专题复习_乘法公式知识点归纳与典例+练习题(生)

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专题研究乘法公式详细总结及典型例题

乘法公式专题【主要内容】 1．两数和乘以它们的差·推导：（a+b ）（a-b ）=22b ab ab a ++-（多项式乘法法则） 22b a -= （合并同类项） ·公式：（a+b ）(a-b)＝a 2-b 2·语言表示：两个数的和与这两个数的差的积等于这两数的平方差 ·用面积表示：矩形ABCD 的面积=（a+b ）（a-b ）公式的结构特征：①左边：两个二项式相乘，这两个二项式中，有一项完全相同，另一项互为相反数。

②右边：两项的平方差，其中被减数就是左边两个二项式中完全相同的项的平方。

③公式中的字母可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式等代数式 2．两数和的平方·推导 222))(()(b ab ab a b a b a b a +++=++=+（多项式乘法法则）222b ab a ++= （合并同类项）·公式：()2222b ab a b a +±=±·语言表述：首平方、尾平方、乘积两倍放中央。

·用面积表示：正方形ABCD 的面积=2)(b a +又正方形ABCD 又被分成了四块，这四块的面积分别是2a 、ab 、ab 、2b即2222)(b ab a b a ++=+·公式的结构特征：（1）左边：两数和的平方。

即2)(b a +（2）右边：是二次三项式，这两数的平方和加上这两数积的2倍，即ab b a 222++ （3）公式中的a 、b 可以是数、单项式、多项式。

【乘法公式的变形】(a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2 (a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b 3 (a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3－b 3归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： ① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2② 符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2 ③ 指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4 ④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2 ⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]=(xy )2-(z +m )2 =x 2y 2-(z +m )(z +m ) =x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2) =x 2y 2-z 2-2zm -m 2⑥ 增项变化，(x -y +z )(x -y -z )=(x -y )2-z 2 =(x -y )(x -y )-z 2 =x 2-xy -xy +y 2-z 2 =x 2-2xy +y 2-z 2⑦ 连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2)=(x 2-y 2)(x 2+y 2) =x 4-y 4⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )] =2x (-2y +2z ) =-4xy +4xz【平方差、完全平方式例题讲解】一、计算 1.（a+3）（a-3）（a 2+9）2.(2x-1)(2x+1)(4x 2+1)(16x 4+1)3.(2x-y)(y+2x)-2(3x-2y)(-2y-3x)-(11x-3y)(2x+3y)二、计算1.(3a+b)2 =2.(-x+3y)2 =3.(-m-n)2=三、简便计算1.498×502 =2.1022 =3.20042-4006×2004+20032=四、整体思想1.(x-y-z)(x-y+z) =2.(3a+4b-c)2=五、逆用公式1.（x+y ）2（x-y ）2-（x-y ）(x+y)(x 2+y 2) =2.（x+2y ）2(x-2y)2=3.（x+1）2(x-1)2(x 2+1)2=六、灵活运用公式1. 已知：a+b=3，ab=-12,求a 2+b 2和(a-b)2的值。

第03讲乘法公式(原卷版)

第03讲乘法公式课程标准学习目标①平方差公式②完全平方公式 1. 能推导平方差公式，了解平方差公式的几何意义，掌握平方差公式的特点，熟练的对平方差公式进行应用。

2. 能推导完全平方公式，了解完全平方公式的几何意义，掌握完全平方公式的特点，熟练的对完全平方公式进行应用。

1. 平方差公式的内容：两个数的和乘以两个数的差等于这两个数的差。

即()()=-+b a b a 。

注意：可以是两个相等的数，也可以是两个相同的式子。

用符号相同项的平方减去符号相反项的平方。

2. 式子特点分析：()()22b a b a b a -=-+：两个二项式相乘，若其中一项，另一项，则等于他们项的平方减去项的平方。

3. 平方差公式的几何背景：如图：将图①的蓝色部分移到图②的位置。

图①的面积为：()()b a b a -+；图②的面积为：22b a -；图①与图②的面积相等。

所以()()22b a b a b a -=-+题型考点：①平方差公式的计算。

②利用平方差公式求值。

③平方差公式的几何背景应用。

④利用平方差公式简便计算。

【即学即练1】1．下列各式中不能用平方差公式计算的是（）A ．B ．（﹣2x +3y ）（﹣3y ﹣2x ）C ．（﹣2x +y ）（﹣2x ﹣y ）D ．（x ﹣1）（﹣x +1）【即学即练2】2．计算：（1）（a +b ）（a ﹣2）；（2）；（3）（m +n ）（m ﹣n ）；（4）（0.1﹣x ）（0.1+x ）；（5）（x +y ）（﹣y +x ）．【即学即练3】3．若x ﹣y ＝2，x 2﹣y 2＝6，则x +y ＝．【即学即练4】4．已知m ﹣n ＝1，则m 2﹣n 2﹣2n 的值为（）A ．1B ．﹣1C ．0D ．2【即学即练5】5．如图（1），在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ），把余下的部分拼成一个长方形，如图（2），此过程可以验证（）A ．（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2B ．（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab +b 2C ．a 2﹣b 2＝（a +b ）（a ﹣b ）D ．（a +b ）2＝（a ﹣b ）2+4ab 【即学即练6】6．20142﹣2013×2015的计算结果是．知识点02 完全平方公式1. 完全平方公式的内容：①完全平方和公式：两个数的和的平方，等于这两个数的的和这两个数乘积的两倍。

(完整版)整式的乘法知识点及练习

整式的乘法知识点及相关习题复习1. 同底数幂的乘法同底数幂相乘，底数不变，指数相加，用字母表示为a m .a n =a n m +（m 、n 都是正整数）练习：（1）32a a a ⋅⋅ （2）32)(x x ⋅-（3） 32333⨯⨯ （4）312++⋅n n x x（5）()()m m 2224⨯⨯ （6）()()()a a a n n -⨯-⨯-++2312 2.幂的乘方幂的乘方，底数不变，指数相乘。

用字母表示为（a m ）n =a mn (m 、n 都是正整数)3.积的乘方积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

用字母表示为(ab)n =a n .b n (n 为正整数)练习：－(2x 2y 4)3 (－a)3·(a n )5·(a 1－n )5［(102)3］4 ［(a+b)2］4［－(－x)5］2 (x a ·x b )c4.整式的乘法1）单项式的乘法单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

练习：)3()21(23322y x z y x xy -⋅-⋅)()()3(343y x y x -⋅-⋅-)104)(105.2)(102.1(9113⨯⨯⨯11215--⋅⋅n n n y x y x2）单项式与多项式相乘单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

练习：22(3)(21)x x x --+-= 321(248)()2x x x ---⋅-= 223121(3)()232x y y xy +-⋅- 3212[2()]43ab a a b b --+ 3）多项式与多项式相乘多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

练习：(3x －1)(4x ＋5)(－4x －y)(－5x ＋2y)(y －1)(y －2)(y －3)(3x 2＋2x ＋1)(2x 2＋3x －1)2.乘法公式1）平方差公式两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。

【精品讲义】人教版八年级上册数学乘法公式讲义知识点讲解+练习题

1、同底数幕的乘法法则：同底数幕相乘，底数不变，指数相加。

即（疋（咏n都是正整数）注：底数可以是单项式，也可以是多项式：底数不同的幕相乘，不能用该法则：不要忽视指数为1的因数:三个或三个以上同底数幕相乘时，也具有这一性质；该法则可以逆用，即严=屮 7（m、n都是正整数）2、幕的乘方法则：幕的乘方，底数不变，指数相乘。

即__________________________注：不要将幕的乘方与同底数幕的乘法混淆，幕的乘方运算转化为指数的乘法壳牌（底数不变）.同底数幕的乘法运算转化为指数的加法运算（底数不变九在形式上，底数本身就是一个幕，底数为多项式时，应视为一个整体，切忌分开；幕的乘方法则可进一步推广为：= ______________________ （M、N、P都是正整数）该法则可逆用，即______________________3、积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幕相乘。

即（ab）n = a tl b n（N 为正整数）。

注：法则中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式：运用该法则时，注意系数为-1时的号的确左：三个或三个以上因式的乘方，也具有这一性质：该法则可逆用，即_________________ ,逆向运用可将算式灵活性变形或简化讣算。

单项式的乘法1、单项式乘单项式法则：把它们的系数、同底数分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为枳的因式。

积的系数等于各因式系数的积，注意相乘时积的符号；相同字母相乘，要运用同底数幫的乘法，即底数不变，指数相加：2、单项式乘多项式法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

单位项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同；积的符号由单项式的符号与多项式的符号同时决定的；对于混合运算，应注意运算顺序，先算积的乘方与幕的乘方，再算乘法，最后有同类项要合并，使所得的结果是要最简。

多项式的乘法：多项式乘多项式法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

初二数学知识点专题讲解与练习2---乘法公式(培优版)

A．正数
B．负数
C．非负数
D．可正可负
．若则的值是（） 9 x − y = 2, x2 + y2 = 4, x1992 + y1992
．A 4
．B 19922
．C 21992
．D 41992
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（“希望杯”邀请赛试题）
10．某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个 8 列的长方形队列．如果原队列中增加 120 人，就能
例 4 71 提示：由 a＋b＝1， a2 ＋ b2 ＝2 得 ab＝－ 1 ，利用 an+1 ＋ bn+1 ＝（ an ＋ bn ）（a＋
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2
b)－ab( an−1 ＋ bn−1 )可分别求得 a3 ＋ b3 ＝ 5 ，a4 ＋ b4 ＝ 7 ，a5 ＋ b5 ＝ 19 ，a6 ＋ b6 ＝ 26 ，a7 ＋
对于（2），由条件等式联想到完全平方式，解题的切入点是整体考虑．
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【例 3】计算下列各题：（）； 1 6(7 +1)(72 +1)(74 +1)(78 +1) +1
（天津市竞赛试题）
（）； 2 1.234 52 + 0.765 52 + 2.469× 0.765 5
（“希望杯”邀请赛试题）
3．13 4．156 5．D
6.C 提示：（x＋y）（x－y）＝2009＝7×7×41 有 6 个正因数，分别是 1，7，41，49，287 和 2009，因此对应的方程组为： x + y = −1,−7,−41,−49,−287,−2009,1,7,41,49,287,2009; x − y = −2009,−287,−49,−41,−7,−1,2009,287,49,41,7,1. 故（x，y）共有 12 组不同的表示． 7．B 8．C 9．提示：不存在符合条件的整数对（m，n），因为 1954 不能被 4 整除．

乘法公式,知识梳理,经典中考题

学员编号：年级：八年级课时数：3 学员姓名：辅导科目：数学学科教师：课题乘法公式授课日期及时段教学目的1.理解平方差公式、完全平方公式的意义以及它们与多项式乘法的关系.2.会初步选择、运用平方差公式与完全平方公式进行简单计算重难点平方差公式、完全平方公式的推导和应用，灵活应用平方差公式、完全平方公式。

【考纲说明】了解乘法公式（a+b）（a-b）= 、的几何背景，并能进行简单计算。

【趣味链接】某学校学生实践基地有一块边长为30米的正方形实验田，现要在实验田中开设一块边长为5米的正方形观测台，现要在实验田播种，请问正方形实验田的播种面积是多少平方米？【知识梳理】1、平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b22、完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b23、公式的变式，准确灵活运用公式：①位置变化，(x+y)(-y+x)=x2-y2②符号变化，(-x+y)(-x-y)=(-x)2-y2= x2-y2③指数变化，(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4④系数变化，(2a+b)(2a-b)=4a2-b2⑤换式变化，[xy+(z+m)][xy-(z+m)]=(xy)2-(z+m)2=x2y2-(z+m)(z+m)=x2y2-(z2+zm+zm+m2)=x2y2-z2-2zm-m2⑥增项变化，(x-y+z)(x-y-z)=(x-y)2-z2=(x-y)(x-y)-z2=x2-xy-xy+y2-z2=x2-2xy+y2-z2⑦连用公式变化，(x+y)(x-y)(x2+y2)=(x2-y2)(x2+y2)=x4-y4⑧逆用公式变化，(x-y+z)2-(x+y-z)2=[(x-y+z)+(x+y-z)][(x-y+z)-(x+y-z)]=2x(-2y+2z)=-4xy+4xz【经典例题】【例1】（2011江苏无锡）分解因式2x2− 4x + 2的最终结果是（）A．2x(x− 2) B．2(x2− 2x + 1) C．2(x− 1)2 D．(2x− 2)2 【例2】（2011河北）下列分解因式正确的是（）A.B．2a-4b+2=2（a-2b）C．D．【例3】（2012安徽）下面的多项式中，能因式分解的是（）A. B. C.D.【例4】（2012南昌）已知（m﹣n）2=8，（m+n）2=2，则m2+n2=（）A． 10 B． 6C． 5 D． 3【例5】（2011山东枣庄）若，且，则．【例6】已知，，求的值。

乘法公式知识点及复习题

蒙迪尔国际教育咨询电话：83737513乘法公式一、知识梳理1.平方差公式：a-b a b二a2-b22 2 22.完全平方公式：a_b a b _2ab23.x a x b]=x a b x ab2 23 34.立方和（差）公式：a b a b - ab = a ba「b ii a2b2ab 二a3_b32 2 2 25.三数和平方公式：（a+b+c）=a +b +c +2ab+2ac + 2bc2 2 2 3336.欧拉公式： a b c a b c- ab - ac - be = a b c - 3abc二、例题讲解2 2例1、要使等式（P *q ）+ M =（p -q ）成立，代数式M应为__________________ 。

2 2例2、（1）如果x+6xy+ky是一个完全平方公式的展开式，那么常数k= ________ 2 2（2）如果x +kx r^9y是一个完全平方式的展开式，那么常数k= ________ 。

2 2例3、已知a,b 满足a F=3，ab=2,则a b二-------------------“22 2芦a—b=3,ab=2,贝V a +b = _______ ,(a+b)= ________ .右m 丄=3,求m2 2禾廿! m _ 1例4、已知mm * m 的值。

蒙迪尔国际教育咨询电话：83737513例5、试说明不论a,b取任何有理数，代数式a2• b2-2a -4b 5的值总是非负数。

4 , 4 2 ,2 , ,a b a b b-aab“例6、计算'人八 A 丿的结果是________________ 例7、用乘法公式计算：（1）20142-2013 2015(2)2 3 1 32 1 33 1 川332 1 1例&如果（2a+2b+1 ）（2a+2b-1 ）=63,那么a+b的值为多少?例9、已知a =2013x 2012,b =2013x 2013,c =2013x 2014,则a2 b2 c2 -ab -be-ac =例10、若一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么这个正整数为“神秘数”4 =22 - 02,12 =42 -22,20 £-42，因此4,12,20这三个数都是神秘数。

专题1.3 乘法公式-重难点题型(举一反三)(北师大版)(解析版)

专题1.3 乘法公式-重难点题型【北师大版】【题型1 乘法公式的基本运算】【例1】（2021•锦江区校级开学）下列运算正确的是（）A．（x+y）（﹣y+x）＝x2﹣y2B．（﹣x+y）2＝﹣x2+2xy+y2 C．（﹣x﹣y）2＝﹣x2﹣2xy﹣y2D．（x+y）（y﹣x）＝x2﹣y2【分析】根据完全平方公式和平方差公式逐个判断即可．【解答】解：A、结果是x2﹣y2，原计算正确，故本选项符合题意；B、结果是x2﹣2xy+y2，原计算错误，故本选项不符合题意；C、结果是x2+2xy+y2，原计算错误，故本选项不符合题意；D、结果是y2﹣x2，原计算错误，故本选项不符合题意；故选：A．【变式1-1】（2021春•龙岗区校级期中）下列关系式中，正确的是（）A．（a﹣b）2＝a2﹣b2B．（a+b）（﹣a﹣b）＝a2﹣b2 C．（a+b）2＝a2+b2D．（﹣a﹣b）2＝a2+2ab+b2【分析】根据完全平方公式判断即可．【解答】解：A 选项，原式＝a 2﹣2ab +b 2，故该选项计算错误；B 选项，原式＝﹣（a +b ）2＝﹣a 2﹣2ab ﹣b 2，故该选项计算错误；C 选项，原式＝a 2+2ab +b 2，故该选项计算错误；D 选项，原式＝[﹣（a +b ）]2＝（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2，故该选项计算正确；故选：D ．【变式1-2】（2021春•舞钢市期末）下列乘法运算中，不能用平方差公式计算的是（）A ．（m +1）（﹣1+m ）B ．（2a +3b ﹣5c ）（2a ﹣3b ﹣5c ）C ．2021×2019D ．（x ﹣3y ）（3y ﹣x ）【分析】平方差公式，要求有一项完全相同，另一项互为相反项．根据公式的结构特点解答即可．【解答】解：不能用平方差公式计算的是（x ﹣3y ）（3y ﹣x ）＝（x ﹣3y ）×[﹣（x ﹣3y ）]＝﹣（x ﹣3y ）2，故选：D ．【变式1-3】（2021春•龙岗区校级月考）下列各式，能用平方差公式计算的是（）A ．（2a +b ）（2b ﹣a ）B ．（﹣a ﹣2b ）（﹣a +2b ）C ．（2a ﹣3b ）（﹣2a +3b ）D ．（13a +1）（―13a ―1）【分析】只有相同项，没有相反项，不符合平方差公式，故本选项不符合题意；【解答】解：A ．既没有相同项，也没有相反项，不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；B ．原式＝﹣（2b +a ）（2b ﹣a ），符合平方差公式，故本选项符合题意；C ．原式＝﹣（2a ﹣3b ）（2a ﹣3b ），只有相同项，没有相反项，不符合平方差公式，故本选项不符合题意；D ．原式＝﹣（13a +1）（13a +1）只有相同项，没有相反项，不符合平方差公式，故本选项不符合题意；故选：B ．【题型2 完全平方公式（求系数的值）】【例2】（2021春•仪征市期中）若多项式4x 2﹣mx +9是完全平方式，则m 的值是（）A ．6B ．12C ．±12D ．±6【分析】根据完全平方公式得到4x 2﹣mx +9＝（2x ﹣3）2或4x 2﹣mx +9＝（2x +3）2，即4x 2﹣mx +9＝x 2﹣12x +9或4x 2﹣mx +9＝x 2+12x +9，从而得到m 的值．【解答】解：∵多项式4x2﹣mx+9是一个完全平方式，∴4x2﹣mx+9＝（2x﹣3）2或4x2﹣mx+9＝（2x+3）2，即4x2﹣mx+9＝x2﹣12x+9或4x2﹣mx+9＝x2+12x+9，∴m＝12或m＝﹣12，故选：C．【变式2-1】（2021春•南山区校级期中）如果x2+8x+m2是一个完全平方式，那么m的值是（）A．4B．16C．±4D．±16【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．【解答】解：∵x2+8x+m2是一个完全平方式，∴m2＝16，解得：m＝±4．故选：C．【变式2-2】（2021春•新城区校级期末）已知：（x﹣my）2＝x2+kxy+4y2（m、k为常数），则常数k的值为　±4　．【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．【解答】解：∵（x﹣my）2＝x2+kxy+4y2＝x2+kxy+（2y）2（m、k为常数），∴m＝±2，∴（x±2y）2＝x2±4xy+4y2＝x2+kxy+4y2，∴k＝±4．故答案为：±4．【变式2-3】（2021春•邗江区期中）若x2﹣2（m﹣1）x+4是一个完全平方式，则m＝　3或﹣1　．【分析】根据完全平方公式得出2（m﹣1）x＝±2•x•2，求出m即可．【解答】解：∵x2﹣2（m﹣1）x+4是一个完全平方式，∴﹣2（m﹣1）x＝±2•x•2，解得：m＝3或﹣1．故答案为：3或﹣1．【题型3 完全平方公式的几何背景】【例3】（2021春•兴宾区期末）有A，B两个正方形，按图甲所示将B放在A的内部，按图乙所示将A，B并列放置构造新的正方形．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为3和16，则正方形A，B的面积之和为（）A．13B．19C．11D．21【分析】设A，B两个正方形的边长各为a、b，则由题意得（a﹣b）2＝3，（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab＝16，所以正方形A，B的面积之和为a2+b2＝（a﹣b）2+2ab，代入即可计算出结果．【解答】解：设A，B两个正方形的边长各为a、b，则图甲得（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝3，由图乙得（a+b）2﹣（a2+b2）＝（a2+2ab+b2）﹣（a2+b2）＝2ab＝16，∴正方形A，B的面积之和为，a2+b2＝（a2﹣2ab+b2）+2ab＝（a﹣b）2+2ab＝3+16＝19，故选：B．【变式3-1】（2021春•芝罘区期末）用4块完全相同的长方形拼成如图所示的正方形，用不同的方法计算图中阴影部分的面积，可得到一个关于a，b的等式为（）A．4a（a+b）＝4a2+4ab B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab【分析】由观察图形可得阴影部分的面积为4ab，也可以表示为（a+b）2﹣（a﹣b）2，可得结果．【解答】解：∵图形中大正方形的面积为（a+b）2，中间空白正方形的面积为（a﹣b）2，∴图中阴影部分的面积为（a+b）2﹣（a﹣b）2，又∵图中阴影部分的面积还可表示为4ab，∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，故选：D．【变式3-2】（2021春•岚山区期末）现有四个大小相同的长方形，可拼成如图1和图2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为4的小正方形，则每个小长方形的面积是（）A．3B．6C．12D．18【分析】设小长方形的长为a，宽为b，由图1可得a＝3b，则（a﹣b）²＝4b²＝16，解得b＝2即可就得最后结果．【解答】解：设小长方形的长为a，宽为b，由图1可得a＝3b，则（a﹣b）²＝（3b﹣b）²＝（2b）²＝4b²＝4²＝16，解得b＝2或b＝﹣2（不合题意，舍去），∴每个小长方形的面积为，ab＝3b•b＝3×2²＝12，故选：C．【变式3-3】（2021春•深圳期中）有两个正方形A，B．现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，若三个正方形A和两个正方形B，如图丙摆放，则阴影部分的面积为（）A．28B．29C．30D．31【分析】设正方形A，B的边长各为a、b（a＞b），得图甲中阴影部分的面积为（a﹣b）2＝a²﹣2ab+b²＝1，可解得a﹣b＝1，图乙中阴影部分的面积为（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab＝12，可得（a+b）²＝（a﹣b）²+4ab＝1+2×12＝25，可得a+b＝5，所以图丙中阴影部分的面积为（2a+b）²﹣（3a²+2b²）＝a²+4ab﹣b²＝（a+b）（a﹣b）+4ab，代入就可计算出结果．【解答】解：设正方形A，B的边长各为a、b（a＞b），得图甲中阴影部分的面积为（a﹣b）2＝a²﹣2ab+b²＝1，解得a﹣b＝1或a﹣b＝﹣1（舍去），图乙中阴影部分的面积为（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab＝12，可得（a+b）²＝a²+2ab+b²＝a²﹣2ab+b²+4ab＝（a﹣b）²+4ab＝1+2×12＝25，解得a+b＝5或a+b＝﹣5（舍去），∴图丙中阴影部分的面积为（2a+b）²﹣（3a²+2b²）＝a²+4ab﹣b²＝（a+b）（a﹣b）+2×2ab＝5×1+2×12＝5+24＝29，故选：B．【题型4 平方差公式的几何背景】【例4】（2021•庐江县开学）如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b（b＜a）的小正方形，把剩下部分拼成一个梯形（如图2），利用这两个图形的面积，可以验证的等式是（）A．a2+b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）【分析】分别表示图1、图2中阴影部分的面积，根据两者面积相等，即可得出结论．【解答】解：∵图1中的阴影部分面积为：a2﹣b2，图2中阴影部分面积为：12（2b+2a）（a﹣b），∴a2﹣b2=12（2b+2a）（a﹣b），即a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故选：D．【变式4-1】（2021春•博山区期末）如图1，将一个大长方形沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示图形，正好是边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分）．这两个图能解释下列哪个等式（）A．（x﹣1）2＝x2﹣2x+1B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1C．（x+1）2＝x2+2x+1D．x（x﹣1）＝x2﹣x【分析】用代数式分别表示出图1和图2中白色部分的面积，由此得出等量关系即可．【解答】解：图1的面积为：（x+1）（x﹣1），图2中白色部分的面积为：x2﹣1，∴（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1，故选：B．【变式4-2】（2021春•洪江市期末）如图（1），从边长为a的大正方形的四个角中挖去四个边长为b的小正方形后，将剩余的部分剪拼成一个长方形，如图（2），通过计算阴影部分的面积可以得到（）A．（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+b2B．（a+2b）2＝a2+4ab+b2C．（a﹣2b）（a+2b）＝a2﹣4b2D．（a+b）2＝a2+2ab+b2【分析】利用大正方形面积减去4个小正方形面积即可得出图（1）中阴影部分的面积；根据矩形的面积公式可得图（2）的面积，据此可得结果．【解答】解：图（1）中阴影部分的面积为：a2﹣4b2；图（2）中长方形的长是a+2b，宽是a﹣2b，面积是（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣4b2，∴（a﹣2b）（a+2b）＝a2﹣4b2．故选：C．【变式4-3】（2020春•阳谷县期末）如图1，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，再沿图中的虚线剪开，然后按图2所示进行拼接，请根据图形的面积写出一个含字母a，b的等式　a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）　．【分析】分别表示出两个图形的面积，再根据面积相等得出等式即可．【解答】解：图1面积为a2﹣b2，图2的面积为（a+b）（a﹣b），因此有：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．【题型5 乘法公式（求代数式的值）】【例5（2021春•邗江区校级期末）若xy＝﹣1，且x﹣y＝3．（1）求（x﹣2）（y+2）的值；（2）求x2﹣xy+y2的值．【分析】（1）原式利用多项式乘以多项式法则计算，将各自的值代入计算即可求出值；（2）原式利用完全平方公式变形，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）∵xy＝﹣1，x﹣y＝3，∴（x﹣2）（y+2）＝xy+2（x﹣y）﹣4＝﹣1+6﹣4＝1；（2）∵xy＝﹣1，x﹣y＝3，∴x2﹣xy+y2＝（x﹣y）2+xy＝9+（﹣1）＝8．【变式5-1】（2021•宁波模拟）已知（2x+y）2＝58，（2x﹣y）2＝18，则xy＝　5　．【分析】由（2x+y）2﹣（2x﹣y）2＝4×2xy进行解答．【解答】解：∵（2x+y）2＝58，（2x﹣y）2＝18，∴（2x+y）2﹣（2x﹣y）2＝4×2xy，∴58﹣18＝8xy，∴xy＝5．故答案是：5．【变式5-2】（2021春•驿城区期末）已知a﹣b＝9，ab＝﹣14，则a2+b2的值为　53　．【分析】运用完全平方公式（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab可解决此题．【解答】解：∵a﹣b＝9，ab＝﹣14，∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝a2+b2﹣2×（﹣14）＝81．∴a2+b2＝81+（﹣28）＝53．故答案为53．【变式5-3】（2021春•聊城期末）已知：a﹣b＝6，a2+b2＝20，求下列代数式的值：（1）ab；（2）﹣a3b﹣2a2b2﹣ab3．【分析】（1）把a﹣b＝6两边平方，展开，即可求出ab的值；（2）先分解因式，再整体代入求出即可．【解答】解：（1）∵a﹣b＝6，a2+b2＝20，∴（a﹣b）2＝36，∴a2﹣2ab+b2＝36，∴﹣2ab＝36﹣20＝16，∴ab＝﹣8；（2）∵a2+b2＝20，ab＝﹣8，∴﹣a3b﹣2a2b2﹣ab3＝﹣ab（a2+2ab+b2）＝﹣（﹣8）×（20﹣16）＝32．【题型6 乘法公式的综合运算】【例6】（2020秋•东湖区期末）实践与探索如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．（1）上述操作能验证的等式是　A　；（请选择正确的一个）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2C．a2+ab＝a（a+b）（2）请应用这个公式完成下列各题：①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝　4　．②计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．【分析】（1）分别表示图1和图2中阴影部分的面积即可得出答案；（2）①利用平方差公式将4a2﹣b2＝（2a+b）（2a﹣b），再代入计算即可；②利用平方差公式将原式转化为1+2+3+…+99+100即可．【解答】解：（1）图1中阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2﹣b2，图2中的阴影部分是长为（a+b），宽为（a﹣b）的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案为：A；（2）①∵4a2﹣b2＝24，∴（2a+b）（2a﹣b）＝24，又∵2a+b＝6，∴6（2a﹣b）＝24，即2a﹣b＝4，故答案为：4；②∵1002﹣992＝（100+99）（100﹣99）＝100+99，982﹣972＝（98+97）（98﹣97）＝98+97，…22﹣12＝（2+1）（2﹣1）＝2+1，∴原式＝100+99+98+97+…+4+3+2+1＝5050．【变式6-1】（2021•滦南县二模）【阅读理解】我们知道：（a+b）2＝a2+2ab+b2①，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2②，①﹣②得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，所以ab=(a b)24―(a b)24=(a b2)2―(a b2)2．利用上面乘法公式的变形有时能进行简化计算．例：51×49=(51492)2―(51492)2=502―12=2500﹣1＝2499．【发现运用】根据阅读解答问题（1）填空：102×98＝　（102982）　2﹣　（102982）　2；（2）请运用你发现的规律计算：19.2×20.8．【分析】（1）根据规律解答即可；（2）根据规律计算19.2×20.8即可．【解答】解：（1）102×98=(102982)2―(102982)2；故答案为：（102982），（102982）；（2）19.2×20.8=(19.220.82)2―(19.220.82)2=202﹣0.82＝400﹣0.64＝399.36．【变式6-2】（2021春•平顶山期末）我们将（a+b）2＝a2+2ab+b2进行变形，如：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，ab=(a b)2(a2b2)2等．根据以上变形解决下列问题：（1）已知a2+b2＝8，（a+b）2＝48，则ab＝　20　．（2）已知，若x满足（25﹣x）（x﹣10）＝﹣15，求（25﹣x）2+（x﹣10）2的值．（3）如图，四边形ABED是梯形，DA⊥AB，EB⊥AB，AD＝AC，BE＝BC，连接CD，CE，若AC•BC＝10，则图中阴影部分的面积为　10　．【分析】（1）将a2+b2＝8，（a+b）2＝48代入题干中的推导公式就可求得结果；（2）设25﹣x＝a，x﹣10＝b，则（25﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，再代入计算即可；（3）设AD＝AC＝a，BE＝BC＝b，则图中阴影部分的面积为12（a+b）（a+b）―12a²―12b²=12[（a+b）²﹣（a²+b²）]=12×2ab＝ab＝10．【解答】（1）∵a2+b2＝8，（a+b）2＝48，∴ab=(a b)2(a2b2)2=4882=20，（2）设25﹣x＝a，x﹣10＝b，由（a+b）2＝a2+2ab+b2进行变形得，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，∴（25﹣x）2+（x﹣10）2＝[（25﹣x）+（x﹣10）]²﹣2（25﹣x）（x﹣10）＝15²﹣2×（﹣15）＝225+30＝255，（3）设AD＝AC＝a，BE＝BC＝b，则图中阴影部分的面积为12（a+b）（a+b）―12（a²+b²）=12[（a+b）²﹣（a²+b²）]=12×2ab＝ab＝10【变式6-3】（2021春•滨江区校级期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积：方法1：　（a+b）2　；方法2：　a2+b2+2ab　；（2）观察图2，请你写出代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系　（a+b）2＝a2+b2+2ab　；（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：a+b＝5，（a﹣b）2＝13，求ab的值；②已知（2021﹣a）2+（a﹣2020）2＝5，求（2021﹣a）（a﹣2020）的值．【分析】（1）方法1，由大正方形的边长为（a+b），直接求面积；方法2，大正方形是由2个长方形，2个小正方形拼成，分别求出各个小长方形、正方形的面积再求和即可；（2）由（1）直接可得关系式；（3）①由（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝13，（a+b）2＝a2+b2+2ab＝25，两式子直接作差即可求解；②设2021﹣a＝x，a﹣2020＝y，可得x+y＝1，再由已知可得x2+y2＝5，先求出xy＝﹣2，再求（2021﹣a）（a﹣2020）＝﹣2即可．【解答】解：（1）方法一：∵大正方形的边长为（a+b），∴S＝（a+b）2；方法二：大正方形是由2个长方形，2个小正方形拼成，∴S＝b2+ab+ab+a2＝a2+b2+2ab；故答案为：（a+b）2，a2+b2+2ab；（2）由（1）可得（a+b）2＝a2+b2+2ab；故答案为：（a+b）2＝a2+b2+2ab；（3）①∵（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝13①，（a+b）2＝a2+b2+2ab＝25②，由①﹣②得，﹣4ab＝﹣12，解得：ab＝3；②设2021﹣a＝x，a﹣2020＝y，∴x+y＝1，∵（2021﹣a）2+（a﹣2020）2＝5，∴x2+y2＝5，∵（x+y）2＝x2+2xy+y2＝1，∴2xy＝1﹣（x2+y2）＝1﹣5＝﹣4，解得：xy＝﹣2，∴（2021﹣a）（a﹣2020）＝﹣2．。

专题复习：乘法公式知识点归纳及典例+练习题(生)

专题复习：乘法公式知识点归纳及典例+练习题一、知识概述1、平方差公式由多项式乘法得到 (a＋b)(a－b) ＝a2－b2.即两个数的和与这两个数的差的积，等于它们的平方差.2、完全平方公式由多项式乘法得到（a±b）2＝a2±2ab＋b2即两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍.推广形式：（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca二、典型例题讲解例1、计算：(1)(3a＋2b)(2b－3a)； (2)(x－2y)(－x－2y)；(3)； (4)(a＋b＋c)(a－b－c).例2、计算：(1)20042－19962 (2)(x－y＋z)2－(x＋y－z)2 (3)(2x＋y－3)(2x－y－3)．例3、计算：(1)(3x＋4y)2； (2)(－3＋2a)2；(3)(2a－b)2；(4)(－3a－2b)2例4、已知m＋n＝4， mn＝－12，求(1)；（2）；（3）．一、选择题1、计算：的结果为（）A．B．1000C．5000 D．5002、20092－2008×2010的计算结果为（）A．－1 B．1C．－2 D．23、一个多项式的平方是，则（）A．9b2B．－3b2C．－9b2D．3b24、如果a2－b2＝20，且a＋b＝－5，则a－b的值等于（）A．5 B．4C．－4 D．以上都不对5、用乘法公式计算正确的是（）A．(2x－1)2＝4x2－2x＋1B．(y－2x)2＝4x2－4xy＋y2C．(a＋3b)2＝a2＋3ab＋9b2D．(x＋2y)2＝x2＋4xy＋2y26、已知，则＝（）A．5 B．7C．9 D．117、如果x2＋kx＋81是一个完全平方式，则k的值是（）A．9 B．－9C．±9 D．±188、已知方程x2－6x＋q＝0可以配方成（x－p）2＝7的形式，那么x2－6x＋q＝2可以配方成下列的（）A．(x－p）2＝5 B．（x－p）2＝9C．(x－p＋2)2＝9 D．(x－p＋2)2＝59、设a＋b＝0，ab＝11，则a2－ab＋b2等于（）A．11 B．－11C．－33 D．3310、已知x－y＝3，y－z＝，则（x－z）2＋5（x－z）＋的值等于（）.A．B．C．D．36二、解答题11、计算下列各题：(1)(－2x－7)(－2x＋7)； (2)(3x－y)(y＋3x)－2(4x－3y)(4x＋3y)；(3)(m＋1)2－5(m＋1)(m－1)＋3(m－1)2； (4)(2x＋3y－1)(1＋2x－3y)＋(1＋2x－3y)2.12、化简求值：(1)4x(x2－2x－1)＋x(2x＋5)(5－2x)，其中x＝－1.(2)(8x2＋4x＋1)(8x2＋4x－1)，其中x＝.(3)(3x＋2y)(3x－2y)－(3x＋2y)2＋(3x－2y)2，其中x＝，y＝－.13、已知x2＋y2＝25，x＋y＝7，且x>y，求x－y的值.14、已知在△ABC中，（a，b，c是三角形三边的长）．求证：a＋c ＝2b．15、（1）已知，求：①，②，③，④。

专题3.4 乘法公式(知识解读)(原卷版)

（1）数学课上，老师用图 1 中的一张纸片 A，一张纸片 B 和两张纸片 C，拼
成了如图 2 所示的大正方形，由此可以得到的乘法公式是
；
（2）若小莉想用图 1 中的三种纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+b）的大长
方形，需要 A、B、C 三种纸片分别张．
【变式 6-2】（2022 秋•黄石港区期末）如图，对一个正方形进行了分割，通过面积恒等，能够验证下列哪个等式（）
【变式 1-1】计算：（a﹣b）（a+b）．
【变式 1-2】（2m+n）（2m﹣n）．
【变式 1-3】（2022 秋•唐河县期末）下列能用平方差公式计算的是（）
A．（﹣x+y）（x+y）
B．（﹣x+y）（x﹣y）
C．（x+2）（2+x）
D．（2x+3）（3x﹣2）
【典例 2】用简便方法计算下列各题：
）．
）（1﹣
【变式 3-1】（2022 秋•离石区期末）在边长为 a 的正方形中挖掉一个边长为 b 的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形（如图），通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（）
A．a2﹣ab＝a（a﹣b） C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 【变式 3-2】乘法公式的探究及应用．
是（）
A．±18
B．±9
C．9
D．18
【变式 5-1】（2022 秋•新会区校级期末）已知 x2﹣ax+16 可以写成一个完全平
方式，则 a 可为（）
A．4
B．±4
C．8
D．±8
【变式 5-2】（2022 秋•沙坪坝区期末）若 x2+（k+1）x+1 是一个完全平方式，

乘法公式的复习讲义(学生版)

乘法公式的复习讲义平文一、重要的乘法公式：1.平方差公式：(a+b)．(a-b) =a2-b2体会：①公式的字母 a、b 可以表示数，也可以表示单项式、多项式；②要符合公式的结构特征才能运用平方差公式；③有些式子表面上不能应用公式，但通过适当变形实质上能应用公式．如：(x+y-z)(x-y-z) =[ (x-z) +y][ (x-z) -y]= (x-z) 2-y2．从图形的角度对它验证 :如图，边长为 a 的正方形。

aba b b在下边切去一个宽为 b,长为(a-b)的长方形 ,再在右边加去一个宽为 b,长为 (a-b ) 的长方形这时，红色和黄色区域的面积和是________.(a+b)(a-b)2.完全平方公式： (a+b)2=a2+2ab+b2 、(a-b)2=a2-2ab+b2体会： __________________________________________________ 3.多项式的完全平方：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac、(a-b-c)2=a2+b2+c2-2ab+2bc-2ac思考： (a+b-c)2=_______________(a-b+c)2=_______________体会： __________________________________________________ ___________________________________________.4.两个一次二项式相乘： (x+a) ． (x+b) =x2+(a+b)x+ab.体会： a、b 可以是正数也可以是负数。

5.补充几个乘法公式：①立方差公式：(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3② 立方和公式：(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3体会规律： _____________________________________6. 由平方差、立方和(差)公式引伸的公式 :(a+b) (a3－a2b+ab2－b3)=a4－b4；(a+b)(a4－a3b+a2b2－ab3+b4)=a5+b5；(a+b)(a5－a4b+a3b2－a2b3+ab4－b5)=a6－b6 …………注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律在正整数指数的条件下，可归纳如下：设 n 为正整数(a+b)(a2n－1－a2n－2b+a2n－3b2 －…＋ab2n－2－b2n－1)=a2n－b2n(a+b)(a2n－a2n－1b+a2n－2b2 －…－ab2n－1+b2n)=a2n+1+b2n+1类似地：(a－b) (a n－1+a n－2b+a n－3b2+…＋ab n－2+b n－1)=a n－b n 二、例题分析：题型 1 ：平方差公式的应用：(1) 公式中的字母 a、b 可以表示数，也可以是表示数的单项式、多项式即整式．(2)要符合公式的结构特征才能运用平方差公式．(3)有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式，但通过加法或乘法的交换律、结合律适当变形实质上能应用公式．例 1.计算(3x-1)(3x+1)(9x2+1)例 2.计算(2x-1)2(1+2x)2- (2x+3) 2(2x-3)2例 3.计算(x2-x+2)(x2-x-2)变式 1：计算(x+y+z)(x+y-z)变式 2：已知 z2=x2+y2 ，化简(x+y+z)(x-y+z)(-x+y+z)(x+y-z)．变式 3：计算(a- 2b+c)(a+2b-c)-(a+2b+c) 2变式 4： (a+b+c)(a+b－c)(a－b+c)(－a+b+c)例4. 计算(1)899×901＋1 (2) 1232-122×118变式 1：计算： 1002-992+982-972+ …+42-32+22-1例 5：计算： (2+1) (22+1) (24+1) (28+1) (216+1) (232+1)++变式：计算：+例 6.探索题：(x-1)(x+1)=x 2 1(x-1) (x 2+x+1)=x 3-1(x-1)(x 3+x 2+x+1)=x 4-1(x-1)(x 4+x 3+x 2+x+1)=x 5-1……试求 26+25+24+23+22+2+1 的值，判断 22005+22004+22003+ …+2+1 的末位数。

中考复习——乘法公式(学生版)

中考复习——乘法公式一、选择题1、（1+y）（1-y）=（）．A. 1+y2B. -1-y2C. 1-y2D. -1+y22、下列运算正确的是（）．A. a12÷a3=a4B. （3a2）3=9a6C. 2a·3a=6a2D. （a-b）2=a2-ab+b23、下列运算正确的是（）．A. （a+b）（a-2b）=a2-2b2B. （a-12）2=a2-14C. -2（3a-1）=-6a+1D. （a+3）（a-3）=a2-94、下列运算正确的是（）．A. 2x+3x=5x2B. （-2x）3=-6x3C. 2x3·3x2=6x5D. （3x+2）（2-3x）=9x2-45、下列运算正确的是（）．A. 4m-m=4B. （a2）3=a5C. （x+y）2=x2+y2D. -（t-1）=1-t6、下列运算正确的是（）．A. （2a2b）2=2a4b2B. （-a）2=a2C. （a+b）2=a2+b2D. a3a4=a127、下列计算正确的是（）．A. x2+x=x3B. （-3x）2=6x2C. 8x4÷2x2=4x2D. （x-2y）（x+2y）=x2-2y28、选择计算（-4xy2+3x2y）（4xy2+3x2y）的最佳方法是（）．A. 运用多项式乘多项式法则B. 运用平方差公式C. 运用单项式乘多项式法则D. 运用完全平方公式9、下列计算正确的是（）．A. a2·a3=a6B. a8÷a2=a4C. a2+a2=2a2D. （a+3）2=a2+910、下列运算，正确的是（）．A. 2x+3y=5xyB. （x-3）2=x2-9C. （xy2）2=x2y4D. x6÷x3=x211、下列计算正确的是（）．A. B. （-2a2b）3=-6a2b3C. （a-b）2=a2-b2D.24aa b-+·2a ba++=a-212、下列运算不正确的是（）．A. xy+x-y-1=（x-1）（y+1）B. x2+y2+z2+xy+yz+zx=12（x+y+z）2C. （x+y）（x2-xy+y2）=x3+y3D. （x-y）3=x3-3x2y+3xy2-y313、下列计算正确的是（）．A. （x+y）2=x2+y2B. 2x2y+3xy2=5x3y3C. （-2a2b）3=-8a6b3D. （-x）5÷x2=x314、如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（）．A. x2-2x+1=（x-1）2B. x2-1=（x+1）（x-1）C. x2+2x+1=（x+1）2D. x2-x=x（x-1）15、下列运算一定正确的是（）．A. 2a+2a=2a2B. a2·a3=a6C. （2a2）3=6a6D. （a+b）（a-b）=a2-b216、若()()2291111k--=8×10×12，则k=（）．A. 12B. 10C. 8D. 617、化简（x-3）2-x（x-6）的结果为（）．A. 6x-9B. -12x+9C. 9D. 3x+918、4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2．若S1=2S2，则a、b满足（）．A. 2a=5bB. 2a=3bC. a=3bD. a=2b19、已知三个实数a，b，c满足a-2b+c=0，a+2b+c＜0，则（）．A. b＞0，b2-ac≤0B. b＜0，b2-ac≤0C. b＞0，b2-ac≥0D. b＜0，b2-ac≥0二、填空题20、计算：（a-1）2=______．21、计算：（a+3）2=______．22、计算：（2-x）2=______．23、已知a=7-3b，则代数式a2+6ab+9b2的值为______．24、化简x2-（x+2）（x-2）的结果是______．25、化简：（）（）=______．26、若a=b+2，则代数式a2-2ab+b2的值为______．27、若x2+ax+4=（x-2）2，则a=______．28）-1）的结果等于______． 29、已知a +b =3，a 2+b 2=5，则ab 的值是______． 30、若x 、y 、z 为实数，且2421x y z x y z +-=⎧⎨-+=⎩，则代数式x 2-3y 2+z 2的最大值是______．31、2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为b ．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为______．三、解答题32、化简：（a +b ）2-b （2a +b ）．33、计算：（1）（x +y ）2+x （x -2y ）．（2）（1-3mm +）÷22969m m m -++．34、计算：（1）（a +b ）2+a （a -2b ）．（2）m -1+2269m m --+223m m ++．。

2024年中考数学复习-乘法公式考点培优练习

乘法公式考点培优练习考点直击 1.乘法公式是由多项式相乘得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论：① 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差.(a +b )(a −b )=a²−b²②完全平方公式：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减去)它们的积的2倍.(a ±b )²=a²±2ab +b²2.对乘法公式的理解，重在突出代数推理思想的应用，在课本的基础上，常用的乘法公式还有：①(a −b )(a²+ab +b²)=a³−b³;②(a +b )(a²−ab +b²)=a³+b³;③(a +b )³=a³+3a²b +3ab²+b³④(a −b )³=a³−3a²b +3ab²−b³;(a +b +c )²=a²+b²+c²+2ac +2bc +2ab⑥(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac) =a³+b³+c³-3abc;⑦ (a −b )(a n−1+a n−2b +a n−3b 2+⋯+ab n−2+b n−1)=a n −b n ;⑧ (a +b )(a 2n −a 2n−1b +a 2n−2b 2−⋯−ab 2n−1+b 2n )=a 2n+1+b 2n+1.例题精讲例1 南山植物园中现有A ，B 两个园区，已知A 园区为长方形，长为(x+y)米,宽为(x-y)米;B 园区为正方形,边长为(x+3y)米.(1)请用代数式表示 A ，B 两园区的面积之和并化简；(2)现根据实际需要对A 园区进行整改，长增加(11x-y)米，宽减少(x-2y)米，整改后A 区的长比宽多350米，且整改后两园区的周长之和为980米.①求x,y 的值;②若 A 园区全部种植C 种花，B 园区全部种植D 种花，且C ，D 两种花投入的费用与吸引游客的收益如表：求整改后A ，B 两园区旅游的净收益之和.(净收益=收益-投入)【思路点拨】(1)根据长方形的面积公式和正方形的面积公式分别计算A ，B 两园区的面积，再相加即可求解；(2)①根据等量关系：整改后A 区的长比宽多350米，整改后两园区的周长之和为980米，列出方程组求出x ，y 的值；② 代入数值得到整改后A ，B 两园区的面积之和，再根据净收益=收益—投入，列式计算即可求解.举一反三1 (湖北中考)如图所示，图1是一个边长为a 的正方形剪去一个边长为1的小正方形，图2是一个边长为(a-1)的正方形，记图1、图2中阴影部分的面积分别为S ₁，S ₂，则 S 1S 2可化简为 .举一反三2 有相邻的两块长方形土地，大小如图所示( (a⟩100,单位：m)，出售土地的价格有如下两种不同方式：方式一：左边大的长方形土地x万元，/m²,，右边小的长方形土地y万元/m²;万元/m².方式二：全部土地x+y2(1)分别求出按两种方式出售全部的土地的收入是多少万元.(2)比较按两种方式出售全部土地的收入的大小关系.举一反三3 某公园计划砌一个形状如图1的喷水池，后来有人建议改为图2的形状，且外圆的直径不变，请你比较两种方案，确定哪一种方案砌各圆形水池的周边需用的材料多.(友情提示：比较两种方案中各圆形水池周长的和)举一反三4 某全民健身中心游泳场设计方案如图所示，A 区为成人泳区，B 区为儿童泳区，其余地区为草坪.(1)游泳区和草坪的面积各是多少?(2)如果游泳场需要有不少于一半的草坪，那么这个设计方案符合要求吗?例2 (广东中考)阅读材料：把形如ax²+bx+c的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫作配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a²±2ab+b²=(a±b)².例如：(x−1)2+3,(x−2)2+2x,(12x−2)2+34x2是x²−2x+4的三种不同形式的配方(即“余项”分别是常数项、一次项、二次项).请根据阅读材料解决下列问题：(1)比照上面的例子，写出x²−4x+2三种不同形式的配方；(2) 将a²+ab+b²配方(至少两种形式)；(3) 已知a²+b²+c²−ab−3b−2c+4=0求a+b+c的值.【思路点拨】(1)(2)考查对完全平方公式的应用能力，由题中所给的已知材料可得x²−4x+2和a²+ab+b²的配方也可分别写成“余项”是常数项、一次项、二次项的三种不同形式；(3)通过配方后，求得a，b，c的值，再代入代数式求值.举一反三5 (南通中考)已知A=2a²−a+2,B=2,C=a²−2a+4,其中a>1.(1) 求证: A−B>0;(2)试比较A，B，C三者之间的大小关系，并说明理由.举一反三6 (安徽中考)老师在黑板上写出三个算式：5²−3²=8×2,9²−7²=8×4,15²−3²=8×27,王华接着又写了两个具有同样规律的算式：11²−5²=8×12,15²−7²=8×22.(1)请你再写出两个(不同于上面算式)具有上述规律的算式；(2)用文字写出反映上述算式的规律；(3)证明这个规律的正确性.举一反三7 (沈阳中考)认真阅读材料，然后回答问题：我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式,如:(a +b)¹=a+b,(a+b)²=a²+2ab+b²,(a+b)³=(a+b)²(a+b) = a3+3a2b+3ab2+b3,⋯下面我们依次对(a+b)”展开式的各项系数进一步研究，发现当n取正整数时可以单独列成表中的形式：上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：(1)多项式(a+b)ⁿ的展开式是一个几次几项式?并预测第三项的系数.(2)结合上述材料，推断出多项式( (a+b)ⁿ(n取正整数)的展开式的各项系数之和 S(结果用含字母n 的代数式表示).例3 (肇庆中考)(1)计算: (a+b)(a²−ab+b²);(2)若x+y=1,xy=−1,求x³+y³的值.【思路点拨】(1)用多项式的乘法法则将多项式展开，再合并同类项即可得解；(2)用立方和公式直接计算.举一反三8 (通辽中考)若关于x的二次三项式x2+ax+14是完全平方式，则实数a 的值是 . 举一反三9(广西中考)观察下列等式：1+2+3+4+⋯+n=12n(n+1);1+3+6+10+⋯+12n(n+1)=16n(n+1)(n+2);1+4+10+20+⋯+16n(n+1)(n+2)=124n(n+1)(n+2)(n+3);则1+5+15+35+⋯+124n(n+1)(n+2)(n+3)=¯举一反三 10 (西藏中考)先化简，再求值：( (m+n)²+(m+n)(m−3n)−(2m+n)(2m−n);；其中m=√2,n=1.过关检测基础夯实1.(娄底中考)下列运算正确的是 ( )A.a²⋅a³=a⁶B.(a+b)²=a²+b²C.(−2a)³=−8a³D.a²+a²=a⁴2.(牡丹江中考)下列运算正确的是 ( )A.a²⋅a⁵=a¹⁰B.(a−2)²=a²−4C.a⁶÷a²=a³D.(−a²)⁴=a⁸3.(连云港中考)计算( (x+2)²的结果为x²+□x+4,则“□”中的数为 ( )A. —2B. 2C. -4D.44.(玉溪中考)若x²+6x+k是完全平方式，则k= ( )A.9B. -9C.±9D. ±35.(枣庄中考)若a+b=3,a²+b²=7,则ab=.6.(湖州中考)利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式.例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：( (a+b)²=a²+2ab+b².你根据图乙能得到的数学公式是 .7.(湘潭中考)多项式x²+1添加一个单项式后可变为完全平方式，则添加的单项式可以是 (任写一个符合条件的即可).8.(温州中考)(1) 计算: √4−|−2|+(√6)0−(−1);(2) 化简: (x−1)²−x(x+7).9.(无锡中考)计算：(1)√9−(−2)2+(−0.1)0;(2)(x+1)²−(x+2)(x−2).能力拓展10.(遵义中考)如图,从边长为(a+1) cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a—1)cm的正方形(a>1)，再将剩余部分沿虚线剪开拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，则该矩形的面积是 ( )A.2cm²B.2acm²C.4acm²D.(a²−1)cm²11.(乌鲁木齐中考)图1是边长为(a+b)的正方形，将图 1中的阴影部分拼成图 2 的形状，由此能验证的式子是 ( )A.(a+b)(a−b)=a²−b²B.(a+b)²−(a²+b²)=2abC.(a+b)²−(a−b)²=4abD.(a−b)²+2ab=a²+b²12.(杭州中考)设M=x+y,N=x-y,P=xy.若M=1,N=2,则P= .13.(宁波中考)用长、宽分别为a，b的矩形硬纸片拼成一个“带孔”正方形，如图所示.利用面积的不同表示方法，写出一个代数恒等式: .14.(南充中考)若x²+mx+1=(x+n)²,且m>0,则n的值是 .15.(黄石中考)若x²+2xy+y²−a(x+y)+25是完全平方式，求a 的值.16.(兰州中考)化简:a(1—2a)+2(a+1)·(a-1).17.(大庆中考)已知: x²−y²=12,x+y=3,求2x²−2xy的值.18.(江西中考)(1)计算:((a+1)(a-1)-(a-2)²;(2)解不等式: x−1≥x−22+3.综合创新19.若(x+a)(x+b)+(x+b)·(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式,则a，b，c的关系可以写成( )A. a<b<cB.(a−b)²+(b−c)²=0C. c<a<bD. a=b≠c20.若√x√x =−2,则x²−1x2的值为 .21.(衢州中考)有一张边长为a 厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：小明发现这三种方案都能验证公式a²+2ab+b²=(a+b)²,对于方案一，小明是这样验证的：a²+ab+ab+b²=a²+2ab+b²=(a+b)²请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程.方案二：方案三：22.(临汾中考)阅读材料并回答问题：我们知道，完全平方式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，如：(2a+ b)(a+b)=2a²+3ab+b²就可以用图 1或图 2等图形的面积表示.(1)请写出图3所表示的代数恒等式：;(2)试画一个几何图形，使它的面积表示恒等式(a+b)(a+3b)=a²+ 4ab+3b²;(3)请仿照上述方法另写一个含有a，b的代数恒等式，并画出与它对应的几何图形.2 乘法公式的各种变化【例题精讲】1. (1)(x+y)(x-y)+(x+3y)²=x²- y²+x²+6xy+9y²=2x²+6xy+8y²(平方米) (2) ① x =30 y = 10②57 600元解析:(2)①(x+y)+(11x--y)=x+y+11x-y=12x(米),(x--y)--(x-2y)=x-y-x+2y=y(米),依题意有{12x−y=350,2(12x+y)+4(x+3y)=980,解得{x=30,y=10.②12xy=12×30×10=3 600(平方米), (x+3y)²=x²+6xy+9y²=900+1 800+900=3 600(平方米),(18-12)×3600+ (26−16)×3600=6×3600+10×3 600=57 600(元).2. (1)x²−4x+2=(x−2)²−2x²−4x+- 2=(x+√2)2−(2√2+4)xx2−4x+6/ =(√2x−√2)2−x2 (2)a²+ab+b²=(a+b)²−aba²+ab+b²=(a+12b)2+34b2 (3)4解析：(3)a²+b²+c²−ab−3b−2c+4=(a2−ab+14b2)+(34b2−3b+3)+(c2−2c+1)=(a2−ab+14b2)+3 4(b2−4b+4)+(c2−2c+1)=(a−12b)2+34(b−2)2+(c−1)2=0,从而有 a一12b=0,b−2=0,c−1=0,即a=1,b=2,c=1,∴a+b+c=4.3.(1) 原式=a³−a²b+ab²+a²b−ab²+b³=a³+b³(2)x³+y³=(x+y)(x²−xy+y²)=(x+y)[(x+y)²−3xy],∵x+y=1,xy=−1,∴x³+y³=1×[1²−3×(−1)]=4.【举一反三】1.a+1a−1解析: S1S2=a2−1(a−1)2=(a−1)(a+1)(a−1)2=a+1a−1.2.(1) 方式一收入:xa(a+100)+100y(a- 100)=a²x+100ax+100ay−10000y;方式二收入：x+y2[a(a+100)+100.(a−100)]=12a2x+100ax−5000x+12a2y+100ay−5000y. (2)方式一、二的收入的差为(a²x+100ax+100ay=10000y)−(12a2x+100ax−5000x+)12a2y+100ay−5000y)=12a2x+5000x−12a2y−5000y=x−y2(a2+10000),①当x>y时,方式一的收入大于方式二的收入；②当x=y时，方式一的收入等于方式二的收入；③当x<y时，方式一的收入小于方式二的收入.3. 在图 1 中,周长为2×2πr=4πr;在图 2中，周长为2πr+2π⋅r2+2π⋅r3+2π.r6=2π⋅(r+r2+r3+r6)=4πr,∴两种方案各圆形水池的周边需要的材料一样多.4.(1)根据题意得A区的面积为4a ·3a=12a²,B区的面积为(3a2)2π=9a24π,则游泳区的面积为12a2+9a24π.草坪面积为(a+4a+5a)(32a+3a+32a)−(12a2+9a24π)=48a2−9a24π.(2) 根据题意得12a2+9a24π≥12(48a2−9a24π),整理得 12a² - 27a28π≤0,即3a2(32−9π)8≤0,∵32−9π>0，显然此不等式不成立，则这个方案不符合要求.5.(1) 证明: A−B=(2a²−a+2)−2=2a²-a=a(2a-1),∵a>1,∴2a-1> 0,a(2a−1)>0,∴(2a²−a+2)−2>0,∴A-B>0;(2) A>C>B 理由：A−C=(2a²−a+2)−(a²−2a+4)=a²+a--2=(a--1)(a+2),∵a>1,∴a-1>0,a+2>0,∴(a-1)(a+2)>0,∴A-C>0,即A>C. C-B=(a²- 2a+4)−2=a²−2a+2=(a−1)²+1,:a>1,∴(a−1)²>0,∴(a−1)²+1>0.∴C-B>0,即C>B.则A>C>B.C.(1)11²−9²=8×513²−11²(2)任意两个奇数的平方差等于8的倍数(3)证明：设m，n 为整数，两个奇数可表示2m+1和2n+1,则( (2m+1)²−(2n+1)²=4(m--n)(m+n+1).当m,n 同是奇数或偶数时，(m--n)一定为偶数，所以4(m-n)一定是8的倍数;当m,n一奇一偶时，则(m+n+1)一定为偶数，所以4(m+n+1)一定是8的倍数.所以任意两奇数的平方差是8的倍数.7.(1) 多项式(a+b)"的展开式是一个n次(n+1)项式，第三项的系数为n(n−1)2(2) S=2"解析:(1)∵当n=1时,多项式((a+b)¹的展开式是一次二项式，此时第三项的系数为0=1×02;当n=2时,多项式(a+b)²的展开式是二次三项式，此时第三项的系数为1=2×12;当n=3时，多项式(a+b)³的展开式是三次四项式，此时第三项的系数为3=3×2 2;当n=4时,多项式(a+b)⁴的展开式是四次五项式，此时第三项的系数为6=4×32,⋯多项式(a+b)"的展开式是一个n次(n+1)项式，第三项的系数为n(n−1)2.(2)∵当n=1时，多项式(a+b)¹展开式的各项系数之和为1+1=2=2¹;当n=2时,多项式(a+b)²展开式的各项系数之和为1+2+1=4=2²;当n=3时,多项式(a+b)³展开式的各项系数之和为1+3+3+1= 8=2³;;当n=4时,多项式(a+b)⁴展开式的各项系数之和为1+4+6+4+1=16=2⁴…∴多项式(a+b)"展开式的各项系数之和为S=2".8.±19.1120n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)解析: :1+2+3+4+⋯+n=11×2n(n+1)=12n(n+1);1+3+6+10+⋯+1 2n(n+1)=12×3n(n+1)(n+2)=16n(n+1)(n+2);1+4+10+20+⋯+16n(n+1)(n+2)=16×4n(n+1).(n+2)(n+3)=124n(n+1)(n+2).(n+3),∴1+5+15+35+⋯+124n(n+1)(n+2)(n+3)=124×5n(n+1).(n+2)(n+3)(n+4)=1120n(n+1).(n+2)(n+3)(n+4).10. 原式: =m²+2mn+n²+m²−3mn+mn−3n²−4m²+n²=−2m²−n².当m=√2,n=1时，原式：=−2×(√2)2−1²=−4−1=−5.【过关检测】1. C 解析: a²⋅a³=a⁵,A4错误；(a+b)²=a²+2ab+b²,B 错误; a²+a²=2a²,D错误.2. D 解析:( a²⋅a⁵=a⁷,A错误；(a−2)²=a²−4a+4,B错误; a⁶÷a²=a⁴,C错误.3. D 解析: (x+2)²=x²+4x+4.4. A 解析: ∴x²+6x+k是完全平方式，∴(x+3)²=x²+6x+k,即x²+6x+9=x²+6x+k,∴k=9.5. 1 解析:( (a+b)²=a²+b²+2ab=3²=9.∵a²+b²=7,∴2ab=2, ab=1.6.(a−b)²=a²−2ab+b²7.2x 解析: ∵x²+1+2x=(x+1)²,∴添加的单项式可以是2x.8.(1)2 (2)-9x+1解析:(1) 原式=2-2+1+1=2;(2)原式=x²−2x+1−x²−7x=−9x+1.9.(1) 0 (2) 2x+5解析:(1) 原式=3-4+1=0;(2) 原式= x²+2x+1−x²+4=2x+5.10. C 解析:如图,矩形 ABCD 的面积 = S正方形EFGH —2a+1−(a²−2a+1)=4a(cm²).11. B 解析: ∴AB=√a2+b2,∴S圆锥侧=(a+b)2−(a2+b2)=4⋅12ab=2ab.12.−34解析：方法一：(x+y)²=x²+2xy+y²=1²=1,(x−y)²=x²−2xy+y²=2²=4,两式相减得4xy=-3,解得xy=−34,则P=−34.方法二：由题可得{x+y=1,x−y=2,解得{x=32,y=−12,∴P=xy=−34.13.(a+b)²−(a−b)²=4ab解析：大正方形的面积-小正方形的面积=4个矩形的面积.14. 1 解析: ∵x²+mx+1=(x+n)²=x²+2nx+n²,∴m=2n,n²=1,∵m>0.∴n=1.15.±10 解析:原式=(x+y)²−a(x+y)+5²,∵原式为完全平方式,∴-a(x+y)=±2×5(x+y),角解得a=±10.16. a-2 解析:原式= =a−2a²+2(a²−1)=a−2a²+2a²−2=a−2.17. 28 解析: :x²−y²=12,∴(x+y)(x−y)=12,∵x+y=3 ①,∴x-y=4 ②,①+②得2x=7,∴2x²−2xy=2x(x−y)=7×4=28.18.(1) 4a-5 (2)x≥6解析:(1)原式=a²−1−a²+4a−4=4a--5;(2) 去分母得2x--2≥x--2+6,移项合并得x≥6.19. B 解析:原式=3x²+2(a+b+c)x+(ab+bc+ac),∵(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式,∴3x²+2(a+b+c)x+(ab+bc+ ac)=[√3x+√33(a+b+c)]2,∴ab+bc+ac=13(a+b+c)2=13(a2+b2+c²+2ab+2ac+2bc),∴ab+bc+ac= a²+b²+c²,∴2(ab+bc+ac)=2(a²+b²+c²),即(a−b)²+(b−c)²+(c−a)²=0,∴a-b=0,b-c=0,c-a=0,∴a=b=c.20.−24√2解析：平方得(√x√x )2=(−2)²=4,展开后得x+1x−2=4,∴x+1x=6,∴x+1x+2=8,即(√x+√x)2=8,∴√x√x =2√2或−2√2(舍去), ∴x2−1x2=(x+1x)(x−1x)=(x+1x)(√x√x)(√x√x)=−24√2.21.a²+ab+(a+b)b=a²+ab+ab+b²=a²+2ab+b²=(a+b)²a2+[a+(a+b)]b2+[a+(a+b)]b2=a2+ab+12b2+ab+12b2=a2+2ab+b²=(a+b)²2.(1)(2a+b)(a+2b)=2a²+5ab+2b²(3)恒等式为(a+2b)(a+b)=a²+3ab+2b²,，与它对应的几何图形如图所。

乘法公式专题复习(1)

乘法公式的复习（1）一、知识点梳理:(a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2二、变式应用：① 位置变化，(x +y )(-y +x )=② 符号变化，(-x +y )(-x -y )=③ 指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=⑤ 整体运用，(x -y +z )(x -y -z )练习：（1）(a +4b -3c )(a -4b -3c ) （2）(3x +y -2)(3x -y +2)⑥连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2)⑦逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2三、典例解析：例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。

例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。

变式练习：（1）已知a 2+b 2=13，ab =6，求(a +b )2，(a -b )2的值。

（2）已知(a +b )2=7，(a -b )2=4，求a 2+b 2，ab 的值。

（3）已知a (a -1)-(a 2-b )=2，求222a b ab +-的值。

（4）已知13x x-=，求441x x +的值。

例3．计算19992-2000×1998例4．判断（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1的个位数字是几？例5．运用公式简便计算（1）1032 （2）1982例6．计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)．练习：1. 计算：()()53532222x y x y +- ()()()()111124-+++a a a a(-2x 2-5)(2x 2-5) (-a 2+4b )2四、数形结合的数学思想认识乘法公式：当堂检测：1.运用乘法公式计算：（1）(-1+3x)(-1-3x)（2）(-2m-1)2（3）(x+y+1)(1-x-y)2. 如图2，在长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形（a b >），把余下的部分剪成一个矩形，如图3，通过计算两个图形的面积，验证了一个等式，则这个等式是______________。

【精品讲义】人教版八年级上册数学乘法公式讲义知识点讲解+练习题

讲义1、同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

即nm nma a a +=• (m 、n 都是正整数) 注：底数可以是单项式，也可以是多项式；底数不同的幂相乘，不能用该法则；不要忽视指数为1 的因数；三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质；该法则可以逆用，即nm n m a a a•=+ (m 、n 都是正整数) 2、幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。

即注：不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆，幂的乘方运算转化为指数的乘法壳牌（底数不变），同底数幂的乘法运算转化为指数的加法运算（底数不变）；在形式上，底数本身就是一个幂，底数为多项式时，应视为一个整体，切忌分开；幂的乘方法则可进一步推广为：()[]=p nm a （M 、N 、P 都是正整数）该法则可逆用，即3、积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

即()nn nb a ab =（N 为正整数）。

注：法则中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式；运用该法则时，注意系数为-1时的“-”号的确定；三个或三个以上因式的乘方，也具有这一性质；该法则可逆用，即，逆向运用可将算式灵活性变形或简化计算。

单项式的乘法1、单项式乘单项式法则：把它们的系数、同底数分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。

积的系数等于各因式系数的积，注意相乘时积的符号；相同字母相乘，要运用同底数幂的乘法，即底数不变，指数相加；2、单项式乘多项式法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

单位项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同；积的符号由单项式的符号与多项式的符号同时决定的；对于混合运算，应注意运算顺序，先算积的乘方与幂的乘方，再算乘法，最后有同类项要合并，使所得的结果是要最简。

多项式的乘法：多项式乘多项式法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

乘法公式知识点详解及提高练习(含答案)

初中数学竞赛辅导资料乘法公式知识点详解及提高练习甲内容提要1．乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。

公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。

公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。

2．基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推导出其他公式。

完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2,平方差公式：（a+b）(a－b)=a2－b2立方和（差）公式：(a±b)(a2ab+b2)=a3±b33.公式的推广：①多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。

②二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4）（a±b）5=a5±5a4b+10a3b2 ±10a2b3＋5ab4±b5）…………注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律③由平方差、立方和（差）公式引伸的公式（a+b）(a3－a2b+ab2－b3)=a4－b4(a+b)(a4－a3b+a2b2－ab3+b4)=a5+b5(a+b)(a5－a4b+a3b2－a2b3+ab4－b5)=a6－b6…………注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数(a+b)(a2n－1－a2n－2b+a2n－3b2－…＋ab2n－2－b2n－1)=a2n－b2n(a+b)(a2n－a2n－1b+a2n－2b2－…－ab2n－1+b2n)=a2n+1+b2n+1类似地：（a－b）(a n－1+a n－2b+a n－3b2+…＋ab n－2+b n－1)=a n－b n4.公式的变形及其逆运算由（a+b）2=a2+2ab+b2得a2+b2=(a+b)2－2ab由(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得a3+b3=(a+b)3－3ab(a+b)由公式的推广③可知：当n为正整数时a n－b n能被a－b整除,a2n+1+b2n+1能被a+b整除,a2n－b2n能被a+b及a－b整除。

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