函数的单调性知识点与题型归纳

1.单调函数的定义
2.单调性、单调区间的定义
若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间.
注意：
关于函数单调性的定义应注意哪些问题？
(1)定义中x1，x2具有任意性，不能是规定的特定值．
(2)函数的单调区间必须是定义域的子集；
(3)定义的两种变式：
设任意x1，x2∈[a，b]且x1<x2，那么
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2 / 16 ①
1212
()()0->-f x f x x x ⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； 1212()()0-<-f x f x x x ⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数． ②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．
单调区间的表示注意哪些问题？
单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示； 如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．
知识点二 单调性的证明方法：定义法及导数法
(1) 定义法:
利用定义证明函数单调性的一般步骤是： ①任取x 1、x 2∈D ，且x 1<x 2；
②作差f (x 1)－f (x 2)，并适当变形
(“分解因式”、配方成同号项的和等)； ③依据差式的符号确定其增减性．
(2) 导数法:
设函数y ＝f (x )在某区间D 内可导．如果f ′(x )>0，则f (x )在区间D 内为增函数；如果f ′(x )<0，则f (x )在区间D 内为减函数．
注意：(补充)
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（1）若使得f ′(x )=0的x 的值只有有限个，
则如果f ′(x )0≥，则f (x )在区间D 内为增函数； 如果f ′(x ) 0≤，则f (x )在区间D 内为减函数．
（2）单调性的判断方法：
定义法及导数法、图象法、
复合函数的单调性(同增异减)、
用已知函数的单调性等
(补充)单调性的有关结论
1．若f (x )，g (x )均为增(减)函数，
则f (x )＋g (x )仍为增(减)函数．
2．若f (x )为增(减)函数，
则－f (x )为减(增)函数，如果同时有f (x )>0， 则()1f x 为减(增)
(减)函数．
3．互为反函数的两个函数有相同的单调性．
4．y ＝f [g (x )]是定义在M 上的函数，
若f (x )与g (x )的单调性相同，
则其复合函数f [g (x )]为增函数；
若f (x )、g (x )的单调性相反，
则其复合函数f [g (x )]为减函数．
简称”同增异减”
5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同； 偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．
二、例题分析：
（一)函数单调性的判断与证明
判断下列说法是否正确
(1)函数f(x)＝2x＋1在(－∞，＋∞)上是增函数．()
(2)函数f(x)＝1
x在其定义域上是减函数．()
(3)已知f(x)＝x，g(x)＝－2x，则y＝f(x)－g(x)在定义域上是增函数．()
答案：√×√
例1.
(2014·北京卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是()
A．y＝x＋1 B．y＝(x－1)2
C．y＝2－x D．y＝log0.5(x＋1)
答案：A.
例2.
判断函数f(x)＝ax
x＋1
在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．
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法一：定义法
设－1<x1<x2，
则f(x1)－f(x2)＝
ax1
x1＋1
－
ax2
x2＋1
＝ax 1x2＋1－ax2x1＋1
x1＋1x2＋1
＝
a x1－x2
x1＋1x2＋1
∵－1<x1<x2，
∴x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0.
∴当a>0时，f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)<f(x2)，
∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递增．
同理当a<0时，f(x1)－f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)，
∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．
法二：导数法
1.判断函数的单调性应先求定义域；
2.用定义法判断(或证明)函数单调性的一般步骤为：
取值—作差—变形—判号—定论，
其中变形为关键，而变形的方法有因式分解、配方法等；
3.用导数判断函数的单调性简单快捷，应引起足够的重视
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（二）求复合函数、分段函数的单调性区间
例1
求函数y ＝x －|1－x |的单调增区间
y ＝x －|1－x |＝⎩⎨⎧
1，x ≥1，2x －1，x <1.
作出该函数的图象如图所示． 由图象可知，该函数的单调增区间是(－∞，1]．
例2.
求函数y＝log1
(x2－4x＋3)的单调区间．
3
解析:令u＝x2－4x＋3，
u与u＝x2－4x＋3的复合函数．原函数可以看作y＝log1
3
令u＝x2－4x＋3>0.则x<1或x>3.
(x2－4x＋3)的定义域为
∴函数y＝log1
3
(－∞，1)∪(3，＋∞)．
又u＝x2－4x＋3的图象的对称轴为x＝2，且开口向上，∴u＝x2－4x＋3在(－∞，1)上是减函数，
在(3，＋∞)上是增函数．
u在(0，＋∞)上是减函数，
而函数y＝log1
3
(x2－4x＋3)的单调递减区间为(3，＋∞)，
∴y＝log1
3
单调递增区间为(－∞，1)．
注意：
求函数的单调区间的常用方法
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(1)利用已知函数的单调性，
即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．
(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．
(3)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的 图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．
(4)导数法：利用导数的正负确定函数的单调区间． 例2.（2）(补充)21122
log 4log ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭y x x
答案：增区间：1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；减区间：10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
练习:()222log log y x x =-
答案：增区间：)+∞
；减区间：( （三）利用单调性解（证）不等式及比较大小
已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x
，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )
A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0
B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0
C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0
D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0
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【规范解答】 ∵函数f (x )＝log 2x ＋11－x
在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，
∴当x 1∈(1,2)时，f (x 1)<f (2)＝0，
当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0，
即f (x 1)<0，f (x 2)>0.
例1.（2）已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，
则不等式
f (a 2－4)>f (3a )的解集为( )
A ．(2,6)
B ．(－1,4)
C ．(1,4)
D ．(－3,5)
【规范解答】作出函数f (x )的图象，
如图所示，则函数f (x )在R 上是
单调递减的．由f (a 2－4)>f (3a )，
可得a 2－4<3a ，整理得a 2－3a －4<0，
10 / 16 即(a ＋1)(a －4)<0，解得－1<a <4，
所以不等式的解集为(－1,4)．
注意:本例分段函数的单调区间可以并!
（四）已知单调性求参数的值或取值范围
例 1.已知函数()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭
⎩满足对任意的实
数x 1≠x 2，都有1212
()()0-<-f x f x x x 成立，则实数a 的取值范围为( )
A ．(－∞，2) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，138 C ．(－∞，2] D.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫138，2
【规范解答】函数f (x )是R 上的减函数，
于是有⎩⎪⎨⎪⎧
a －2<0，a －2×2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1，由此解得a ≤138，
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即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦
⎥⎤－∞，138.
例2.(1) （补充）如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间 (－∞，4)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．
[答案] [－14
，0] [解析] (1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上单调递增，故在(－∞，4)上单调递增；
(2)当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为直线x ＝－1a ，
因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a <0，且－1a ≥4，解
得－14≤a <0.综上所述－14
≤a ≤0.
例2.(2) （补充）若f (x )＝x 3－6ax 的单调递减区间是(－2,2)，则a 的取值范围是( )
A ．(－∞，0]
B ．[－2,2]
C ．{2}
D ．[2，＋∞)
[答案] C
[解析]f′(x)＝3x2－6a，
若a≤0，则f′(x)≥0，∴f(x)单调增，排除A；
若a>0，则由f′(x)＝0得x＝±2a，当x<－2a和x>2a 时，f′(x)>0，f(x)单调增，当－2a<x<2a时，f(x)单调减，∴f(x)的单调减区间为(－2a，2a)，从而2a＝2，
∴a＝2.
变式：若f(x)＝x3－6ax在区间(－2,2)单调递减，
则a的取值范围是？
[点评]f(x)的单调递减区间是(－2,2)
和f(x)在(－2，2)上单调递减是不同的，应加以区分．
本例亦可用x＝±2是方程f′(x)＝3x2－6a＝0的两根
解得a＝2.
例2.(3)（补充）
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13 / 16 若函数)2,3()(log )(32
1---=在ax x x f 上单调递减， 则实数a 的取值范围是 （ ）
A ．[9，12]
B ．[4，12]
C ．[4，27]
D ．[9，27]
答案：A
温故知新P23 第9题
若函数()()21
2
log 3=-+f x x ax a 在区间 [)2,+∞上单调递减，则实数a 的取值范围是
8、设函数()12+=+ax f x x a
在区间()2,-+∞上是增函数, 那么a 的取值范围是
答案: [
)1,+∞ 10、设函数()()=≠-x f x x a x a
（2）若0>a 且()f x 在区间()1,+∞内单调递减, 求a 的取值范围.
14 / 16 答案: [)1,+∞
（五）抽象函数的单调性
例1.（补充）已知f (x )为R 上的减函数，那么满足 f (|1x
|)<f (1)的实数x 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(0,1)
C ．(－1,0)∪(0,1)
D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
答案：C
解析：因为f (x )为减函数，f (|1x |)<f (1)，所以|1x
|>1，则|x |<1且x ≠0，即x ∈(－1,0)∪(0,1)．
练习：()y f x =是定义在[]
1,1-上的增函数， 解不等式2(1)(1)f x f x -<-
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答案：()0,1
注意：
解抽象函数的不等式通常立足单调性定义 或借助图像求解
例2.函数()f x 的定义域为()0,+∞，且对一切0,0>>x y 都有()()()=-x f f x f y y
，当1>x 时，有()0>f x 。

（1） 求(1)f 的值；
（2） 判断()f x 的单调性并加以证明；
（3） 若(4)2=f ，求()f x 在[]1,16上的值域.
答案:单调增; []
0,4 注意：有关抽象函数单调性的证明通常立足定义
练习:
函数()f x 的定义域为()0,+∞，且对一切,∈x y R 都有()()()+=+f x f y f x y ，当0>x 时，有
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<=-f x f . (1)求证: ()f x 在R 上是减函数；
(2)求()f x 在[]3,3-上的最大值与最小值.
答案: 2;2-。