论文----浅谈微积分思想在几何中的应用

毕业论文

题目：浅谈微积分思想在几何

问题中的应用

学院：数学与统计学院

专业：数学与应用数学

毕业年限：2013年

学生姓名：***

学号：************

指导教师：**

说明：1.成绩评定均采用五级分制，即优、良、中、及格、不及格。

2. 评语内容包括：学术价值、实际意义、达到水平、学术观点及论证有无错误等。

目录

摘要 (2)

关键字 (2)

Abstract (2)

Keywords (2)

1微积分介绍 (3)

1.1微积分的基本内容 (3)

2微分在几何问题中的应用 (5)

2.1一元微分的几何应用 (5)

2.2多元微分的几何应用 (7)

3积分在几何问题中的应用 (9)

3.1定积分的几何应用 (9)

3.2二重积分的几何应用 (16)

3.3三重积分的几何应用 (17)

结束语 (20)

参考文献 (21)

浅谈微积分思想在几何问题中的应用

***

（西北师范大学数学与统计学院甘肃兰州 730070）

摘要：微积分思想在几何问题中的应用主要分为一元微分、多元微分、定积分、二重积分、

三重积分分别在几何问题中的应用。一元微分可以求曲线的长；多元微分可以求曲线的切线、

切平面、法线、法平面；定积分可以求曲线的长、图形的面积、立体的体积；二重积分可以

求图形的面积、立体的体积；三重积分可以求立体的体积。

关键词：一元微分多元微分定积分二重积分三重积分曲线的长面积体积

Application of differential calculus thought in

geometric problems.

Lv Danqin

(College of mathematics and statistics, Northwest Normal University, Gansu Lanzhou

730070)

Abstract:Application of differential calculus thought in geometric problems

consists of a differential, multiple differential, integral, double integral,

integral respectively three applications in geometric problems. A differential can

find the length of the curve; tangent, multivariate differential can find the curve

tangent plane, normal, normal plane; definite integral can be the length of the curve,

the graph area, volume of solid; double integral can be graphics area,

three-dimensional volume; three points can be obtained three-dimensional volume. Keywords: A differential multiple differential ntegral double integral three integral curve length area volume

1微积分介绍

1.1微积分的基本内容

1.1.1一元微分

定义：设有函数()f x ，若存在常数A ，使得对于自变量x 的改变量x ∆，函数的改变量()()y f x x f x ∆=+∆-可以表示为：()(0)y A x x x ο∆=⋅∆+∆∆→，则称()f x 在点x 处可微，并称A x ⋅∆为()f x 在点x 处的微分，记为dy 或()df x ，即dy =A x ⋅∆或()df x =A x ⋅∆.

几何意义：0()dy f x dx '=表示曲线()y f x =在点00(,)M x y 处的切线上的点的纵坐标相应于x ∆的增量。

1.1.2多元微分

多元微分又叫全微分，是由两个自变量的偏导数相对应的一元微分的增量表示的。

定义：设有二元函数(,)z f x y =，若存在常数A,B 使得对于自变量x 和y 的改变量x ∆和y ∆，函数z 的改变量z ∆可以表示为(,)(,)()(0)z f x x y y f x y A x B y ορρ∆=+∆+∆-=⋅∆+⋅∆+→则称函数(,)z f x y =在点(,)x y 可微，并称A x B y ⋅∆+⋅∆为(,)f x y 在点(,)x y 处的全微分，记为dz 或(,)df x y ，即dz A x B y =⋅∆+⋅∆或(,)df x y A x B y =⋅∆+⋅∆.

1.1.3定积分

定义：设函数()f x 在区间[,]a b 上有定义，用分点011...n n a x x x x b -=<<<<=将区间[,]a b 分成n 个小区间，小区间的长度为1(1,2,...,)i i i x x x i n -∆=-=，记{}1max i i n

x λ≤≤=∆，在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点1()i i i i x x ξξ-≤≤，作乘积()(1,2,...,)i i f x i n ξ⋅∆=和式1()n

n i i i S f x ξ==⋅∆∑成为积分和，当0λ→（即n 无限增