二次函数一般式图像与性质PPT.
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求下列二次函数图像的开口、顶点、对称轴
1 ①y=2x2-5x+3 ②y=- 2 x2+4x-9
③y=(x-3)(x+2)
请画出草图:
来自百度文库
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抛物线位置与系数a，b，c的关系：
⑴a决定抛物线的开口方向： a＞ 0 开口向上 a＜0 开口向下 ⑵ a，b决定抛物线对称轴的位置:
C.a+b+c=0
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6.若一次函数 y=ax+b 的图象经过第二、三、四 象限，则二次函数 y=ax2+bx-3 的大致图象是 y y y ( C )y
o
A 7.在同一直角坐标系中,二次函数 y=ax2+bx+c 与 一次函数y=ax+c的大致图象可能是 （ C）
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例：指出抛物线: y x 5 x 4 的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐 标、与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐 标。并画出草图。
2
对于y=ax2+bx+c我们可以确定它的开口 方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与y 轴的交点坐标、与x轴的交点坐标（有交 点时），这样就可以画出它的大致图象。
b 对称轴是直线x = 2a
① ② ③
a，b同号＜＝＞ 对称轴在y轴左侧； b=0 ＜＝＞ 对称轴是y轴； a，b异号＜＝＞ 对称轴在y轴右侧
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⑶ c决定抛物线与y轴交点的位置： ① c＞0 ＜＝＞图象与y轴交点在x轴上方； ② c=0 ＜＝＞图象过原点； ③ c＜0 ＜＝＞图象与y轴交点在x轴下方。 2 b ⑷顶点坐标是（ ， 4ac b ）。 2a 4a
2
(3) y= (x+1)2- 2
(4) y 3x 4 x 1
2
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函数y=ax²+bx+c的对称轴、 顶点坐标是什么？
y ax bx c
2
2
b a( x x) c a b b 2 b 2 2 a[ x x ( ) ( ) ] c a 2a 2a 2 b 4ac b 2 a x 2a 4a
⑸△=b2-4ac决定抛物线与x轴交点情况： ① △＞0＜＝＞抛物线与x轴有两个交点； ② △＝0＜＝＞抛物线与x轴有唯一的公式点； ③ △＜0＜＝＞抛物线与x轴无交点。
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⑹二次函数有最大或最小值由a决定。
2 b 4ac b 当x= 时,y有最大(最小)值 2a 4a
2 2
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函数y=ax²+bx+c的对称轴、 顶点坐标是什么？ b
y ax bx c的对称轴是:x
2 2
2a
b 4ac b 顶点坐标是:( , ) 2a 4a 2 2. 抛物线y = 2x + bx + c的顶点坐标
为(- 1,2),则b = ______，c = ______ .
二次函数 2 y=ax +bx+c 图象和性质
y o x
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要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水 管，在水管顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形 水柱在于池中心的水平距离为1m处达到最高，高度 为3m水柱落地处离中心3m，水管多长
• 1画草图 • 2设函数关系式（注意自变量取值范围） • 3找特殊点求出函数关系
4.若二次函数 y=ax2 + b x + c 的图象如下,与x 轴的一个交点为(1,0),则下列各式中不成立 的是 （ ） y b B 2 A.b -4ac>0 B. 2a <0
1 o x D. 4ac-b2 >0-1 4a 5.若把抛物线y = x2 - 2x+1向右平移2个单位,再向 下平移3个单位,得抛物线y=x2+bx+c,则（ B ） A.b=2 c= 6 B.b=-6 , c=6 C.b=-8 c= 6 D.b=-8 , c=18
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说出下列函数的开口方向、对称 轴、顶点坐标：
(1) y a( x h) k (a 0) 1 5 2 3 (2) y ( x ) 3 3 3 2 2((3) 3) y= y (x+1) x 2 x2 1 配方
（
C
）
2.不论k 取任何实数，抛物线y=a(x+k)2+k(a≠0) 的顶点都在 （ ） B A.直线y = x上 B.直线y = - x上 C.x轴上 D.y轴上 3.若二次函数y=ax2 + 4x+a-1的最小值是2,则a 的值是 （A） A. 4 B. -1 C. 3 D.4或-1
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y o x o y x o y x o y x
-3
x
o B -3
x
o C -3
x
o D -3
x
A
B
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C
D
函数y=ax² +bx+c的图象和性质： 2 b b 4ac-b 直线 x=对称轴： 顶点坐标： （- 2a ， 4a ） 2a 2-4ac -b ± b 与y轴交点： （0，c） 与x轴交点： （ ， 0） 2a 增减性 开口 最 值 b x>- b b 时， x<当 x = 向 2a 2a 2a a>0 上 2 4ac-b y有最小值： 4a x<- b x>- b 当x= - b 时， 2a 2a 2a 向 a>0 2 4ac-b 下 y有最大值： www.QYXK.net 中学数学网（群英 4a 学科）收集提供
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例3、已知函数y = ax2 +bx +c的图象如 下图所示，x= 1 为该图象的对称轴，根
3
据图象信息你能得到关于系数 a，b，c的 一些什么结论？ y
1 3 .
. -1
1
x
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1.抛物线y=2x2+8x-11的顶点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
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配方
函数y=ax²+bx+c的对称轴、 顶点坐标是什么？ b
y ax bx c的对称轴是:x
2 2
2a
b 4ac b 顶点坐标是:( , ) 2a 4a
1. 说出下列函数的开口方向、对称轴、顶 点坐标：
y 3x 4 x 1 y 2 x x 3
求下列二次函数图像的开口、顶点、对称轴
1 ①y=2x2-5x+3 ②y=- 2 x2+4x-9
③y=(x-3)(x+2)
请画出草图:
来自百度文库
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抛物线位置与系数a，b，c的关系：
⑴a决定抛物线的开口方向： a＞ 0 开口向上 a＜0 开口向下 ⑵ a，b决定抛物线对称轴的位置:
C.a+b+c=0
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6.若一次函数 y=ax+b 的图象经过第二、三、四 象限，则二次函数 y=ax2+bx-3 的大致图象是 y y y ( C )y
o
A 7.在同一直角坐标系中,二次函数 y=ax2+bx+c 与 一次函数y=ax+c的大致图象可能是 （ C）
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例：指出抛物线: y x 5 x 4 的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐 标、与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐 标。并画出草图。
2
对于y=ax2+bx+c我们可以确定它的开口 方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与y 轴的交点坐标、与x轴的交点坐标（有交 点时），这样就可以画出它的大致图象。
b 对称轴是直线x = 2a
① ② ③
a，b同号＜＝＞ 对称轴在y轴左侧； b=0 ＜＝＞ 对称轴是y轴； a，b异号＜＝＞ 对称轴在y轴右侧
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⑶ c决定抛物线与y轴交点的位置： ① c＞0 ＜＝＞图象与y轴交点在x轴上方； ② c=0 ＜＝＞图象过原点； ③ c＜0 ＜＝＞图象与y轴交点在x轴下方。 2 b ⑷顶点坐标是（ ， 4ac b ）。 2a 4a
2
(3) y= (x+1)2- 2
(4) y 3x 4 x 1
2
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函数y=ax²+bx+c的对称轴、 顶点坐标是什么？
y ax bx c
2
2
b a( x x) c a b b 2 b 2 2 a[ x x ( ) ( ) ] c a 2a 2a 2 b 4ac b 2 a x 2a 4a
⑸△=b2-4ac决定抛物线与x轴交点情况： ① △＞0＜＝＞抛物线与x轴有两个交点； ② △＝0＜＝＞抛物线与x轴有唯一的公式点； ③ △＜0＜＝＞抛物线与x轴无交点。
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⑹二次函数有最大或最小值由a决定。
2 b 4ac b 当x= 时,y有最大(最小)值 2a 4a
2 2
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函数y=ax²+bx+c的对称轴、 顶点坐标是什么？ b
y ax bx c的对称轴是:x
2 2
2a
b 4ac b 顶点坐标是:( , ) 2a 4a 2 2. 抛物线y = 2x + bx + c的顶点坐标
为(- 1,2),则b = ______，c = ______ .
二次函数 2 y=ax +bx+c 图象和性质
y o x
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要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水 管，在水管顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形 水柱在于池中心的水平距离为1m处达到最高，高度 为3m水柱落地处离中心3m，水管多长
• 1画草图 • 2设函数关系式（注意自变量取值范围） • 3找特殊点求出函数关系
4.若二次函数 y=ax2 + b x + c 的图象如下,与x 轴的一个交点为(1,0),则下列各式中不成立 的是 （ ） y b B 2 A.b -4ac>0 B. 2a <0
1 o x D. 4ac-b2 >0-1 4a 5.若把抛物线y = x2 - 2x+1向右平移2个单位,再向 下平移3个单位,得抛物线y=x2+bx+c,则（ B ） A.b=2 c= 6 B.b=-6 , c=6 C.b=-8 c= 6 D.b=-8 , c=18
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说出下列函数的开口方向、对称 轴、顶点坐标：
(1) y a( x h) k (a 0) 1 5 2 3 (2) y ( x ) 3 3 3 2 2((3) 3) y= y (x+1) x 2 x2 1 配方
（
C
）
2.不论k 取任何实数，抛物线y=a(x+k)2+k(a≠0) 的顶点都在 （ ） B A.直线y = x上 B.直线y = - x上 C.x轴上 D.y轴上 3.若二次函数y=ax2 + 4x+a-1的最小值是2,则a 的值是 （A） A. 4 B. -1 C. 3 D.4或-1
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y o x o y x o y x o y x
-3
x
o B -3
x
o C -3
x
o D -3
x
A
B
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C
D
函数y=ax² +bx+c的图象和性质： 2 b b 4ac-b 直线 x=对称轴： 顶点坐标： （- 2a ， 4a ） 2a 2-4ac -b ± b 与y轴交点： （0，c） 与x轴交点： （ ， 0） 2a 增减性 开口 最 值 b x>- b b 时， x<当 x = 向 2a 2a 2a a>0 上 2 4ac-b y有最小值： 4a x<- b x>- b 当x= - b 时， 2a 2a 2a 向 a>0 2 4ac-b 下 y有最大值： www.QYXK.net 中学数学网（群英 4a 学科）收集提供
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例3、已知函数y = ax2 +bx +c的图象如 下图所示，x= 1 为该图象的对称轴，根
3
据图象信息你能得到关于系数 a，b，c的 一些什么结论？ y
1 3 .
. -1
1
x
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1.抛物线y=2x2+8x-11的顶点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
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配方
函数y=ax²+bx+c的对称轴、 顶点坐标是什么？ b
y ax bx c的对称轴是:x
2 2
2a
b 4ac b 顶点坐标是:( , ) 2a 4a
1. 说出下列函数的开口方向、对称轴、顶 点坐标：
y 3x 4 x 1 y 2 x x 3