等差数列前n项和Sn的最值问题教学课件1
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高中数学
必修5
姓名：龙艳文
单位：南京市第十三中学
例题分析
例 1．已知等差数列{an}的通项公式 an＝10－2n，当 n 取何值时，Sn 取得最大值，并求此最大值.
我们分析数列为：8，6，4，2，0，－2，－4，…
问题 1： 从数列中可以发现， 数列在第几项时， Sn 取得最大值？
问题 2：使数列 Sn 取得最大值的项具备什么特征呢？
问题 2：使数列 Sn 取得最小值的项具备什么特征呢？
结论：若 am 使 Sn 取得最小值，则 am 满足：
am≤0， am＋1≥0．
例题分析
例 2．已知等差数列{an}的通项公式 an＝3n－20，当 n 取何值时，Sn 取得最小值，并求此最小值.
解法一：若 am 使 Sn 取得最小值，则 am 满足：
结论：若 am 使 Sn 取得最大值，则 am 满足：
am≥0， am＋1≤0．
例题分析
例 1．已知等差数列{an}的通项公式 an＝10－2n，当 n 取何值时，Sn 取得最大值，并求此最大值.
解：若 am 使 Sn 取得最大值，则 am 满足：
am≥0， 10－2m≥0， 即 a ≤ 0 ． m＋1 8－2m≤0．
问题 2：你能发现 Sn 具有Leabharlann Baidu么特征？
所以当 n 取 4 或 5 时，Sn 取得最大值，最大值为 20.
例题分析
例 2．已知等差数列{an}的通项公式 an＝3n－20，当 n 取何值时，Sn 取得最小值，并求此最小值.
我们分析数列为： －17，－14，－11，－8，－5，－2，1，4，…
问题 1： 从数列中可以发现， 数列在第几项时， Sn 取得最小值？
37 其对称轴为 n＝ ，所以离对称轴最近的整数为 6． 6 所以当 n 取 6 时，Sn 取得最小值，最小值为－57.
1．已知等差数列{an}，a1＞0，d＜0， Sn 存在最大值，
方法一：若 am 使 Sn 取得最大值，则 am 满足：
am≥0， am＋1≤0．
方法总结
n(n-1) d 2 d 方法二：Sn＝n× a1＋ × d＝ n ＋(a1－ )n， 2 2 2 分析对称轴，离对称轴最近的整数使 Sn 取得最大值．
解得 4≤m≤5，因为 m∈N*，所以 m＝4 或 5． 所以当 n 取 4 或 5 时，Sn 取得最大值，最大值为 20.
例题分析
例 1．已知等差数列{an}的通项公式 an＝10－2n，当 n 取何值时，Sn 取得最大值，并求此最大值.
问题 1：根据通项公式求出数列前 n 项和 Sn，得 n(n-1) Sn＝n× 8＋ × (－2)＝－n2＋9n 2
am≤0， 3m－20≤0， 即 am＋1≥0． 3m－17≥0．
17 20 解得 ≤m≤ ，因为 m∈N*，所以 m＝6． 3 3 所以当 n 取 6 时， Sn 取得最小值， 最小值为－57. n(n-1) 3 37 解法二：Sn＝n× （—17）＋ × 3＝ n2－ n， 2 2 2
2．已知等差数列{an}，a1＜0，d＞0， Sn 存在最小值，
方法一：若 am 使 Sn 取得最小值，则 am 满足：
am≤0， am＋1≥0．
n(n-1) d 2 d 方法二：Sn＝n× a1＋ × d＝ n ＋(a1－ )n， 2 2 2 分析对称轴，离对称轴最近的整数使 Sn 取得最小值．
学以致用
1．在等差数列{an}中，a1＞0，a4+ a14=0，则当 Sn 最大 时的 n 为 ．
解：在等差数列{an}中，因为 a4+ a14=0，所以 a9＝0，
又因为 a1>0，所以 a8>0， 当 Sn 最大时的 n 为 8 或 9．
学以致用
2．在等差数列{an}中，a1＜0，a1＋a12＞0，a6a7＜0， 则当 Sn 最小时的 n 为 ．
10
15
20
n
所以 Sn 的图象对称轴为 n＝15， 所以这个数列的前 15 项的和最大．
解：在等差数列{an}中，因为 a1＋a12＞0， 所以 a6＋a7＞0，
a6<0， 又因为 a1＜0 且 a6a7＜0，所以 a7>0．
所以当 Sn 最小时的 n 为 6．
学以致用
3．已知等差数列{an}, a1＞0，S10=S20，则这个数列的 前
Sn
项的和最大．
解：因为 a1＞0 且 S10=S20，Sn 的图象如下图，
必修5
姓名：龙艳文
单位：南京市第十三中学
例题分析
例 1．已知等差数列{an}的通项公式 an＝10－2n，当 n 取何值时，Sn 取得最大值，并求此最大值.
我们分析数列为：8，6，4，2，0，－2，－4，…
问题 1： 从数列中可以发现， 数列在第几项时， Sn 取得最大值？
问题 2：使数列 Sn 取得最大值的项具备什么特征呢？
问题 2：使数列 Sn 取得最小值的项具备什么特征呢？
结论：若 am 使 Sn 取得最小值，则 am 满足：
am≤0， am＋1≥0．
例题分析
例 2．已知等差数列{an}的通项公式 an＝3n－20，当 n 取何值时，Sn 取得最小值，并求此最小值.
解法一：若 am 使 Sn 取得最小值，则 am 满足：
结论：若 am 使 Sn 取得最大值，则 am 满足：
am≥0， am＋1≤0．
例题分析
例 1．已知等差数列{an}的通项公式 an＝10－2n，当 n 取何值时，Sn 取得最大值，并求此最大值.
解：若 am 使 Sn 取得最大值，则 am 满足：
am≥0， 10－2m≥0， 即 a ≤ 0 ． m＋1 8－2m≤0．
问题 2：你能发现 Sn 具有Leabharlann Baidu么特征？
所以当 n 取 4 或 5 时，Sn 取得最大值，最大值为 20.
例题分析
例 2．已知等差数列{an}的通项公式 an＝3n－20，当 n 取何值时，Sn 取得最小值，并求此最小值.
我们分析数列为： －17，－14，－11，－8，－5，－2，1，4，…
问题 1： 从数列中可以发现， 数列在第几项时， Sn 取得最小值？
37 其对称轴为 n＝ ，所以离对称轴最近的整数为 6． 6 所以当 n 取 6 时，Sn 取得最小值，最小值为－57.
1．已知等差数列{an}，a1＞0，d＜0， Sn 存在最大值，
方法一：若 am 使 Sn 取得最大值，则 am 满足：
am≥0， am＋1≤0．
方法总结
n(n-1) d 2 d 方法二：Sn＝n× a1＋ × d＝ n ＋(a1－ )n， 2 2 2 分析对称轴，离对称轴最近的整数使 Sn 取得最大值．
解得 4≤m≤5，因为 m∈N*，所以 m＝4 或 5． 所以当 n 取 4 或 5 时，Sn 取得最大值，最大值为 20.
例题分析
例 1．已知等差数列{an}的通项公式 an＝10－2n，当 n 取何值时，Sn 取得最大值，并求此最大值.
问题 1：根据通项公式求出数列前 n 项和 Sn，得 n(n-1) Sn＝n× 8＋ × (－2)＝－n2＋9n 2
am≤0， 3m－20≤0， 即 am＋1≥0． 3m－17≥0．
17 20 解得 ≤m≤ ，因为 m∈N*，所以 m＝6． 3 3 所以当 n 取 6 时， Sn 取得最小值， 最小值为－57. n(n-1) 3 37 解法二：Sn＝n× （—17）＋ × 3＝ n2－ n， 2 2 2
2．已知等差数列{an}，a1＜0，d＞0， Sn 存在最小值，
方法一：若 am 使 Sn 取得最小值，则 am 满足：
am≤0， am＋1≥0．
n(n-1) d 2 d 方法二：Sn＝n× a1＋ × d＝ n ＋(a1－ )n， 2 2 2 分析对称轴，离对称轴最近的整数使 Sn 取得最小值．
学以致用
1．在等差数列{an}中，a1＞0，a4+ a14=0，则当 Sn 最大 时的 n 为 ．
解：在等差数列{an}中，因为 a4+ a14=0，所以 a9＝0，
又因为 a1>0，所以 a8>0， 当 Sn 最大时的 n 为 8 或 9．
学以致用
2．在等差数列{an}中，a1＜0，a1＋a12＞0，a6a7＜0， 则当 Sn 最小时的 n 为 ．
10
15
20
n
所以 Sn 的图象对称轴为 n＝15， 所以这个数列的前 15 项的和最大．
解：在等差数列{an}中，因为 a1＋a12＞0， 所以 a6＋a7＞0，
a6<0， 又因为 a1＜0 且 a6a7＜0，所以 a7>0．
所以当 Sn 最小时的 n 为 6．
学以致用
3．已知等差数列{an}, a1＞0，S10=S20，则这个数列的 前
Sn
项的和最大．
解：因为 a1＞0 且 S10=S20，Sn 的图象如下图，