数学 镶嵌

着迷于各种镶嵌。许多数学家认为在他的作
品中数学的原则和思想得到了非同寻常的形
象化。他的作品几乎无人能够企及，世人尊
称他为“镶嵌之父”。
。
欣赏
埃 舍 尔 的 作 品
请你来当设计师
圣地亚哥人玛乔里·赖斯 于1977年12月发现.
用四边形也可以作平面镶嵌
D
C
那么四边形如何
镶嵌呢? 请看!
A
B
任意三角形和任意四边形 可以进行平面镶嵌, 应将 相等的边重合在一起。
练习一：
(2003年中考题）商店出售下列形状的地砖：① 正方形；②长方形； ③正五边形；④正六边形。 若只选择其中某一种地砖镶嵌地面，可供选择
的地砖共有（ ）C
A.1种 B.2种 C.3种 D.4种
m
+
n
+
t
=360°
3
−
2（
1 m
+
1 n
+
1 t
Biblioteka Baidu
）=
2
11 11 m+n +t =2
1、镶嵌的要求：
无缝隙，不重叠
2、多边形能否镶嵌的条件：
每个顶点处几个角的和为
360°
再 见
镶嵌之父
无论这个问题从属于数学领域还是从属于 艺术领域，它对于我仍然是一个未解的问题。
——M.C.埃舍尔
M.C.埃舍尔是荷兰的“图形艺术家”，
(1).第4个图案中有蓝色地砖( 18 )块.
(2).第n个图案中有蓝色地砖( 4n+2 )块.
想一想
如果选择边长相等的两种正多边形进行镶嵌, 你又会选择哪两种呢?
正三角形和正四边形的镶嵌
解：设每个顶点周围有x个正三角形
和y个正四边形,
则:
60 °x+90 °y=360 °
即:
2x+3y=12
又x、y是正整数,
练习二
1、形状、大小完全相同的任意三角形、四边形 能否单
独作镶嵌 （ 能 ）
2. 用任意三角形镶嵌平面时,同一顶点处应摆放 ( 6 )
个三角形;用任意四边形镶嵌平面时,同一顶点处应摆放
( 4 )个四边形.
3、下面四种正多边形中,用同一种图形不能平面镶嵌的
是( C ).
A
B
C
D
练习三
如图用两种颜色的正六边形的砖按图所示的 规律,镶嵌成若干个图案：
问题：小明的爸爸在装修过程 中用一些边角余料任意切割成一些 形状、大小完全相同的三角形，他 用这些三角形能进行地板镶嵌吗？ 那么任意四边形能不能呢？
1、三角形可以作 平面镶嵌吗?如果 能三角形如何镶嵌
呢?
2、四边形呢?
如图,四边形ABCD中,因为 ∠A+∠B+∠C+ ∠D = 360°,所以
解得:x=3,y=2.
即每个顶点处用正三角形的三个
内角,正方形的两个内角进行拼接.
正三角形和正方形 的平面镶嵌
用正三角形与正六边形可以镶嵌吗？
解：设每个顶点周围有m个正三角形和n个 正六边形, 60 °m+120 °n=360 °, 即:m+2n=6
又m、n是正整数,解得:
nm14或nm22
即每个顶点处用四个正三角形和一个正六
几种边长相等的正多边形拼接在 同一点的各个角的和恰好等于 360°,这几种正多边形就能镶嵌.
如果用三种不同的等边长正多边形镶嵌， 要求：在每个顶点处，每种正多边形只 能有一个。那么边数满足什么条件？
解：设正多边形的边数分别为m 、 n 、 t
(m−2)180° (n−2)180° (t−2)180°
平面镶嵌:
用形状、大小完全相同的一种或几种平面 图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠的 铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平 面图形的镶嵌).
拼一拼 选一选
小明家装修地板,在正三角形,正方形,正五边形, 正六边形瓷砖中只能选择一种,你认为哪些可以 供他选择?
60°
90°
120°
边形,或者用两个正三角形和两个正六边形.
正三角形与正六边形的镶嵌
两个正三角形和两个正 六边形
四个正三角形和一个正 六边形
正四边形和正六边形 可以平面镶嵌吗? 正四边形和正八边形呢? 正三角形和正十二边形呢?
形 的 平 面 镶 嵌
正 八 边 形 与 正 方
正十二边形与正三角形 的平面镶嵌
两种边长相等的正多边形拼接在 同一点的各个角的和恰好等于 360°,这两种正多边形就能镶嵌.
0
当正多边形的一个内角度数 的整数倍是360 ° 时，这种 正多边形就能镶嵌.
解:假设在一个顶点处有K个同种正n边形镶嵌, 则可得方程 K • (n 2) •180 360
n
整理,得
K(n-2)=2n,
所以
K 4 2 n2
因为K,n为正整数,
故n只能等于3、4、6
这说明只用一种正多边形镶嵌,正多边形只有 三种选择:正三角形,正四边形和正六边形.
（05山东）9．用两种正多边形镶嵌，不能与正三 角形匹配的正多边形是
（A）正方形
（B）正六边形
（C）正十二边形 （D）正十八边形
边长为a的正方形与下列边长为a的正多边形组合起来，
不能镶嵌成平面的是（ B ）
①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正八边形
A. ① ② B. ② ③ C. ① ③ D. ① ④
108°
正n边形 n=3
实 验 n=4 结 n=6 果
n =5
拼图
每个内角度数 多边形个数
结果
60 0
6
能镶嵌
0
60
×6=360
0
90 0
4
能镶嵌
0
0
90 ×4=360
120 0 108 0
3
能镶嵌
0
0
120 ×3=360
不能镶嵌
3
有空隙
108°×3<360°
不能镶嵌
4
有0 重叠 108 ×4＞360