九年级数学竞赛讲座：开放性问题评说

九年级数学竞赛讲座：开放性问题评说

【例题求解】

【例1】 如图,⊙O 与⊙O 1外切于点T,PT 为其内公切线,AB 为其外公切线,且A 、B 为切点,AB

与PT 相交于点P,根据图中所给出的已知条件及线段,请写出一个正确结论,并加以证明． (杭州市中考题)

思路点拨 为了能写出更多的正确结论,我们可以从以下几分角度作探索,线段关系,角的关系、三角形的关系及由此推出的相应结论．

注：明确要求将数学开放性题作为中考试题,还是近一二年的事情．开放性问题没有明确的目标和解题方向,留有极大的探索空间．

解开放性问题,不具有定向的解题思路,解题时总要有合情合理、实事求是的分析,要把归纳与演绎协调配合起来,把直觉发现与逻辑推理相互结合起来,把一般能力和数学能力 同时发挥出来．杭州市对本例评分标准是以正确结论的难易程度为标准灵活打分,分值直接反映考生的能力及创新性．

【例2】 如图,四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形,A 是BD 的中点,过A 点的切线与CB 的延长线

⌒

交于点E ．

(1)求证：AB ·DA=CO ·BE ； (2)若点E 在CB 延长线上运动,点A 在BD 上运动,使切线EA 变为割线EFA,其他条件不变,问具备什么条件使原结论成立? (要求画出示意图,注明条件,不要求证明)

(北京市海淀区中考题)

思路点拨

对于(2),能画出图形尽可能画出图形,要使结论AB ·DA=CD ·BE 成立,即要证△ABE ∽△CDA,已有条件∠ABE=∠CDA,还需增加等角条件,这可由多种途径得到．

注：许多开放性问题解题思路也是开放的(多角度、多维度思考

),探索的条件或结论并不惟

一．故解开放性问题,应尽可能深入探究,发散思维,提高思维的品质,切忌入宝山而空返．

【例3】(1)如图1,若⊙O 1与⊙O 2外切于A,BC 是⊙O 1与⊙O 2外公切线,B 、C 为切点,求证：AB ⊥

AC ．

(2)如图2,若⊙O 1与⊙O 2外离,BC 是⊙O 1与⊙O 2的外公切线,B 、C 为切点,连心线O 1 O 2分别交⊙O 1、⊙O 2于M 、N,BM 、CN 的延长线交于P,则BP 与CP 是否垂直?证明你的结论．

(3)如图3,若⊙O 1与⊙O 2相交,B C 是⊙O 1与⊙O 2的公切线,B 、C 为切点,连心线O 1 O 2分别交

⊙O 1、⊙O 2于M 、N,Q 是线段MN 上一点,连结BQ 、CQ,则BQ 与CQ 是否垂直?证明你的结论．

思路点拨 本例是在基本条件不变的情况下,通过运动改变两圆的位置而设计的,在运动变化中,结论可能改变或不变,关键是把(1)的证法类比运用到(2)、(3)问题中．

⌒

注：开放性问题还有以下呈现方式：

(1)先提出特殊情况进行研究,再要求归纳猜测和确定一般结论；

(2)先对某一给定条件和结论的问题进行研究,再探讨改变条件时其结论应发生的变化,或改变结论时其条件相应发生的变化．

【例4】已知直线4

=kx

y (k>0)与x轴、y轴分别交于A、C两点,开口向上的抛物线

-

+

=2过A、C两点,且与x轴交于另一点B．

y+

ax

c

bx

16, (1)如果A、B两点到原点O的距离AO、BO满足AO＝3BO,点B到直线AC的距离等于

5求这条直线和抛物线的解析式；

(2)是否存在这样的抛物线,使得tan∠ACB=2,且△ABC外接圆截得y轴所得的弦长等于5？若存在,求出这样的抛物线的解析式；若不存在,请说明理由．

(无锡市中考题)

16”,利用等积变换求出A、B两点的距离；思路点拨 (1)通过“点B到直线AC的距离等于

5

(2)先假设存在这样的抛物线,再由条件推理计算求得,最后加以验证即可．

注：解存在性开放问题的基本方法是假设求解法,即假设存在→演绎推理→得出结论(合理或矛盾)．

【例5】如图,这些等腰三角形与正三角形的形状有差异,我们把它与正三角形的接近程度称为“正度”．在研究“正度”时,应保证相似三角形的“正度”相等．

设等腰三角形的底和腰分别为a、b,底角和顶角分别为α、β．要求“正度”的值是非负数．

同学甲认为：可用式子b

a-的值越小,表示等腰三角形越接近正三

a-来表示“正度”,b

角形；

同学乙认为：可用式子β

α-的值越小,表示等腰三角形越接近正三

α-来表示“正度”,β

角形．

探究：（1）他们的方案哪个较为合理,为什么?

(2)对你认为不够合理的方案,请加以改进(给出式子即可)；

（3）请再给出一种衡量“正度”的表达式． (安徽省中考题)

思路点拨通过阅读,正确理解“正度”这个新概念,同时也要抓住“在研究‘正度’时,应保证相似三角形的‘正度’相等”这句话的实质,可先采取举实例加深对“正度”的理解,再判断方案的合理性并改进方法．

注：（1）解结论开放题往往要充分利用条件进行大胆而合理的猜想,通过观察、比较、联想、猜测、推理和截判断等探索活动,发现规律,得出结论．

（2）阅读是学习的重要途径,在这种阅读型研究性问题中,涌现了许多介绍新的知识和新的研究方法的问题,能极大地开阔我们的视野．

（3）研究性学习是课程改革的一个亮点,研究性学习是美国芝加哥大学教授施瓦布在《作为探究的科学教学》的演讲时提出的．他主张引导学生直接用科学研究的方式进行教学,即设定情境、提出问题、分析问题、设计实验、验证假设、分析结果、得出结论．研究性问题是近年中考中出现的一种新题型,它要求我们适应新情况,通过实践,增强探究和创新意识,学习科学研究方法．

学力训练