对数换底公式的变形

对数换底公式的变形

推广及应用

命题 若a 、m 、n 均大于0且不等于1，b ＞0,则

log n blog m a=log n alog m b ( * )

证明 由换底公式得

log a b= log n b/log n a= log m b/log m a →log n blog m a=log n alog m b 此式表明：对数的乘积与真数（或底数）的位置无关，即在对数乘积运算中，可根据需要交换真数（或底数）的位置。

命题推广 n(n ∈N,n ≥2)个对数的乘积与真数（或底数）的

位置无关.

例1

计算log 225

1log 38

1log 59.

解：原式= log 28

1 log 3 9log 525

1=(-3)×2×(-2)=12 例2

计算log 23log 34log 45log 516.

解：原式= log 24log 33log 416log 55=2×1×2×1=4.

李3 求证log a blog b clog c a=1

证明：左= log a alog b blog c c=1=右 故等式成立.

总结 由以上几例可以看出，应用公式( * ) 交换真数（或底

数）的位置可使运算大大简化。交换真数（或底数）位置的基本原则

是：使真数和底数成为同一底数的幂，在根据log m n

a n

a m 得出数

值。这是运算得以简化的原因所在。

练习：1.计算(log 43+log 83)(log 32+log 92);

2. 计算log 89log 2732;

3. 求证log x ylog y z=log x z. 答案：1. 4

11 1.25; 2. 9

11; 3. 略.