线性规划模拟练习

综合练习

一、填空题

1、线性规划的解有唯一最优解、无穷多最优解、 无界解 和无可行解四种。

2、在求运费最少的调度运输问题中，如果某一非基变量的检验数为4，则说明 如果在该空格中增加一个运量运费将增加4 。

3、“如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题一定存在可行解”，这句话对还是错？ 错

4、如果某一整数规划： MaxZ=X 1+X 2 X 1+9/14X 2≤51/14 -2X 1+X 2≤1/3 X 1,X 2≥0且均为整数

所对应的线性规划（松弛问题）的最优解为X 1=3/2，X 2=10/3，MaxZ=6/29，我们现在要对X 1进行分枝，应该分为 X 1≤1 和 X 1≥2 。

5. 假设某线性规划的可行解的集合为D ，而其所对应的整数规划的可行解集合为B ，那么D

和B 的关系为 D 包含 B

6. 已知下表是制订生产计划问题的一张LP 最优单纯形表（极大化问题，约束条

问：（1）写出B -1

=⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛---1003/20.3/131

2

(2)对偶问题的最优解： Y ＝（5，0，23，0，0）T

7. 极大化的线性规划问题为无界解时，则对偶问题_无解_________； 8. 知下表是制订生产计划问题的一张LP 最优单纯形表（极大化问题，约束条件

问：(1)对偶问题的最优解： Y ＝(4,0,9,0,0,0)T （2）写出B -1=

⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛611401102

二、计算题

1、已知线性规划 MaxZ=3X 1+4X 2

1+X 2≤5 2X 1+4X 2≤12 3X 1+2X 2≤8

1,X 2≥0

2）若C 2从4变成5，最优解是否会发生改变，为什么？

3）若b 2的量从12上升到15，最优解是否会发生变化，为什么？

4）如果增加一种产品X 6，其P 6=(2,3,1)T ，C 6=4该产品是否应该投产？为什么？ 解：

1)对偶问题为

Minw=5y1+12y2+8y3 y1+2y2+3y 3≥3

y1+4y2+2y 3≥4 y1,y2≥0

2)当C 2从4变成5时， σ4=-9/8 σ5=-1/4

由于非基变量的检验数仍然都是小于0的，所以最优解不变。 3）当若b 2的量从12上升到15 X ＝9/8

29/8 1/4

由于基变量的值仍然都是大于0的，所以最优解的基变量不会发生变化。 4）如果增加一种新的产品，则 P 6’=(11/8,7/8，－1/4)T σ6=3/8>0

所以对最优解有影响,该种产品应该生产

解：初始解为

计算检验数

由于存在非基变量的检验数小于0，所以不是最优解，需调整 调整为：

重新计算检验数

所有的检验数都大于等于0，所以得到最优解

3、某公司要把4个有关能源工程项目承包给4个互不相关的外商投标者，规定每个承包商只能且必须承包一个项目，试在总费用最小的条件下确定各个项目的承包者，总费用为多少？各承包商对工程的报价如表2所示：

答最优解为：

X= 0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

总费用为50

4.考虑如下线性规划问题

Max z=-5x1+5x2+13x3

s.t. -x1+x2+3x3≤20

12x1+4x2+10x3≤90

x1，x2，x3≥0

回答以下问题：

1）求最优解

2）求对偶问题的最优解

3）当b1由20变为45，最优解是否发生变化。

4）求新解增加一个变量x6，c6=10，a16=3，a26=5，对最优解是否有影响

5）c2有5变为6，是否影响最优解。

答：最优解为

13

2)对偶问题最优解为

Y ＝（1/22,1/11,68/33,0,0）T 3)

当b1=45时

X= 45/11 -11/90

由于X 2的值小于0，所以最优解将发生变化 4）P 6’=(3/11,-3/4)T σ6=217/20>0

所以对最优解有影响。 5）当C 2=6 σ1=-137/33 σ4=4/11 σ5=-17/22

由于σ4大于0所以对最优解有影响

二、应用题

1. 某厂Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品分别经过A 、B 、C 三种设备加工。已知生产单2)产品Ⅲ每件的利润到多大时才值得安排生产？如产品Ⅲ每件利润增加到50/6元，求最优计划的变化。

3)产品Ⅰ的利润在多大范围内变化时，原最优计划保持不变。 4)设备A 的能力在什么范围内变化时，最优基变量不变。

5)如有一种新产品，加工一件需设备A 、B 、C 的台时各为1、4、3h ，预期每件为8元，是否值得生产。

6)如合同规定该厂至少生产10件产品Ⅲ，试确定最优计划的变化。 解：1）建立线性规划模型为： MaxZ=10x1+6x2+4x3 x1+x2+x3≤100 10x1+4x2+5x3≤600 2x1+2x2+6x3≤300 xj ≥0,j=1,2,3

获利最大的产品生产计划为：

X*=(x1,x2,x3,x4,x5,x6)’=(100/3,200/3,0,0,0,100)’ Z*=2200/3

2）产品Ⅲ每件利润到20/3才值得生产。如果产品Ⅲ每件利润增加到50/6元，最优计划的变化为：X*=(x1,x2,x3,x4,x5,x6)’=(175/6,275/6,25,0,0,0)’Z*=775

3）产品Ⅰ的利润在[6,15]变化时，原最优计划保持不变。

4）设备A的能力在[60,150]变化时，最优基变量不变。

5）新产品值得生产。

6）最优计划的变化为：

X*=(x1,x2,x3,x4,x5,x6)’=(190/6,350/6,10,0,0,60 )’ Z*=706.7