小学五年级奥数—植树问题中的方阵问题解析

三层空心方阵共有：72+64+56=192（颗）
14
2.由252名学生组成一个三层的中 空方阵，求最外层共有多少名学生？ 求最外层每边有多少人？
15
解 析
每层的总个数=这层的每边个数×4-4
每向里一层，每边的个数都要在上一 层的基础上减去2。
最外层的总个数=最外层的每边个数×4-4 次外层的总个数=次外层的每边个数×4-4
（48-24）÷8=3（个） 空心方阵最外层到最内层一共有3个间隔,4层。
48
?
?
24
8
8
8
中间两层人数和 =最外层的人数-8+最内层的人数+8 =最外层的人数+最内层的人数
总人数： （48+24）×2=144（人）
这个表演队形一共需要144人。
Hale Waihona Puke Baidu
方法三：
使用公式求解：大实心方阵－小实心方阵＝总数
蓝色的大方阵人数-橙色的小方阵人数=空心方阵总人数
3.解答这类问题，要仔细看清楚题目，是直线型还是环型。 如果是直线型，要弄清楚是路的一边栽树，还是路的两边 栽树；区分是两端都栽树、一端不栽还是两端都不裁。
3
1.四年级参加运动会入场式，排成 一个方阵，最外层一周的人数是32 人，问方阵最外层每边的人数是多 少？这个方阵共有多少人？
解 析
方阵是一部分人或物排列成正方形队列的形式。 方阵分为实心方阵和空心方阵。
=（最外层的每边个数-2）×4-4 =最外层的每边个数×4-2×4-4 =最外层的每边个数×4-4-8
每向里一层的总个数，都 要比外一层的总个数少8。
16
252名学生组成一个三层的中空方阵
每向里一层的总个数，都要比外一 层的总个数少8。
最外层-8=中间层 中间层-8=最里层
根据平均数的计算方式
中间一层的人数： 252÷3=84（人）
一个中空方阵，最内层要24人，最外 层要48人。
每层的总个数=这层的每边个数×4-4
最内层每边的人数： （24+4）÷4=7（人） 最外层每边的人数： （48+4）÷4=13（人）
大实心方阵的总人数： 13×13=169（人）
空心方阵最内层每边的人数：7人
（92+4）÷4=24（人） 最外层的每边个数是24人。
最外层的人数：84+8=92（人） 这层的每边个数=(每层的总个数+4)÷4
17
3.设计一个团体操表演队形，想排 成一个空心方阵，最内层要24人， 最外层要48人，这个表演队形一共 需要多少人？
18
解
方法一：
析
一个中空方阵，最内层要24人，
8
3.学校体操队排成方阵进行表演， 最外围的一圈有队员64人，如果在 这圈的外围再增加一圈队员以扩大 方阵，需要增加多少人？这时整个 方阵共有多少人？
9
解 析
实心方阵数学中一个重要的数量关系式： 方阵总人数=行数×列数 每层的总个数=这层的每边个数×4-4
每向里一层，每边的个数都要在上一层的基础上减去2。
方阵最外层一周的人数是32人。
（32+4）÷4=9（人） 方阵的每行有9人，每列也有 9人，行数（或列数）为9。
方阵最外层每边的人数是9人。
9×9=81（人） 方阵共有81人。
6
2.某小学四年级原准备排成个正方 形队列参加广播操表演，由于服装 不够，只好横竖各减少一排，这样 共需去掉31人，问四年级原来准备 多少人参加表演?
7
解 析
方阵横竖各减少一排， 减少的人数=每边人数×2-1 （1个红点重复计算，所以要减去。）
每边人数 =（减少的人数+1）÷2
方阵横竖各减少 一排，去掉31人。
（31+1）÷2=16 方阵每行有16人，每列也有 16人，每边人数为16。
16×16=256（人） 四年级原来准备 256人参加表演。
13
三层空心方阵最外层每边有 玻璃珠19颗。
最外层的总个数： 19×4-4=72（颗）
+
三层空心方阵中间层每边有 玻璃珠：19-2=17（颗）
中间层的总个数： 17×4-4=64（颗）
每层的总个数=这层的每边个数×4-4
+
三层空心方阵最里层每边有 玻璃珠：17-2=15（颗）
最里层的总个数： 15×4-4=56（颗）
最外层要48人。
次外层的人数：
方阵每相邻两层总人数相差8人。
48-8=40（人）
再向里一层的人数： 40-8=32（人）
一共有四层，四层总人数： 48+40+32+24=144（人）
48
40
继续向里一层的人数： 32-8=24（人） 已经到最内层了。
32
24
8
8
8
方法二： 空心方阵，最内层要24人，最外层要48人，方阵每相邻两层总人数相差8人。
方阵中最外层的4个红点既是行上的点，也是列上的点。
实心方阵数学中一个重要的数量关系式： 方阵总人数=最外层每边人数×最外层每边人数 最外层的人数=最外层每边人数×4-4 （最外层的四个红点重复计算，所以要减去。）
注：虽然这个公式可以化解得更简单，但这个公式学生更容 易理解和记忆。
5
最外层的人数=每边人数×4-4 每边人数=（最外层的人数+4）÷4
植树问题中的方阵问题 ——难题解析
目 录
1 实心方阵问题 2 空心方阵问题 3 长方形阵列问题 4 三角形阵列问题
2
知 识
点
1.植树问题，要理解全长、间距(棵距)长度、棵数、间距数
四种量的具体含义。爬楼梯、锯木头、钟表声音的停顿等
数学问题都可以转化为植树问题来解答。
2.植树问题通常有直线型和环型两大类型。直线型分为三种 情况:(1)两端都有。棵数比间距数多1；(2)一端没有，棵数与 间距数相同；(3)两端都没有，棵数比间距数少1。 环型：间距数与棵数相等。
10
最外围的一圈有队员64人。
每层的总人数=这层的每边人数×4-4 这层的每边人数:(64+4)÷4=17(人)
这时整个方阵最外层的每边人数是 19人，方阵共有人数： 19×19=361（人）
这层的每边人数：17人
在这圈的外围再增加一 圈队员。
新增外层每边的队员个数： 17+2=19（人）
最外层新增队员个数： 19×4-4=72（人）
11
1.小明用玻璃珠摆成一个三层空心 方阵，如果最外层每边有玻璃珠19 颗，小明摆这个方阵最里层一周共 有多少颗玻璃珠？摆这个三层空心 方阵共用了多少颗玻璃珠？
12
解
析
三层空心方阵
空心、实心方阵每层的个数是一样的， 每层的总个数=这层的每边个数×4-4
空心方阵的总数=每层的总个数相加
每向里一层，每边的个数比外一层的每边的个数少2。