型则通过随机重连机制，在保持网络聚集性的同时，增加了节点之间的短距离连接。
六、复杂网络的应用复杂网络理论在许多领域都有广泛的应用。
例如，在社交网络中，研究人们之间的联系方式和信息传播规律；在生物学领域中，研究蛋白质相互作用网络和基因调控网络；在物流和供应链中，研究供应商和客户之间的联系。
复杂网络
表现
复杂网络复杂网络简而言之即呈现高度复杂性的网络。其复杂性的主要表现以下几个方面：
1）结构复杂的主要表现为节点数目巨大，网络结构呈现多种不同特征。
2）网络进化的主要表现为节点或连接的产生与消失。例如world-wide network，网页或链接随时可能出现 或断开，导致网络结构不断发生变化。
复杂网络
具有自组织、自相似或全部性质的网络
01 概念
03 内容 05 研究方向
目录
02 表现 04 特性
复杂网络（Complex Network），是指具有自组织、自相似、吸引子、小世界、无标度中部分或全部性质的 网络。特征：小世界、集群即集聚程度的概念、幂律的度分布概念。
概念
复杂网络钱学森给出了复杂网络的一个较严格的定义：具有自组织、自相似、吸引子、小世界、无标度中部 分或全部性质的网络称为复杂网络。
第二，集群即集聚程度(clustering coefficient)的概念。例如，社会网络中总是存在熟人圈或朋友圈， 其中每个成员都认识其他成员。集聚程度的意义是网络集团化的程度；这是一种网络的内聚倾向。连通集团概念 反映的是一个大网络中各集聚的小网络分布和相互联系的状况。例如，它可以反映这个朋友圈与另一个朋友圈的 相互关系。
3）连接样性：节点之间的连接权重存在差异，且有可能存在方向性。
4）动力学复杂性：节点集可能属于非线性动力学系统，例如节点状态随时间发生复杂变化。
5）节点多样性：复杂网络中的节点可以代表任何事物，例如，人际关系构成的复杂网络节点代表单独个体， 万维网组成的复杂网络节点可以表示不同网页。
6）多重复杂性融合：即以上多重复杂性相互影响，导致更为难以预料的结果。例如，设计一个电力供应网络 需要考虑此网络的进化过程，其进化过程决定网络的拓扑结构。当两个节点之间频繁进行能量传输时，他们之间 的连接权重会随之增加，通过不断的学习与记忆逐步改善网络性能。
(完整版)复杂网络的基础知识
第二章复杂网络的基础知识2。
1 网络的概念所谓“网络”（networks），实际上就是节点（node）和连边（edge）的集合。
如果节点对(i，j）与（j，i）对应为同一条边,那么该网络为无向网络（undirected networks）,否则为有向网络(directed networks）。
如果给每条边都赋予相应的权值，那么该网络就为加权网络（weighted networks)，否则为无权网络（unweighted networks)，如图2-1所示。
图2—1 网络类型示例(a) 无权无向网络 (b）加权网络（c) 无权有向网络如果节点按照确定的规则连边，所得到的网络就称为“规则网络”(regular networks）,如图2-2所示。
如果节点按照完全随机的方式连边,所得到的网络就称为“随机网络”（random networks）。
如果节点按照某种(自）组织原则的方式连边，将演化成各种不同的网络,称为“复杂网络”（complex networks)。
图2—2 规则网络示例(a）一维有限规则网络 (b）二维无限规则网络2.2 复杂网络的基本特征量描述复杂网络的基本特征量主要有：平均路径长度(average path length)、簇系数（clustering efficient ）、度分布（degree distribution ）、介数（betweenness ）等，下面介绍它们的定义。
2。
2.1 平均路径长度（average path length ）定义网络中任何两个节点i 和j 之间的距离l ij 为从其中一个节点出发到达另一个节点所要经过的连边的最少数目。
定义网络的直径（diameter)为网络中任意两个节点之间距离的最大值.即}{max ,ij ji l D = (2—1） 定义网络的平均路径长度L 为网络中所有节点对之间距离的平均值.即 ∑∑-=+=-=111)1(2N i N i j ij lN N L （2-2） 其中N 为网络节点数，不考虑节点自身的距离.网络的平均路径长度L 又称为特征路径长度（characteristic path length)。
复杂网络概述 ppt课件
星形耦合网络：有一个中心点，其余N-1个点都只与这
个中心点连接，其平均路径长度为
Lstar 2
聚类系数为
C
star
2( N 1) 2 N ( N 1)
N 1 1 N
ppt课件
( N ) ( N )
16
随机图
随机图是与规则网络相反的网络，一个典型模型 是 Erdos 和 Renyi 于 40 多年前开始研究的随机图模 型。 假设有大量的纽扣（ N》1 ）散落在地上，并以相 同的概率p给每对纽扣系上一根线。这样就会得到 一个有 N 个节点，约 pN(N-1)/2 条边的 ER 随机图的 实例。
ppt课件 3
3
③ 小世界实验
20世纪60年代美国哈佛大学的社会心理学家Stanley Milgram通过
一些社会调查后给出的推断是：地球上任意两个人之间的平均距
离是6。这就是著名的“六度分离”（six degrees of separation）推断。 为了检验“六度分离”的正确性，小世界实验—Bacon数。美国
ppt课件
9
小世界实验---Erdos数
Erdos从来没有一个固定的职位，从来不定居在一 个地方，也没有结婚，带着一半空的手提箱，穿 梭于学术研讨会，浪迹天涯，颇富传奇色彩。有 人称他为流浪学者(wande ring scholar)。
他效忠的是科学的皇后， 而非一特定的地方。各 地都有热心的数学家提供他舒适的食宿，安排他 的一切，他则对招待他的主人，给出一些挑战性 的数学难题，或给予研究上的指导做为回馈。 他可以和许多不同领域的数学家合作。数学家常 将本身长久解决不了的问题和他讨论，于是很快 地一篇论文便诞生了。
复杂网络基础理论.完美版PPT
朋
地
友
址 网
关系
网
数理统计基础
概率论基础 数理统计基础 统计假设及检验 一元线性回归分析
图论的基本概念
图的基本概念 图的路和连通性 图的基本运算 树与生成树 图的矩阵表示
复杂网络的研究内容和意义
研究的主要内容包括：网络的几何性质，网络 的形成机制，网络演化的统计规律，网络上的模 型性质，网络的结构稳定性，网络的演化动力学 机制等。
复杂网络基础理论
网络科学理论发展的三个时期
规则网络理论阶段 随机网络理论阶段 复杂网络理论阶段
复杂网络的概念和特性
复杂网络的概念 复杂网络的特性
复杂网络的概念
1.系统和网络 2.复杂性 3.复杂系统 4.复杂网络
复杂网络的特性
复杂性 小世界特性 无标度特性 超家族特性
IP
对于无向简单图来说，dij＝dji且dii＝0，则上式可简化为
集聚系数 对于无向网络中节点Vi集聚系数定义为 C=2Mi／［ki（ki－1）］
对于有向网络来说集聚系数为 C=Mi／［ki（ki－1）］
根据邻接矩阵求集聚系数公式为：
度分布
大多数实际网络中的节点的度是满足一定的概率分布的。 定义P（k）为网络中度为k的节点在整个网络中所占的比 率。 规则网络：由于每个节点具有相同的度，所以其度分布集中 在一个单一尖峰上，是一种Delta分布。 完全随机网络：度分布具有Poisson分布的形式，每一条 边的出现概率是相等的，大多数节点的度是基本相同的。 无标度网络：具有幂指数形式的度分布：P（k）∝k−γ 。 指数度分布网络： P（k）∝e−k/к，式中к＞0为一常数。
边连通度定义为
平均入度＜kin＞和平均出度＜kout＞为
复杂网络第六章ppt课件
算法6-2生成的随机图具有如下几种情形：
（1）如果p=0，那么G=(N,p)只有一种可能：N 个孤立节点，边数M=0
（2）如果p=1，那么G=(N,p)也只有一种可能：
N个节点组成的全耦合网络，边数
M1N(N1) 2
（3）如果p∈（0,1），那么从理论上说，N个
烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的 健康皮 肤进行 自体移 植，但 对于大 面积烧 伤病人 来讲， 健康皮 肤很有 限，请 同学们 想一想 如何来 治疗该 病人
6.1 本章要点
常见的规则网络模型 随机图模型及其拓扑性质 具有任给定度分布的广义随机图模型 基于随机重连的零模型
烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的 健康皮 肤进行 自体移 植，但 对于大 面积烧 伤病人 来讲， 健康皮 肤很有 限，请 同学们 想一想 如何来 治疗该 病人
例如，传感器网络等。
烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的 健康皮 肤进行 自体移 植，但 对于大 面积烧 伤病人 来讲， 健康皮 肤很有 限，请 同学们 想一想 如何来 治疗该 病人
6.2.2 最近邻耦合网络
常见的一种具有周期边界条件的最近邻 耦合网络包含围成一个环的N个节点，其中 每个节点都与它左右各K/2个邻居点相连， 这里K是一个偶数。
具有固定连边概率的ER随机图G(N,p)
2 ER随机图G(N,p)构造算法 （1）初始化：给定N个节点以及连边概率p∈[0,1]。 （2）随机连边：
①选择一对没有边相连的不同的节点 ②生成一个随机数r ∈（0,1） ③如果r﹤p，那么在这对节点之间添加一条边； 否则就不添加边。 ④重复步骤① ~③，直至所有的节点对都被选 择过一次。
①随机选取一对没有边相连的不同的节 点，并在这对节点之间添加一条边。
复杂网络的基础知识
第二章複雜網路の基礎知識2.1 網路の概念所謂“網路”（networks），實際上就是節點（node）和連邊（edge）の集合。
如果節點對（i，j）與（j，i）對應為同一條邊，那麼該網路為無向網路（undirected networks），否則為有向網路（directed networks）。
如果給每條邊都賦予相應の權值，那麼該網路就為加權網路（weighted networks），否則為無權網路（unweighted networks），如圖2-1所示。
圖2-1 網路類型示例(a) 無權無向網路(b) 加權網路(c) 無權有向網路如果節點按照確定の規則連邊，所得到の網路就稱為“規則網路”（regular networks），如圖2-2所示。
如果節點按照完全隨機の方式連邊，所得到の網路就稱為“隨機網路”（random networks）。
如果節點按照某種（自）組織原則の方式連邊，將演化成各種不同の網路，稱為“複雜網路”（complex networks）。
圖2-2 規則網路示例(a) 一維有限規則網路(b) 二維無限規則網路2.2 複雜網路の基本特徵量描述複雜網路の基本特徵量主要有：平均路徑長度（average path length ）、簇係數（clustering efficient ）、度分佈（degree distribution ）、介數（betweenness ）等，下麵介紹它們の定義。
2.2.1 平均路徑長度（average path length ）定義網路中任何兩個節點i 和j 之間の距離l ij 為從其中一個節點出發到達另一個節點所要經過の連邊の最少數目。
定義網路の直徑（diameter ）為網路中任意兩個節點之間距離の最大值。
即}{max ,ij ji l D = （2-1） 定義網路の平均路徑長度L 為網路中所有節點對之間距離の平均值。
即∑∑-=+=-=111)1(2N i N i j ij lN N L （2-2）其中N 為網路節點數，不考慮節點自身の距離。
复杂网络知识点
1.哥尼斯堡七桥问题：画图说明，欧拉头像和七桥图2.ER随机网络模型：3.随机网络图、小世界网络图、无标度网络图认识规律打破规律，著名的‘破窗理论’。
算法的优劣性，时间复杂度不一样，解决问题最优解并不是时间复杂度越低越好，要视具体情况而定，在一定的时间内能快速解决问题的算法才是最优解。
4.微观上看大学生社交网络是小世界网络特性，而从宏观上来看它是无标度特性。
5.应用：可以观察消息传播的路径，传播的特点，经过什么人传给什么人，终点在哪里6.为什么要用图，因为人是视觉动物，第一感官是视觉，一目了然，比分析一堆复杂的数据要强。
7.BA模型的应用：微博粉丝分布、高校教师发布论文的数量和职称的关系，也呈现‘马太效应’，强者恒强，但是也是少数人，要想突破得冲出第一道防线，首先要以量取胜。
论文的方向要明确，可以开启进程模式，其次数量要足够，因为大部分人关注点还是在论文的数量上，具体内容他们基本不会去看，更不会去仔细研究。
人们从心底里觉得，多即是好，多即是优秀，多即是能力的体现。
8.我的研究是就是找到这个规律分析这个规律的机制，它的一些典型例子和应用。
碍于精力和时间所限，没有更深入的去研究和发掘。
论文的对象可以是教师、学生、学者等，1000个读者就有1000个哈姆雷特，9.如果再细分的话，一个新增的节点每个连接的过程都是决策过程，决策的依据、方案、效率、结果、影响。
网络的饱和度10.风险与收益并存11.重点突击，全面开展。
重点在哪里？怎么去寻找？有没有规律/?12.社交网络部分，模型定义：Node、Relationship、Property三个属性，在此基础上来建立BA扩展无标度模型。
13.对于研究生的回顾，失败的教训：1.要静心，能在实验室坐得住，必须强制坐一年，研究成果应该是水到渠成;2.要有方向，不能这山看着那山高，专心直至。
14.跨界交流，跨越班级，跨越专业，互相交流，诞生新的思想新的思路新的想法。
论文思路：复杂网络的复杂性很复杂，ER模型，用图来表示复杂网络具有里程碑意义15.复杂网络：什么是复杂网络？复杂网络有什么特点？。
复杂网络系统的基础和应用
复杂网络系统的基础和应用一、引言随着信息技术的发展，网络系统在社会经济领域中的应用越来越广泛。
复杂网络系统已经成为一个热门话题，它涉及计算机科学、物理学、生物学、社会学、经济学等多个领域。
在网络系统的建立和维护过程中，需要考虑到复杂网络系统的基础和应用，这对于我们建立高效、稳定的网络系统至关重要。
二、复杂网络系统的基础1.什么是复杂网络系统？复杂网络系统是指由大量的节点和链接组成的网络，在这个系统中，节点之间的联系构成了一个复杂的网络结构。
2.复杂网络系统的分类复杂网络系统可以按照不同的方式进行分类，例如：根据节点的属性，网络的拓扑结构或者是节点之间的联系分布等。
3.节点的度数分布节点的度数是指与某个节点相连的边数，度数分布是指网络中各个节点的度数占比。
4.网络的拓扑结构网络的拓扑结构可以分为完全图、随机图、小世界网络、无标度网络等不同类型。
这些类型的网络结构具有不同的特点，需要根据实际需求来选择合适的结构。
5.网络中的聚类系数和平均路径长度聚类系数和平均路径长度反映了网络中节点之间的联系密切程度和信息传递的效率。
6.网络的模型与算法网络模型和算法是构建复杂网络系统的关键部分，例如:Erdos-Renyi模型、Watts-Strogatz模型、Barabasi-Albert模型等多种模型，以及PageRank算法、社区发现算法等。
三、复杂网络系统的应用1.社交网络社交网络是最为广泛的应用之一，其涵盖了各个行业和领域。
社交网络系统需要考虑到用户之间的互动、信息传递及数据处理等。
2.金融网络金融网络系统涵盖金融市场、银行系统、保险及证券交易等各个方面。
在金融网络系统中需要考虑到对已经存在的网络进行监管和风险控制等方面的问题。
3.交通网络交通网络系统涵盖城市交通、物流、航空、铁路及船运等方面。
在交通网络系统中需要考虑到管理及优化不同交通方式之间的协调与有效性。
4.生态网络生态网络系统涵盖了水、空气及土壤污染、气候变化等方面，需要通过复杂网络系统来理解和解决这些问题。
复杂网络基本概念
复杂⽹络基本概念1.复杂⽹络：随机⽹络，⼩世界⽹络和⽆标度⽹络2.⼩世界⽹络的属性：平均路径长度（Average Path Length,APL）⼩于正则⽹络的；⼩世界⽹络具有较低的平均聚类系数（Average Clustering Coefficient,ACC）3.复杂⽹络⾯对的挑战：⾼数据量；物理系统到真实复杂⽹络模型映射过程中的复杂性；⾼计算复杂性4.图信号处理将经典信号处理中的概念和⼯具（如平移，卷积，傅⾥叶变换，滤波器组和⼩波变换）扩展应⽤于任意⽹络中的数据5.加权图，有向图6.图在计算机的存储器中⽤矩阵表⽰，如邻接矩阵，关联矩阵，权重矩阵，度矩阵以及拉普拉斯矩阵等。
7.如果在两个节点之间存在多条边，称该图为多重图（multigraph）;如果存在⾃环，则称该图为伪图（pseudograph）8.包含原始图所有顶点的⼦图称为⽣成⼦图（spanning subgraph）9.图g的补图是指与图G具有同样的顶点集，但边集中的边则由那些在图g中不存在的边组成，也称为反向图（inverse graph）10.图在计算机中以矩阵或者链表的⽅式存储11.权重矩阵：图的权重矩阵包含图中相应边的权重。
权重矩阵是图的拓扑结构的完整表⽰。
所有的其他矩阵（邻接，度，拉普拉斯）都可以通过权重矩阵推导得出。
对于⾮加权图，权重矩阵和邻接矩阵是⼀样的。
12.邻接矩阵：包含图连接的N*N矩阵13.关联矩阵：每⼀⾏对应图中的⼀个顶点，⽽每⼀列对应图中的⼀条边。
14.度矩阵：是⼀个对⾓线矩阵，在对⾓线上包含了顶点的度。
节点的度是所有与该节点相关联的边的权重之和。
⼀些⼤的⽹络通常通过度的频率分布来刻画。
15.拉普拉斯矩阵：L=D-W，D是图的度矩阵，W是图的权重矩阵。
具有正边权重的⽆向图的拉普拉斯矩阵的基本性质:对称性；每⼀⾏之和为0，具有奇异性，det(L)=0；半正定；其特征值是⾮负实数。
16.归⼀化拉普拉斯矩阵：L(norm)=D(-1/2)LD^(-1/2)17.有向拉普拉斯矩阵：L=Din-W; Din是⼊度矩阵18.基本图测度：平均邻居度（AND），平均聚类系数（ACC，局部连通性属性），平均路径长度（APL，全局⽹络属性），平均边长度（AEL），图的直径和体积。
复杂网络的基本模型及其应用
复杂网络的基本模型及其应用随着信息技术的飞速发展，我们生活中的各个领域都已经形成了庞大的网络系统。
而这些网络系统不仅在数量上迅速增长，同时也在复杂度上逐渐提高。
这就为我们研究网络系统带来了新的挑战，同时也为我们提供了丰富的研究机会。
复杂网络正是这样的一门热门研究领域，本文将介绍复杂网络的基本模型以及它们的应用。
一、复杂网络的基本模型1. 随机网络模型随机网络是复杂网络研究的基础模型，也是最简单的网络模型之一。
在随机网络中，节点和连接是随机连接的，也就是说，连接的生成没有规律或者是基于概率分布。
随着网络规模的增大，随机网络的度分布逐渐趋向于高斯分布。
而高斯分布的一个重要特征就是其均值和方差都非常重要，并且许多实际系统的度分布都具有高斯分布特征。
随机网络的主要局限性是其缺乏社区结构，也就是说，在随机网络中，不存在形态或功能的相似节点的聚簇现象。
2. 小世界模型小世界模型是在维持较高的局部聚集程度的前提下具有较短平均距离的网络模型。
与随机网络模型不同的是，小世界模型中，节点的连接是随机化的，但是节点之间距离却非常接近。
小世界模型的典型特征就是“六度分隔理论”，也就是在小世界网络中，从任何一个节点出发，找到其他节点的平均距离都不会超过6个。
小世界模型是现实世界网络的典型模型，例如社交网络和蛋白质相互作用网络等。
它的局限性主要在于缺乏完整的社区结构，也就是节点之间的聚集程度仍然不够高。
3. 无标度网络模型无标度网络是目前复杂网络研究中最流行的网络模型之一。
在这个模型中，网络的度分布不是均匀的，而是具有“幂律分布”特征。
也就是说，只有极少数节点拥有极高的度数，而大多数节点的度数都很低。
这种模型通常被用来描述物理网络和大规模互联网。
无标度网络模型与其他两个基础模型的最大不同之处就在于其在网络中加入了“富者愈富”这一原则，即在网络中度数较高的节点往往更容易与其它节点建立新的连接。
这种现象导致了网络的非线性增长，以及一些非常重要的复杂网络现象，例如小世界现象、无标度现象等。
《复杂网络简介》课件
100%
小世界网络
指网络中节点间的平均距离很短 ，即信息在网络中传播的速度很 快。
80%
随机网络
节点和边的出现是随机过程的结 果，网络结构相对均匀。
03
复杂网络的演化
网络演化的基本规律
自相似性
复杂网络在演化过程中表现出 自相似性，即在不同尺度上网 络的结构和性质具有相似性。
无标度性
复杂网络中节点的度分布遵循 幂律分布，即少数节点拥有大 量连接，而大多数节点只有少 数连接。
小世界效应
复杂网络中的节点平均距离较 小，信息在网络中传播迅速。
网络演化的机制
01
02
03
增长
随着时间的推移，网络中 的节点数量不断增加，新 的节点通过与已有节点建 立连接加入网络。
优先连接
新加入的节点更倾向于与 已有节点中连接数较多的 节点建立连接，从而形成 层次结构。
自组织
网络中的节点通过局部规 则和相互作用，在演化过 程中形成复杂的结构和模 式。
复杂网络的重要性
揭示现实世界中复杂系统的内在规律和机制
复杂网络是描述现实世界中复杂系统的重要工具，可以帮助我们 揭示系统内在的规律和机制。
促进跨学科研究
复杂网络涉及多个学科领域，如数学、物理、计算机科学、社会 学等，通过复杂网络的研究可以促进跨学科的合作与交流。
复杂网络的应用领域
01
02
03
04
网络控制的基本概念
1 2
状态反馈控制
通过测量节点的状态，并利用状态反馈控制方法 调整节点的输入，实现网络的控制。
输出反馈控制
通过测量节点的输出，并利用输出反馈控制方法 调整节点的输入，实现网络的控制。
3
复杂网络基础理论(ppt)
IP
朋
地
友
址 网
关系
网
数理统计基础
概率论基础 数理统计基础 统计假设及检验 一元线性回归分析
图论的基本概念
图的基本概念 图的路和连通性 图的基本运算 树与生成树 图的矩阵表示
复杂网络的研究内容和意义
研究的主要内容包括：网络的几何性质，网络 的形成机制，网络演化的统计规律，网络上的模 型性质，网络的结构稳定性，网络的演化动力学 机制等。
间的距离dij和从节点vj到vi之间的距离dji是不同的。距离dij 定义为从节点vi出发沿着同一方向到达节点vj所要经历的弧的 最少数目，而它的倒数1／dij称为从节点vi到节点vj的效率， 记为εij。
有向连通简单网络的平均距离L
因为效率可以用来描述非连通网络，所以可以定义有向网 络的效率LC为
介数
介数 节点的介数Bi定义为
式中，Njl表示从节点vj到vl的最短路径条数，Njl（i）表示 从节点vj到vl的最短路径经过节点vi的条数。 边的介数Bij定义为
式中，Nlm表示从节点vl到vm的最短路径条数，Nlm（eij ）表示从节点vl到vm的最短路径经过边eij（方向相同）的 条数。
加权网络的静态特征
核度 一个图的k－核是指反复去掉度值小于k的节点及其连线后
，所剩余的子图，该子图的节点数就是该核的大小。 节点核度的最大值叫做网络的核度。 节点的核度可以说明节点在核中的深度，核度的最大值自然
就对应着网络结构中最中心的位置。
度中心性
度中心性分为节点度中心性和网络度中心性。 节点vi的度中心性CD（vi）定义为
网络G的度中心性CD定义为
介数中心性
介数中心性分为节点介数中心性和网络介数中心性。 节点vi的介数中心性CB（vi）定义为
复杂网络基础6
6.2.3 广度优先搜索算法实现
【例6.1】用图6.2 来解释BFS 的处理过程，标明d[u] 以及队列Q 的变化。
6.2.3 广度优先搜索算法实现
解：图6.3 显示了用BFS 在例图6.2 上的搜索过程。 黑色边是由BFS 产生的树枝。每个节点u内的值为 d[u] ，图中所示的队列Q是while循环中每次迭代起 始时的队列。队列中每个节点下面是该节点与源节点 的距离。
6.2.3 广度优先搜索算法实现
已知图G＝（V，E）和一个源节点s，广度优先搜索 以一种系统的方式探寻G的边，从而“发现”s所能 到达的所有节点，并计算s到所有这些节点的距离 （最少边数），该算法同时能生成一棵根为s且包括 所有可达节点的广度优先树。对从s可达的任意节点v， 广度优先树中从s到v的路径对应于图G中从s到v的最 短路径，即包含最小边数的路径。该算法对有向图和 无向图同样适用。之所以称之为广度优先算法，是因 为算法自始至终一直通过已找到节点和未找到节点之 间的边界向外扩展，就是说，算法首先搜索和s距离 为k的所节点，然后再去搜索和s距离为k+1的其他节 点。
6.2.3 广度优先搜索算法实现
在广度优先搜索过程中建立了一棵广度优先树，起始 时只包含根节点，即源节点s。在扫描已发现节点 u 的邻接表的过程中每发现一个白色节点 v，该节点 v 及边（u，v ）就被添加到树中。在广度优先树中， 称节点 u 是节点 v 的父母节点。因为一个节点至多 只能被发现一次，因此它最多只能有一个父母节点。 相对根节点来说祖先和后裔关系的定义如下：若 u 处于树中从根 s 到节点 v 的路径中，那么 u 为v 的 祖先，v 是u 的后裔。
6.4.1 最大度搜索策略
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6.2 广度优先搜索算法
6.2.1 6.2.2 6.2.3 6.2.4
复杂网络搜索问题 广度优先搜索策略 广度优先搜索算法实现 广度优先搜索算法的应用和特性
6.2.1 复杂网络搜索问题
复杂网络搜索策略通常用一个消息传递的过程来描述。 从一个给定的源节点开始，为了寻找所需要的信息， 按照一定的规则向它的一个或多个邻居传递查询消息。 如果收到查询的邻居节点上不含有源节点所需的信息， 那么这些邻居节点再将查询传递给它们各自的邻居， 重复这个过程直到存储着指定信息的目标节点被寻找 到为止，然后目标节点将信息传递给源节点。 一般而言，网络的小世界特性并不一定意味着网络是 可以快速搜索的。在一个大规模的网络中，连接两个 节点之间的路径可能有很多条，网络中的一个节点是 否能找到它与任一其它节点之间的较短甚至最短的路 径，依赖于节点所了解的网络结构信息、节点所使用 的搜索算法和整个网络的实际结构。
6.3.4 ER随机网络上的随机行走搜索效率
上式中取x=1，可得 下面来看G0（x）的平方，它可以展开如下： 由此可见，上式中xm前面的系数就等于所有满足 j+k=m的乘积pjpk的和，它可以准确地反映两个节点 度之和为m的概率。
6.3.5 WS小世界网络上的随机行走搜索效 率
由于在WS小世界网络模型中，当重连概率p＝0时网 络为最近邻耦合网络，而p＝1时网络为ER随机网络 。因此，当重连概率p从0到1变化时，WS小世界网 络模型的平均搜索步数就是从最近邻耦合网络平均搜 索步数到ER随机网络平均搜索步数的逐渐过渡。仿 真实验结果证实了这样的一种过渡。
6.2.2 广度优先搜索策略
当源节点s应用 BFS 策略在网络中的节点上寻找指 定的文件时，s首先查询其所有的邻居节点，询问是 否含有目标文件，如果s的邻居中有某个节点存储了 目标文件，则将目标文件返回给源节点；如果任何邻 居都没有含有目标文件，则所有的邻居将查询继续传 递给各自的邻居节点，一直到搜索到目标文件为止。 当源节点 s 利用 BFS 策略搜索目标节点t时，s首先 判断自己的邻居节点中有无目标节点。若有，则中止 搜索；若无，则向每个邻居查询它们的邻居节点中有 无目标节点。重复这个过程一直到寻找到目标节点的 任一个邻居为止。
6.4.1 最大度搜索策略
假定每个节点仅仅知道自己邻居节点的信息，即每个 邻居节点的度的大小，则使用HDS 策略寻找两个节 点之间的路径的步骤可以描述如下： 步骤 1：初始时选取源节点 vi与目标节点 vj； 步骤 2：从节点vi出发，判断自己的邻居节点中有 无目标节点vj：如无，则将其中度最大的邻居节点设 为当前节点；如有，则中止搜索； 步骤 3：可以多次访问同一个节点，但是同一条 边只能被访问一次，如果与当前节点相连的所有的边 都被访问过，则返回到上一个节点； 步骤4：重复 2 和3 两个步骤，直到当前节点为目 标节点的任一个邻居节点，目标节点即被找到，搜索 完成。
6.3 随机行走搜索策略
6.3.1 6.3.2 6.3.3 6.3.4 6.3.5
随机行走搜索策略简介 网络随机行走的基础理论 最近邻耦合网络上的随机行走搜索效率 ER随机网络上的随机行走搜索效率 WS小世界网络上的随机行走搜索效率
6.3.1 随机行走搜索策略简介
利用该策略，当源节点s搜索目标节点t时，s首先判 断自己的邻居节点中有无目标节点t。如果有，则中 止搜索；否则，向其任一个邻居查询它的邻居节点中 是否有目标节点。重复该过程直到找到目标节点 t 的 任一个邻居为止。与 BFS 策略相比，随机行走的搜 索步数要大很多，但由于每一步只前传一个查询消息， 从而大大广度优先搜索算法实现
为了保持搜索的轨迹，广度优先搜索算法将每个节点 着色为白色、灰色或黑色。算法开始前所有节点都是 白色，随着搜索的进行，各节点会逐渐变成灰色，然 后成为黑色。在搜索中第一次碰到某一节点时，我们 说该节点被发现，此时该节点变为非白色节点。因此， 灰色和黑色节点都是已被发现的节点。但是，广度优 先搜索算法还需对它们加以区分以保证搜索以广度优 先的方式执行。若（u，v）∈E 且节点 u 为黑色， 那么节点 v要么是灰色，要么是黑色，也就是说，所 有和黑色节点邻接的节点都已被发现。灰色节点可以 与一些白色节点相邻接，它们代表着已找到和未找到 节点之间的边界。
6.4.2 最大度搜索策略的效率与网络均匀性 关系
6.2.3 广度优先搜索算法实现
【例6.1】用图6.2 来解释BFS 的处理过程，标明d[u] 以及队列Q 的变化。
6.2.3 广度优先搜索算法实现
解：图6.3 显示了用BFS 在例图6.2 上的搜索过程。 黑色边是由BFS 产生的树枝。每个节点u内的值为 d[u] ，图中所示的队列Q是while循环中每次迭代起 始时的队列。队列中每个节点下面是该节点与源节点 的距离。
6.3.1 随机行走搜索策略简介
在网络搜索中，人们通常假设每个节点只认识自己 的邻居节点，且源节点在网络中寻找目标节点时，可 以应用如下三种不同的行走策略： ①无限制的随机行走搜索策略； ②不走回头路的随机行走搜索策略； ③节点不重复访问的随机行走搜索策略。
6.3.2 网络随机行走的基础理论
6.4 最大度搜索策略
前面提到的两种搜索策略没有考虑复杂网络的度分布 。对于许多实际复杂网络来说，其度分布是一种幂律 分布，即呈现无标度特性。最大度搜索策略（high degree search，HDS）正是利用节点度的幂律分布特 性来搜索的，它最初由Adamic 等人提出。该策略的 基本出发点是：邻居的熟人越多，他认识的人越多， 则目标有更大的概率被找到。下面首先介绍最大度搜 索的策略及其算法，然后利用仿真实验来分析无标度 网络幂律指数（反映了网络的均匀性）与最大度搜索 效率的关系。 6.4.1 最大度搜索策略 6.4.2 最大度搜索策略的效率与网络均匀性关系
6.2.4 广度优先搜索算法的应用和特性
2． 特性 BFS 的空间复杂度为O（M＋N）或为O（BD）， 由于对空间的大量需求，因此 BFS 并不适合求解网 络规模非常大的问题。 广度优先搜索算法具有完全性。若所有边的权值相等， 广度优先搜索算法能找到最佳解——亦即它找到的第 一个解，距离根节点的边数目一定最少；但对一般的 图来说，BFS 并不一定回传最佳解。这是因为当图 形为加权图（亦即各边加权不同）时，BFS 仍然回 传从根节点开始，经过边数目最少的解；而这个解离 根节点的距离不一定最短。这个问题可以使用考虑各 边权值的 BFS 改良算法成本一致搜寻法来解决。
6.2.3 广度优先搜索算法实现
在广度优先搜索过程中建立了一棵广度优先树，起始 时只包含根节点，即源节点s。在扫描已发现节点 u 的邻接表的过程中每发现一个白色节点 v，该节点 v 及边（u，v ）就被添加到树中。在广度优先树中， 称节点 u 是节点 v 的父母节点。因为一个节点至多 只能被发现一次，因此它最多只能有一个父母节点。 相对根节点来说祖先和后裔关系的定义如下：若 u 处于树中从根 s 到节点 v 的路径中，那么 u 为v 的 祖先，v 是u 的后裔。
6.2.2 广度优先搜索策略
在许多实际网络中，单个节点无法充分掌握整个网络 的全局结构，甚至可能不知道目标节点在网络中的位 置。 一个最简单的搜索策略就是广度搜索（broadcast search ）策略，也就是广度优先搜索（broadth first search ，BFS ）算法，也叫宽度优先搜索，或 横向优先搜索。简单的说，BFS 是从根节点开始， 沿着树的宽度遍历树的节点。如果所有节点均被访问， 则算法中止。
6.2.3 广度优先搜索算法实现
已知图G＝（V，E）和一个源节点s，广度优先搜索 以一种系统的方式探寻G的边，从而“发现”s所能 到达的所有节点，并计算s到所有这些节点的距离 （最少边数），该算法同时能生成一棵根为s且包括 所有可达节点的广度优先树。对从s可达的任意节点v， 广度优先树中从s到v的路径对应于图G中从s到v的最 短路径，即包含最小边数的路径。该算法对有向图和 无向图同样适用。之所以称之为广度优先算法，是因 为算法自始至终一直通过已找到节点和未找到节点之 间的边界向外扩展，就是说，算法首先搜索和s距离 为k的所节点，然后再去搜索和s距离为k+1的其他节 点。
6.3.3 最近邻耦合网络上的随机行走搜索效 率
1． 理论分析
2． 仿真验证
6.3.4 ER随机网络上的随机行走搜索效率
1． 理论分析 2． 仿真验证
6.3.4 ER随机网络上的随机行走搜索效率
【例6.2】试分析（6.20 ）式定义的生成函数G0（x ）的导数及其平方特性。 解：对（6.20 ）式求m阶导数可得
6.2.4 广度优先搜索算法的应用和特性
1． 应用 广度优先搜索算法可以用来解决图论中的许多问题， 例如：（1）寻找图中所有连通分支（connected component ）。这里，连通分支是图中的最大连通 子图。（2）寻找连通分支中的所有节点。（3）寻 找非加权图中任两点的最短路径。（4）测试一个图 是否为二分图（所谓二分图，是指节点可以分成两个 不相交的集合使得在同一个集内的节点不相邻（没有 共同边）的图）。 此外，BFS 还可用来解决电脑游戏（如即时策略游 戏）中找寻路径的问题。
6.4.1 最大度搜索策略
应用最大度 搜索策略在网络中的节点上寻找指定的 文件或数据的过程可以简要描述如下：源节点s首先 查询其度最大的邻居节点，询问是否含有目标文件或 数据。如果此邻居节点上存储了目标文件或数据，则 它将目标文件或数据返回给源节点；如果此邻居节点 上不含有目标文件或数据，则它将选择度最大的邻居 将查询传递过去，一直到搜索到目标文件或数据为止。