幂级数求和法的归纳总结与推广

幂级数求和法的归纳总结与推广

摘要：本文研究的是如何对幂级数进行求和，主要从数学专业中的三个学科（常微分方程、初等数学、高等代数），分别通过微分方程法、初等数学中的杨辉三角法以及矩阵法对幂级数进行求和。对那些能用这三种方法进行求和的幂级数进行了一定的归纳和总结，并展开了一定的推广。通过对这三类方法的典型例题的求解，加深对方法的了解和运用，完善级数求和的知识体系。

关键词：级数求和，微分方程，矩阵，杨辉三角

引言

级数是高等数学的一个重要组成部分, 其理论是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期杰出的数学家刘徽于公元263 年创立了“割圆术”, 其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆, 从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已建立了级数的思想方法, 即无限多个数的累加问题。而今, 级数的理论已发展的相当丰富和完整, 在工程实践中有着广泛的应用, 可用来表示函数、研究函数的性质, 也是其进行数值计算的一种工具。

同时级数也是研究函数的一个重要工具，在理论上和实际应用中都处于重要地位，这是因为：一方面能借助级数表示许多常用的非初等函数，微分方程的解就常用级数表示；另一方面又可将函数表为级数，从而借助级数去研究函数。在各种有力的解析工具中按其简单.灵活.明确以及使用的方便而言，毫无疑问第一位应属于函数级数。这个最重要的解析工具的思想很简单：我们想要研究的函数可以表示为其它的更为简单的。容易研究的函数的系列（即表示此函数为级数的部分和的极限。如果这个部分和在整个所研究的区间上完全趋近于所研究的函数，则我们就有理由从整个近似的部分和的性质来估计所研究函数的一些性质——尽管只是近似的研究。特别地，会对自变量的某个值近似计算这些部分和的值，我们同时也有办法近似计算所研究函数的相应的值。

用什么样的函数作为我们的展开式的元素最方便.最适合呢？即选什么函数作为表示所研究函数级数的项，最便于帮助我们研究函数？对此问题，当然不指望有唯一的答案适用于所有情形。这几乎完全取决于所研究的函数的性质以及我们对函数所提出的问题的性质，只是必须指出，有一种最重要的函数级数类值得推荐起作用，因为每一步都可以应用它们，这样就自然地要求创立相应的一般理论。这种函数级数就是幂级数（其中展开式的元素是自变量的整数次数幂——首先是非整数次幂）。

在幂级数收敛性的判断，求和问题等性质中，求和问题不免也是一处重要的知识点。幂级数求和的求解是一类难度较大技巧性较高的问题，更好地了解和掌握幂级数求和的方法和技巧对于学习幂级数具有更好的指导意义和学习价值。

幂级数求和，包括求某些数项级数的和，利用技术性质，展开定理、收敛定理等求函数项级数的和函数，函数的幂级数展开式、Fourier级数等，无疑是级数理论学习中的重要内容，在一定意义上对这部分知识掌握的程度，也是衡量学生数学能力、数学素质的一项检验指标。

而作为特殊函数项级数的幂级数，由于具有结构形式简单和近似表达函数的灵活性的优点，而作为一个极为有用的计算工具，数项级数的求和就是一个重要的应用。它的基本理论依据是在一致收敛条件下，函数项级数的和函数连续，可导、可积，即求和运算与极限运算求积运算、求导运算可以换序。而幂级数更具有收敛半径易求，在（-R，R）上内闭一致收敛以及在逐项求导或逐项积分收敛

区间相同性质，使得幂级数的无限求和和运算在收敛区间内可以与求极限、求导、求积运算换序，这样就为我们利用幂级数求数项和准备了充分条件。

一、微分方程法

第一类：比较常见的幂级数例如∑

∞

=0

n 3)!

3(n x

n

这种类型的，只要对其进行逐项求

导，找出各导函数之间满足的方程，得到一个关于导函数的微分方程。

例：求幂级数∑

∞

=0

n 3)!

3(n x

n

的和。

思路：先设函数=)(x y ∑

∞

=0

n 3)!

3(n x

n

，分别对函数)(x y 对x 进行一阶求导)('

x y ，二阶

求导

)

('

'x y 。得到

∑

∞

=--=

1

n 1

3'

)!

13()(n x

x y n ..

.

)!

13(...

!

8!

5!

21

38

5

2

+-++

+

=

-n x

x

x

x

n ，)('

'x y =

∑

∞

=--1

n 2

3)!

23(n x

n ...

)!

23(...

!

7!

42

37

4

+-++

+

=-n x

x

x

x n 。将)(x y ，)('x y ，)(''x y 相加

即得方程)(''x y +)('x y +

)(x y ...!

...!3!213

2

++++

+=n x

x

x

x n

。由已学知识可知

...

!

...

!

3!

213

2

+++

+

+=n x

x

x

x e n

x

。故得微分方程)(''x y +)('x y +

)(x y x

e

=。故只需次

微分方程即可。这是二阶线性常系数非齐次微分方程，可求得

x

x

e

x e

x y 3

12

3cos

32)(21+

=

-，所以幂级数∑

∞

=0

n 3)!

3(n x

n

的和为

x

x

e

x e

3

12

3cos

3

22

1+

-

。

第二类：例如n

n x nd d d d n a d a d a a ∑

∞

=-+++1

)

()2(]

)1([)2)(( 这种类型的级数，在求和的时

候采用其他常用的方法是很难求出的，因为n

x 的系数的分子是等差数列前n 项的和，而分母则是公差的n 次幂与n ！的积，要逐项求导则需要n 次才能把n ！约掉，但此时已近很复

杂了，且不能顺利求和，于是我们想办法来求所给级数在它的收敛域内所代表的可微函数所满足的微分方程。当然这个微分方程的阶数越低越好。

事实上，令n

n x

nd d d d n a d a d a a n

x f ∑

∞

=-+++=

1

)

()2(]

)1([)2)(()( 对其逐项微分可得

1

1

)

()2(]

)1([)2)(()(-∞

=∑-+++=

'n n x

nd d d d n a d a d ad a n

x f ，