三角函数解题技巧和公式(已整理)

浅论关于三角函数的几种解题技巧

本人在十多年的职中数学教学实践中，面对三角函数内容的相关教学时，积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。下面尝试进行探讨一下：

一、关于)2sin (cos sin cos sin ααααα或与±的关系的推广应用：

1、由于ααααααααc o s s i n 21c o s s i n 2c o s s i n )c o s (s i n

222±=±+=±故知道)c o s

(s i n αα±，必可推出)2sin (cos sin ααα或，例如： 例1 已知θθθθ33cos sin ,3

3cos sin -=-求。 分析：由于)cos cos sin )(sin cos (sin cos sin 2233θθθθθθθθ++-=-

]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin 2θθθθθθ+--=

其中，θθcos sin -已知，只要求出θθcos sin 即可，此题是典型的知sin θ-cos θ，求sin θcos θ的题型。

解：∵θθθθcos sin 21)cos (sin 2-=-

故：3

1cos sin 31)33(cos sin 212=⇒==-θθθθ ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin cos sin 233θθθθθθθθ+--=- 39

43133]313)33[(332=⨯=⨯+=

2、关于tg θ+ctg θ与sin θ±cos θ，sin θcos θ的关系应用：

由于tg θ+ctg θ=θ

θθθθθθθθθcos sin 1cos sin cos sin sin cos cos sin 22=+=+ 故：tg θ+ctg θ，θθcos sin ±，sin θcos θ三者中知其一可推出其余式子的值。

例2 若sin θ+cos θ=m 2，且tg θ+ctg θ=n ，则m 2 n 的关系为（ ）。

A ．m 2=n

B ．m 2=12+n

C ．n m 22=

D ．22m

n = 分析：观察sin θ+cos θ与sin θcos θ的关系：

sin θcos θ=2

121)cos (sin 22-=-+m θθ

而：n ctg tg ==+θ

θθθcos sin 1 故：1212122+=⇒=-n

m n m ，选B 。

例3 已知：tg α+ctg α=4，则sin2α的值为（ ）。

A ．21

B ．21-

C ．41

D ．4

1- 分析：tg α+ctg α=4

1cos sin 4cos sin 1=⇒=αααα 故：2

12sin cos sin 22sin =⇒=αααα。 答案选A 。

例4 已知：tg α+ctg α=2，求αα44cos sin +

分析：由上面例子已知，只要αα44cos sin +能化出含sin α±cos α或sin αcos α的式子，则即可根据已知tg α+ctg α进行计算。由于tg α+ctg α=

⇒=2cos sin 1αα 2

1cos sin =αα，此题只要将αα44cos sin +化成含sin αcos α的式子即可： 解：αα44cos sin +=αα44cos sin ++2 sin 2αcos 2α-2 sin 2αcos 2α

=（sin 2α+cos 2α）- 2 sin 2αcos 2α

=1-2 (sin αcos α)2 =1-2)2

1(2⨯ =2

11- =2

1 通过以上例子，可以得出以下结论：由于ααcos sin ±，sin αcos α及tg α+ctg α三者之间可以互化，知其一则必可知其余二。这种性质适合于隐含此三项式子的三角式的计算。但有一点要注意的；如果通过已知sin αcos α，求含ααcos sin ±的式子，必须讨论其象限才能得出其结果的正、负号。这是由于（ααcos sin ±）2=1±2sin αcos α，要进行开方运算才能求出ααcos sin ±

二、关于“托底”方法的应用：

在三角函数的化简计算或证明题中，往往需要把式子添加分母，这常用在需把含tg α（或ctg α）与含sin α（或cos α）的式子的互化中，本文把这种添配分母的方法叫做“托底”法。方法如下：

例5 已知：tg α=3，求α

αααcos sin 2cos 3sin +-的值。 分析：由于α

ααcos sin =tg ，带有分母cos α，因此，可把原式分子、分母各项除以cos α，“造出”tg α，即托出底：cos α；

解：由于tg α=30cos 2≠⇒+≠⇒απ

παk

故，原式=013233123cos cos cos sin 2cos cos 3cos sin =+⨯-=+-=+⋅⋅-ααα

αααααα

αtg tg

例6 已知：ctg α= -3，求sin αcos α-cos 2α=? 分析：由于αααsin cos =ctg ，故必将式子化成含有α

αsin cos 的形式，而此题与例4有所不同，式子本身没有分母，为了使原式先出现分母，利用公式：1cos sin 22=+αα及托底法托出其分母，然后再分子、分母分别除以sin α，造出ctg α： 解：αααααααααα2222

22cos sin cos cos sin cos cos sin 1cos sin +-=-⇒=+ α2sin ,分母同除以分子 αααα

ααααα22221)sin cos (1)sin cos (sin cos ctg ctg ctg +-=+- 56)

3(1)3(322-=-+-+-=

例7 （95年全国成人高考理、工科数学试卷） 设20,20ππ

<<<

π且 求：)3)(3

3(--ctgy ctgx 的值 分析：此题是典型已知含正弦函数的等式求含正切、余切的式子，故要用“托底法”，由于20,2

0ππ

<<<

在等式两边同除以y x sin sin ，托出分母y x sin sin 为底，得： 解：由已知等式两边同除以y x sin sin 得： 1sin sin 6cos cos 6sin sin sin 3cos cos 3sin 1sin sin )6sin()3sin(=-⋅-⇒=--y y y x x y x y x π

πππππ