常微分方程积分曲线

量和它们的导数(或微分)间的关系式.
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
微分方程是数学中的古老分支之一．它与动力系统紧密相 关并有重要应用价值．如分支问题、混沌问题、非线性振动的
复杂性，以及常微分方程与其他学科的关联问题．
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偏微分方程是研究客观世界数量间相互制约关系的有力 工具．它的研究对象来源于数学的其它分支和自然科学及工
d 2I I 0 2 dt LC
其它问题：人口模型、传染病模型、两种生物种群生态模型、 天气预报模型（Lorenz方程）和化学动力学模型等 人口增长模型（Logistic）:
dN N r (1 )N dt Nm
dx dt a( y x), dy xz cx y, a 10, b 8 3, c 28 dt dz 分支与混沌！ dt xy bz,
程技术中的有关问题．在本世纪中偏微分方程的理论取得了
重大进展，但是关于偏微分方程初始边值问题适定性的研究 还有许多问题．
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三、物体冷却过程的数学模型
问题一：将某物体放置于空气中，在时刻 t 0 时， 测量得它的温度为 u0 1500 C ，10分钟后测量得温度为 u1 1000 C. 问题与要求：决定此物体的温度 u 和时间 t 的关系，
并计算20分钟后物体的温度。
基本假设：空气的温度保持为
ua 240 C
.
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分析
了解有关物体温度变化的基本规律：热量 总是从温度高的物体向温度低的物体传导；在 一定的温度范围内（其中包括了上述问题的温 度在内），一个物体的温度变化速度与这一物 体和其所在介质温度的差值成比例，这就是牛 顿（Newton）冷却定律.
这类方程中，作为未知而要去求的已经不是一个或几个特定的值， 而是一个函数。这类方程称为函数方程。
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例如数学分析中的隐函数问题，就是在一定条件下， 由方程
F ( x, y) 0
(*)
来确定隐函数，上述方程（*）是众所周知的隐函数方 程，它是函数方程中最简单的一种。而隐函数是所要求
天气预报模型（Lorenz方程）:
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前面介绍一些物理背景，其实在自然科学和技术科学的
第一节 微分方程的定义
一、序及方程
在初等数学中，曾经学习过代数方程，三角方程，指数方程 和对数方程等等。 在高等代数中又学习过高次代数方程，n元线 性代数方程组。 这些方程（组）有一个共同点，就是作为未知而
要求的是一个或几个特定的值（称为方程的根或解）。但在高等
数学中，常常需要研究的是另外一类性质上完全不同的方程。在
(1.2)
其中 c1 是积分常数，对上式进行变形又得到：
变量u和t被分离出来了,对上式两边积分得到 ： ln(u ua ) kt c1 (1.3)
u ua e
1
kt c1
由此，令 c e c ，有：u ua cekt (1.4) 代入初始条件，并整理得到：
u 24 126e0.051t (1.5)
们和其变化率（导数）之间的规律，于是，把包含未知函数导
数的方程叫做微分方程.
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数学分析中所研究的函数，是反映客观现实世界运动过 程中量与量之间的一种关系，但是在大量的实际问题中遇到 稍为复杂的一些运动过程时，反映运动规律的量与量之间的 关系 (即函数)往往不能直接写出来，却比较容易建立这些变
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假设：设物体在时刻的温度为 化速度以
du dt
u u(t )
，则温度的变
பைடு நூலகம்
来表示。注意到热量总是从温度高的
u0 u a
物体向温度低的物体传导的。因而 差
u0 u a
，所以温
恒正；又因物体将随时间而逐渐冷却，故
du dt
温度变化速度
到：
恒为负。因此由牛顿冷却规律得
解曲线
图解
分析：符合实际情况，真实地反映了物理现象，即高温
物体在低温环境中的温度变化过程和情况.
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问题二：数学摆（下图）的运动方程(下面三个方程).
O
d g sin 2 dt l
2
d 2 d g sin 0 2 dt m dt l
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二、微分方程的定义
方程（*）和方程（**）共同之处在于未知的都是函数，不 同处在于方程（*）中只有未知函数本身，而方程（**）中却出 现了未知函数的导数，这种情况不仅在研究数学时会遇到，而 且在研究物理学、力学、化学、生物学、工程技术、甚至若干 社会科学时也会出现，因为在研究这些实际问题时，往往不能 直接找到所研究的那些量之间的依赖关系，但是却能建立起它
(有阻力)
A P
M Q
mg
d 2 d g 1 sin F (t ) (有阻力及外力） 2 dt m dt l ml
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问题三
d 2 I R dI I ：R-L-C电路电流方程； 2 0 dt L dt LC
问题四：R-L电路电流方程；
的未知函数。
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在数学分析中，不定积分问题 F ( x) f ( x)dx ，实际上 是微分的逆运算问题，也可以用函数的概念叙述如下： 设 f(x) 是自变量为 x 的已知连续函数，试求函数 y=y(x) 满足下列方程：
dy f ( x) dx
(**)
du k (u u a ) dt
du dt
(1.1)
其中k是比例常数，方程（1.1）就是物体冷却过程的数学模型，它含有未 知函数u及它的(一阶)导数
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，这样的方程，就成为（一阶）微分方程
改写（1.1）为：
d (u u a ) kdt (u u a )