第2讲 圆锥曲线的定义、方程与性质

―→ OA
＋
―→ OB
＋
―→ OP
＝0(O为坐标原
点)，求AB的长；
(2)若直线l的斜率不为0且过点(2，0)，M为点A关于x轴的
对称点，点N(n，0)满足―M→N ＝λ―N→B ，求n的值．
2)为椭圆C内一点．若椭圆C上存在一点P，使得|PA|＋
|PF|＝8，则m的取值范围是
()
A．(6＋2 5，25]
B．[9，25]
C．(6＋2 5，20]
D．[3，5]
解析：设椭圆的左焦点为E.由椭圆方程，得c＝ m－（m－4）＝2，
所以E(－2，0)，则点A在点E正上方，连接AE(图略)，则 |AE|＝2.
3 D. 3
返回
[解析]
(1)对于选项A，∵m>n>0，∴0<
1 m
<
1 n
，方程mx2
＋ny2＝1可变形为
x2 1
＋
y2 1
＝1，∴该方程表示焦点在y轴上的椭
mn
圆，正确；对于选项B，∵m＝n>0，∴方程mx2＋ny2＝1可变
形为x2＋y2＝
1 n
，该方程表示半径为
1 n
的圆，错误；对于选
项C，∵mn<0，∴该方程表示双曲线，令mx2＋ny2＝0⇒y＝±
c a
＝
6 3
，又a2＝b2＋c2，解得a2＝3.所以椭圆
方程为x2＋y32＝1.
所以|PQ|＝
2b2 a
＝
2 3
＝
2
3
3
，△PF2Q的
周长为4a＝4 3.故选A、C、D.
[答案] (1)B (2)B (3)ACD
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解题方略
1.圆锥曲线的定义 (1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|)； (2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a＜|F1F2|)； (3)抛物线：|PF|＝|PM|(点F不在定直线l上，PM⊥l于点 M)．
2．直线与圆锥曲线只有一个公共点的结论 直线与圆锥曲线只有一个公共点，则直线与双曲线的一条 渐近线平行；或直线与抛物线的对称轴平行；或直线与圆 锥曲线相切．
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题型二 弦长及中点弦问题
[例4] (2020·开封市模拟考试)已知椭圆C：x22＋y2＝1，直
线l交椭圆C于A，B两点．
(1)若点P(－1，1)满足
返回
考点2 圆锥曲线的性质
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[例2] (1)(多选)(2020·新高考全国卷Ⅰ)已知曲线C：mx2
＋ny2＝1
()
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B．若m＝n>0，则C是圆，其半径为 n
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±
－mn x D．若m＝0，n>0，则C是两条直线
6 3
，过焦点F1作y轴的垂线交
椭圆C于P，Q两点，则下列说法正确的是 A．椭圆C的方程为x2＋y32＝1 B．椭圆C的方程为x32＋y2＝1
()
C．|PQ|＝2 3 3
D．△PF2Q的周长为4 3
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[解析] (1)将直线方程与抛物线方程联立，可得y＝±
2 p ，不妨设D(2，2 p )，E(2，－2 p )，由OD⊥OE，可得
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[跟踪训练]
1．已知双曲线C：
x2 a2
－
y2 b2
＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，点B
是虚轴的一个端点，线段BF与双曲线C的右支交于点A，
若―B→A ＝2―A→F ，且|―B→F |＝4，则双曲线C的方程为( )
A.x62－y52＝1
B.x82－1y22 ＝1
C.x82－y42＝1
D.x42－y62＝1
B．12，0
C．(1，0)
D．(2，0)
(2)(2020·全国卷Ⅰ)设F1，F2是双曲线C：x2－y32＝1的两个
焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积
为
()
7 A.2
B．3
5 C.2
D．2
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(3)(多选)已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点F1，F2在y
轴上，短轴长等于2，离心率为
所以kPA＝xy11＝4（xy11＋＋xy22）.
因为PA⊥PB，所以kPA·kPB＝－1，所以－
4b2 a2
＝－1，因
为a2＝b2＋c2，所以3a2＝4c2，所以e2＝
c2 a2
＝
3 4
，又e＝
c a
∈(0，
1)，所以e＝ 23，故选C. [答案] (1)ACD (2)C
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解题方略
1．椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法 求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已 知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用 a，c代换，求ac的值．
①
xa222＋by222＝1， ②
①－②得（x1＋x2）a（2 x1－x2）
＝－（y1＋y2）b（2 y1－y2），
所以xy11－－xy22＝－ba22·xy11＋ ＋xy22，
返回
所以kPB＝xy11－－xy22＝－ba22·xy11＋ ＋xy22.
因为kAD＝kAB，所以4yx11＝xy11＋＋xy22，
设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a， 由抛物线定义，得|BD|＝a，
返回
故∠BCD＝30°， 在Rt△ACE中， ∵|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝|BD|＋|AE|＝3＋3a， |AC|＝2|AE|， ∴3＋3a＝6.从而得a＝1，|FC|＝3a＝3. ∴p＝|FG|＝12|FC|＝32， ∴抛物线方程为y2＝3x. 答案：C
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2．如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l交抛物线于
点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，
则此抛物线方程为
()
A．y2＝9x C．y2＝3x
B．y2＝6x D．y2＝ 3x
返回
解析：如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线 于点E，D，设准线交x轴于点G.
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2．求解圆锥曲线标准方程的思路 就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而
定型 设出标准方程 即利用待定系数法求出方程中的a2，b2或p.另外，当焦 点位置无法确定时，抛物线常设为y2＝2ax或x2＝
计算 2ay(a≠0)，椭圆常设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且 m≠n)，双曲线常设为mx2－ny2＝1(mn>0)
―→ OD
·
―→ OE
＝4－4p＝0，解得p＝1，所以抛物线C的方程为y2
＝2x，其焦点坐标为12，0，故选B.
(2)设F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，则由题意可知
F1(－2，0)，F2(2，0)，又|OP|＝2，所以|OP|＝|OF1|＝|OF2|，
所以△PF1F2是直角三角形，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝16.
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解析：不妨设B(0，b)，由 ―B→A ＝2 ―A→F ，F(c，0)，可得
A23c，b3，代入双曲线C的方程可得49×ac22－19＝1，
∴ba22＝32.
①
又|―B→F |＝ b2＋c2＝4，c2＝a2＋b2，
∴a2＋2b2＝16.
②
由①②可得，a2＝4，b2＝6，
∴双曲线C的方程为x42－y62＝1.故选D. 答案：D
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(2)(2020·武汉市学习质量检测)已知点P在椭圆Γ：
x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a＞b＞0)上，点P在第一象限，点P关于原点O的对称点为
A，点P关于x轴的对称点为Q，设
―PD→
＝
3 4
―PQ→
，直线AD与椭
圆Γ的另一个交点为B，若PA⊥PB，则椭圆Γ的离心率e＝
()
1
2
A.2
B. 2
3 C. 2
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连接PE，由椭圆的定义，得2a＝|PE|＋|PF|≤|PA|＋|AE|＋
|PF|＝10，
即a≤5，所以m＝a2≤25，
当P，A，E在一条直线上，且点P在第二象限时取等号．
2a＝|PE|＋|PF|≥|PA|－|AE|＋|PF|＝6，即a≥3，所以m＝
a2≥9，当P，A，E在一条直线上，且点P在第三象限时取
B．C的离心率为 3
C．曲线y＝ex－2－1经过C的一个焦点
D．直线x－ 2y－1＝0与C有两个公共点
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解析：因为渐近线方程为y＝±
3 3
x，所以可设双曲线方程为
x2 9
－
y2 3
＝λ，代入点(3，
2
)，得λ＝
1 3
，所以双曲线方程为
x2 3
－y2＝1，选项A正确；该双曲线的离心率为
2≠ 3
3，选项B
－mn x，正确；对于选项D，∵m＝0，n>0，∴方程mx2＋
ny2＝1变形为ny2＝1⇒y＝± 确．综上选A、C、D.
1 n
，该方程表示两条直线，正
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(2)如图，设P(x1，y1)，B(x2，y2)，依
题意有A(－x1，－y1)，Q(x1，－y1)，
D(x1，－y21)，
xa212＋by212＝1，
第2讲 圆锥曲线的定义、 方程与性质
名师解读《普通高中数学课程标准》(2020年修订版)
1.了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和 解决实际问题中的作用. 2.掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质. 3.了解抛物线、双曲线的定义、几何图形及标准方程，知道它 们的简单几何性质.
Contents
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[解] (1)如图，由已知得M(0，t)，P 2t2p，t ，又N为M关 于点P的对称点，故Ntp2，t，
故直线ON的方程为y＝pt x， 将其代入y2＝2px整理得px2－2t2x＝0， 解得x1＝0，x2＝2pt2，因此H2pt2，2t. 所以N为OH的中点，即||OOHN||＝2.
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2．双曲线的渐近线的求法及用法 (1)求法：把双曲线标准方程等号右边的“1”改为零，分解 因式可得； (2)用法：①可得ba或ab的值； ②利用渐近线方程设所求双曲线的方程．
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[跟踪训练]
1．(多选)已知双曲线C过点(3， 2)且渐近线为y＝± 33x，则下
列结论正确的是
()
A．C的方程为x32－y2＝1
(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点，理由如下： 直线MH的方程为y－t＝2ptx， 即x＝2pt(y－t)． 代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0， 解得y1＝y2＝2t， 即直线MH与C只有一个公共点， 所以除H以外，直线MH与C没有其他公共点．
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解题方略
1．直线与圆锥曲线公共点的判定 通常的方法是直线方程与圆锥曲线方程联立，消元后得到 一元二次方程，其Δ>0；另一方法就是数形结合，如直线 与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与 双曲线渐近线的斜率的大小得到．
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3．椭圆
x2 5
＋
y2 4
＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点
M，N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是
()
A.
5 5
B.6 5 5
C.8 5 5
D.4 5 5
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解析：如图，设椭圆的右焦点为 F′，连接MF′，NF′.因为|MF|＋ |NF|＋|MF′|＋|NF′|≥|MF|＋ |NF|＋|MN|，所以当直线x＝m过 椭圆的右焦点时，△FMN的周长 最大． 此时|MN|＝2ab2＝855，又c＝ a2－b2＝ 5－4＝1， 所以此时△FMN的面积S＝12×2×8 5 5＝8 5 5.故选C. 答案：C
不妨令点P在双曲线C的右支上，则有|PF1|－|PF2|＝2，两边平
方，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4，又|PF1|2＋|PF2|2＝
16，所以|PF1|·|PF2|＝6，则S△PF1F2＝
1 2
|PF1|·|PF2|＝
1 2
×6＝3，
故选B.
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(3)如图，由已知得，2b＝2，b＝1，
1 考点1 圆锥曲线的定义及标准方程 2 考点2 圆锥曲线的性质 3 考点3 直线与圆锥曲线 4 专题检测
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考点1 圆锥曲线的定义与标准方程
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[例1] (1)(2020·全国卷Ⅲ)设O为坐标原点，直线x＝2与
抛物线C：y2＝2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的
焦点坐标为
()
A．14，0
等号．
因为点A(－2，2)在椭圆内部，所以当x＝－2时，y>2，
由m4 ＋my－2 4＝1，得y＝
m－4－4（mm－4）>2，
化简得m2－12m＋16>0，得m>6＋2 5 ，所以m的取值范
围是(6＋2 5，25].
答案：A
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考点3 直线与圆锥曲线
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题型一 直线与圆锥曲线的位置关系 [例3] 在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于 点M，交抛物线C：y2＝2px(p＞0)于点P，M关于点P的对称点为 N，连接ON并延长交C于点H. (1)求||OOHN||； (2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由．
不正确；双曲线的焦点为(±2，0)，曲线y＝ex－2－1经过双曲
线的焦点(2，0)，选项C正确；把x＝ 2 y＋1代入双曲线方
程，得y2－2 2y＋2＝0，解得y＝ 2，故直线x－ 2y－1＝0
与曲线C只有一个公共点，选项D不正确．
答案：AC
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2．已知椭圆C：
x2 m
＋
y2 m－4
＝1(m>4)的右焦点为F，点A(－2，