1-1复数与复数运算

规定：介于[0，2π ）区间内的幅角为复数z的幅角 主值，记作argz，称为主辐角 则：φ =Argz=argz+2kπ （k=0,±1，±2„）在 argz范围内为单值函数 注意：z=0，x=y=0时，复数“0”的辐角无意义
零点与无限远点
当x、y有限时，复数与复平面上的点一一对应 复平面上有些点比较特殊： (1)零点 复数零的幅角无意义，模为0。 (2)无限远点 模为∞，幅角没有意义。无限远 点在复平面上无法表示，它的定义需要借助复 数球、测地投影法。
（6）e1+i 代数式：z=ecos1+iesin1
三角式： z e[cos1 2k i sin1 2k ]，
i (1 2 k ) z e e ， k 0， 1 ， 2， 指数式：
k 0， 1 ， 2，
1 i (7) 1 i
代数式：z=-i
3 3 z cos 2 k i sin 2 k 三角式： 2 2 k 0， 1 ， 2，
指数式： z e
3 i 2 k 2
，k 0， 1 ， 2，
3. 计算下列数值。
数学物理方法
概
述
《数学物理方法》是衔接数学与物理学的一 门重要的基础课程。它既是数学、又是物理， 在高等数学和普通物理学的基础上论述古典 数学物理中的常用方法，为后续的理论物理 系列课程做准备，打下用数学知识定量解决 复杂物理问题的基础。也可视为继微积分、 线性代数、概率统计等数学课程之后的数学 课程。
arctg ( y / x) Argz
i z e exp( i ) 3.指数表示
欧拉公式
e cos i sin
i
辐角的多值性
三角函数以2π为周期 cos( 2k ) cos
sin( 2k ) sin
同一复数，有无穷多个 幅角φ ，记作Argz，它 们彼此相差2π 的整数倍
1 2
y2
o 1 2
1 2
z1 z2
z2 x2 x1
x
两个复数相除等 于它们的模相除， 幅角相减。
乘方
z n nein n (cosn i sin n )
z e
n i
开方（多值性）
(cos i sin ) n n 三角式和指数式的优越性
n n n
共轭复数的运算性质：
（ 1） z z （ 2） （ 3）
zz （6） Re z 2 zz Im z 2i
z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2
（ 7）
zz z为实数
z1 z1 （ 4） z z ( z 2 0) 2 2
y
z1 z2
1 2
y2 y1
o
z2
1 2 z1 x1 x2
两个复数相乘等 于它们的模相乘， 幅角相加。
x
除法运算
z1 x1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 i 2 2 2 2 z2 x2 y2 x2 y2
y y1
z1
1 [cos(1 2 ) i sin(1 2 )] 2 1 i ( ) e 2
ln(-1) 不存在
i
|cosa| |sina| ≤1 ≥1,<1
x
e
a
实函数 不存在 (a=x) 复函数 (a=z)
i 2
e e e
x b
z i 2 k
第一章 复变函数
定义：复变函数即变量为复变量的函数，是数学 上一个古老而重要的分支。
内容：复数与复数运算 导数 平面标量场
复变函数 解析函数 多值函数
研究：用复变函数及其微积分来刻画平面场 中的物理量，研究来自物理问题的典型常微 分方程、偏微分方程、积分方程问题的解法， 解的性质及相关数学理论。 主要目的：为后续专业课程提供工具，培养 用数学语言表述物理问题的能力、初步掌握 用数学工具解决实际问题。 授课对象：物理、力学、电子、计算机等专 业学生。
无限远点（复平面） N极（复数球 ） 复平面＋无限远点＝全平面
复数的运算
假设z1=x1+iy1，z2＝x2+iy2
加减运算 z z1 z2 ( x1 x2 ) i( y1 y2 )
y
z1 z2
z2
y2
z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2
例题
1.下列各式在复平面上表示什么？ （1）|z-a|=|z-b|，a、b为复常数
解：由表达式可知，这是一条直线，即a、b两点 的垂直平分线。
（3）Rez>1/2
解：设z=x+iy，则Rez=x，故原式即为x>1/2，它 表示为x>1/2的半平面。
2.将下列复数用代数式、三角式和指数式表示。
(5) z
z n n e in n (cosn i sin n ) n (cos i sin ) n ein (cosn i sin n ) (cos i sin ) n
cos5 i sin 5 (cos i sin )5 cos5 cos5 10cos3 sin 2 5 cos sin 4
课程的基本要求
《数学物理方法》作为物理、电子类专业的专业基 础课，既是一门数学课程，又是一门物理课程。在 学习过程中，固然不应该将数学的严谨性弃置不顾， 也不宜在数学上作过多的纠缠；既要照顾数学完整 性与连续性，也应考虑物理模型、物理图象、物理 过程以及数学结论的物理内涵，因此，应将数学方 法与物理思想有机地联系起来，作为一个整体加以 学习。主要是掌握今后有关物理课程中遇到的各种 数学工具，并能熟练地运用这些数学手段有效地解 决物理问题。
n
n

n

(k 0、 1、 2、 ... 、n 1)

z可以取n个不同的值。
共轭运算 当两个复数实部相等，虚部互为相
反数时，这两个复数叫做共轭复数
y
z
z z x iy Leabharlann e (cos i sin )

i
o
x
z
复数z的共轭复数为 z*， z与z*关于实轴 对称
（ 3 ） ii
i e
i 2 k 2
k 0， 1 ， 2
2 k 2 e i
i i e (5) cos5
i 2 k 2
k 0， 1 ， 2，
最常见的一类复变函数——解析函数，是复变函 数理论中最重要的内容。解析函数不仅对数学自 身的发展起了重大作用，而且在理论物理、空气 动力学、流体力学、天体物理、弹性理论及其工 程技术中也有广泛的应用。 本篇研究的中心问题是解析函数的问题。由于复 变函数是定义在复数集上的，为此在学习时我们 首先需要复习有关复数的概念。
y
虚 轴 模


o
幅角
如果把x和y当作 矢量的直角坐标 分量，复数z还可 以用复平面上的 矢量来表示。
实轴
x
复数的表示
1.代数表示
z=x+iy
实部 x = Real(z)＝Rez cos 虚部 y = Imagine(z)=Imz sin
2.三角表示 z cos i sin (cos i sin ) （极坐标） x 2 y 2 z
2 2 z z [Re z ] [Im z ] （ 5）
复数的无序性
实数可以比较大小，是有序的，但复数不能比较 大小，即复数是无序的。尽管复数的实部和虚部 均为实数，但是由于复数是实部和虚部通过虚数 单位联系起来，从而是不能比较大小的。 两个复数相等，即z1=z2，必须x1=x2，y1=y2 由于复数可视为一对实数（x，y)，所以关于实数 的运算规律（极限、存在性等）都适用于复数。
§1.1
复数的引入
对数的认识
复数与复数的运算
如：ax2+bx+c=0, 当Δ=b2-4ac<0时，无实数解 规定：i2= -1 ，则纯虚数单位 如：
x 2 1 0 其解为
i 1
x 1 i
复数的代数式表示：一个复数z总可以表示为 某个实数x与某个纯虚数iy的和，即z=x+iy， 其中，x、y为实数，分别为复数z的实部与虚 部，记为：x=Rez, y=Imz。
例
解方程z6+1=0
i sin ，k 0， 1， 2， ， 5
解: 因为z6=-1=cosπ+isinπ 2k 2k 6
z 1 cos 6 6
可求出6个根，它们是
3 1 3 1 z1 i，z2 i，z3 i 2 2 2 2 3 1 3 1 z4 i，z5 i，z6 i 2 2 2 2
复数的方根
满足方程wn=z（w≠0，n≥2）的复数w称为z的n次 方根，记作
n n i
w 或者 z
n
w z
1n
z e (cos i sin ) n n arg z 2k arg z 2k
n n




n arg z k n时， 2，与k 0时值相同 n n
测地投影法定义无限远点
将一个球放在复平面上，南极S与复平面原点相切， 复平面上任一点z与N极相连，交球面于A点 复平面上z(有限远点） 复数球上A 令任一点z沿过原 点直线向无限远 移动，则A沿经 线逼近N极；或 者z沿任一路径向 无限远移动，则 A点沿相应路径 逼近N极。
A
A