基于Simulink的Lorenz混沌系统的可视化仿真研究_马建兵
基于Simulink可视化混沌模型的研究
基于Simulink可视化混沌模型的研究
混沌模型是目前非线性科学研究的重点之一，其表现出的随机性、确定性和极度敏感性使其在信息加密、通信技术、生态学、金融、天气预报等领域得到了广泛应用。
本文基于Simulink平台，探讨了几种常用的混沌模型，并进行了可视化仿真研究。
首先，本文介绍了三个经典的混沌模型：Logistic映射、Henon映射和Lorenz系统，分别介绍了其数学表达式和特征。
Logistic映射是一维非线性映射，其具有周期倍增的特征，可以用来生成随机数序列；Henon映射是二维非线性映射，其表现出的奇特轨迹使其被广泛应用于图像加密、压缩等领域；Lorenz系统是三维非线性动力学系统，其奇妙的漩涡结构与天气系统之间的联系被广泛研究。
接着，本文用Simulink实现了以上三个混沌模型，并进行了仿真分析。
通过对Logistic映射的仿真结果分析，可以看出当初始值接近3.57时，其混沌性质最为明显，即使微小的改变也能导致结果的不可预测性。
通过对Henon映射的仿真结果分析，可以看出其二维奇特的轨迹，进一步证实了其在图像加密、压缩等领域的应用价值。
通过对Lorenz系统的仿真结果分析，可以看出其漩涡结构的特征，说明其在天气预报、气候学等领域的重要性。
最后，通过对以上仿真结果的分析，证明了Simulink平台在混沌模型的研究中的优越性，其可视化的特点使得模型的仿真分析更加生动、直观。
在未来的研究中，可以通过优化模型参数，进一步探讨混沌模型的特性，应用于更多的领域。
基于MATLAB_Simulink的混沌控制研究
基于MATLAB/Simulink 的混沌控制研究∗莫玉芳，邹艳丽†（广西师范大学电子工程学院，广西 桂林541004）摘 要：研究了一种类似Lorenz 系统的新混沌系统，采用比例微分控制法（PDC ）实现了该系统的混沌控制。
应用 MATLAB 软件中的Simulink 模块构建混沌系统的动力学模型并进行仿真研究，理论分析和实验仿真表明，通过选择合适的控制参数，混沌系统不但可以被稳定到系统原有的不稳定不动点还可以产生新的稳定动力学行为。
关键词：混沌控制；比例微分控制法；Simulink ；动力学分析中图分类号：O415.5 文献标识码：A 文章编号：1003-7551(2010)03-0019-041 引言自从美国科学家E.N.Lorenz 发现第一个混沌吸引子[1]以来，经过半个世纪的发展，混沌科学渗透到了多个学科领域。
随着对混沌现象认识的不断深入，如何应用混沌研究的成果为人类服务已成为非线性科学发展的一个重要课题[2]。
2007年，褚衍东等[3]提出了一个类似Lorenz 系统的新混沌系统，由于该系统的三个平衡点都是非零点，因而比Lorenz 系统具有更为复杂的拓扑结构和动力学行为。
本文在对该系统的基本动力学行为进行分析的基础上，借助MATLAB 中的Simulink 仿真工具，采用比例微分控制法[4]研究了该系统的混沌控制。
2 新混沌系统分析新混沌系统的动力学方程为：（1）()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧−−=−=•−=••czxy b z y xz y x y a x （1）式中x 、、y z 为系统的状态变量。
当系统参数取为=5，b =16，=1时，系统处于混沌状态，其混沌吸引子如图2所示。
a c 该系统有几条最基本的性质[3，5]：（a）对称性和不变性；（b）耗散性和吸引子的存在性；（c）平衡点。
其中，系统（1）的三个平衡点分别为：(0，0，16)，0A +A (15，15，1)，−A (-15，-15，1)，都是非零平衡点。
Lorenz混沌系统的电路仿真
毕业论文（设计）题目：Lorenz混沌系统的电路仿真指导教师：学生姓名：学生学号：信息工程系-电气自动化专业-08自动化2班2011年 04月 15日摘要混沌学研究从早期探索到重大突破,经以至到本世纪70年代以后形成世界性研究热潮，其涉及的领域包括数学、物理学、生物学、气象学、工程学和经济学等众多学科，其研究的成果，不只是增添了一个新的现代科学学科分支，而且几乎渗透和影响着现代科学的整个学科体系。
混沌学的研究是现代科学发展的新篇章.许多学者把混沌理论称为继量子力学和相对论以后二十世纪最有影响的科学理论之一,人们对混沌信号的产生和混沌振荡器等内容的研究非常感兴趣.本文将论述混沌的概念、混沌同步和混沌控制的一些方法,并针对Lorenz 系统提出了以一定的祸合比例系数，实现主动系统和被动系统的同步控制以及计算机仿真.计算机仿真结果表明：在控制的过程中，控制周期随着松弛系数值的增大而减小,较大的松弛系数导致较快的控制。
这个控制法则来源于李雅普诺夫稳定性原理，可以用来控制非同步系统达到同步,最终实现所要求的P同步，即通过加入微小的控制可以在短时间内按任意比例系数实现对主动系统的响应的放大或缩小。
电路实现证实了所提新方法的有效性，并且可以按照实际需要的祸合比例实现同步控制。
关键词：混沌同步；控制;祸合比例系数;电路实现ABSTRACTChaos studies from early exploration to significant breakthrough in the 1970s by up to this century after the hot forming worldwide, the field that involves including mathematics, physics, biology, meteorology, engineering and economics，and so many subject，the research achievement，not just added a new modern scientific disciplines branch，and almost permeates and affects the whole subject system of modern science. Chaos study of the development of modern science is a new chapter。
基于Lorenz 系统的忆阻混沌系统分析
测试测量技术
基于 Lorenz 系统的忆阻混沌系统分析
The Analysis of The Memristor Chaotic System Based on the Lorenz System
张琳琳,张烁（山东科技大学 电气与自动化工程学院,山东 青岛 266590）
Zhang Lin-lin,Zhang Shuo(College of Electrical Engineering and Automation, Shandong University of Science and Technology,Shandong Qingdao 266590）
摘 要：首先该文是基于具有真实物理模型的 HP 忆阻器，在 Lorenz 系统的基础上进行改进，产生了新的
system is based on the HP memrisor which has the real physical model and the improved Lorenz chaos
system.The results using MATLAB show complex dynamic phenomenon of the system through the detailed
分别表示忆阻的极限值，M(0)表示初始值，W (t)是随时间
而变化的 TiO2-X 厚度，而 D 是薄膜的厚度，RON 是 W (t)=0 时的值，ROFF 是 W(t)=D 时的值，uv 表示氧空缺的平均移 动量。
2 基于 Lorenz 系统的混沌系统
广义 Lorenz 混沌系统为[4]：
0 0 0 杉山
忆阻混沌系统，它有一个正的 Lyapunov 指数。通过对用 MATLAB 语言编程实现的系统 的相 轨图 ，
基于Simulink的Dynamos混沌系统仿真
基于Simulink的Dynamos混沌系统仿真赵莉;唐文【摘要】Dynamos chaotic system has complex vectors. In order to study the dynamic behaviors of Dynamos chaotic system, the system is translated into the real kinetics equation in combination with with the complex Dynamos equation of the system. The graph visualization and parameter adjustable characteristics of Simulink is utilized. The system circuit was simulated. The results show that it has chaotic behaviors under certain parameters of the system,and the two real variables of the same complex vector have synchronous features. It show that the system has abundant chaotic behaviors.%Dynamos是含有复数向量的混沌系统,为了考察Dynamos混沌系统的动力学行为,结合该系统的复数动力学方程,首先将该系统转化为实数动力学方程,并利用Simulink具有的图形可视化和参数易调节的特点,对该系统进行了电路模拟仿真.仿真结果显示,该系统在特定参数下能够表现出混沌行为,并且同一向量下面的两个实变量具有同步的特点,这表明该系统还具有十分丰富的动力学行为.【期刊名称】《现代电子技术》【年(卷),期】2012(035)004【总页数】2页(P7-8)【关键词】Dynamos系统;Simulink;混沌;动力学行为【作者】赵莉;唐文【作者单位】桂林空军学院,广西桂林541003;桂林空军学院,广西桂林541003【正文语种】中文【中图分类】TN911-340 引言混沌是一种确定系统中出现的无规则运动，在确定性的电路中，也会出现混沌行为。
基于某matlab地Lorenz系统地仿真研究
MATLAB课程期末作业以下报告完成的是大作业第七题：7. Simulink仿真在高等数学课程中的应用21130223 宋沛儒基于MATLAB/Simulink 对Lorenz 系统仿真研究21130223 宋沛儒1.引言1963年Lorenz 通过观察大量大气现象并进行数值实验和理论思考，得到了一系列混沌运动的基本特征，提出了第一个奇异吸引子—Lorenz 吸引子[1] ，Lorenz 通过计算机模拟一个由三阶微分方程描述的天气模型时发现，在某些条件下同一个系统可以表现出非周期的无规则行为。
Lorenz 揭示了一系列混沌运动的基本特征，成为后人研究混沌理论的基石和起点，具有非常重要的意义。
Lorenz 系统方程如下：(),,.x a y x y cx y xz z xy bz =-⎧⎪=--⎨⎪=-⎩（1）其中，a ，b ，c 为正的实常数。
本人利用了数学工具matlab ，对Lorenz 系统进行了仿真研究，加深了对其的认知。
2.matlab 求解Lorenz 系统首先创建文件“Lorenz.m ”定义Lorenz 方程，假设固定a=10，b=2.6667，c=30,程序如下：function dx=Lorenz(t,x)dx=[-10*(x(1)-x(2));30*x(1)-x(2)-x(1)*x(3);x(1)*x(2)-2.6667*x(3)]; end然后利用ode45（Runge-Kutta 算法）命令求解Lorenz 方程并绘制图形，初值取x=y=z=0.1,程序如下：>> clf>> x0=[0.1,0.1,0.1];>> [t,x]=ode45('Lorenz',[0,100],x0);>> subplot(2,2,1)>> plot(x(:,1),x(:,3))>> title('(a)')>> subplot(2,2,2)>> plot(x(:,2),x(:,3))>> title('(b)')>> subplot(2,2,3)>> plot(x(:,1),x(:,2))>> title('(c)')>> subplot(2,2,4)>> plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3))>> title('(d)')运行后，得如下波形：图中,（a）为Lorenz混沌吸引子在x-z平面上的投影，（b）为其在y-z平面上的投影，（c）为其在x-y平面上的投影，（d）为Lorenz 混沌吸引子的三维图。
单模激光Lorenz系统与3D混沌系统之间的混沌同步
单模激光Lorenz系统与3D混沌系统之间的混沌同步
李钢
【期刊名称】《光子学报》
【年(卷),期】2007(36)5
【摘要】研究了异结构混沌系统之间的同步控制问题.采用非线性反馈控制方法实现了3D混沌系统和单模激光Lorenz混沌系统之间的混沌同步.根据系统的稳定性理论,得到了非线性反馈控制器的结构和反馈控制增益的取值范围.仿真模拟的结果表明:目标系统和响应系统达到完全同步,两系统状态变量随时间的演化轨迹完全一致,并且误差变量经过短暂的时间序列以后始终平稳地趋于零.仿真模拟的结果证明了这种方法的有效性.
【总页数】4页(P808-811)
【关键词】非线性反馈;3D混沌系统;Lorenz混沌系统;混沌同步
【作者】李钢
【作者单位】辽宁师范大学物理与电子技术学院
【正文语种】中文
【中图分类】O415.5
【相关文献】
1.Lorenz混沌系统与其超混沌系统的同步与反同步 [J], 张平伟;尹训昌;李娟
2.利用跟踪控制实现单模激光lorenz系统和新系统的混沌同步 [J], 李钢
3.利用单模激光Lorenz系统实现混沌反控制 [J], 栾玲;冯立军
4.非线性反馈控制单模激光Haken-Lorenz混沌系统(英文) [J], 吕翎;邹成业;赵鸿雁
5.控制单模激光Haken-Lorenz系统混沌的一种有效方法 [J], 吕翎;栾玲;杜增因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
一个新混沌系统及其电路仿真
一个新混沌系统及其电路仿真周小勇【摘要】提出了一个新的三维自治混沌系统,并对系统的基本动力学特性进行了深入研究,得到系统的Lyapunov指数和维数,给出了系统数值仿真图、Poincare映射图、Lyapunov指数谱和分岔图,重点分析了不同参数变化对系统动力学行为的影响.最后,设计了该混沌系统的硬件电路并运用Multisim软件对该电路进行仿真实现,数值仿真和电路仿真证实了该混沌系统与以往发现的混沌系统并不拓朴等价,是一个新的混沌系统.【期刊名称】《物理学报》【年(卷),期】2012(061)003【总页数】9页(P71-79)【关键词】混沌系统;Lyapunov指数谱;Poincare截面图;电路实现【作者】周小勇【作者单位】江苏技术师范学院电气信息工程学院,常州213001【正文语种】中文【中图分类】其他物理学报ActaPhys.Sin.VoL 61, No.3 (2012) 030504一个新混沌系统及其电路仿真周小勇十（}l一苏技术帅范学院电‘i信息 1．程学院，常州 213001 ）（ 2011 年 5 门 3 口收到；2011 年 5 』 J24rI 收到修改稿）提出了一个新的三维自治混沌系统，并对系统的基本动力学特性进行了深入研究，得到系统的Lyapunov 指数和维数，给出了系统数值仿真图、 Poincare 映射图、Lyapunov 指数谱和分岔图，重点分析了不同参数变化对系统动力学行为的影响，最后，设计了该混沌系统的硬件电路并运用 Multisim 软件对该电路进行仿真实现，数值仿真和电路仿真证实了该混沌系统与以往发现的混沌系统并不拓朴等价，是一个新的混沌系统．关键词：混沌系统， Lyapunov 指数谱，Poincare 截面图，电路实现 PACS: 05.45.-a 自从 Lorenz 于20世纪 60 年代在实验中发现第一个混沌吸引子以来，混沌理论的研究和应用在许多领域中得到了极大的关注， Lorenz 系统成为后人研究混沌理论的出发点和基石【 l ，2】，在其基础上，一些混沌系统相继被发现和提出，1999 年 Chen 在混沌系统控制中发现了一个与 Lorenz 系统类似但拓扑不等价的新混沌吸引子 Chen 系统[3,4l.2002 年 Lu等人相继发现了 Lu 系统及连接上述三个系统的统一混沌系统[s-7]． 2004 年，Liu 等发现了一类含有平方非线性项的 Liu 混沌系统 [8l.2005 年， Qi 等人发现了 Qi 混沌系统【 9]_另外，近年来，各种新混沌系统不断被发现和提出，如分数阶系统 [10] ，多翼混沌系统 [11] ，超混沌系统 [12]及恒 Lyapunov 指数系统等 [13,14] ．新的混沌系统不断被发现和提出，促进了人们对混沌现象更深入的研究和认识，进一步丰富和完善了混沌理论，从而也为混沌理论在信息加密、保密通信、故障诊断、信号发生器设计、信号检测与处理中的应用奠定了基础 [7 ，l 5] ．本文提出了一个新的三维自治混沌系统，系统含有四个参数，其中每一个方程中都含一个非十E-mail:zhouxy99@⑥ 2012 中国物理学会 ChinesePhysicalSociety线性乘积项，另外有一个方程还同时含有一个平办项．通过理论推导、数值仿真、 Poincare 截面图、Lyapunov维数、 Lyapunov 指数谱和分岔图，研究和分析了系统的基本动力学特性，验证了系统的混沌特性．同时还设计了该混沌系统的硬件电路原理图，并进行了电路仿真实验，证实了该系统的可实现性．研究结果表明在相同的混沌行为预期下，仿真实验与理论分析结论十分吻合． 2新混沌系统的基本分析 2.1新混沌系统模型本文提出的新三维自治混沌系统，其数学模型描述为圣=-ax+by 一xz ，雪=cy+xz ，(1) 2=-20xy-dz+2y2 ，式中， n ， 6， c ， d 是实常数．当 o-18 ， 6-20， c-12， d -14 时，系统存在一个典型的混沌吸引子如图 l所示． 物理学报 Acta Phys.Sin. VoL2011年5门3口收到；2011 年 5 』 J24rI 收到修改稿）提出了一个新的三维自治混沌系统，并对系统的基本动力学特性进行了深入研究，得到系统的 Lyapunov 指数和维数，给出了系统数值仿真图、 Poincare 映射图、 Lyapunov 指数谱和分岔图，重点分析了不同参数变化对系统动力学行为的影响，最后，设计了该混沌系统的硬件电路并运用 Multisim 软件对该电路进行仿真实现，数值仿真和电路仿真证实了该混沌系统与以往发现的混沌系统并不拓朴等价，是一个新的混沌系统． 05.45.-a自从 Lorenz于第一个混沌吸引子以来，混沌理论的研究和应用在许多领域中得到了极大的关注， Lorenz 系统成为后人研究混沌理论的出发点和基石【 l ，2】，在其基础上，一些混沌系统相继被发现和提出，1999 年Chen 在混沌系统控制中发现了一个与 Lorenz 系统类似但拓扑不等价的新混沌吸引子 Chen 系统 [3,4l.2002年 Lu等人相继发现了 Lu 系统及连接上述三个系统的统一混沌系统 [s-7]． 2004 年，Liu 等发现了一类含有平方非线性项的 Liu 混沌系统 [8l.2005 年， Qi 等人发现了 Qi 混沌系统【 9]_另外，近年来，各种新混沌系统不断被发现和提出，如分数阶系统 [10]，混沌系统 [11] ，超混沌系统 [12]及恒 Lyapunov 指数系统等 [13,14] ．新的混沌系统不断被发现和提出，促进了人们对混沌现象更深入的研究和认识，进一步丰富和完善了混沌理论，从而也为混沌理论在信息加密、保密通信、故障诊断、信号发生器设计、信号检测与处理中的应用奠定了基础 [7 ，l 5] ．本文提出了一个新的三维自治混沌系统，系统含有四个参数，其中每一个方程中都含一个非十E-mail:zhouxy99@⑥2012中国物理学会 ChinesePhysicalSociety线性乘积项，另外有一个方程还同时含有一个平办项．通过理论推导、数值仿真、 Poincare 截面图、维数、指数谱和分岔图，研究和分析了系统的基本动力学特性，验证了系统的混沌特性．同时还设计了该混沌系统的硬件电路原理图，并进行了电路仿真实验，证实了该系统的可实现性．研究结果表明在相同的混沌行为预期下，仿真实验与理论分析结论十分吻合．圣 = -ax+by一xz雪= cy+xz (1) 2= -20xy - dz+2y2式中， n ， 6， c ， d 是实常数．当 o-18 ， 6-20， c-12， d - 14时，系统存在一个典型的混沌吸引子如图l物理学报ActaPhys.Sin. Vol.61, No.3 (2012) 0图 l 系统 (I) 的典型混沌吸引子图 (a) x-y-z 相图：(b) x-y 相图：(c) x-z 年 1l 罔：(d) y-z 相图由图 l 可发现系统(1) 的混沌吸引子轨线在特定的吸引域内具有遍历性．这个系统的混沌吸引子与 Lorenz系统的吸引子形状不相同，与 Chen 系统、 Lu 系统、 Liu 系统以及 Qi 系统的吸引子形状均不相同．2.2 动力学特性理论分析 1) 对称性和不变性因为系统 (l) 在（ z ，剪， z ）一(-x， -y ， z) 变换下具有不变性，系统的图像关于 z 轴对称，并且这种对称对系统所有参数均成立． 2)耗散性和吸引子的存在性由于Vy= 筹 + 雳 + 笔 = 一o+c — d ，(2 ， (6+c)、／ cd S1- 了弦百巧了 i 万 z-2a(b+c)因为 a+d-c >0 ，所以系统 (1) 是耗散的，且以如下的指数形式收敛： d 祟 =e 一(Ⅱ+dc) ，(3)即体积元 Vo 在 t 时刻收缩为体积元圪e一 (o+d —cH ．这意味着，当￡一。
基于simulink的lorenz系统标度化设计及硬件其实现
(１)
项目来源:河南省高等学校重点科研项目(１９Ｂ１２０００３ꎬ１８Ｂ１２０００１) ꎻ河南省高等学校青年骨干教师培养计划(２０１８ＧＧＪＳ２８３)
收稿日期:２０１８－１１－２２ 修改日期:２０１８－１２－２５
１２０２
第 ４２ 卷
电 子 器 件
２ Ｓｉｍｕｌｉｎｋ 仿真 Ｌｏｒｅｎｚ 系统
参数要求极其严格ꎬ因此有效的、成功的实验电路还
个三阶微分方程ꎬ用计算机数值实验模拟该简化大
系统也是计算机仿真 [１] ꎮ 因此本文在基于 Ｍａｔｌａｂ
统
[１－２]
ꎮ Ｌｏｒｅｎｚ 对大气对流模型进行简化ꎬ 得到一
气模型方程时发现混沌现象ꎬ这个三阶微分方程就
是著名的 Ｌｏｒｅｎｚ 系统ꎮ 它揭开了研究混沌的序幕ꎬ
是不能够使用电子元器件实现的ꎮ
表 １ Ｌｏｒｅｎｚ 系统方程中的最大“ 电压” 幅度
“ 示波器” 检测位置
最大“ 电压” 振幅
ｘ
－２５ Ｖ ~ ２５ Ｖ
－２５ Ｖ ~ ２５ Ｖ
ｙ
０ ~ ５０ Ｖ
－１５０ Ｖ ~ １５０ Ｖ
基于 Ｓｉｍｕｌｉｎｋ 的 Ｌｏｒｅｎｚ 系统标度化设计及硬件其实现∗
吕恩胜 ∗
( 河南应用技术职业学院ꎬ郑州 ４５００４２)
摘 要:通过 Ｓｉｍｕｌｉｎｋ 仿真 Ｌｏｒｅｎｚ 系统ꎬ发现 Ｌｏｒｅｎｚ 系统的状态变量的动态变化值远远超过电子元器件工作电源范围ꎬ提出
了一种标度化设计方法ꎬ有效地解决了用 Ｌｏｒｅｎｚ 系统搭建混沌电路的困难ꎬ并实现混沌电路ꎬ实验证明设计结果正确ꎮ 这种
Ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ａｌｓｏ ａｐｐｌｉｃａｂｌｅ ｔｏ ｏｔｈｅｒ ｃｈａｏｔｉｃ ｓｙｓｔｅｍｓ.
一个新三维混沌系统的动力学分析与仿真研究
一个新三维混沌系统的动力学分析与仿真研究摘要：文章提出一个新的三维自治混沌系统，分析了系统的平衡点稳定性，计算出系统的Lyapunov指数，给出了系统变量的时域图、混沌吸引子相图和Lyapunov指数谱，理论分析证实新系统是混沌系统。
并对此新系统进行了电路仿真实验，所采用的是电子工作平台electronic workbench（EWB）仿真软件，仿真结果再次表明新系统是混沌系统。
关键词：混沌吸引子；三维自治混沌系统；Lyapunov指数；EWB引言第一个混沌吸引子是1963年被Lorenz发现的，发现于一个三维自治混沌系统，此后，非线性科学研究的热点中便包含了对混沌理论的研究、新混沌系统的构造和混沌控制及其应用。
许多新的混沌与超混沌系统被相继提出[1-7]，例如，chen系统的发现，此系统是一个在混沌系统反控制中与Lorenz系统并不拓扑等价的系统，是陈关荣等人发现的[1]；吕金虎等进一步发现了LV系统和链接Lorenz系统、Chen系统以及LV系统的统一混沌系统[2，3]；国内发布了有关新的离散与连续混沌系统的报道[4，5]；同时，还报道了两个不同的四维超混沌系统。
新混沌与超混沌系统的提出与实现[6，7]，为混沌理论的深入研究和混沌的应用，特别是在混沌保密通信系统和微弱信号检测以及电力系统谐波抑制等领域的应用方面，提供技术支持，并为此奠定了理论基础。
在文章提出的系统之上，进行基本动力学特性的理论分析与数值仿真，诸如平衡点稳定性、混沌吸引子、耗散性和维数与Lyapunov指数等；并把该系统转化为实际的物理电路模型，所采用的是模块化设计法，并采用电子工作平台EWB软件对新的混沌系统进行电路仿真实验来进行验证。
1 新混沌系统及其基本动力学特性分析文章提出的新三维混沌系统其状态方程为：（1）其中x，y，z为状态变量，a，b，c，d为系统参数，该系统存在一个非线性项y2，是一个三维二次自治系统。
系统中有一个混沌吸引子的条件是当a=2，b=0.18，c=2，d=2时，对该系统采用MATLAB工具进行数值仿真实验，即可得到三维空间xyz相图、y变量的时域波形和y-z平面相图，例三维空间相图如图1（a）所示。
(完整版)基于matlab的Lorenz系统仿真研究
基于Matlab的Lorenz系统仿真研究摘要：本文利用matlab这一数学工具对Lorenz系统进行了研究。
首先使用matlab 分析求解Lorenz方程，利用matlab的绘图功能，直观地观察了Lorenz 混沌吸引子的三维图形，并简单观察了Lorenz混沌系统对初值的敏感性；然后对Lorenz系统进行仿真，比较分析在不同参数下的Lorenz系统仿真结果；最后验证了通过添加反馈控制的方式，可以使Lorenz方程不稳定的平衡点成为稳定的平衡点。
关键词：Lorenz系统；matlab；混沌系统1.引言Lorenz方程是由美国著名的气象学家Lorenz在1963年为研究气候变化，通过对对流实验的研究，建立的三个确定性一阶非线性微分方程。
这三个方程是混沌领域的经典方程，Lorenz系统也是第一个表现奇怪吸引子的连续动力系统，具有着举足轻重的作用。
Lorenz方程的表达式如下：{dxdt=σ(y−x) dydt=(μ−z)x−y dzdt=−bz+xy其中，σ、μ、b为正实常数。
本文利用matlab这一数学工具，对Lorenz系统进行了研究，得到了仿真结果，加深了对Lorenz系统的认识。
2.matlab求解Lorenz方程并绘图首先建立m文件“Lorenz.m”来定义Lorenz方程，固定σ=10，μ=30，b=8/3，程序如下所示：function dx=Lorenz(t,x)dx=[-10*(x(1)-x(2));30*x(1)-x(2)-x(1)*x(3);x(1)*x(2)-2.6667*x(3)];end然后利用ode45命令来求解Lorenz方程并绘制图形，初值取x=y=z=0.1。
程序如下所示：>> clf>> x0=[0.1,0.1,0.1];>> [t,x]=ode45('Lorenz',[0,100],x0);>> subplot(2,2,1)>> plot(x(:,1),x(:,3))>> title('(a)')>> subplot(2,2,2)>> plot(x(:,2),x(:,3))>> title('(b)') >> subplot(2,2,3)>> plot(x(:,1),x(:,2)) >> title('(c)') >> subplot(2,2,4)>> plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3)) >> title('(d)')运行上述程序，可得到如下波形：其中，图（a ）为Lorenz 混沌吸引子在x-z 平面上的投影，图（b ）为Lorenz 混沌吸引子在y-z 平面上的投影，图（c ）为Lorenz 混沌吸引子在x-y 平面上的投影，图（d ）为Lorenz 混沌吸引子的三维图。
洛伦兹混沌系统的电路仿真与设计
洛伦兹混沌系统的电路仿真与设计【摘要】本文基于Lorenz混沌系统的动力学方程，利用Matlab软件中的simulink模块搭建方程进行仿真，并将Lorenz方程进行标度变换为一个新的标准方程，使用Mutisim软件进行电路设计与模拟，得到了理想的结果。
【关键词】Lorenz混沌系统；Matlab仿真；模拟电路设计0 引言混沌系统对初始值非常敏感，并且具有类随机性，可控及同步性。
近年来，混沌保密通讯、混沌电路及加密发展成为一个前沿领域。
混沌加密等应用问题首先要解决的问题即混沌电路的设计。
本文基于Lorenz混沌系统，分析其基本特性，并进行了电路仿真及模拟电路的设计。
1963年著名的气象学家E.N.Lorenz研究大气热对流运动时发现了一种特殊的混沌现象，即蝴蝶效应。
Lorzen吸引子是目前文献记载最早的奇怪吸引子，因此Lorenz也被成为“混沌之父”。
至今，Lorzen系统族的发展虽然有很长的历史，但是Lorzen系统族丰富的动力学行为依然值得更加深入的研究，并进行更多的应用发展。
lorenz系统的动力学方程为：■=-σx+σy■=-y+rx-xz■=-bz+xy （1）式中，x，y和z表示对流强弱，水平温差和与温差有关的变量；σ、γ和b 则分别为Rayleigh数、Rayleigh数和容器大小有关的参数。
当σ =10，b=8/3，γ=28时，lorenz系统出现混沌现象。
1999年，我国学者陈关荣等人提出了一个新的混沌吸引子，即Chen吸引子，它的动力学方程为：■=a（y-x）■=（c-a）x-xz+cy■=-bz+xy （2）当a=35，b=3，c=28时，Chen系统产生混沌现象。
2002年，吕金虎提出了LU系统，它的动力学方程为：■=a（y-x）■=-xz+cy■=xy-bz （3）当a=36，b=3，c=20时，LU系统出现混沌现象。
这三个系统具有类似却不相同的动力学行为，被称为Lorzen系统族[1]，它对于混沌系统的理论研究以及控制、同步、加密应用等都具有重要的意义。
基于Matlab的混沌系统仿真与分析
基于Matlab的混沌系统仿真与分析王晓辉;谢胜曙;张志伟【摘要】对混沌现象和特征进行简要描述并用Matlab软件对一个混沌系统进行仿真和分析.给出了这个混沌系统的Simulink模型,通过编程计算画出了此系统的分岔图,刻画了系统参数A=0.6时的混沌吸引子形状、系统的庞加莱截面和功率谱,揭示了此系统混沌的本质.最后给出了系统的电路实现形式.【期刊名称】《现代电子技术》【年(卷),期】2006(029)010【总页数】3页(P105-107)【关键词】混沌;Simulink模型;混沌系统;混沌电路【作者】王晓辉;谢胜曙;张志伟【作者单位】湖南大学,电气与信息工程学院,湖南,长沙,410082;湖南大学,电气与信息工程学院,湖南,长沙,410082;济南市高级技工学校,山东,济南,250032【正文语种】中文【中图分类】TP391;O415混沌是国内外学术界对非线性系统研究领域非常活跃的前沿课题。
在现代的物质世界中，混沌现象无处不有。
1963年美国著名气象学家洛伦兹在数值实验中首先提出“决定论非周期流”，从此拉开了混沌研究的帷幕。
人们在研究中逐步认识到混沌的研究价值和应用价值。
1 混沌及其特征所谓混沌是指某种对初始条件敏感的运动，是在确定性系统中出现的一种貌似无规则，类似随机的现象，是普遍存在的复杂运动形式和自然现象。
他无序中又有序，混沌是非线性系统处于非平衡过程中所呈现的随机行为，因此非线性是产生混沌的必要条件，但并非所有非线性系统都会产生混沌[1]。
一般认为一个确定的非线性系统，如果含有貌似噪声的有界行为，且又表现若干特性，便可称为混沌系统，此处所说特性主要有以下方面：(1)振荡信号的功率谱连续分布，且可能是带状分布的，这个特征表明振荡为非周期性，也说明信号貌似噪声的原因。
(2)在相空间，该系统的相相邻的轨道线彼此以指数规律迅速分离，从而导致对初始值的极端敏感性，这就使系统的行为长期不可预测。
Lorenz系统动力学行为的MATLAB仿真与分析[1]
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文章编号:100027709(2007)0520121204L o renz 系统动力学行为的M A TLAB 仿真与分析姚齐国1,2(1.华中科技大学水电与数字化工程学院,湖北武汉430074;2.武汉工程大学电气信息学院,湖北武汉430073)摘要:以L o renz 系统为例,采用相图和功率谱两种方法,借助M A TLAB 软件对之进行仿真研究,观察状态变量在时域和频域中的变化来了解系统的非线性特性。
通过调整控制参数,观察L o renz 系统动力学行为的演变过程,得知L o renz 系统可通过Pom eau -M anneville 途径走向混沌,间歇性与Hopf 分岔和倍周期分岔有关。
关键词:L o renz 系统;混沌;M A TLAB ;仿真与分析中图分类号:T P 391;O 415.5文献标志码:A收稿日期:2007207216,修回日期:2007208226作者简介:姚齐国(19662),男,副教授、博士,研究方向为系统建模与仿真、优化运算与运行、电路理论分析与应用、微机控制技术,E 2m ail :yaoqiguo @1 概述混沌是学术界对非线性系统研究领域非常活跃的前沿课题。
混沌现象是指确定性系统中出现的一种类似随机过程的行为。
一个非线性动力学系统,在系统参数达到一定匹配时便会出现混沌现象。
在物质世界中,混沌现象无处不在。
一个确定的非线性系统,如果含有貌似噪声的有界行为,且又表现若干特性,便可称为混沌系统,其特性有如下几方面:①振荡信号的功率谱连续分布并可能为带状分布,表明振荡为非周期性,说明了信号貌似噪声的原因;②在相空间,该系统相邻轨道线彼此以指数规律迅速分离,从而导致对初始值的极端敏感性,使系统的行为长期不可预测;③在轨道线存在的相空间的某一特定的有界部分内,轨线具有遍历性和混合性[1,2]。
追索混沌的发展历程,可以从Po incare’(庞加莱)开始,见文献[3]。
基于Simulink的Lorenz混沌系统的可视化仿真研究_马建兵
强期刊的内部管理等方面。
杂志就会陷入困境。
性就可以发挥得淋漓尽致。行政性，即对编辑部
1 解放思想，更新观念
（2）倡导编辑多一点批判精神、怀疑精神。 的管理，强调的是执行力。
摆脱陈旧思想观念的束缚，建立起精品意 编辑必须挑剔、质疑文章中的每一个细节，并主
第五，管理编辑部最大限度地发挥每一个
识、竞争意识，与时俱进，敢于创新，在解放思想 动和作者沟通。
算单元。
时，其相空间轨道可得到相应的仿真结果。
第二步：打开 Matlab 中的 Smulink 模块库，
设 σ=10，b=8/3 固定不变[8]。当 0＜r＜1 时，仅有
按照方程组中的运算关系，拖动相应的模块构建 一个 0（0，0，0）点是稳定的平衡点，其中 r=0.5，系统
成 3 个方程的仿真图，如图 1 所示。
个人按章处罚，真正达到表彰先进、鞭策落后的 较强的指导意义。利用 Smulink 仿真软件建立了 Phys.67，1979：93.
（2）
当 k=0.3（k 为控制强度常数），T=0.2（T 为延时 时间），σ=10、b=8/3、r=28 时，控制后的 Lorenz 混沌 系统可视化模型如图 4 所示。
就能实现对复杂系统的仿真。从而建立了 Lorenz
式中，x 正比于对流运动的强度，y 正比于水 混沌系统的可视化模型，如图 2 所示。
（4）编辑还需要有“补位”意识，要有“甘为 正要把每个人的积极性都调动起来，就是使他
版内容、选题策划、市场营销、人才培养等方面 他人作嫁衣”的境界。
最大限度地付出多少，能够得到相应的回报。虽
的改进。并以此为切入点，理清期刊发展的理念
第二，加强团队建设，建立良好的文化氛围 然我们的编辑不会斤斤计较，但是做为编辑部
一个新类Lorenz混沌系统的动力学分析及电路仿真
第5卷第4期2007年12月1672-6553/2007/05 /324-6动力学与控制学报J OURNA L O F DYNAM ICS AND CONTROLV o.l 5N o .4D ec .20072007-03-23收到第1稿,2007-05-13收到修改稿.*甘肃省自然科学基金资助项目(3ZS042-B25-049);兰州交通大学科研基金(DXS -2006-74,DXS -2006-75)一个新类Lorenz 混沌系统的动力学分析及电路仿真*李险峰1张建刚2褚衍东1常迎香2(1.兰州交通大学非线性研究中心,兰州 730070)(2.兰州交通大学数理与软件工程学院,兰州 730070)摘要 提出了一个新的三维自治类L orenz 系统.理论分析了该系统的动力学特性,并通过数值计算分析了系统在平衡点处的稳定性,以及产生H opf 分岔的条件.通过计算系统的时间序列的Lyapunov 指数谱、L ya -punov 维数、分岔图、Po i ncar 截面图等研究了系统的动力学特性.最后对该系统的一个混沌吸引子进行了实际电路的设计与仿真模拟.关键词 新类Lo renz 系统, L yapunov 指数, 分数维数, P o i nca r 截面图, 电路仿真引言混沌振动是存在于自然界中的一种普遍运动形式,是在确定系统中产生的不规则运动,其基本特征是具有对初始条件的敏感性[1].人们在认识和研究混沌理论和应用的过程中,逐步认识到混沌的研究价值和应用价值.随着对混沌的深入研究和实际工程需要,各种非线性混沌系统也被相继提出,并得到了广泛的研究.特别是自从上世纪60年代提出Lorenz 系统[2]以来,许多新的自治混沌系统也相继提出并得到了广泛的研究[3-8].其中最为著名的是Rossler 系统[3],在Lorenz 混沌系统反控制中被发现的Chen 系统[4,5]、L 系统[6]、统一混沌系统[7]、L i u 系统[8]以及Q i 系统[9-11]等,特别是L系统在Lorenz 系统和Chen 系统之间架起了一道桥梁,实现了从一个系统到另一个系统的过渡[6,7].本文提出了一个新的类Lorenz 系统,该系统含有2个非线性项,文中利用理论推导、数值仿真、Lyapunov 指数谱、Lyapunov 维数、分岔图、Po incar 截面图等分析了该系统的基本动力学特性,从数值和理论上分析了系统的混沌特性.结果表明该系统和Lorenz 系统族中[12-14]每一个系统有着类似的性质,并且奇怪吸引子都具有较低分数维数.最后设计了模拟该混沌系统的实际电路,同时基于E W B 软件平台及电子仪器进行了实际电路仿真验证.1 新的类Lorenz 系统的模型及基本动力学特性该系统是根据Lorenz 吸引子和Chen 吸引子线性部分系数的特征,构造了一个三维非线性动力学系统.系统的模型如下:x =a (y -x ) y =abx -axz z =xy -cz(1)其中x =(x,y,z )TR 3为系统的状态变量,a,b ,c 为参数,且a 0.系统(1)中共含有2个非线性项,分别是xz ,xy .可以通过严格的数学证明系统(1)与上述Lorenz 系统族中每一个系统都不具有拓扑等价性,是一个完全新的类Lorenz 系统.由于严格证明拓扑等价性是十分困难和繁琐的,故在此略去.1.1 几条最基本的性质(1)对称性和不变性首先,注意到系统(1)在变换S:(x,y ,z ) (-x ,-y,z)下对于所有的参数a,b ,c 具有不变性,则此变换表明系统关于z 轴是对称的,即若 是系统的解,则在此意义下,S 也是系统的解.显然,z 轴本身也是系统的一条解轨线,也就是说,若t =0时有x =0,y =0,则对于所有的t >0,仍然有x =0,y =0.更进一步说,对于t 0,z 轴上所有的解轨线都趋向于原点.第4期李险峰等:一个新类L orenz混沌系统的动力学分析及电路仿真(2)耗散性和吸引子的存在性可以验证,系统(1)在a>0,b<0,c>0时是关于原点是全局,一致渐近稳定的.可以构造如下的正定的Lyapunov函数V(x,y,z)=-bx2+y2+az2(2)容易验证V (x,y,z)=-2b xx+2yy+2azz=-2bx(a(y-x))+2y(ax(b-z))+2az(xy-cz)=2a(bx2-cz2)<0(3)同时,考虑系统(1)的向量场散度(4),也就是系统的Jacob i n矩阵(5)的迹(6)V=1V d Vd t=div V=xx+yy+zz(4)J=-a a0a(b-z)0-axy x-c(5)Tr(J)=-(a+c)(6)又由于所有Lyapunov特征指数之和反映相空间体积元随时间演化的变化率,根据L i o uv ille定理,变化率反映为系统的Jacobin矩阵的迹,则有V=1V d Vd t=div V=xx+yy+zz=Tr(J)=-(a+c)= 3i=1i= LE s(7) V(t)=V(0)e-(a+c)t(8)其中, i(i=1,2,3)为矩阵(5)的特征根,LES为系统的3个Lyapunov特征指数.所以只要a+c>0,则系统(1)始终是耗散的,并以指数形式收敛.即d Vd t=e-(a+c)(9)也就是说,一个初始体积为V(0)的体积元在时间t 时收缩为体积元V(0)e-(a+c)t.这就意味着,当t 时,包含系统轨线的每一个体积元都以指数的速率-(a+c)收缩到0.因此,系统的所有轨线最终都会被限制在一个体积为0的点集合上,并且他的渐近动力学行为会被固定在一个吸引子上,这就说明了吸引子的存在性.并且当且仅当a+c=0,系统(1)是保守的,由L i o uv ill e定理可知,保守系统在运动过程中其相体积保持不变[15].当参数a=5,=4,c=2时,系统是耗散的,-(a+c)=-7<有一个混沌吸引子,如图1和图2所示,该混沌吸引子的三个Lyapunov指数分别为LE s=(0.6263,0,-7.6263),和 LE s=-7=-(a+c),由K aplan-Yorke猜想公式可求得Lyapunov维数D KY=2.0821.图1 3维相空间中的一个典型混沌吸引子F i g.1 Ph ase traj ectory of a typ ical chaotic attractor i n3-D space图2 图1中的混沌吸引子在不同平面上的投影F i g.2 Vari ous p rojecti ons of the chaotic attractor s ho w n i n F i g.11.2 平衡点稳定性分析如果bc>0系统的三个平衡点为O(0,0,0), P+(bc,bc,b),P-(-bc,bc,b),如果bc< 0,系统只有一个平衡点O(0,0,0).对于bc=0,有唯一的平衡点,形式为(0,0,b),b R.这里只考虑bc>0的条件下的三个平衡点为O,P+,P-的稳定性的情况,其中不动点P+和P-对称的落在z轴的两侧.命题1 如果a 0,b>0,则平衡点O都是不稳定的.证明:根据系统(1)的Jacobin矩阵(5),可得系统(1)在平衡点O处的线性化后的Jacob i n矩阵(10)和特征多项式(11)分别为325动 力 学 与 控 制 学 报2007年第5卷3+(a+c) 2+(ac-a2b) -a2bc=0( +c)( 2+a -ba2)=0(11)三个特征值分别为1=-c, 2,3=-a2 ba2+a24所以对于a>0有 2=a2(-1+4b+1)>0,a<0有 3=a2(-1-4b+1)>0,得证.下面来讨论平衡点P+和P-的稳定性.由于系统(1)在变换S:(x,y,z) (-x,-y,z)下对于所有的参数a,b,c具有不变性,系统关于z轴对称,而且平衡点P+和P-也关于z轴对称,所以二者的性质完全相同,只需分析其中之一即可.考虑线性变换T:(x,y,z) (X,Y,Z)T:x=X+bcy=Y+bcz=Z+b(12)于是系统(1)就化为x=a(Y-X)y=-a(X+bc)Zz=(X+bc)(Y+bc)-c(Z+b)(13)经过坐标平移变化以后,原系统(1)的不动点P+在线性变换T的作用下新的系统(13)的坐标原点O (0,0,0).下面讨论新的平衡点O (0,0,0)的稳定性.系统(13)在平衡点O 处的线性化后的Jacob i n 矩阵(14)和特征多项式(15)分别为J o =-a a0-az0-a bc Y+bcX+bc-c(0,0,0)=-a a000-a bcbc bc-c(14)3+(a+c) 2+(ac+abc) +2a2bc>0(15)由Rout h-H ur w itz判据,当且仅当满足下列条件时a+c>0(a+c)(ac+abc)-2a2bc>0(16)特征方程(15)的根都有负实部.所以当且仅当条件(16)满足时,系统(1)的平衡点P+和P-才是渐近稳定的.并且还可以推证特征根方程(15)有一对纯虚根,另一个根具有负实部当且仅当以下条件成立a+c>0ac(b+1)>0a+c+bc=ab(17)并且其中的一个实特征根 1=-(a+c),一对纯虚根 2,3= i ac(b+1).于是可以得到下面的结论命题2 如果条件(17)满足时,系统(1)有一个负实根 1=-(a+c)和一对共轭的纯虚根 2,3= i2a2ca-c,并且R e(c(c)) 0,所以此时平衡点P+失稳,发生H op f分岔.证明:令 =(X,Y,Z)T,则有=xyz=a(Y-X)-a(X+bc)Z(X+bc)(Y+bc)-c(Z+b)=f( ,a,b,c)(18)容易验证对于 a,b,c R,有f(0,a,b,c)=0恒成立.并且由条件(17)可知,b 1,且参数a,b与c之间的相互关系为a=c(b+1)b-1,c=a(b-1)b+1,b=a+ca-c(19)于是从特征方程(15),可以得到c=-2+a(b+1) +2a2b3 2+2(a+c) +ac(b+1)(20)c=-2+a(b+1) +2a2b3 2+2(a+c) +ac(b+1)c=a(b-1)b+1=-(b+1)2+a(b+1)2 +2a2b(b+1)3(b+1) 2+4ab +a2(b2-1)(21)将 2,3= i ac(b+1)代入(21)中有R e( c(c))=-b3+b2-b-12b3+10b2-2b-2=-(b2-1)(b+1)2b3+10b2-2b-2I m( c(c))=b-1(b4-2b2+1)2b+8b-12b+2=b-1(b+1)2(b-1)22b+8b-12b+2于是可以得出,系统(13)在平衡点O (0,0,0)处发生了H op f分岔,所以系统(1)在平衡点P+b)处发生了H opf分岔,并且经过一系326第4期李险峰等:一个新类L orenz 混沌系统的动力学分析及电路仿真列复杂的推导之后,可得H opf 分岔是亚临界的.2 数值仿真与电路实现2.1 分岔图、Lyapunov 指数谱、Lyapunov 维数、Po incar 截面图下面考虑系统(1)在特定参数下的动力学行为仿真情形1 考虑固定参数b =4,c =2,改变控制参数a 在区间[0,60]内连续变化.图3为系统(1)关于z 轴的分岔图以及所对应的Lyapunov 指数谱.图3 控制参数a 变化时的关于z 轴的分岔图及Lyapunov 指数谱F i g .3 B if u rcati on d i agra m and Lyapunov-exponent spectrum f or specifi c val ues set(b =4,c =2)versus t h e con trol para m eter a情形2 固定参数b =4,a =5,c 作为分岔参数,c [0.1,0.6]系统关于轴的分岔图以及所对应的Lyapunov 指数谱如图4所示.沿着控制参数增大的方向,系统由倍周期分岔通向混沌,混沌区域内含有数个较窄的周期窗口,并且每一个周期窗口又都是经由倍周期分岔走向混沌.并且通过K a -plan-Yorke 猜想计算系统的吸引子的Lyapunov 维数可知,系统(1)在这组参数下,随着控制参数的变化,分数维数数值都很小,D KY <2.1,如图4(c)所示.图4(d )为c =0.3时,在x -y (z =0)平面上的Po incar 映像,其中吸引子的叶片清晰可见,并且吸引子的叶片被折叠,这就导致了系统复杂的动力学行为.图4 系统(1)在控制参数c 变化时的动力学仿真F i g .4 Dyna m ics s i m u lati on s f orspeci fi c val ues s et(a=5,b=4)versus the con trol para m eter a情形3 考虑固定参数a =5,c =2,改变参数b ,b [1,20],系统关于z 轴的分岔图以及所对应的Lyapunov 指数谱如图5所示.随着分岔控制参图5 控制参数b 变化的关于z 轴的分岔图及Lyapunov 指数谱F i g .5 B if u rcati on d i agra m and Lyapunov-exponen t spectrum for s p ecific values set(a=5,b =2)vers u s the control para m et er a数b 的逐渐增大,系统由不动点突然直接进入一个较长的含有数个周期窗口的混沌区域,在每一个区域长短不等的周期窗口内都内嵌着倍周期分岔序327动 力 学 与 控 制 学 报2007年第5卷列,并且都是从周期到混沌的阵发过渡.最后,系统历经了一段较长的逆倍周期分岔,并且由Kap lan-Y or ke 猜想公式确定的系统吸引子的分数维数也很低,以上这两个特征与Lorenz 系统特别类似.2.2 电路实现下面设计一个电路来实现这个新的混沌系统的吸引子.这里设计的电路由三个部分组成,可实现系统(1)在确定参数下的吸引子,如图6所示.这三部分将三个状态标量连接成一个整体.运动放大器,模拟乘法器,线性电阻和电容器等来执行加、减、乘运算,为了明晰起见,各个电子元件参数标示在图上.图7为采用E W B 软件平台对电路进行仿真实验的结果.比较图2,图7,不难发现数值仿真与电路试验观测得到的不同平面上的相图是基本一致的.图6 基于EW B 软件平台的电路图F i g .6 C ircu it d i agra m f or realizi ngthe c h aotic attractor of syste m bas ed on E W B s oft ware图7 实际电路仿真实验图F i g .7 Experm i ental obs ervati ons of the c haoti c at tract or i n different p l anes3 结论本文构造并研究了一类新的类Lorenz 系统.较为细致地研究了该系统的一些非线性动力学行为,其中包括一些基本的动力学特征、分岔、周期窗口和通向混沌道路等,并对该系统的一个混沌吸引子设计了实际电路来仿真验证.但是需要指出的是该混沌系统仍然有许多复杂的动力学行为没有被揭示出来,因此该系统值得更进一步的研究.参 考 文 献1 刘延柱,陈立群.非线性振动.北京:高等教育出版社,2001(L i u Y anzhu ,Chen L i qun .N on linear v i bration .Be-i ji ng :H i gher Educati on P ress ,2001(i n Chi nese))2L orenz E N.D ete r m inistic nonper i od i c flow .J.A t m os .Sci .,1963,20:130~1413 R ossler ,O E .A n equation fo r con tinuous chaos .P hys ics Let -ter A,1976,57:397~3984 Chen G R,U e ta T.Y et anothe r chao ti c a ttractor .Interna -tional Journal of B i furcation and Chao s ,1999,9:1465~14665 C eli kovsk y S ,Chen G R.On a genera li zed Lo renz canon ica lf o r m of chao ti c sy stem s v i a a nonli near obse rved approach .Interna tional Journal of B i furcation and Chaos,2002,8:1789~18126 L J H,Chen G R.A new chaotic a ttractor co ined .Interna -tional Journal of B ifurcati on and Chaos ,2002,3:659~6617 L JH,Chen G R,Cheng D Z et a.l Br i dge t he gap be -t w een the Lo renz sy stem and t he Chen system .Interna tional Journal of B i furcation and Chaos,2002,12:2917~29268 L i u C X,L i u T,L i u L.A new chaotic a ttractor .Chaos ,Solitons and F ractals ,2004,5:1031~10389 Q iG Y,Chen G R,Du S Z,Chen Z Q,Yuan Z Z .A na l y si sof a new chaotic syste m.P hy sica A,2005,352(2-4):295~30810 Q i G Y,Chen G R.Ana l ys i s and c ircu it i m ple m entati onof a ne w 4D chaotic syste m.Phys ics L etters A,2006,352:386~39711 王琳,倪樵,黄玉盈.Q i 四维系统的暂态混沌现象.动力学与控制学报,2007,5(1):18~22(W ang L i n ,N iQ i ao ,H uang Y uy i ng .Chao ti c transients i n Q i s 4D syste m.Journal of D yna m ics and C ontro l ,2007,5(1):18~22(i n Ch i nese))12 陈关荣,吕金虎.Lo renz 系统族的动力学分析、控制与同步.北京:科学出版社,2003(Chen G R,L J H.Dy -nam ics o f the L orenz sy stem fa m ily :ana lysis ,control and synchron izati on .Be iji ng :Sc ience P ress ,2003(i n Chinese))13 王琳,倪樵,刘攀,黄玉盈.一种新的类Lo renz 系统的混沌行为与形成机制.动力学与控制学报,2005,3(4):1~6(W ang L i n ,N i Q i ao ,L i u pan ,H uang Y uy i ng .Chaos and its for m i ng m echan i s m of a ne w Lo renz-like syste m.328第4期李险峰等:一个新类L orenz 混沌系统的动力学分析及电路仿真Journal of Dy na m ics and Contro l ,2005,3(4):1~6(i n Ch i nese))14 严艳,张隆阁.L orenz 系统的分数阶控制算法.动力学与控制学报,2006,4(2):132~135(Y an Y an ,Zhang L ongge .F racti onal contro l a l gor ith m o fL orenz system.Jour -nal of D yna m ics and Control ,2006,4(2):132~135(i n Ch i nese))15 刘秉正,彭解华.非线性动力学.北京:高等教育出版社,2004(L i u B i ngzheng ,Peng Ji ehua .N on li nea r D ynam -i cs .Beiji ng :H i gher Educati on P ress ,2001(i n Chi nese))Received 23M arch 2007,revis ed 13M ay 2007.*Th is research i s s upported by t he Nature S cience Founderati on of Gansu Provi nce (3ZS -042-B25-049)and S ci en tifi c Research Foundati ons of L anz hou Jiaotong Un i versity (DXS -2006-74and DXS-2006-75)DYNA M ICS ANALYSIS AND CIRCU IT EXPER IM ENT SIMULAT I ONFOR A NE W LORENZ-LIKE CHAOTIC S YSTE M*LiX ianfeng 1Zhang Jiangang 2Chu Yandong 1Chang Y i n gx iang2(1.N onlinear S cience R esearc h C enter,Lanzhou J iao tong Universit y,Lanzhou 730070,China)(2.Schoo l of M athe m atics ,Phy sics and Soft ware Eng ineering,Lanzhou J iao t ong University,Lanzhou 730070,Ch i na)Abst ract A ne w Lorenz -like chaotic syste m w as presented.The non li n ear characteristic and basic dyna m ic pr op -erties o f th is t h ree -d i m ensional autono m ous syste m w ere stud i e d by m eans o f nonli n ear dyna m ics theory ,nu m er-i ca l si m u lation ,Lyapunov -exponent spectr um,Lyapunov d i m ensi o n ,b ifurcati o n diagra m and Poincar secti o n m ap .The osc illator circuit of the ne w chaoti c syste m w as designed by usi n g E W B so ft w are ,and a typical chaotic attrac-t or w as de m onstrated by circu it experi m en.tK ey w ords ne w Lorenz -like syste m , Lyapunov exponen,t fracta l d i m ensi o n, Po incar secti o n m ap ,circuit si m u lation329。
(完整版)基于matlab的Lorenz系统仿真研究
50
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30
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0
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可以看到，虽然初值只有0.01的改变，红色与蓝色图形明显不重合，这证明 了系统的敏感性。
3.
首先利用matlab的Simulink功能，搭建Lorenz系统的模型，仿真模型如下 图所示：
PToducM
在仿真模型中，取参数C=10,b=8/3，观察参数卩取不同值时系统的运行状
结果；最后验证了通过添加反馈控制的方式，可以使Lorenz方程不稳定的
平衡点成为稳定的平衡点。
关键词：Lorenz系统；matlab;混沌系统
1.
Lorenz方程是由美国著名的气象学家Lore nz在1963年为研究气候变化，通过 对对流实验的研究，建立的三个确定性一阶非线性微分方程。这三个方程是混沌 领域的经典方程，Lore nz系统也是第一个表现奇怪吸引子的连续动力系统，具有 着举足轻重的作用。Lore nz方程的表达式如下：
基于Matlab的Lorenz系统仿真研究
摘要：本文利用matlab这一数学工具对Lorenz系统进行了研究。首先使用matlab分析求解Lorenz方程，利用matlab的绘图功能，直观地观察了Lorenz混沌吸引子的三维图形，并简单观察了Lorenz混沌系统对初值的敏感性；
然后对Lorenz系统进行仿真，比较分析在不同参数下的Lorenz系统仿真
050100150200250300350
dx
dt=°(y-X)
dt =(片z)x- y
dz
{dt=-bz +Xy
其中，°、卩、b为正实常数。
本文利用matlab这一数学工具，对Lorenz系统进行了研究，得到了仿真结果， 加深了对Lorenz系统的认识。
基于Simulink的Lorenz系统标度化设计及硬件其实现
基于Simulink的Lorenz系统标度化设计及硬件其实现吕恩胜【期刊名称】《《电子器件》》【年(卷),期】2019(042)005【总页数】5页(P1201-1204,1215)【关键词】Simulink; 标度化; Lorenz系统; 混沌电路【作者】吕恩胜【作者单位】河南应用技术职业学院郑州450042【正文语种】中文【中图分类】TP1321963年,美国学者Lorenz E N发现Lorenz系统[1-2]。
Lorenz对大气对流模型进行简化,得到一个三阶微分方程,用计算机数值实验模拟该简化大气模型方程时发现混沌现象,这个三阶微分方程就是著名的Lorenz系统。
它揭开了研究混沌的序幕,成为后人研究混沌理论的出发点和基石,具有重要的里程碑意义。
但是Lorenz系统的状态变量动态变化范围在±700之间,混沌电路一般都是用电阻、电容、乘法器和集成运放等电子元器件构成,尤其乘法器和集成运放工作电压-12 V～+12 V之间的范围,要用普通电子元器件搭建Lorenz系统混沌电路是难以实现的。
研究人员对Lorenz系统的数学模型给予了改进[3-4],进行设计以实现物理电路[5-7],设计了许多实验方案对其研究,由于混沌系统对系统的结构和参数要求极其严格,因此有效的、成功的实验电路还较少,多为仿真系统,包括Lorenz本人发现Lorenz 系统也是计算机仿真[1]。
因此本文在基于Matlab上的Simulink软件平台,提出标度化设计,对Lorenz系统进行改进,以构建Lorenz系统混沌电路,最终理论设计和硬件实验一致,这种设计方法具有普适性,也适用其他混沌系统。
1 Lorenz系统状态方程典型Lorenz系统方程[2]为(1)参数典型值:σ=10、ρ=28、β=8/3。
2 Simulink仿真Lorenz系统对式(1)进行研究,了解式(1)的所有状态变量的“动态范围”,采用Simulink对式(1)设计仿真程序如图1(a)所示,设(x,y,z)变量的初始值为(0.1,0.1,0.1),仿真图运行结果如图1(b)、(c)所示。
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算单元。
时，其相空间轨道可得到相应的仿真结果。
第二步：打开 Matlab 中的 Smulink 模块库，
设 σ=10，b=8/3 固定不变[8]。当 0＜r＜1 时，仅有
按照方程组中的运算关系，拖动相应的模块构建 一个 0（0，0，0）点是稳定的平衡点，其中 r=0.5，系统
成 3 个方程的仿真图，如图 1 所示。
（4）编辑还需要有“补位”意识，要有“甘为 正要把每个人的积极性都调动起来，就是使他
版内容、选题策划、市场营销、人才培养等方面 他人作嫁衣”的境界。
最大限度地付出多少，能够得到相应的回报。虽
的改进。并以此为切入点，理清期刊发展的理念
第二，加强团队建设，建立良好的文化氛围 然我们的编辑不会斤斤计较，但是做为编辑部
目标，逐项进行考核并作出结论，对目标完成度 制。
Washington Press ，1993.
高、成效显著、成绩突出的团队或个人按章奖
5 结论
[3]H. Haken，Phys.Lett.53A，1975：77.
励，对失误多、成本高、影响整体工作的团队或
混沌系统建模的仿真分析对实验研究工作有 [4]Kaplan J.L.and Yorke J.A.1979 Commun.Math.
处理、及时采取正确的补救措施，确保目标运行 感和创造性，刻苦、敬业、奉献才能攻克难关。 开发及应用。
方向正确、进展顺利。任何一个目标的达成、项
第三，编辑部要建立一套以提高期刊质量
目的完成，都必须有一个严格的考核评估。考
核、评估、验收工作必须选择执行力很强的人员
进行，必须严格按照目标管理方案或项目管理 （上接 57 页） 现了对 Lorenz 混沌系统的稳定控 [2]E.N.Lorenz，The essence of chaos，University of
最后：通过各模块属性对话框设置模块的参 岔序列。详细的研究表明，在某些范围内，其解为
数。初始状态设为 x=y=z=1。
周期解，在另一些范围内，其解则为奇怪吸引子。
图 5 k=0.3 T=0.2 对应的相图与时序图
可见，通过 Smulink 软件建模的过程十分方 从形态来看，相空间的轨线由 0 点出来进入 ，再
（2）
当 k=0.3（k 为控制强度常数），T=0.2（T 为延时 时间），σ=10、b=8/3、r=28 时，控制后的 Lorenz 混沌 系统可视化模型如图 4 所示。
就能实现对复杂系统的仿真。从而建立了 Lorenz
式中，x 正比于对流运动的强度，y 正比于水 混沌系统的可视化模型，如图 2 所示。
期刊学术特色的前提下，探索出市场化运营模 型，即：真诚、文明、风格、品位。事业需要真诚，
总之，只要我们进一步提高认识、解放思
式。改革内部管理机制，建立职、责、权关系明晰 编辑部的建设需要真诚，只有真诚才能脚踏实 想，加快改革步伐，尽快改进一切妨碍学术期刊
的目标管理和量化管理体制。根据自身发展的 地，实事求是，执着追求，开拓进取；文明能约束 发展的不合理制度，尽可能吸引大批高素质人
问题，即如何做到主动发展、特色发展和持续发 和工作氛围。编辑部是一个整体，是一个团队， 的主管来讲应该尽量做到公平、公正。解决好质
展。
要把编辑部的工作潜力发挥至极致，需要从编 和量的关系，让真正抓质量的编辑，能得到与付
2 创新体制，建立适应于市场经济形势的 委会、编辑工作流程、角色定位、内部沟通等多 出相匹配的报酬。
个人按章处罚，真正达到表彰先进、鞭策落后的 较强的指导意义。利用 Smulink 仿真软件建立了 Phys.67，1979：93.
摘 要：市场经济下，学术期刊界如何发展已成为一个热点问题。学术期刊如何走出困境，如何适应形势的需求？从解放思想、更新观念、建立适 应于市场经济形势的运营模式、加强编辑部自身建设等方面进行简述。
关 键 词 ：体制改革；学术期刊建设；编辑部建设
市场经济高速向前发展，机构体制改革不 理素质、奉献精神等。
为最终目标的管理体系。
示。
姨b（r-1），- 姨b（r-1），r-1）为稳定焦点为，在 r=r0
第四步：将上步中封装的这 3 个子系统按照 处发生亚临界霍夫分岔，出现了不稳定的极限环。
方程组中的关系连接起来，然后再封装成模块取 其中 r=15，系统很快趋于平衡点 C1。
名为 Lorenz。如图 2 所示。
当 r＞r0 以后，系统经历了一个十分复杂的分
客观情况，明确自己的学术定位和与之相应的 行为；风格和品位可以形成特色，提炼精神，体 才、复合型人才、经营管理型人才,不断拓展期
发展战略，并通过目标管理和结合量化管理的 现价值。有了这样的文化主基调，把编辑部带入 刊管理的路子，改变目前陈旧的管理模式，不断
方法来保证战略目标的实现。目标管理，关键在 良好的文化氛围中,得到文化熏陶，会使编辑人 拓展经营之道, 严把质量关，努力打造精品期
断深化，各行各业竞争也日趋激烈，深深打下计
（1）鼓励每一位编辑树立主体意识。编辑学
第四，在编辑部的管理方面，要建设民主的
划经济体制烙印的、计划经济体制下遗留下来 上有一条定律称，“版面上的一切责任归于编 编辑部，这是编辑部的软件建设。精神产品的生
的“最后一个堡垒”──学术期刊界面临着机遇 辑”，即编辑要对版面上的任何一细节负责，它 产民主气氛非常重要。编辑部的工作具有两个
管理。在目标管理的过程中，丝毫的懈怠和放任 员进入一个较高的精神境界。
刊，学术期刊就会有一个良好的发展空间。
自流都可能贻害巨大。做为管理者，必须随时跟
（2）工作氛围。树立风气，提倡精神，会使部
作 者 简 介 ：李永龙（1965.10~），男，广东信
踪每一个目标的进展，发现问题及时协商、及时 门形成良好的强劲的发展趋势，激情能产生灵 宜人，助理研究员，研究方向：科技信息资源的
（1）
点。如此反复进行下去。由于每次绕 和 的方式是 不同的，且绕的圈数时多时少，很不规则，这时三 个平衡点都是不稳定的。因此它属于非周期的奇 怪吸引子或混沌运动。如图 3 所示，其中 ，系统处 于混沌状态。
图 3 x 与 y 相图和 x 时序图 4 基于可视化模型的延时反馈控制 下面提出了一种延时反馈控制方法 [7]，对 Lorenz 混沌系统进行稳定控制，利用系统自身的 非线性特征，通过对系统的变量进行控制。在对 Lorenz 混沌系统施加控制时，需在式中第二个方 程的右边增加一个控制输入 u（）t =k（x（t-T）-x（）t ）， 于是得到一个受控的混沌系统：
由此可见，在对 Lorenz 混沌系统施加控制
便，对于以上方程的计算，不必进行复杂的编程， 转出来到 0 点，然后离开 0 点到 ，再由 出来到 0 后，仅用数十秒时间就有效地实 （下转 113 页）
－57－
Hale Waihona Puke 改革与探讨创新体制 加强学术期刊建设
李永龙 （中国热带农业科学院科技信息研究所，海南 儋州 571737）
平方向温度变化，z 正比于垂直方向温度变化；σ、
3 对 Lorenz 混沌系统的状态进行仿真研究
r 和 b 分别为系统参数。
在对 Lorenz 混沌实验的仿真中，主要采用四
2 可视化模型的建立[6]
阶的 Runge-Kutta 算法，仿真结果用 XY Graph 模
使用 Simulink 仿真软件，可以对 Lorenz 混沌 块在仿真进行的过程中观看，也可以存放到 Mat－
关 键 词 ：Lorenz；混沌；可视化模型；Simulink；仿真
引言 目前，混沌的研究较为活跃，其中 Lorenz 混 沌系统作为人们研究混沌的主要对象之一，近年 来许多学者对其进行了研究[1-4]。但它与其他混沌系 统一样，在实现时存在着较多的困难。一般的混沌 系统的仿真是通过编写程序来实现，但由于迟滞 函数序列通过编写程序来实现是非常的困难，这 时通过另一种方法来进行仿真，即基于 Simulink 平台的动态仿真.利用其中的 Simulink 仿真软件， 不仅可以对实验现象进行可视化建模、仿真分析， 还可以很方便地对实验参数进行调节，以便观察 到不同的实验仿真结果。提出了运用 Simulink 建 立 Lorenz 混沌实验可视化模型的方法，然后分析 了 Lorenz 系统的混沌特性，最后提出了一种延时 反馈控制方法，对 Lorenz 混沌系统进行稳定控制 仿真研究，效果良好。 1 Lorenz 混沌系统模型 1963 年美国气象学家洛仑兹（Lorenz）[1，5]研究 大气对流，提出了著名的 Lorenz 方程，Lorenz 的初 衷是想探求一个常微分方程组，以模拟某些与天 气有关的变化过程。他最终使用的方程是从一个 对流模型得出的：一个两维的流体室，底部加热， 顶部冷却，从而产生对流。Lorenz 方程如下：
运营模式
个方面来整合。创造良好的文化氛围和工作氛
第六，努力提高全体编辑的综合素质。在引
通过激励机制，充分鼓励发挥学术期刊的 围是实现编辑部的工作目标的重要保证。
进人才的同时，加强对现有人才队伍的培养，特
市场潜能,利用期刊社体制改革的契机，在维护
（1） 文化氛围。首先提出编辑部的文化模 别是要加大对高端科技编辑人才的培养。
编辑的积极性，建立合理的分配制度非常重要。
中不断提高认识、开拓视野、创新理念、统一思
（3）理性、平和心态是编辑发挥主动性的先 根据编辑流程，制定各种工序。工序是比较复杂
想，把解放思想的成果体现在具体工作中，落实 决条件。
的，每个人之间劳动付出的程度都有所不同，真
在解决期刊发展的突出问题上，尤其是关于出
很快趋于平衡点 0。
第三步：将构建成的 4 个仿真图封装成 4 个
当 1＜r＜r0=24.74 时，0（0，0，0）是不稳定的平衡
子系统，取名为 x 方程，y 方程，z 方程，如图 1 所 点，点 C1（姨b（r-1），姨b（r-1），r-1） 和点 C（2 -