图象分割2(1)解读
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令 fxx(x0,y0) = A，fxy(x0,y0) = B，fyy(x0,y0) = C， 则f(x,y)在(x0,y0)处是否取得极值的条件如下： （1）AC-B2>0时具有极值，且当A<0时有极大值，当 A>0时有极小值； （2）AC-B2<0时没有极值； （3）AC-B2=0时可能有极值，也可能没有极值，还需另作 讨论。
◦ kj,dj相当于通过给定点p0的无穷直线集d合。
参数
◦ dj=－x0kj+y0 k,d为变量，x0,y0为常量参数
空间
◦ xi,yi 定义在由k,d生成的参数空间中。
◦ Mi: d=－xik+yi
k
◦ 在图像空间中过定点的直线簇Lj在参数空间中为一条直线(段)
如果点(x1,y1)与点(x2,y2)共线，那么这两点在参 数平面上的直线将有一个交点
存在问题： 图像是像素构成的矩阵 量化误差:样本点如何选取? 噪声:在大致分布均匀的区域里检出很多的直线,对于纹
理区域处理不够理想. 边缘检测器,平滑纹理,设置照明产生高对比度边缘等.
定义1：向量范数
映射： : Rn R {0} 满足：
①非负性
X 0,且 X 0 X 0
②齐次性
对于等精度观测值的直线拟合来说，最小即对参数 a（代表a0，a1）最佳估计，要求观测值yi的偏差的 平方和为最小。
可使
N
yi a0 a1xi
2 a aˆ
i 1
（2-2）
定理2（充分条件）： 设函数z = f(x,y)在点(x0,y0)的某邻 域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又fx(x0,y0) = 0， fy(x0,y0) = 0，
Hough变换问题的提出 是一种用来定位一些形状的常用方法：
直线、圆和椭圆。 对于分析人造物体的图像非常适用。 最基本的Hough变换是在二值图像中识别直线段。
Hough变换检测直线的基本思想 对于边界上的n个点的点集，找出共线的点集和直线方程
◦ 二维空间中的线段可以用两个实值参数以经典的斜截
式表示：
y=kx+d
◦ 通过两个给定的边缘点的线段必须满足：
y1=kx1+d和 y2=kx2+d 目标找出k,d尽可能的拟合最多的边缘点。
y
图像
p
空间
◦ 参数空间
x
◦ xy平面上的任意一条直线y=kx+d，对应在参数kd平面上一
个点；
◦ 通过点p0=(x0,y0)的直线Lj必满足：
◦ Lj：y0=kjx0+dj
设x和y之间的函数关系由直线方程
y＝a0+a1x
(2-1)
给出。式中有两个待定参数，a0代表截距，a1代表
斜率。
对于等精度测量所得到的N组数据
（xi，yi），i＝1，2……，N，
xi值被认为是准确的，所有的误差只联系着yi。下 面利用最小二乘法把观测数据拟合为直线。
2.1．直线参数的估计
k1
y
K
(x1,y1)
d1
x
(x2,y2)
D
在参数平面上相交直线最多的点，对应的xy平面上的直线 就是我们的解.
X
K
A
D
Y
由于垂直直线k,为无穷大，实际运算中改用极坐标 形式在直角坐标系中有一条直线l，原点到该直线 的垂直距离为r，垂线与x轴的夹角为θ（[0,pi]，则 这条直线是唯一的，且其直线方程为：
i 1
aˆ0N aˆ1 xi yi ,
aˆ0
xi aˆ1
xi2
xi yi.
相关系数及其显著性检验
当间我线们性把关观系测的数密据切点程度(xi。, yi为)作此直要线用拟相合关时系，数还ρ不(x,大y)来了判解断x与。y之
用r表示相关系数，得：
xi xyi y
r
i
xi x 2
值 和 a。ˆ0 即 aˆ1
aˆ0
xi2 yi xi
N xi2 xi 2
xi
y i
aˆ1
N xi yi xi
N xi2 xi 2
y i
N
a0 i1
yi a0 a1xi
N
2 aaˆ
2 yi a0 a1xi
i 1
d ( yi a0 a1xi )
i 1
X max{xi }, X x1, x2,, xn
定义2：函数f，g的关于离散点列
x n i i0
的离散内积为：
n
( f , g )D
f ( xi ) g ( xi )
i0
定义3：函数f的离散范数为
f D
n
f ( xi ) f ( xi )
i 0
我们还可以定义函数的离散范数为：
xi
y
2 1/ 2
i
i
式中 和 分别为x和y的算术平均值。 r值范围介于-1与+1之间，即-1≤r≤1。 当r>0时直线的斜率为正，称正相关； 当r<0时直线的斜率为负，称负相关。
N
N
2yi a0 a1xi (0 1 0) 2 yi a0 aˆ1xi 0,
i 1
i 1
N
a1 i1
yi a0 a1xi
N
2 aaˆ 2 yi aˆ0 aˆ1xi (0 0 xi ) 0.
i 1
N
2
yi xi
aˆ0 xi
aˆ1x
2 i
0.
对a0 , a1分别求偏导： 定理1（必要条件）： 设函数z = f(x,y)在点(x0,y0)
具有偏导数，且在点(x0,y0)处有极值，则它在该 点的偏导数必然为零。
N
a0 i1
yi a0 a1xi
2 aaˆ 0,
N
a1 i1
yi a0 a1xi
2 aaˆ 0.
解正规方程组便可求得直线参数a0和a1的最佳估计
a R, aX a X
③三角不等式 X Y X Y
称该映射为向量的一种范数
我们定义两点的距离为： X Y
常见的范数有：
n
X 1
xi , X x1, x2 ,, xn
i 1
n
X 2
| xi |2 , X x1, x2,, xn
i 1
n
X p
| xi |pLeabharlann , X x1, x2,, xnR = x cosθ+ y sinθ
r
中心表达法
图像直线上一个点对 应参数空间中的一条 正弦曲线。图像中的 一条直线段对应参数 空间中的曲线簇。 反之，在极坐标系中 位于这条正弦曲线上 的点，对应直角坐标 系中过点(x0,y0)的一 条直线。
解决问题: 给定了属于某些图像的点,那么直线是什么. 哪些点属于哪条直线. 有多少条直线.
◦ kj,dj相当于通过给定点p0的无穷直线集d合。
参数
◦ dj=－x0kj+y0 k,d为变量，x0,y0为常量参数
空间
◦ xi,yi 定义在由k,d生成的参数空间中。
◦ Mi: d=－xik+yi
k
◦ 在图像空间中过定点的直线簇Lj在参数空间中为一条直线(段)
如果点(x1,y1)与点(x2,y2)共线，那么这两点在参 数平面上的直线将有一个交点
存在问题： 图像是像素构成的矩阵 量化误差:样本点如何选取? 噪声:在大致分布均匀的区域里检出很多的直线,对于纹
理区域处理不够理想. 边缘检测器,平滑纹理,设置照明产生高对比度边缘等.
定义1：向量范数
映射： : Rn R {0} 满足：
①非负性
X 0,且 X 0 X 0
②齐次性
对于等精度观测值的直线拟合来说，最小即对参数 a（代表a0，a1）最佳估计，要求观测值yi的偏差的 平方和为最小。
可使
N
yi a0 a1xi
2 a aˆ
i 1
（2-2）
定理2（充分条件）： 设函数z = f(x,y)在点(x0,y0)的某邻 域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又fx(x0,y0) = 0， fy(x0,y0) = 0，
Hough变换问题的提出 是一种用来定位一些形状的常用方法：
直线、圆和椭圆。 对于分析人造物体的图像非常适用。 最基本的Hough变换是在二值图像中识别直线段。
Hough变换检测直线的基本思想 对于边界上的n个点的点集，找出共线的点集和直线方程
◦ 二维空间中的线段可以用两个实值参数以经典的斜截
式表示：
y=kx+d
◦ 通过两个给定的边缘点的线段必须满足：
y1=kx1+d和 y2=kx2+d 目标找出k,d尽可能的拟合最多的边缘点。
y
图像
p
空间
◦ 参数空间
x
◦ xy平面上的任意一条直线y=kx+d，对应在参数kd平面上一
个点；
◦ 通过点p0=(x0,y0)的直线Lj必满足：
◦ Lj：y0=kjx0+dj
设x和y之间的函数关系由直线方程
y＝a0+a1x
(2-1)
给出。式中有两个待定参数，a0代表截距，a1代表
斜率。
对于等精度测量所得到的N组数据
（xi，yi），i＝1，2……，N，
xi值被认为是准确的，所有的误差只联系着yi。下 面利用最小二乘法把观测数据拟合为直线。
2.1．直线参数的估计
k1
y
K
(x1,y1)
d1
x
(x2,y2)
D
在参数平面上相交直线最多的点，对应的xy平面上的直线 就是我们的解.
X
K
A
D
Y
由于垂直直线k,为无穷大，实际运算中改用极坐标 形式在直角坐标系中有一条直线l，原点到该直线 的垂直距离为r，垂线与x轴的夹角为θ（[0,pi]，则 这条直线是唯一的，且其直线方程为：
i 1
aˆ0N aˆ1 xi yi ,
aˆ0
xi aˆ1
xi2
xi yi.
相关系数及其显著性检验
当间我线们性把关观系测的数密据切点程度(xi。, yi为)作此直要线用拟相合关时系，数还ρ不(x,大y)来了判解断x与。y之
用r表示相关系数，得：
xi xyi y
r
i
xi x 2
值 和 a。ˆ0 即 aˆ1
aˆ0
xi2 yi xi
N xi2 xi 2
xi
y i
aˆ1
N xi yi xi
N xi2 xi 2
y i
N
a0 i1
yi a0 a1xi
N
2 aaˆ
2 yi a0 a1xi
i 1
d ( yi a0 a1xi )
i 1
X max{xi }, X x1, x2,, xn
定义2：函数f，g的关于离散点列
x n i i0
的离散内积为：
n
( f , g )D
f ( xi ) g ( xi )
i0
定义3：函数f的离散范数为
f D
n
f ( xi ) f ( xi )
i 0
我们还可以定义函数的离散范数为：
xi
y
2 1/ 2
i
i
式中 和 分别为x和y的算术平均值。 r值范围介于-1与+1之间，即-1≤r≤1。 当r>0时直线的斜率为正，称正相关； 当r<0时直线的斜率为负，称负相关。
N
N
2yi a0 a1xi (0 1 0) 2 yi a0 aˆ1xi 0,
i 1
i 1
N
a1 i1
yi a0 a1xi
N
2 aaˆ 2 yi aˆ0 aˆ1xi (0 0 xi ) 0.
i 1
N
2
yi xi
aˆ0 xi
aˆ1x
2 i
0.
对a0 , a1分别求偏导： 定理1（必要条件）： 设函数z = f(x,y)在点(x0,y0)
具有偏导数，且在点(x0,y0)处有极值，则它在该 点的偏导数必然为零。
N
a0 i1
yi a0 a1xi
2 aaˆ 0,
N
a1 i1
yi a0 a1xi
2 aaˆ 0.
解正规方程组便可求得直线参数a0和a1的最佳估计
a R, aX a X
③三角不等式 X Y X Y
称该映射为向量的一种范数
我们定义两点的距离为： X Y
常见的范数有：
n
X 1
xi , X x1, x2 ,, xn
i 1
n
X 2
| xi |2 , X x1, x2,, xn
i 1
n
X p
| xi |pLeabharlann , X x1, x2,, xnR = x cosθ+ y sinθ
r
中心表达法
图像直线上一个点对 应参数空间中的一条 正弦曲线。图像中的 一条直线段对应参数 空间中的曲线簇。 反之，在极坐标系中 位于这条正弦曲线上 的点，对应直角坐标 系中过点(x0,y0)的一 条直线。
解决问题: 给定了属于某些图像的点,那么直线是什么. 哪些点属于哪条直线. 有多少条直线.