弹性力学 第二章

弹性力学 第二章 14
弹性力学 第二章
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§2.2 Differential Equations of Equilibrium
O
σy
x
τ yx
σx
τ xy P
A
c
Y
X
σx +
∂σ x dx ∂x
τ xy +
∂τ xy ∂x
By taking moments of all the forces about an axis parallel to the z axis at the midpoint C ,we have,
• ∂σx/∂x+∂τyx/∂y+X=0 --x方向的平衡方程，体力 方向的平衡方程， ∂ ∂τ ∂ 方向的平衡方程 和应力都是x方向 故应力的第二个下标为x方 方向， 和应力都是 方向，故应力的第二个下标为 方 对应力的第一个下标求导。 向。对应力的第一个下标求导。 • ∂σy/∂y+∂τxy/∂x+Y=0 --y方向的平衡方程，体 ∂ ∂τ ∂ 方向的平衡方程， 方向的平衡方程 力和应力都是y方向 故应力的第二个下标为y 方向， 力和应力都是 方向，故应力的第二个下标为 方向。对应力的第一个下标求导。 方向。对应力的第一个下标求导。 • In the first (second) differential equation of equilibrium, the body force and stresses are in the x (y) direction, the second coordinate subscript in stresses is x (y), the differential of stresses is respect to the first subscript .
板称为处于平面应力状态。 板称为处于平面应力状态。
弹性力学 第二章 5
D. conditions for plane strain problem 平面应变问题的条件
• Body--a cylindrical or prismatical body with infinite length 无限长的柱形体 • External forces-1. The surface forces are acting on the lateral surface. 面力仅作用横向周边 2. The surface forces and body forces are parallel to any cross section of the body and not varying along the axial direction. 面力体力平行于横截面且不沿长度变化。
弹性力学 第二章
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F. Displacements for plane strain problem
平面应变问题的位移
• Noting motion constrained in z direction, we have ： w=0 z向运动受限制，故：w=0 向运动受限制， 向运动受限制 • (u,v)≠0,They are functions of x and y only ≠ u v 通常不为零，且只是 y的函数。 通常不为零，且只是x 的函数 的函数。 • Plane displacement problem 平面位移问题
• a spatial problem a plane problem the body has a particular shape. particular external forces. • 当物体的形状特殊，外力分布特殊，空间问题 当物体的形状特殊，外力分布特殊， 转化为平面问题。 转化为平面问题。 • Plane problems: plane stress problems and plane strain problems 平面问题: 平面问题 平面应力问题与平面应变问题
弹性力学 第二章 2
A. conditions for plane stress problem 平面应力问题的条件
• Body--a very thin plate of uniform thickness t. 等厚度薄板 • External forces-1. The surface forces act on the edges only. 面力仅作用板周边 2. The surface forces and body forces are parallel to the faces of the plate and uniformly distributed over the thickness. 面力体力平行于板面 且沿厚度无变化。 且沿厚度无变化。
Pay attention to that we have used the dimensions of the element before deformation
弹性力学 第二章 18
Notes about differential equations of equilibrium 平衡方程注
弹性力学 第二章
很薄的
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B. Coordinate system for plane stress problem 平面应力问题的坐标系 • x and y axes are in the middle plane and z axis is perpendicular to the middle plane. • x,y轴放在薄板的中面内，z垂直于中面 轴放在薄板的中面内 轴放在薄板的中面内， 垂直于中面
弹性力学 第二章
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G. Stresses for plane strain problem 平面应变问题的应力
• Symmetric condition 对称条件 对称条件: τzx=0 τzy=0 • σz ≠0 not independent 不独立 • (σx σy τxy) ≠0, σ They are functions of x and y only 通常不为零，且只是x 的函数 σx σy τxy 通常不为零，且只是 y的函数
• The body is said to be in a plane strain condition. 物体处于平面应变状态。 物体处于平面应变状态。
弹性力学 第二章 12
Review: Taylor’s series: 泰勒级数
• F(x+dx)=F(x)+dF(x)/dx dx+0.5d2F(x)/dx2 dx2+••• ≈F(x)+dF(x)/dx dx • F(x+dx, y)=F(x,y)+∂F(x,y)/∂x dx+0.5 ∂2F(x,y)/∂x2 ∂ ∂ ∂ dx2+••• ≈F(x,y)+∂F(x,y)/∂x dx ∂ ∂ • F(x,y+dy)=F(x,y)+∂F(x,y)/∂y dy+0.5∂2F(x,y)/∂y2 ∂ ∂ ∂ ∂ dy2+••• ≈F(x,y)+∂F(x,y)/∂y dy ∂ ∂
弹性力学 第二章
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Review: Taylor’s series: 泰勒级数
• F(x+dx, y)=F(x,y)+∂F(x,y)/∂x dx+0.5 ∂2F(x,y)/∂x2 dx2+••• ≈F(x,y)+∂F(x,y)/∂x dx • σx(x+dx, y)≈σx(x,y)+∂σx(x,y)/∂x dx ≈ ∂σ ∂ • τxy(x+dx, y)≈τxy(x,y)+∂τxy(x,y)/∂x dx y)≈ ∂τ ∂ • F(x,y+dy)=F(x,y)+∂F(x,y)/∂y dy+0.5 ∂2F(x,y)/∂y2 dy2+••• ≈F(x,y)+∂F(x,y)/∂y dy • σy(x,y+dy)≈σy(x,y)+∂σy(x,y)/∂y dy ≈ ∂σ ∂ • τyx(x,y+dy)≈τyx(x,y)+∂τyx(x,y)/∂y dy ≈ ∂τ ∂
dx
∑M
C
=0
B
y
σy +
∂σ y ∂y
C ∂τ yx τ yx + dy ∂y (τ
dy
xy
+
(τ yx
dx dx + τ xy dy ×1× − ∂x 2 2 ∂τ yx dy dy dy)dx ×1× − τ yx dx ×1× + =0 ∂y 2 2 dx)dy ×1×
∂τ xy
τ xy = τ yx LL(2 ⋅ 2 ⋅1)
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Symmetric condition对称条件 τzx=0,τzy=0 对称条件:τ 对称条件 τ
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H. Strain for plane strain problem 平面应变问题的应变 • W=0---------εz=0
• τzx=0 τzy=0--------rzx=0, rzy=0 • (εx εy rxy) ≠0 functions of x and y only ε 通常不为零，且只是x 的函数 εx εy rxy 通常不为零，且只是 y的函数
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§2.2 Differentialσy
x
τ yx
σx
τ yx
c
Y
X
σx +
∂σ x dx ∂x
∑F
y
= 0
τ xy +
∂τ xy ∂x
dx
τ yx +
∂τ yx ∂y
dy
y
σy +
∂σ y ∂y
dy
∂τ yx ∂σ x + + X = 0, ∂x ∂y ( 2 ⋅ 2 ⋅ 2) ∂τ xy ∂σ y + + Y = 0. ∂x ∂y
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§2.2 Differential Equations of Equlibrium
O
σy
x
τ yx
σx
The equation of equilibrium for forces in the x direction is
X
σx +
∂σ x dx ∂x
τ yx
c
Y
∑F
x
=0
τ xy +
∂τ xy ∂x
dx
(σ x + + ( τ
yx
τ yx +
∂τ yx ∂y
dy
y
σy +
∂σ y ∂y
dy
∂σ x dx) dy × 1 − σ x dy × 1 ∂x ∂τ yx + dy) dx × 1 − τ yx dx × 1 ∂y + Xdx × dy × 1 = 0
∂τ yx ∂σ x + + X = 0 ∂y 弹性力学∂x 第二章
弹性力学 第二章 6
弹性力学 第二章
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E. Coordinate system for plane strain problem 平面应变问题的坐标系 • x and y axes are in any cross section of the body, and z axis is perpendicular to the xy plane. • x,y轴放在任意的横截面内，z垂直于 面 轴放在任意的横截面内， 垂直于 轴放在任意的横截面内 垂直于xy面
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C. Stresses for plane stress problem 平面应力问题的应力
• Noting the absence of surface forces on the faces of the plate, we have板 面无面力作用故 板 面无面力作用故: (σz τzx τzy)z=±t/2=0 σ ± • since stress gradients through plate are small, 通过板的应力梯度小 通过板的应力梯度小 (σz τzx τzy)z=any ≈ 0 σ • (σx σy τxy)≠0 ,They are functions of x and y only. σ • the plate is said to be in a plane stress condition
Chapter 2 Theory of Plane Problems 第二章： 第二章：平面问题的理论
2.1 Plane stress and plane strain 平面应力问题与平面应变问题
弹性力学 第二章
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Spatial problems and plane problems 空间问题转化为平面问题。 空间问题转化为平面问题。