常见几何体的面积体积求法与应用

常见几何体的面积、体积求法与应用

要计算某材料的密度、重量，研究某物体性能及其物质结构等，特别对于机械专业的学生，必须要求工件的面积、体积等，若按课本上公式来计算，而课本上公式不统一，不好记住，并且很繁杂，应用时要找公式，对号入座很麻烦。笔者在教学与实践中总结出一种计算常见几何体的面积、体积方法。其公式统一，容易记住，且计算简单。对技校学生来说，排除大部分繁琐的概念、定理，以及公式的推导应用等。

由统计学中的用加权平均数对估计未来很准确。比如，估计某商品下个月销售量，若去年平均销售量为y ，设本月权为4，上月权数为1，下月权数为1，各月权数分别乘销售量相加后除以6等于y 。这样能准确地确定下个月销售量。能不能以这种思想方法用到求几何体的面积、体积呢？通过推导与实践，对于常见的几何体确实可用这种方法来求得其面积、体积。下面分别说明求常见几何体的面积、体积统一公式的正确性与可用性。

常见几何体的面积、体积统一公式：

)

4(6)4(6

2100

2100

S S S h V C C C h A ++=++=

（其中A 为几何体侧面积，C 0为上底面周长，C 1为中间横截面周长，C 2为下底面周长，V 为几何体体积，S 0为上底面面积，S 1为中间横截面面积，S 2为下底面面积，h 为高，h 0为斜高或母线长。注：中间横截面为上、下底等距离的截面。）

一、棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台的面积 、体积用统一公式的正确性

1、棱柱：

⑴据棱柱上底周长、下底周长、中间横截面周长相等，即210C C C ==，可得：

2020210066

)4(6C h C h

C C C h =⋅=++，这与课本中的棱柱侧面积公式等同。

以下每个几何体都能推得与课本中相应公式等同，说明这统一公式的正确性。

⑵据棱柱上底面、下底面、中间横截面相等，可知：210S S S ==，即：

h S S S S h

S S S h V 2222210)4(6

)4(6=++=++=

。 2、棱锥

⑴设底边长为a 2，边数为n ，斜高为h 0，侧面三角形中位线为a 1，则

2121a a =

，即212

1

C C =。 022*******

1

)2140(6)4(6h C C C h C C C h A =+⋅+=++=∴

⑵设正棱锥底面n 边形中心点与边分割成n 块三角形，相应对应中间横截面也分割成n 块三角形，而每块对应三角形底边212

1

a a =，且高也为一半，即'2

1'21h h =

2222211141'241'21212'2S h a n h a n h a n S =⋅=⋅⋅==

∴ 则22222103

26)4140(6)4(6S h

S h S S h S S S h V =⋅=+⋅+=++=

3、棱台

⑴设上底面边长为a 0，中间横截面边长为a 1，下底面边长为a 2，则

)(21201a a a +=

，即)(2

1

201C C C +=。 )(2

)33(6])(21

4[6)4(6200200220002100C C h C C h C C C C h C C C h A +=+=++⋅+=++=∴

⑵设正棱台'0h 为上底面中点与边所分割成三角形的高，'1h 为中间横截面相应分割成三角形的高，'2h 为下底面相应分割成三角形的高，则2

20''a a h h =，

即''2002h a h a =，

)''''(8)''(21)(212'21220220002020111h a h a h a h a n

h h a a n h na S +++=+⋅+⋅==

∴ ])''''(84[6)4(62220220000210S h a h a h a h a n

S h S S S h V ++++⋅+=++=∴

]'2'2'2'2[62220220000S h a n

h a n h a n h a n S h +++++= ]'2'2[622020200S S h a n

h a n S S h +++++=

)'2222(60220h a n

S S h ⋅++= )'2(30220h a n

S S h ++=

)22(3'02'0220h a n h a n S S h ⋅++= )22(3'22'0020h a n h a n S S h ⋅++=

)(3

2020S S S S h

⋅++=

注：以上几何体若底边长不相等时，同理可推得。

例：已知正四棱台容器量得斜高为1.3m ，上、下底面边长分别为0.8m 和1.8m ，求容器能盛多少水？

解：3.1)8.18.0(2

1

,2.1)28.08.1(

3.1122=+==--=a h 吨128.2128.2)8.13.148.0(6

2.1)4(63222210==+⨯+=++=m S S S h V

则容器能盛2.128吨水。 4、圆柱

设母线长为h 0，上底面半径为r 0，下底面半径长为r 2，中间横截面半径为r 1，则r 0=r 1=r 2

022220210021002)282(6)2242(6)4(6h r r r r h

r r r h C C C h A πππππππ=++=+⋅+=++=

∴ h r r h r r r h r r r h S S S h V 2

22222222222212021066

)4(6)4(6)4(6ππππππππ=⋅=++=++=++=

5、圆锥

若母线长为h 0，底半径为r 2，中间横截面半径为r 1，则212

1

r r =

0220220210210066)221

80(6)2240(6)4(6h r r h r r h r r h C C C h A ππππππ==+⋅+=+⋅+=++=∴

)(6))21(40(6)40(6)4(62

22222222221210r r h r r h r r h S S S h V ππππππ+=++=++=++=

h r r h 222

23

126ππ== 6、圆台

若母线长为h 0，高为h ，上底面半径为r 0，中间横截面半径为r 1，下底面半径为r 2，则)(2

1

201r r r +=

。