两直线位置关系判断共21页
2-2-3-1两条直线相交、平行、重合的条件
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第二章
§2 .2
§2 .2.3 第一课时
名师一号 · 新课标B版数学 · 必修2
规律技巧 可将一般式化为斜截式，再利用斜率相等， 纵截距不等来判断两条直线是否平行，若满足，则平行，若 不满足，则相交．
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§2 .2
§2 .2.3 第一课时
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3 1 5 1 －3 解析 (1)∵15＝5，25＝5， ＝3， －1 3 5 －3 ∴ ＝ ≠ ，∴l1与l2平行． 15 25 －1 2 1 －1 1 (2)∵ ＝ ， ＝－ ， 4 2 2 2 2 －1 ∴ ≠ ，∴l1与l2不平行． 4 2
§2 .2.3 第一课时
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§2 .2
§2 .2.3 第一课时
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1．直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2. (1)若l1∥l2，则________． (2)若l1与l2相交，则________． (3)若l1与l2重合，则________． 2．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝ 0(其中A2B2C2≠0)． (1)若l1∥l2，则________． (2)若l1与l2相交，则________． (3)若l1与l2重合，则________．
答案 A
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第二章
§2 .2
§2 .2.3 第一课时
2025届高考一轮复习《空间点、线、面的位置关系》课件
A．异面或平行 B．异面或相交
C．异面
D．相交、平行或异面
高考一轮总复习•数学
第28页
(2)(多选)如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N 分别为 DE，BE，EF，EC 的中 点，则在这个正四面体中，下列结论正确的是( )
由平面图形翻折得到空间图形，考查空间想象、元素的对应关系．
高考一轮总复习•数学
的棱长为 2，则 MC＝ 2，A1D＝2 2，MD＝ 6，A1C＝2 3.
又易知△MCE∽△DA1E，则MEDE＝ECAE1＝DMAC1＝12，可得 ME＝
3 6，CE＝2
3 3.
又 ME2＋CE2＝23＋43＝2＝MC2，
解析
高考一轮总复习•数学
则 DM⊥A1C， 即 DM 与 A1C 的位置关系是相交垂直．
面内．
常称为“纳入平面法”．
(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合． 称为“同一法”．
2．证明点共线问题的两种方法
(1)先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．
(2)直接证明这些点都在同一条特定直线上．
高考一轮总复习•数学
第24页
3．证明线共点问题的常用方法 先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点． 提醒：点共线、线共点等都是应用基本事实 3，证明点为两平面的公共点，即证明点在 交线上.
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第22页
得 M∈平面 D1DCC1，同理，点 M∈平面 B1BCC1.又平面 D1DCC1∩平面 B1BCC1＝CC1， 所以 M∈CC1.应用基本事实 3，证明三线共点．
所以 DE，BF，CC1 三线交于一点．
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第23页
1．证明点或线共面问题的两种方法
2.2.3两条直线的位置关系
第26页，共34页。
已知直线l1：(m＋2)x＋3my＋1＝0，直线l2： (m－2)x＋(m＋2)y－3＝0，且l1⊥l2，求m的值 ．
∵l1⊥l2， ∴(m＋2)(m－2)＋3m(m＋2)＝0， ∴(m＋2)(4m－2)＝0， ∴m＝－2 或 m＝12.
第27页，共34页。
(2014·陕西汉中市南郑中学高一期末测试)已知
线x－y－2＝0和4x－2y－5＝0的交点且与直
线2x＋3y＋5＝0垂直的直线方程．
[解析]
由4x－x－y－2y－2＝5＝0 0 ，得yx＝＝12－32
.
∴过点(12，－32)且与直线2x＋3y＋5＝0垂直的直线方程为
y＋32＝32(x－12)， 即6x－4y－9＝0.
第20页，共34页。
练习1:已知直线l1：x+(a+1)y-2+a=0和 l2：2ax+4y+16=0，若l1//l2，求a的值.
得b=
，
5 2
即x+2y－5=0.
第18页，共34页。
（2）(1，2)，2x+y－10=0.
解：（2）设所求的直线方程为 x－2y+C=0， 因为直线过点(1，2)，代入方程， 解得C=3，
所以所求的直线方程为x－2y+3=0.
第19页，共34页。
❖ (2014·福建安溪八中高一期末测试)求过直
❖ A．－1或2
B．0或1
❖ C．－1
D．2
❖ [答案] C
❖ [解析] ∵l1∥l2，∴a(a－1)－2＝0， ❖ ∴a＝－1或2.
❖ 当a＝2时，l1与l2重合，∴a＝－1.
第7页，共34页。
❖ 三条直线l1：x＋y＝2，l2：x－y＝0，l3：x＋ ay－3＝0能构成三角形，求实数a的取值范 围．
两条直线平行和垂直的判定-【新教材】人教A版(2019)高中数学选择性必修第一册课件
作 业
难
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·
20
·
情ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
课
景 导
判断两条不重合直线是否平行的步骤
堂 小
学
结
·
探
提
新
素
知
养
合
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
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·
21
[跟进训练]
·
情 景
1．已知▱ABCD
的三个顶点的坐标分别为
A(0,1)，B(1,0)，C(4,3)，
课 堂
导
小
学 求顶点 D 的坐标．
·
结
探
提
新 知
[解]
设 D(m，n)，由题意，得 AB∥DC，AD∥BC，则有 kAB＝
作
课
探 究
所以 kAC·kAB＝－1，
堂 小
学 探
类型
斜率存在
斜率不存在
·
结 提
新 知
条件 α1＝α2_≠_9_0_°__
α1＝α2_＝__9_0°_
素 养
合
对应关系 l1∥l2⇔_k_1_＝__k2__ l1∥l2⇔两直线斜率都不存在
作
课
探
时
究
图示
分 层
释
作
疑
业
难
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·
8
·
情
课
景
堂
导 学
思考：如果两条直线平行，那么这两条直线的斜率一定相等吗？
素 养
合 kDC，kAD＝kBC.
作
探 究
释
01－ －10＝43－－mn ，
两直线的位置关系及距离公式
解：(1)取直线 2x－y＋2＝0 上一点 A(0,2)，设点 A(0,2) 关于直线 x＋y－5＝0 对称的点为 B(a，b)，
则a2b＋ －a b2＋ ＝2 21－5＝0
，解得ab＝ ＝35 ，
∴B(3,5)，
由2x＋ x－y－ y＋52＝＝00 ，解得xy＝ ＝14 ，
∴直线 2x－y＋2＝0 与直线 x＋y－5＝0 的交点为 P(1,4)，
线的距离公式，会求两条平行直 难度不大；若与圆、圆锥曲线结
线间的距离.
合，则出现在解答题中，具有一
定的综合性.
一、两条直线的位置关系及判定
平面内两条直线的位置关系有平行、相交、重合三种情况．
1．利用斜率判定
已知直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2.
(1)l1∥l2⇔k1＝k2且
；
(2)l1⊥l2⇔
∴|4a＋35b－2|＝2，即4a＋3b－2＝±10.
②
由①②得ab＝ ＝1－，4， 或ab＝ ＝2－77， 87.
∴所求点P的坐标为(1，－4)或277，－87.
【考向探寻】 1．解关于“中心对称、轴对称”的问题． 2．利用对称解决有关最值问题、光线反射问题．
【典例剖析】
(1)一条光线沿直线2x－y＋2＝0入射到直线x＋y－5＝0后反射，则
反射光线所在的直线方程为
A．2x＋y－6＝0
B．x－2y＋7＝0
C．x－y＋3＝0
D．x＋2y－9＝0
(2)已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，求： ①点A关于直线l的对称点A′的坐标； ②直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程．
(1)利用入射光线上的点关于直线x＋y－5＝0的对称点在反射光线上解题． (2)①直线l为线段AA′的垂直平分线，利用垂直关系，中点坐标公式解方程 组求出A′点坐标；②转化为点关于直线的对称．
第三十八讲 两直线的位置关系
综合①②可知,所求的d的变化范围为
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解法二:如图所示,显然有0<d≤|AB|.
而 | AB | (6 3) 2 (2 1) 2 3 10. 故所求的d的变化范围为(0,3 10].
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解法三 : l1 //l2且l1与l2不重合, 设l2与AB夹角为 , 则l1与AB夹角也为 , 则l1､l2的距离d AB sin , 而 0, , 2 sin 0,1 , 又 | AB | (6 3) 2 (2 1) 2 3 10, d (0,3 10 ].
【典例3】求经过直线l1:3x+2y-1=0和l2:5x+2y+1=0的交点, 且垂直于直线l3:3x-5y+6=0的直线l的方程. [分析]本题可先求出交点坐标,然后由直线间的位置关系求 得;也可由直线系方程,根据直线间位置关系求得.
第28页 共 65 页
3 x 2 y 1 0 [解]解法一 : 先解方程组 ,得 5 x 2 y 1 0 l1、l2的交点 1, 2 , 3 5 再由l3的斜率 求出l的斜率为 , 5 3 于是由直线的点斜式方程求出l : 5 y 2 ( x 1), 即5 x 3 y 1 0. 3
第4页 共 65 页
(2)点到直线的距离 点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离 (3)两条平行线的距离
| Ax0 By0 C | d . 2 2 A B
两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离
d | C1 C2 | A B
2 2
2021-2022学年辽宁省大连市高二(上)期末数学试卷+答案解析(附后)
2021-2022学年辽宁省大连市高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.直线，的位置关系是( )A. 垂直B. 平行C. 相交D. 重合2.已知空间向量，若，则实数x的值是A. B. 0 C. 1 D. 23.若直线l经过，两点，则直线l的倾斜角为( )A. B. C. D.4.若直线与圆相切，则b的值是( )A. 或12B. 2或C. 或D. 2或125.直线l过抛物线的焦点，且与抛物线C交于A，B两点，，若AB的中点到y轴的距离为1，则p的值是( )A. 1B. 2C. 3D. 46.如图，空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，则( )A. B. C. D.7.阿基米德出生于希腊西西里岛叙拉古，享有“力学之父”的美称，和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率、椭圆的半长轴长、椭圆的半短轴长三者的乘积．已知椭圆C：的面积为，左右焦点分别为，，M为椭圆C上一点，且的周长为16，则椭圆C的方程为( )A. B. C. D.8.如图1，矩形ABCD ，，，E 为CD 中点，F 为线段除端点外的动点.如图2，将沿AF 折起，使平面平面ABC ，在平面ABD 内，过点D 作，K 为垂足，则AK长度的取值范围为( )A. B. C. D.二、多选题（本大题共4小题，共20分。
在每小题有多项符合题目要求）9.下列圆锥曲线中，焦点在x 轴上的是( )A.B.C.D.10.已知空间向量，，则下列正确的是( )A. B.C.D.，11.如图，正四面体的顶点 A 、 B 、 C 分别在两两垂直的三条射线 Ox ， Oy ， Oz 上，则下列选项中正确的是( )A. 三棱锥是正三棱锥B. 直线平面ACDC. 直线CD 与平面ABC 所成的角的正弦值为D. 异面直线AB 和CD 所成角是12.已知抛物线，点，，过M作抛物线的两条切线MA，MB，其中A，B为切点，且A在第一象限，直线AB与y轴交于点P，则下列结论正确的有( )A. 点P的坐标为B.C. 的面积的最大值为D. 的取值范围是三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.双曲线的渐近线方程是__________.14.已知，，若直线l的方向向量与直线AB的方向向量平行，则实数等于__________.15.已知G是正方形ABCD的中心，点P为正方形ABCD所在平面外一点，若，则实数__________.16.双曲线上一点点P在第一象限，过双曲线C中心O且与坐标轴不平行的直线l交双曲线C左右两支于A，B两点点A，B异于点，设直线PA，PB的斜率分别为、，且，则双曲线C的离心率为__________.四、解答题（本大题共6小题，共70分。
两直线的位置关系演示文稿
要使
l1∥l2，需－sin1
α＝－2sin
α，即
sin
α＝±
2 2.
所以 α＝kπ±π4，k∈Z，此时两直线的斜率相等．
故当 α＝kπ±π4，k∈Z 时，l1∥l2.
第8页，共28页。
考点突破 考点一 两直线的平行与垂直
【训练1】已知两直线l1：x＋ysin α－1＝0和l2：2x·sin α＋y＋1＝0，求α 的值，使得：(1)l1∥l2；(2)l1⊥l2.
点 B(－1，6)到直线 l 的距离 d2＝|－k－k62－＋21k－5|＝|3kk＋2＋111|. ∵d1∶d2＝1∶2， ∴|3|kk－＋311| |＝21， ∴k2＋18k＋17＝0， ∴k1＝－1，k2＝－17. ∴所求直线方程为x＋y＋3＝0和17x＋y－29＝0.
第12页，共28页。
考点突破 考点二 两直线相交及距离公式的应用
xy＋＋21·23＝－1， 解 (1)设 A′(x，y)，再由已知
2×x－2 1－3×y－2 2＋1＝0，
解得
x＝－3133， y＝143，
∴A′－3133，143.
第17页，共28页。
考点突破 考点三 对称问题
【例 3】已知直线 l：2x－3y＋1＝0，点 A(－1，－2)．求： (1)点 A 关于直线 l 的对称点 A′的坐标； (2)直线 m：3x－2y－6＝0 关于直线 l 的对称直线 m′的方程； (3)直线 l 关于点 A(－1，－2)对称的直线 l′的方程． (2)在直线m上取一点，如M(2，0)， 则M(2，0)关于直线l的对称点必在m′上． 设对称点为M′(a，b)，
考点突破 考点一 两直线的平行与垂直
【训练1】已知两直线l1：x＋ysin α－1＝0和l2：2x·sin α＋y＋1＝0，求α 的值，使得：(1)l1∥l2；(2)l1⊥l2.
山东百师联盟2024-2025学年高二上学期9月联考数学试题(解析版)
2024～2025学年度高二9月联考数学试题1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 给出下列命题： ①零向量的方向是任意的；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；③若空间向量a ，b 满足a b= ，则a b = ；④空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（ ）． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】D 【解析】【分析】根据零向量的定义判断①，根据相等向量的定义判断②③，根据单位向量定义判断④. 【详解】零向量是大小为0的向量，零向量的方向是任意的，命题①正确；方向相同，大小相等的空间向量相等，它们的起点不一定相同，终点也不一定相同，命题②错误； 若空间向量a ，b 满足a b = ，但由于它们的方向不一定相同，故,a b不一定相等，③错误； 空间中任意两个单位向量由于它们的方向不一定相同，故它们不一定相等，④错误； 所以正确的命题只有1个； 故选：D.2. 如图，在直三棱柱111ABC A B C −中，E 为棱11A C 的中点.设BA a =，1BB b = ，BC c =，则BE =（ ）A. 1122a b c ++B. 1122a b c ++C. 1122a b c ++D. 12a b c ++【答案】A 【解析】【分析】由空间向量线性运算即可求解.【详解】由题意可得111111112BE BB B A A E BB BA A C =++=++()111111122221122BB BA AC BB BA BC c BA B b A BC BB a =++=++−=++=++ .故选：A.3. 对于任意空间向量a，b ，c ）．A. 若a b ⊥ ，b c ⊥ ，则a c ⊥B. ()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅C. 若0a b ⋅< ，则a ，b 的夹角是钝角D. ()()a b c a b c ⋅=⋅【答案】B 【解析】【分析】由空间向量的位置关系可得A 错误；由数量积的运算律可得B 正确，D 错误；当两向量的夹角为π时，0a b ⋅< 也成立可得D 错误；【详解】对于A ，若ab ⊥，b c⊥ ，则a c ⊥ 或//a c，故A 错误； 对于B ，由数量积的运算律可知()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅，故B 正确；对于C ，若0a b ⋅< ，则a ，b 的夹角是钝角或反向共线，故C 错误；对于D ，由数量积的运算律可知，等号左面与c 共线，等号右面与a，两边不一定相等，故D 错误； 故选：B.4. 设,x y ∈R ，向量(),2,2a x =，()2,,2b y = ，()3,6,3c =− ，且a c ⊥ ，//b c，则a b +=（ ）．A.B.C. 5D. 6【答案】D 【解析】【分析】由条件结合垂直向量的坐标表示和平行向量的坐标关系求,x y ，由此可求a b +的坐标，再求其模即可.【详解】因为ac ⊥，(),2,2a x =，()3,6,3c =− ，所以31260x −+=，所以2x =，因为//b c ，()2,,2b y = ，()3,6,3c =−，所以22363y ==−，所以4y =−， 所以()4,2,4a b +−，所以6a b +=.故选：D.5. 我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点()3,4A −的直线l的一个法向量为()1,3−，则直线l 的点法式方程为；()()()13340x y ×++−×−=，化简得3150x y −+=．类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点()1,2,3M 的平面的一个法向量为()1,2,4m=−，则该平面的方程为（ ）．A 2470x y z −−+= B. 2470x y z +++= C. 2470x y z +−+=D. 2470x y x +−−=【答案】C 【解析】【分析】由题意进行类比推理即可；【详解】由题意可得()()()()1122430x y z ×−+×−+−×−=， 化简可得2470x y z +−+=， 故选：C.6. 已知圆锥PO 的母线长为2，表面积为3π，O 为底面圆心，AB 为底面圆直径，C 为底面圆周上一点，.60BOC ∠=°，M 为PB 中点，则MOC △的面积为（ ）．A.B.C.154D.158【答案】A 【解析】【分析】先由圆锥的表面积公式求出底面半径，在OCN 中由余弦定理解出CN ，然后在Rt MNC △中由勾股定理求出MC ，最后由余弦定理和三角形的面积公式求出结果即可；【详解】设,OB r PB l ==， 由题意可得2ππ3πr rl +=，即2π2π3πr r +=，解得1r =或3−（舍去）， 连接OM ，因为M 为PB 中点，所以112OMPB OB ===， 过M 作MN OB ⊥于N ，连接CN，则12MNPO == 在OCN 中，222cos 2OC ON CN CON OC ON +−∠=⋅， 即222112cos 601212CN+− °=××，解得CN = 又在Rt MNC △中，MC ， 所以22261114cos 22114OC OM MCMOC OC OM+−+−∠===⋅××，所以sin MOC ∠，所以MOC △的面积为11sin 1122OM OC MOC ⋅∠=××=， 故选：A.7. 如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，已知M ，N ，P 分别是棱11C D ，1AA ，BC 的中点，Q 为平面PMN 上的动点，且直线1QB 与直线1DB 的夹角为30°，则点Q 的轨迹长度为（ ）A.π2B. πC. 2πD. 3π【答案】C 【解析】【分析】以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，由空间向量的位置关系可证得1DB ⊥平面PMN ，可得点Q 的轨迹为圆，由此即可得． 【详解】解：以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，()1,2,0P ，()0,1,2M ，()2,0,1N ，()0,0,0D ，()12,2,2B ，故()12,2,2DB = ，()1,1,2PM =−−， ()1,2,1PN =− ，设平面PMN 的法向量为mm��⃗=(xx ,yy ,zz )，则()()()(),,1,1,220,,1,2,120m PM x y z x y z m PN x y z x y z ⋅=⋅−−=−−+= ⋅=⋅−=−+= ，令1z =得，1xy ==，故()1,1,1m =， 因为12DB m =，故1DB ⊥平面PMN ，Q 为平面PMN 上的动点，直线1QB 与直线1DB 的夹角为30°，1DB ⊥平面PMN ，设垂足为S ，以S为圆心，1r B S =为半径作圆，即为点Q的轨迹，其中11B D B D ==，由对称性可知，1112B S B D ==，故半径1r ==， 故点Q 的轨迹长度为2π. 故选：C.8. 在四棱锥P ABCD −中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，AB PA =.若BC 边上有且只有一个点Q ，使得PQ QD ⊥，此时二面角A PD Q −−的余弦值为（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】由线面垂直性质与判定可证得DQ ⊥平面PAQ ，进而得到DQ AQ ⊥，设2PA AB ==，()0AD t t =>，()0BQ m m t =≤≤，利用勾股定理可得关于m 的方程，由方程有且仅有一个[]0,t 范围内的解，由0∆=求得,t m 的值；以A 为坐标原点，利用二面角的向量求法可求得结果. 【详解】PA ⊥ 平面ABCD ，DQ ⊂平面ABCD ，PA DQ ∴⊥，的又PQ DQ ⊥，PA PQ P = ，,PQ PA ⊂平面PAQ ，DQ ⊥∴平面PAQ ， 又AQ ⊂平面PAQ ，DQ AQ ∴⊥；设2PA AB ==，()0ADt t =>，()0BQ m m t =≤≤， 224AQ m ∴=+，()224DQ t m =+−，22AD t =， ()22244m t m t ∴+++−=，即240m tm −+=，关于m 的方程有且仅有一个[]0,t 范围内的解，对称轴为2tm =， 2160t ∴∆=−=，解得：4t =，2m ∴=， 以A 为坐标原点，,,AD AB AP正方向为,,x y z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则()002P ,,，()4,0,0D ，()2,2,0Q ，()4,0,2PD ∴=−，()2,2,0DQ =−，y 轴⊥平面PAD ，∴平面PAD 的一个法向量()0,1,0m =；设平面PDQ 的法向量(),,n x y z =，则420220PD n x z DQ n x y ⋅− ⋅=−+= ，令1x =，解得：1y =，2z =，()1,1,2n ∴= ，cos ,m n m n m n⋅∴<>==⋅ ，由图形可知：二面角A PD Q −−为锐二面角，∴二面角A PD Q −−故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查利用向量法求解二面角的问题；解题关键是能够根据线面垂直的判定与性质证得DQ AQ ⊥，从而利用勾股定理构造关于BQ 的一元二次方程，根据其根的分布可求得BQ 和AD 的长度，进而得到利用向量法求解时所需的线段长度.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知平面α与平面β平行，若()2,4,8n =−是平面β的一个法向量，则平面α的法向量可能为（ ）． A. ()1,2,4−− B. ()1,2,4−C. ()2,4,8−D. ()2,4,8−−【答案】AD 【解析】【分析】由已知可得平面α的法向量与向量()2,4,8n =−共线且为非零向量，结合共线向量关系可得结论.【详解】设平面α的法向量为m，因为平面α与平面β平行，()2,4,8n =−是平面β的一个法向量，所以//m n，且0m ≠ ，所以平面α的法向量可能为()1,2,4−−，()2,4,8−−， 故选：AD.10. 在空间直角坐标系中，有以下两条公认事实： （1）过点()0000,,P x y z ，且以()(),,0ua b c abc ≠为方向向量的空间直线l 的方程为000x x y y z z a b c−−−==； （2）过点()000,,P x y z ，且()(),,0vm n t mnt ≠为法向量的平面α的方程为()()()0000m x x n y y t z z −+−+−=．现已知平面:236x y z α++=，1632:321x y l y z −= −=，2:31l x y z −==−，3134:222x y z l −−−==−，则（ ）． A. 1l α⊥ B. 2l ∥C. 3l α∥D. 1l α∥【答案】AC【解析】【分析】根据公认事实求出直线的方向向量和平面的法向量，用空间向量判断它们之间的位置关系即得.【详解】平面:236x y z α++=的法向量为(1,2,3)v =， 对于1632:321x y l y z −=−=，则62321x y z −+，即：1132111632x z y −+==， 故1l 经过点11(,0,)32−，方向向量为1111(,,)632u = ，则16v u = ，即1//v u ，故1l α⊥，即A 正确，D 错误；对于2:31l x y z −==−，即31111x y z −−==−，故2l 经过点(3,0,1)，方向向量为2(1,1,1)u =− ，因点(3,0,1)满足平面:236x y z α++=，即2l 与α有公共点，故B 错误； 对于3134:222x y z l −−−==−，可知3l 经过点(1,3,4)，方向向量为3(1,1,1)u =− ，因3(1,2,3)(1,1,1)1230v u ⋅=⋅−=+−=，可得3v u ⊥ ，即3l α⊂或3//l α，但点(1,3,4)不满足平面:236x y z α++=，即3l α⊄，故3//l α，故C 正确. 故选：AC.11. 如图，正方体1111ABCD A B C D −的棱长为1，则下列四个命题中正确的是（ ）A. 两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为π4B. 直线1BC 与平面ABCD 所成的角等于π4C. 点C 到面1BDCD. 四面体11BDC A 体积是13【答案】BCD 【解析】的【分析】建立适当空间直角坐标系后借助空间向量逐项计算与判断即可得. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系D xyz −，对A ：()10,0,1D 、()0,1,0C 、()1,1,0B 、()10,1,1C ，则()10,1,1D C =− 、()11,0,1BC =−，故111cos ,2D C BC ==−，故112π,3D C BC = ，即异面直线1D C 和1BC 所成的角为π3，故A 错误；对B ：()11,0,1BC =− ，由z 轴⊥平面ABCD ，故平面ABCD 法向量可为()0,0,1m =，则1cos ,BC m = 1BC 与平面ABCD 所成的角为π4，故B 正确；对C ：()1,0,0BC =− ，()1,1,0DB = ，()11,0,1BC =−，设平面1BDC 的法向量为(),,n x y z =，则有00x y x z += −+=，令1x =，则()1,1,1n =−，故d =，故C 正确； 对D ：易得四面体11BDC A 为正四面体， 则111111111111414111323B B A B AC BDC A CD A B C D V V V −−=−=−×××××=，故D 正确. 故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 如图，四棱柱1111ABCD A B C D −为正方体．①直线1CC 的一个方向向量为()0,0,1； ②直线1BC 的一个方向向量为()0,1,1；③平面11B C CB 的一个法向量为()1,0,0−； ④平面1B CD 的一个法向量为(1,1,1)．则上述结论正确的是______.（填序号）【答案】①②③【解析】【分析】根据直线的方向向量和平面的法向量的定义，结合空间直角坐标系和正方体的性质即可一一判断.【详解】不妨设正方体的棱长为1，则按照图中坐标系可知，1(1,1,0),(1,1,1),(1,0,0),C C B于是，()()110,0,1,0,1,1CC BC == ,故① ，② 正确；因AB ⊥平面11B C CB ，而(1,0,0)AB = ，故 ()1,0,0−可作为平面11B C CB 的法向量，即③正确；在正方体1111ABCD A B C D −中，因CD ⊥平面11B C CB ,1BC ⊂平面11B C CB ，则1BC CD ⊥，易得11BC B C ⊥，又1CD B C C ∩=，故1⊥BC 平面1B CD ， 而1(0,1,1)BC = ，即1BC 可作为平面1B CD 的法向量，故④错误.故答案为：①②③.13. 已知空间向量()2,3,a m = ，()0,2,1b = ，()2,7,c n = ，若a ，b ，c 共面，则mn 的最小值为__________．【答案】1−【解析】【分析】由空间向量共面定理列方程组得到2n m =+，再结合二次函数的性质解出最值即可；【详解】因为a ，b ，c 共面，所以b a c λµ=+ ，即()()()()22,3,0,2,12,,2,77,3m n m n µλλµµλµλ=+=+++，即2203721m n λµλµλµ+= += += ，解得12122n m λµ =− = −=， 所以2n m =+，所以()()222211mn m m m m m =+=+=+−，所以最小值为1−，故答案为：1−. 14. 设空间向量,,i j k 是一组单位正交基底，若空间向量a 满足对任意的,,x y a xi y j −− 的最小值是2，则3a k + 的最小值是_________．【答案】1【解析】【分析】以,i j 方向为,x y 轴，垂直于,i j 方向为z 轴建立空间直角坐标系，根据条件求得a 坐标，由3a k + 的表达式即可求得最小值.【详解】以,,i j k 方向为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()1,0,0i = ，()0,1,0j = ，()0,0,1k = 设(),,a r s t = 则a xi y j −−=， 当,r x s y ==时a xi y j −− 的最小值是2， 2t ∴=±取(),,2a x y = 则()3,,5a k x y +=3a k ∴+=又因为,x y 是任意值，所以3a k + 的最小值是5. 取(),,2a x y =− 则()3,,1a k x y +=3a k ∴+=又因为,x y 是任意值，所以3a k + 的最小值是1.故答案为：1.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D −中，//AB CD ，AB AD ⊥，1224AA AB AD CD ====，E ，F ，G 分别为棱1DD ，11A D ，1BB 的中点．（1）求CG EF ⋅ 的值；（2）证明：C ，E ，F ，G 四点共面．【答案】（1）6 （2）证明见解析【解析】【分析】（1）以A 为坐标原点，AD ，1AA ，AB 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，找出各点坐标，再表示向量，即可求出CG EF ⋅ .（2）在（1）建立的空间直角坐标系基础上，表示出CG EF CE、、,再利用共面向量定理即可证明.【小问1详解】解：在直四棱柱1111ABCD A B C D −中，AB AD ⊥，易得，AD ，1AA ，AB 两两垂直.故以A 为坐标原点，AD ，1AA ，AB 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，1224AA AB AD CD ==== ,∴(2,0,2)C ，(2,2,0)E ，(1,4,0)F ，()0,2,4G ．()2,2,2CG =− ，(1,2,0)EF − ．()210226CG EF ⋅=−×−++×= ．【小问2详解】证明：由（1）得：()0,2,2CE =− ．令CE mCG nEF =+ ，即0222222m nm n m =−− =+ −= ，解得12m n =− = ，∴2CE CG EF =−+ ．故C ，E ，F ，G 四点共面．16. 如图，已知平行六面体1111ABCD A B C D −中，底面ABCD 是边长为1的菱形，12CC =，1160C CB BCD C CD ∠∠∠===（1）求线段1CA 的长；（2）求证：111CA B D ⊥．【答案】（1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）11CA CD CB CC =++，结合向量数量积运算，求模即可.（2）11B D CB CD=−+，由向量数量积关于垂直的表示即可判断.【小问1详解】设1,,CD a CB b CC c === ，则1,2a b c === ，∵1160C CB BCD C CD ∠∠∠=== ，则121cos 601,11cos 602a c b c a b ⋅=⋅=⨯⨯︒=⋅=⨯⨯︒= . ∵11CA CD CB CC a b c =++=++，∴1CA a b c =++====.故线段1CA .【小问2详解】证明：∵11B D BD CB CD a b ==−+=−，∴()()211121111022C a b c a b a b b c a c A B D ++−−−⋅+⋅−⋅=−+==⋅. 故111CA B D ⊥.17. 已知空间中三点()1,A ，()B ，()4C ．（1）若向量m 与AB 平行，且m = ，求m 的坐标；（2）求向量AB 在向量AC 上的投影向量a ；（3）求以CB ，CA 为邻边的平行四边形的面积．【答案】（1）m 的坐标为()1,2−或()1,2−−；（2）109a =；（3.【解析】【分析】（1）由已知可设m AB λ= ，利用向量的模长公式求出λ的值，即可求出向量m的坐标； （2）先求向量,AB AC ，再根据投影定义求a ； （3）利用空间向量的夹角公式求出cos ,CB CA ，结合三角形的面积公式求结论.【小问1详解】因为()1,A ，()B ，所以()1,2AB =− ， 因为向量m 与AB 平行， 所以可设m AB λ= ，R λ∈，所以(),,2m λλ=−，因为m = ，所以1λ=±，所以()1,2m =−或()1,2m =−− ， 所以m的坐标为()1,2−或()1,2−−；【小问2详解】因为()1,A，()B，()4C ，所以()1,2AB =−，()0,AC = ，所以08210AB AC ⋅=++= ，3AC =所以向量AB 在向量AC 上的投影向量109AB AC AC a AC ACAC ⋅=⋅= ，所以109a =；【小问3详解】因为()1,A，()B，()4C ， 所以()1,0,1CB =−，()0,1CA =−− ，所以cos ,CB CA CB CA CB CA ⋅==⋅ ，即cos ACB ∠()0,πACB ∠∈， 所以sin ACB ∠ 所以ABC的面积11sin 322S CB CA ACB =∠== ，所以以CB ，CA．18. 如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 为直角梯形，90ADC BCD ∠=∠=°，1BC =，CD =，2PD =，60PDA ∠=°，30PAD ∠=°，且平面PAD ⊥平面ABCD ，在平面ABCD 内过B 作BO AD ⊥，交AD 于O ，连PO .（1）求证：⊥PO 平面ABCD ；（2）求二面角A PB C −−正弦值；（3）在线段PA 上存在一点M ，使直线BM 与平面PAD，求PM 的长. 【答案】（1）证明见解析（2. （3. 【解析】【分析】（1）由已知四边形BODC 为矩形，证明PO AD ⊥，由条件根据面面垂直性质定理证明⊥PO 平面ABCD ；（2）建立空间直角坐标系，求平面APB ，平面CPB 的法向量，利用向量法求出二面角A PB C −−的余弦值，再求其正弦值；（3）设AM AP λ= ，求BM ，利用向量方法求直线BM 与平面PAD 所成的角的正弦值，列方程求λ.【小问1详解】因为BO AD ⊥，因为//BC AD ，90ADC BCD ∠=∠=°，所以四边形BODC 为矩形，在PDO △中，2PD =，1DO BC ==，60PDA ∠=°，则PO =，的222PO DO PD ∴+=，PO AD ∴⊥，且平面PAD ⊥平面ABCD ，PO ⊂平面PAD平面PAD ∩平面ABCD AD =，PO ∴⊥平面ABCD ；【小问2详解】以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，PO = 30PAD ∠=°，可得3AO =， 则(0,0,0)O ，(3,0,0)A，(P，()B ，CC�−1,√3,0�， 设平面APB 的法向量为(,,)m x y z =，(3,0,PA =，(PB = ，由300PA m x PB m⋅== ⋅=−=，取(m = . 设平面CPB 的法向量为(,,)n a b c =，(PC =− ，由00n PB n PC a ⋅== ⋅=−= ，取(0,1,1)n = ，cos ,m n m n m n ⋅== . 二面角A PB C −−是钝角，∴二面角A PB C −−. 【小问3详解】设AM AP λ=，则()(()3,33,BM BA AM λλ=+=+−=− ，又平面PAD的法向量为()OB = ， 直线BM 与平面PAD所成的角的正弦值为cos ,OB BM = 解得34λ=，14PM AP ∴===19. 将菱形ABCD 绕直线AD 旋转到AEFD 的位置，使得二面角E AD B −−的大小为π3，连接,BE CF ，得到几何体ABE FDC −.已知π4,,,3AB DAB M N ∠==分别为,AF BD 上的动点且(01)AM BN AF BDλλ==<<.（1）证明：MN ∥平面CDF ；（2）求BE 的长；（3）当MN 的长度最小时，求直线MN 到平面CDF 的距离.【答案】（1）证明见解析（2）（3【解析】【分析】（1）作出辅助线，得到线线平行，进而线面平行，求出平面HMN ∥平面CDF ，得到线面平行； （2）作出辅助线，得到EOB ∠为二面角E AD B −−平面角，并求出各边长，得到答案； （3）作出辅助线，证明线面垂直，进而建立空间直角坐标系，写出点的坐标，并求出()()6,3,2,,0AM BN λλλ=−=−− ，表达出221||5232MN λ =−+ ，求出12λ=，的()N −，求出平面CDF 的法向量，利用点到平面距离公式求出答案.【小问1详解】证明：在AD 上取点H ，使得(01)AH AM BN AD AF BD λλ===<<，连接,HM HN ， 如图1. 因为AH AM AD AF=，所以HM ∥DF . 因为DF ⊂平面,CDF HM ⊄平面CDF ，所以HM ∥平面CDF . 因为AH BN AD BD=，所以HN ∥AB ，又CD ∥AB ，所以HN ∥CD . 因为CD ⊂平面,CDF HN ⊄平面CDF ，所以HN ∥平面CDF . 因为HM HN H = 且都在面HMN 内，所以平面HMN ∥平面CDF . 因为MN ⊂平面HMN ，所以MN ∥平面CDF .【小问2详解】取AD 的中点O ，连接,,OE OB ED ，如图2.由题意可得,EAD BAD 是边长为4的正三角形，则EO BO ===， 且,EO AD BO AD ⊥⊥，所以EOB ∠为二面角E AD B −−的平面角，即π3EOB ∠=，则EOB 为正三角形，所以BE =. 【小问3详解】取OB 的中点G ，连接EG ，则EG OB ⊥，且3EG =. 由（2）得,EO AD BO AD ⊥⊥，EO OB O = ，,EO OB ⊂平面OBE ，第21页/共21页 所以AD ⊥平面OBE ，因为EG ⊂平面OBE ，所以EG AD ⊥.又因为EG OB ⊥，AD OB O ∩=，,AD OB ⊂平面ABCD ，所以EG ⊥平面ABCD .以O 为坐标原点，,OA OB 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立如图2所示的空间直角坐标系，则()()()()()2,0,0,0,,,2,0,0,4,A B F D C −−−，()()()(),2,,2,,0,AF BD CD CF =−=−−=−= .又()()6,3,2,,0AM AF BN BD λλλλλ==−==−−，所以()2,,0N λ−. 连接AN，则()22,,0AN λ=−−− ，()42,,3MN AN AM λλ=−=−−− ，所以222221||(42))(3)5232MN λλλ =−+−+−=−+. 当12λ=时，2||MN 取得最小值，且最小值为3，则MN此时()N −，则()1,ND =− . 设平面CDF 的法向量为nn�⃗=(xx ,yy ,zz )， 则0,0,n CD n CF ⋅= ⋅=即20,30,x z −= +=取y =，得()n = . 因为MN ∥平面CDF ，所以直线MN 到平面CDF 的距离就是点N 到平面CDF 的距离， 则点N 到平面CDF的距离ND n d n ⋅= 故直线MN 到平面CDF.。
2022-2023学年河南省郑州重点中学八年级(下)期中数学试卷(含解析)
2022-2023学年河南省郑州外国语中学八年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A. 斐波那契螺旋线B. 笛卡尔心形线C. 赵爽弦图D. 科克曲线2. 不等式组{x<31−x≤0的解集，在数轴上表示正确的是( )A. B.C. D.3. 三名同学分别站在一个三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子的游戏，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的( )A. 三条角平分线的交点B. 三边中线的交点C. 三边上高所在直线的交点D. 三边的垂直平分线的交点4.如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，若CD=1，则AC的长度等于( )A. 2B. 2+1C. 2D. 2+25. △ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是( )A. ∠A+∠B=∠CB. ∠A：∠B：∠C=1：2：3C. a2=c2−b2D. a：b：c=3：4：66. 牛顿曾说过：反证法是数学家最精良的武器之一，我们用反证法证明命题：“三角形中至少有一个角大于或等于60°”，应先假设( )A. 三角形中三个内角都大于60°B. 三角形中有一个内角小于60°C. 三角形中有一个内角等于60°D. 三角形中三个内角都小于60°7. y=kx+b(k≠0)的图象经过点B(−2,0)，且与正比例函数y=13x，则( )x的图象交于点A(m,−1)，若kx+b>13A. x>0B. x>−2C. x>−3D. x>−48. 不等式组{2x+9>6x+1x−k<1的解集为x<2，则k的取值范围为( )A. k>1B. k<1C. k≥1D. k≤19.如图，一位同学拿了两块45°的三角尺△MNK、△ACB做了一个探究活动：将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处，设AC=BC=b，猜想此时重叠部分四边形CEMF的面积为( )A. 1b24B. 1b23C. 1b22D. 1b2510.如图，面积为3的等腰△ABC，AB=AC，点B、点C在x轴上，且B(1,0)、C(3,0)，规定把△ABC“先沿y轴翻折，再向下平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2023次变换后，△ABC顶点A的坐标为( )A. (2,−2021)B. (−2,−2021)C. (−2,−2020)D. (2,−2020)二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11. “x 的2倍与1的差是负数”用不等式表示为______ ．12. 若实数x ，y 满足|x−4|+ y −10=0，则以x ，y 的值为边长的等腰三角形的周长为______ ．13. 如图，在△ABC 中，分别以A ，C 为圆心，大于12AC 长为半径作弧，两弧分别相交于M ，N 两点，作直线MN ，分别交线段BC ，AC 于点D ，E ，若AE =4cm ，△ABD 的周长为10cm ，则△ABC 的周长为______ ．14. 对于任意实数a 、b ，定义一种运算：a ※b =b−a +ab−2，例如，2※5=5−2+2×5−2=11，请根据上述的定义解决问题：若不等式3※x <5，则不等式的所有正整数解的和是______ ．15. 如图，正方形ABCD 的边长是16，点E 在边AB 上，AE =3，点F 是边BC 上不与点B ，C 重合的一个动点，把△EBF 沿EF 折叠，点B 落在B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为______．三、解答题（本大题共7小题，共55.0分。
2023-2024学年北京市清华大学附中高二(上)期末数学试卷+答案解析
2023-2024学年北京市清华大学附中高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则等于()A. B.C.D.2.在的展开式中，x 的系数为()A.10B.C.20D.3.若双曲线的焦距为4，则其渐近线方程为()A.B.C.D.4.已知函数，则下列说法中正确的是()A. B.的图像关于原点对称 C.在定义域内是增函数D.存在最大值5.在中，，则等于() A.B.C.9D.166.已知底面边长为2的正四棱柱的体积为，则直线AC 与所成角的余弦为()A.B.C.D.7.已知点F 是双曲线C ：的一个焦点，直线l ：，则“点F 到直线l 的距离大于1”是“直线l 与双曲线C 没有公共点”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.已知数列的前n 项和为，满足，则下列结论中正确的是()A. B.C.数列的前n 项和为D.数列是递增数列9.已知直线：恒过定点A ，直线：恒过定点B ，且直线与交于点P ，则点P 到点的距离的最大值为()A.4B.C.3D.210.已知函数，若不等式对任意实数x恒成立，则a的取值范围是()A. B. C. D.二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知复数对应的点到原点的距离是，则实数______.12.已知点在抛物线C：上，则A到焦点F的距离为______.13.已知函数在区间上的最大值为2，则正数的最小值为______.14.从数字1，2，3，4中选出3个不同的数字构成四位数，且相邻数位上的数字不相同，则这样的四位数共有______个.15.在平面直角坐标系中，定义为点到点的“折线距离”.点O是坐标原点，点P在圆上，点Q在直线上.在这个定义下，给出下列结论：①若点P的横坐标为，则；②的最大值是；③的最小值是2；④的最小值是，其中，所有正确结论的序号是______.三、解答题：本题共6小题，共85分。
高中数学 第2章 1.4 两条直线的交点优质课件 北师大版必修2
1 ,3 k2
k) k
又因为 l1, l2 , l3 交于一点，即交点坐标满足直线 l3 的方程，
1 (k 1) 3 k 5 0,
2k
2k
解得 k 7 或 k 2 （舍去），所以 k 7 .
第十页，共21页。
【变式练习(liànxí)】 1. 三条直线 ax 2y 8 0 , 4x 3y 10 0 与 2x y 10 0 相交于一点，则实数 a __1_. 2.若点（2，1）是直线 l : Ax 4y 2 0 与
思考1：当λ变化时，方程3x+4y－2+λ（2x+y+2）=0 表示(biǎoshì)什么图形？图形有何特点？
第十四页，共21页。
文字叙述： 取λ=0,1,…，得直线3x+4y-2=0，5x+5y=0，…方程 (fāngchéng)表示的图形为直线.作出图形可知，所有直 线都过一个定点，该点为M(-2,2)，为l1：3x+4y-2=0 与 l2：2x+y+2=0的交点，即此方程(fāngchéng)为过定 点M(-2,2)的直线系方程(fāngchéng).
1
直线 l : 2x By 2 0 的交点，则 A+B=__7_. 2
第十一页，共21页。
例3.求经过原点且经过以下(yǐxià)两条直线的交点 的直线方程: l1：x－2y+2=0，l2：2x－y－2=0.
解：解方程组
x－2y+2=0， 2x－y－2=0，
得
x= 2， y=2.
所以l1与l2的交点(jiāodiǎn)坐标是（2， 2）.
第十五页，共21页。
思考2：方程 (fāngchéng)A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R)表 示怎样的直线？
两直线的位置关系
1 B.2
C．－2
D．－12
答案 A
第10页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
5．与直线7x＋24y－5＝0平行，并且到它的距离为4的直线 方程是________．
答案 7x＋24y＋95＝0或7x＋24y－105＝0
第11页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
6．直线 x－2y＋1＝0 关于直线 x＝1 对称的直线方程是 ________．
第32页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
题型三 直线系方程 (1)求证：动直线(m2＋2m＋3)x＋(1＋m－m2)y＋3m2＋1 ＝0(其中 m∈R)恒过定点，并求出定点坐标．
第33页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
【证明】 方法一：令 m＝0，则直线方程为 3x＋y＋1＝0.① 再令 m＝1 时，直线方程为 6x＋y＋4＝0.② ①和②联立方程组36xx＋ ＋yy＋ ＋14＝ ＝00， ，得xy＝＝2－. 1，
第4页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
点到直线的距离 点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)的距离 d＝|Ax0＋A2B＋y0B＋2 C|．
两平行线间的距离
两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠
C2)间的距离为d＝
|C1－C2| ． A2＋B2
(1)相交； (2)垂直； (3)平行； (4)重合．
第21页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
【解析】 (1)当 m＝0 时，显然 l1 与 l2 相交； 当 m≠0 时，由－m1 ≠－m－3 2，得 m≠－1 且 m≠3. (2)当 m＝0 时，显然 l1 与 l2 不垂直； 当 m≠0 时，由(－m1 )·(－m－3 2)＝－1，得 m＝12. (3)若 l1 与 l2 平行，则－m1 ＝－m－3 2且－m6 ≠－23m，∴m＝－ 1. (4)若 l1 与 l2 重合，则－m1 ＝－m－3 2且－m6 ＝－23m，∴m＝3.
【新结构】湖北省七市州2024届高三下学期3月联合统一调研测试数学试题+答案解析
【新结构】湖北省七市州2024届高三下学期3月联合统一调研测试数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则()A. B. C. D.2.已知复平面内坐标原点为O，复数z对应点Z，z满足，则()A. B. C.1 D.23.已知正方形ABCD的边长为2，若，则()A.2B.C.4D.4.已知椭圆，则“”是“椭圆C的离心率为”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.过点的直线l与圆交于A，B两点，则的最小值为()A. B. C. D.26.已知公差为负数的等差数列的前n项和为，若，，是等比数列，则当取最大值时，()A.2或3B.2C.3D.47.若，，则()A. B. C. D.8.能被3个半径为1的圆形纸片完全覆盖的最大的圆的半径是()A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知A，B为随机事件，，，则下列结论正确的有()A.若A，B为互斥事件，则B.若A，B为互斥事件，则C.若A ，B 相互独立，则D.若，则10.如图，棱长为2的正方体中，E 为棱的中点，F 为正方形内一个动点包括边界，且平面，则下列说法正确的有()A.动点F 轨迹的长度为B.三棱锥体积的最小值为C.与不可能垂直D.当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为11.我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数，则下列结论正确的有()A.函数的值域为B.函数的图象关于点成中心对称图形C.函数的导函数的图象关于直线对称D.若函数满足为奇函数，且其图象与函数的图象有2024个交点，记为，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
人教版高中数学 .4平面与平面之间的位置关系(共21张PPT)教育课件
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( 2 ) 设 平 面 l A B P ,求 P B '的 长 ;
分 析 ： 找 面 D M N 与 面 A B C D 的 交 线
2023-2024学年江苏省镇江市八年级(上)期末数学试卷+答案解析
2023-2024学年江苏省镇江市八年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在平面直角坐标系中，点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知点，轴，且，则点N的坐标是( )A. B.C. 或D. 或3.2020年12月17日凌晨1时59分，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆，任务获得圆满成功，月球距离地球平均为384401000米，用四舍五入法取近似值，精确到百万位，并用科学记数法表示，其结果是( )A. B. C. D.4.如图，根据某地学生男生的平均身高变化图，判断哪个年龄段的男生的身高增长较快( )A. 岁B. 岁C. 岁D. 无法确定5.如图，≌，点E在线段AB上，，则的度数为( )A.B.C.D.6.如图，小明画了一幅藏宝图，他在方格纸上标出了四个点A、B、C、都在格点上，AC和BD的交点O就是宝藏所在的位置.若每个小正方形的边长表示实际长度为10米，则宝藏距离BC的实际长度是米.( )A. B. C. D.二、填空题：本题共12小题，每小题2分，共24分。
7.100的算术平方根是______.8.点关于y轴对称的点的坐标为______.9.已知点在一次函数的图象上，则______.10.如图，AC与BD相交于点O，，添加一个条件______，使得≌填一个即可11.一次函数的图象与x轴交点坐标是______.12.在实数、、、、、中，无理数有______个.13.定义：我们将等腰三角形的顶角与一个底角的度数的比值叫做这个等腰三角形的“特征值”，记作若，则该等腰三角形的顶角的度数为______14.如图，一次函数与的图象相交于点P，则关于x的不等式的解集为______.15.如图，在长方形ABCD中，，在DC上找一点E，把沿AE折叠，使D点恰好落在BC上，设这一点为F，则______.16.七上数学课本中曾经采取“逼近法”对的大小进行了探究：即先判断出是大于1，且小于2的数，再进一步得到：精确到十分位一张面积为6平方厘米的正方形纸片，它的边长为x厘米，则x的取值范围是______要求：精确到十分位17.一次函数的图象过点，且函数值y随x的增大而减小.请写出一个符合上述条件的一次函数表达式______.18.在平面直角坐标系中，无论x取何值，一次函数的图象始终在的图象的上方，则m的取值范围为______.三、解答题：本题共8小题，共78分。