数值计算教学要求

• • • • • • • • • • • • • NC1：误差分析 误差的来源（*） 误差的度量（**） 函数误差分析（**） 误差分析的一般原则（**） 向量与矩阵范数（***） NC2：线性方程组解法 高斯消去法（**） 矩阵的三角分解（**） 误差分析，病态方程组，条件数（*） 迭代公式的收敛性（***） 雅可比迭代法（***） 高斯－塞德尔迭代法（***）
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• • • • • • • • • • • • •
NC7：数值积分 插值型求积公式及性质（**） 牛顿－柯特斯公式（***） 复化求积公式（***） 龙贝格算法（**） 高斯公式（**） 以上方法的误差分析（*） 数值微分的基本算法（*） NC8：常微分方程的数值解 欧拉方法（***） 龙格－库塔方法（***） 相容、收敛、绝对稳定性（**） 线性多步法（*）
• 要解决专业中遇到的大量复杂问题的数值 计算，还需大量学时，进一步学习。
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新教材《数值计算及其工程应用》 武汉大学数学与统计学院向华、李大美编 2015年清华大学出版社出版
编写思路
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本教材特点
• • • • • 淡化理论 强化应用 实际案例背景 计算软件支持（Matlab、C语言等） 上机实践
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第6章 函数逼近（8学时）
• • • • • • •
6.1、正交多项式基本概念与性质 6.2、最佳平方逼近 6.3、正交多项式在逼近和插值中的应用 6.4、最小二乘拟合问题 6.5 矛盾线性方程组 6.6、工程实际案例 习题与案例练习
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第7章 数值积分与微分 （6学时）
• 7.1、数值求积公式的形式、误差、代数精度 • 7.2、Newton-Cotes求积公式 • 7.3、复化求积公式（复化梯形、复化Simpson、区间逐 次分半算法） • 7.4、龙贝格积分 • 7.5、Gauss型求积公式及性质 • 7.6、求积公式数值稳定性概念 • *7.7、数值微分（Taylor展开构造数值微分、插值型求导 ） • 7.8、工程实际案例 • 习题与案例练习
“数值计算及其工程应用”
课程教学基本要求 及教材编写思路
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工程硕士教育背景
• 学术型硕士培养研究型人才。 • 工程硕士培养应用型人才。 • 传统产业升级、新兴产业发展，需要大量 应用型人才。 • 工学硕士与工程硕士之比要1：1（2015 年）。工学硕士以后逐渐减为0，全硕博 连读。（前教指委组长陈子辰）
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2014-08-15
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• • • • • • • • • • • • • • •
NC5：插值 拉格朗日插值方法（***） 插值余项分析（***） 均差（**） 牛顿插值方法（***） 等距节点插值（*） 埃尔米特插值（**） 分段低次插值（**） 三次样条插值（*） NC6：函数逼近 正交多项式（**） 最佳平方逼近（***） 正交多项式在逼近和插值中的应用（*） 最小二乘曲线拟合（***） 矛盾线性方程组（*）
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工程硕士在数学 素养和能力方面的基本要求
• • • • • • • 抽象思维能力 逻辑推理能力 数学建模能力 科学计算能力 数据分析处理能力 MATLAB或其它现代计算软件能力 运用现代网络获取信息的能力
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“课程教学基本要求”制定背景
• 在教指委领导下，几届数学组成员经过广泛讨论， 厘清思路，制定了工程硕士标准中对数学知识能 力的要求 。 • 分析了工程硕士数学课程教学的现状和存在的问 题。 • 数学教学应大胆改革，打破原有的重理论推导， 脱离实际问题的体系。 • 要坚持开阔眼界、更新知识、提高水平、联系实 际的原则，加强建模能力，增加典型案例分析。 • 培养学生分析问题，解决工程实际的能力。
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*第4章 矩阵及其特征值（3学时）
• • • • • • •
4.1、幂迭代法 4.2、反幂迭代法 4.3、Jacobi方法 4.4、ＱＲ迭代法 4.5、对称矩阵特征值问题计算 4.6、工程实际案例 习题与案例练习
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第5章 插值（8学时）
• • • • • • • •
5.1、插值的基本概念 5.2、Lagrange插值 5.3、差商和牛顿插值公式 5.4、Hermite插值 5.5、分段低次插值 *5.6、样条插值 5.7、工程实际案例 习题与案例练习
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Βιβλιοθήκη Baidu
反馈情况
• “课程基本要求”下发到40个工程领域后， 反馈了很多很好意见，也很具体。 • 根据意见，适当修改。
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1、内容增减
• 工程领域众多，各领域对数值计算的要求相差很大。 如： 机械、光学、材料、冶金、电子、建筑、地质、交 通、兵器、核能、农林、环境、航空、生物……等 等40个。 • 比如：有的领域用插值较多，有的用微分方程较多， 有的用非线性方程组较多。 • 有的领域希望增加或强化：非线性方程组、二维插 值、样条、二维积分、常微分方程组、计算机基础、 软件基础、并行、云计算等。 • 弱化最基本的实用价值不大的方法。
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三、课程教学大纲（建议学时）
• • • • • • • 第1章 绪论（3学时） 1.1、数值分析研究的对象与特点 1.2、误差来源与分类 1.3、算法及其复杂性 1.4、向量与矩阵范数 1.5、工程实际案例 习题与案例练习
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第2章 线性方程组数值方法 （8学时）
• 2.1、Gauss消去法（顺序消去法与选主元素法） • 2.2、直接三角分解法（Doolittle法、带状、拟三 对角等） • 2.3、病态方程组，矩阵条件数 • 2.4、方程组的迭代法 • 2.5、压缩映射原理和不动点迭代公式的收敛性 • 2.6、三种常用迭代法及其收敛性 • 2.7、工程实际案例 • 习题与案例练习
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八、教学建议
（以独立开设本门课程48学时为例）
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课内总学时 48 课程学时 及其分配
课内学时分配 课堂讲课 自学交流 课堂讨论 实验辅导 课内实验 40 0 2 4
课外学时分配 课后复习 课外自学 讨论准备 实验预习 课外实验 40 10 4 8
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教学方式 考核方式 教材与 参考文献
以课堂讲授为主，以课程实验、专题讨论为辅。 期末考试（50%）＋作业（20%）＋大作业（项目训练）（30%） （1）教 材： ● 全国工程硕士专业学位教育指导委员会推荐教材：向华，李大美编，《数值计算及其工程应用》 ，清华大学出版社出版，2015？ （2）参考文献： ●李庆扬，王能超，易大义，数值分析（第5版），清华大学出版社 ●彦庆津，数值分析（第4版），北京航空航天大学出版社 ●李大美，李素贞，朱方生，计算方法，武汉大学出版社，2012 ●Steven C. Chapra，Raymond P. Canale，于艳华、 傅效群译，工程数值方法(第6版) 清华大学 出版社 (2010-03)
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第3章 非线性方程及非线性方程组（6学时）
• • • • • • • • • 3.1、非线性方程的迭代法（含二分法） 3.2、不动点迭代法及其收敛性 3.3、收敛速度 3.4、Steffensen加速法 3.5、Newton法 3.6、割线法 单点割线法 *3.7、非线性方程组的迭代法 3.8、工程实际案例 习题与案例练习
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大作业举例（可结合工程领域）
• • • • • • • • • • • • 课程大作业（一） 大作业名称： 线性方程组的数值解法 大作业目的： 掌握线性方程组的几种常用解法 大作业内容： 选用消去法、分解法、迭代法求解线性方程组。编 写程序，考虑迭代次数控制，收敛性，误差分析，计算条件数等。 课程大作业（二） 大作业名称： 插值与拟合 大作业目的： 掌握几种常用插值与拟合方法 大作业内容： 选用几种方法作插值曲线和拟合曲线，分析误差， 比较优缺点。 课程大作业（三） 大作业名称：常微分方程的数值解 大作业目的：掌握几种常用的常微分方程数值解法 大作业内容：选用欧拉方法、改进的欧拉方法以及几种龙格－库塔 方法，求解常微分方程数值解，并进行误差分析，讨论算法的稳定 性。
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第8章 常微分方程初值问题的数值方法 （6学时） • • • • • • • 8.1、一般概念 8.2、显式单步法 8.3、Runge-Kutta法 8.4、相容、收敛、绝对稳定性 *8.5、线性多步法的一般形式和构造 8.6、工程实际案例 习题与案例练习
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六、课程知识单元、知识点及教学要求 （***熟练掌握；**掌握；*了解）
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七、课程实践环节（课程实验/课堂讨论 /课程大作业/课程设计/学期论文等）
1.课程实验 利用C语音或MATLAB等软件平台，针对 教材和授课中的工程应用案例与练习， 编写计算程序，学习算法具体实施过程。 可以在课内讲解示范，主要以课下实践 为主。
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• 2.课堂讨论 针对某些实际问题，尤其是综合性较 强的实际问题，组织学生进行课堂讨 论。 主要是根据实际问题的需要，选取适当 算法，探讨算法实施过程，误差控制， 稳定性分析。 以达到探索研究、合作交流、分析比 较、开阔思路的教学效果。
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• 3.课程大作业 课程大作业是学生在课下时间，利 用所学习知识和方法，借助于计算机 软件，研究解决工程领域实际问题的 一个综合性练习。 要求学生以小论文的形式提交，其内 容包括：问题的提出、分析、建模、 求解、结果分析等，并附求解程序代 码。 大作业目的是训练学生综合所学知识， 自主研究解决工程领域实际问题的能 力。
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• 课程的重点内容：（1）数值计算问题的基 本原理和方法介绍；（2）结合实际案例， 分析算法的选取，介绍算法的具体实施过 程。训练学生的工程实践能力，培养应用 意识，在相关工程领域使学生学会运用计 算机进行数值计算的实施过程，提高解决 工程领域实际问题的能力。
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• 课程讲授注重实际应用能力的培养，结合 课程将布置2-3个大作业，以锻炼同学理论 联系实践和解决实际问题的能力，课程还 将安排1－2个相关研究内容的讲座，以加 深选课同学对数值计算原理的理解，了解 数值计算在科学研究中的应用。
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各章节内容构成
• 首先可通过具体实际问题引入本章的数学 问题 • 介绍一般概念、理论方法、各种算法、数 学例子、实际案例、习题 • 在此过程中，注重算法介绍、程序计算、 减少理论的详细推导。
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• 提供大量实际例子，对常见的问题，都有 算法筛选、理论分析、MATLAB或C程序实 现。 • 类似问题只需在程序中作修改即可。
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2、知识点要求程度
（***熟练掌握；**掌握；*了解）?
3、学时数32、36、40、48、54等。有分歧。 4、考核方式和比例：
期末考试（50%）＋作业（20%）＋大作业（项目训练）（30%）？ 开卷? 闭卷?
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• 领域众多，差别巨大。各领域可根据本学 科的要求，适当取舍。 • 通过本课程40多学时的学习，只是提供最 基本的计算数学知识。
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二、课程教学目标
• 用计算机求解或数值模拟各类数学问题。 • 目的：了解构造数值算法的思想、工具和手段。 • 通过案例分析：掌握数值计算解决工程实际问题 与建立数学模型的思想方法。 • 熟悉算法思想在计算机软件平台上的具体实施过 程。 • 了解算法的计算效率、收敛稳定性、误差分析和 适用范围等。 • 提高运用数学知识和计算机工具，解决工程实际 问题的能力。
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• 2013年底，完成了本课程“教学基本要求” 初稿。 • 教指委秘书处将其发到40个工程领域，广 泛征求意见。 • 根据反馈意见，进行了适当修改。
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“课程教学基本要求”介绍
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一、课程内容简介
• 本课程主要讲授常见数学问题的计算机求 解方法，内容包括： 线性方程组的数值方法，非线性方程（组） 的数值解法，插值与逼近，数值积分与微 分，求解矩阵特征值和特值向量的数值方 法，常微分方程初值问题的数值方法等。
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• • • • • • •
NC3：方程求根 迭代方法及收敛性（***） 收敛阶及判定方法（**） 加速方法（*） 牛顿法（***） 弦截法（**） 非线性方程组的迭代法（*）
• • • • • •
NC4：矩阵特征值和特征向量 幂法（**） 反幂法（**） 雅可比法（**） QR方法（*） SOR法（*）