第7章方差分析讲义
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ANOVA for Completely Randomized Design 完全随机试验资料的 方差分析
一个例子
以A、B、C、D4中药剂处理水稻种子，其中A为 对照，每处理各得4个苗高观察值(cm)，其结 果如下表。问4种药剂对水稻苗高的影响是否 相同？
药剂 A B C D
苗高观察值xij 18 21 20 13 20 24 26 22 10 15 17 14 28 27 29 32
F 界值表
附表4 F界值表（方差分析用，单侧界值） 上行：P=0.05 下行：P=0.01
分母自由度
分子的自由度，υ 1
υ2
1
2
3
4
5
6
161
200
216
225
230
234
1
4052 4999 5403 5625 5764 5859
18.51 19.00 19.16 19.25 19.30 19.33 2
85.40 /16 5.34 F MSt / MSe
38.09/5.34=7.13 1 3 2 16
F0.01(3,16) 5.29
平均值之间的多重比较
不拒绝H0，表示拒绝总体均数相等的证据 不足 ————>分析终止。
拒绝H0，接受H1, 表示总体均数不全相等 哪两两均数之间相等？ 哪两两均数之间不等？
xij x
2
kn
xi2j
C
i1 j1
i1 j1
nk
xi2j C＝(nk 1)sT2
i, j
T nk 1
kn
矫正系数
( xij )2
C i1 j1
T2
nk
nk
组间变异：各组均数与总均数的 离均差平方和
计算公式
SSt
k
n(xi
nk
SST xi2j C
i, j
182 212
322 C 602
T nk 1
4 4 1 15
计算离均差平方、自由度、均方(续1)
SSt
k Ti2
i1 n
C
1 (722 922 562 1162 ) C 504 4
Sum of Squares Among, or
Sum of Squares Between, or
Sum of Squares Model, or
Among Groups Variation
Variation Due to Random Sampling SSW
Commonly referred to as: Sum of Squares Within, or Sum of Squares Error, or Within Groups Variation
————>需要进一步作多重比较。
多重比较方法
统计上把多个平均数两两间的相互比较称为多 重比较(multiple comparisons)
多重比较的方法甚多，常用的有最小显著差数 法(LSD法)和最小显著极差法(LSR法)
最小显著差数法(LSD法，least significant difference)
总变异
15 602
结论
在显著性水平0.01下，不同药剂对水稻苗高是 具有不同效应的。
注意：当处理数为2时，完全随机设计
的方差分析结果与两样本均数比较的t检验
组间均方和组内均方的计算公式为:
MSt
SSt
t
MSe
SSe
e
F 值与F分布
如果各组样本的总体均数相等（ H0 : 1 2 ... k），
即各处理组的样本来自相同总体，无处理因素的作用， 则组间变异同组内变异一样，只反映随机误差作用的 大小。
组间均方与组内均方的比值称为F统计量
平方和、自由度计算实例
矫正系数
C T 2 550.82 /(5 4) 15169.03 nk
总平方和
nk
SST xi2j C
i, j
31.92 27.92
28.52 C
15368.7 15169.03
199.67
平方和、自由度计算实例(续1)
什么是方差分析(一个例子)
某水产研究所为了比较四种不同配合饲料对鱼 的饲喂效果，选取了条件基本相同的鱼20尾， 随机分成四组，投喂不同饲料，经一个月试验 以后，各组鱼的增重结果列于下表。
四种饲料对鱼的增重效果是否相同
饲料
A1 A2 A3 A4 合计
31.9 24.8 22.1 27.0
鱼的增重 xij
计算F值
F MSt / MSe
168.00/8.17=3.49 1 3 2 12
水稻药剂处理苗高方差分析表
变异来源 DF SS MS
F值 显著F值
药剂处理间 3 504 168.00 20.56** F0.05(3,12) 3.49
药剂处理内 12 98 8.17
F0.01(3,12) 5.95
总变异自由度
T nk 1
5 4 1 19 处理间变异自由度
t k 1
4 1 3
处理内变异自由度
e T t
19 3 16
均方差,均方(mean square,MS)
变异程度除与离均差平方和的大小有关外，还 与其自由度有关，由于各部分自由度不相等， 因此各部分离均差平方和不能直接比较，须将 各部分离均差平方和除以相应自由度，其比值 称为均方差，简称均方(mean square，MS)。
组间变异 组内变异
离均差平方和的分解(例子分析)
共有三种不同的变异
总变异（Total variation）：全部测量值 xij与总
均数 x 27.54 间的差异 组间变异（ between group variation ）：各组
的均数 x i 与总均数 x 27.54 间的差异
什么是方差分析(例子分析)
一个因素(factor)：饲料 四个水平(level)：A1、A2、A3、A4 每一个水平重复试验四次 设1为饲料A1的平均增重，2为饲料A2的平均
增重，3为饲料A3的平均增重，设4为饲料A4 的平均增重，检验四种饲料对鱼的增重效果 是否相同，也就是检验下面的假设
H0: 1 2 3 4 HA: 1 , 2 , 3 , 4不全相等
检验上述假设所采用的方法就是方差分析
方差分析的基本思想
将所有测量值间的总变异按照其变异的来源分 解为多个部份，然后进行比较，评价由某种因 素所引起的变异是否具有统计学意义。
离均差平方和的分解
总变异
值的平方和来表示，反映随机误差的影响。
计算公式
kn
k
SSe (xij xi )2 (n 1)si2
i1 j1
i1
e k (n 1)
三种“变异”之间的关系
平方和分解 SST SSt SSe
自由度分解
T t e
导致组内数据不一致的原因 随机误差
F MSt MSe
1 t 2 e
源自文库
F值接近于l，就没有理由拒绝H0；反之，F值越大，拒 绝H0的理由越充分。数理统计的理论证明，当H0成立时， F统计量服从F分布。
1.4 f( F)
1.2
1.0
1 1, 2 5
0.8
0.6
1 5, 2 5
0.4
1 10,2 10
t k 1 4 1 3
SSe SST SSt 602 504 98 e T t 15 3 12
计算离均差平方、自由度、均方(续2)
MSt SSt / t
504 / 3 168.00
MSe SSe / e
98 /12 8.17
第7章 方差分析 Analysis of Variance
（ANOVA）
Section 7.1
Principle of ANOVA 方差分析的基本原理
什么是方差分析
ANOVA 由英国统计 学家R.A.Fisher首 创，为纪念Fisher 以F命名，故方差 分析又称 F 检验 （F test）。用于 推断多个总体均数 有无差异
组内变异（within group variation )：每组的每
x 个测量值 ij与该组均数 x i 的差异
用离均差平方和(sum of squares of deviations from mean，SS)反映变异的大小
总变异:所有测量值之间总的变异程度
计算公式
k n
SST
2.9211.462 4.271
4种饲料对鱼增重的差异显著性
x x x x 处理 平均数 i
i -27.74
i -26.28 i -27.96
A1 31.18
6.44**
4.90**
3.22*
A2 27.96
3.22*
1.68
A3 26.28 1.54
A4 27.74
Section 7.2
处理间平方和
SSt
k Ti2
i1 n
C
1 (155.92 131.42 123.72 139.82 ) C 5
15283.3 15169.03 114.27
处理内平方和
SSe SST SSt 199.67 114.27 85.40
平方和、自由度计算实例(续2)
计算显著水平为α 的最小显著差数 LSDa，然后将
任意两个处理平均数的差数的绝对值 与其比较
xi x j
若 xi x j LSDa ，则 xi 与 x j 在水平上差 异显著
若 xi x j LSDa ，则 xi与 x j 在水平上差 异不显著
LSDa计算：
LSDa t s a / 2,e xi xj
0.2
0.0
0
1
2F
3
4
F 分布曲线
单侧临界值
在第1自由度为 1 、第2自由度为 2 的F分布
曲线图下，Fa (1,2 ) 右方的面积为 a ,则称 Fa (1,2 )
为第1自由度为 1 、第2自由度为 2 的F分
布概率为 a 的单侧临界值。可查表。
a
0
F
Fa (1 , 2 )
合计Ti 平均 xi
27.9 31.8 28.4 35.9 155.9 31.18
25.7 26.8 27.9 26.2 131.4 26.28
23.6 27.3 24.9 25.8 123.7 24.74
30.8 29.0 24.5 28.5 139.8 27.96
T=550.8 x 27.54
导致组间数据不一致的原因 处理因素 随机误差
One-Factor ANOVA Partitions of Total Variation
Total Variation SST
= Variation Due to Treatment SSB
+
Commonly referred to as:
i1
x )2
k Ti2
i1 n
C
t k 1
SSt反映了各组均数 x i 的变异程度
组间变异＝①随机误差+②处理因素效应
组内变异
在同一处理组内，虽然每个受试对象接受的处 理相同，但测量值仍各不相同，这种变异称为
组内变异，也称SSe。
用各组内各测量值 xij 与其所在组的均数差
总和 Ti 72 92 56 116
T 336
平均 xi 18 23 14 29
x 21
建立检验假设
H0: 1 2 3 4 ，即4种药剂处理总体体均数
相等 HA：4种药剂处理总体均数不全相等
计算离均差平方、自由度、均方
C T 2 3362 /(4 4) 7056 nk
s xi xj 2MSe / n
LSD计算实例
s xi xj 2MSe / n 2 5.34 / 5 1.462
LSD0.05 t s 0.05/ 2,e xi xj 2.120 1.462 3.099
LSD t s 0.01
0.01/ 2,e xi x j
98.49 99.00 99.17 99.25 99.30 99.33
4.24 3.39 2.99 2.76 2.60 2.49 25
7.77 5.57 4.68 4.18 3.85 3.63
均方差、F值计算实例
MSt SSt / t
114.27 / 3 38.09
MSe SSe / e
一个例子
以A、B、C、D4中药剂处理水稻种子，其中A为 对照，每处理各得4个苗高观察值(cm)，其结 果如下表。问4种药剂对水稻苗高的影响是否 相同？
药剂 A B C D
苗高观察值xij 18 21 20 13 20 24 26 22 10 15 17 14 28 27 29 32
F 界值表
附表4 F界值表（方差分析用，单侧界值） 上行：P=0.05 下行：P=0.01
分母自由度
分子的自由度，υ 1
υ2
1
2
3
4
5
6
161
200
216
225
230
234
1
4052 4999 5403 5625 5764 5859
18.51 19.00 19.16 19.25 19.30 19.33 2
85.40 /16 5.34 F MSt / MSe
38.09/5.34=7.13 1 3 2 16
F0.01(3,16) 5.29
平均值之间的多重比较
不拒绝H0，表示拒绝总体均数相等的证据 不足 ————>分析终止。
拒绝H0，接受H1, 表示总体均数不全相等 哪两两均数之间相等？ 哪两两均数之间不等？
xij x
2
kn
xi2j
C
i1 j1
i1 j1
nk
xi2j C＝(nk 1)sT2
i, j
T nk 1
kn
矫正系数
( xij )2
C i1 j1
T2
nk
nk
组间变异：各组均数与总均数的 离均差平方和
计算公式
SSt
k
n(xi
nk
SST xi2j C
i, j
182 212
322 C 602
T nk 1
4 4 1 15
计算离均差平方、自由度、均方(续1)
SSt
k Ti2
i1 n
C
1 (722 922 562 1162 ) C 504 4
Sum of Squares Among, or
Sum of Squares Between, or
Sum of Squares Model, or
Among Groups Variation
Variation Due to Random Sampling SSW
Commonly referred to as: Sum of Squares Within, or Sum of Squares Error, or Within Groups Variation
————>需要进一步作多重比较。
多重比较方法
统计上把多个平均数两两间的相互比较称为多 重比较(multiple comparisons)
多重比较的方法甚多，常用的有最小显著差数 法(LSD法)和最小显著极差法(LSR法)
最小显著差数法(LSD法，least significant difference)
总变异
15 602
结论
在显著性水平0.01下，不同药剂对水稻苗高是 具有不同效应的。
注意：当处理数为2时，完全随机设计
的方差分析结果与两样本均数比较的t检验
组间均方和组内均方的计算公式为:
MSt
SSt
t
MSe
SSe
e
F 值与F分布
如果各组样本的总体均数相等（ H0 : 1 2 ... k），
即各处理组的样本来自相同总体，无处理因素的作用， 则组间变异同组内变异一样，只反映随机误差作用的 大小。
组间均方与组内均方的比值称为F统计量
平方和、自由度计算实例
矫正系数
C T 2 550.82 /(5 4) 15169.03 nk
总平方和
nk
SST xi2j C
i, j
31.92 27.92
28.52 C
15368.7 15169.03
199.67
平方和、自由度计算实例(续1)
什么是方差分析(一个例子)
某水产研究所为了比较四种不同配合饲料对鱼 的饲喂效果，选取了条件基本相同的鱼20尾， 随机分成四组，投喂不同饲料，经一个月试验 以后，各组鱼的增重结果列于下表。
四种饲料对鱼的增重效果是否相同
饲料
A1 A2 A3 A4 合计
31.9 24.8 22.1 27.0
鱼的增重 xij
计算F值
F MSt / MSe
168.00/8.17=3.49 1 3 2 12
水稻药剂处理苗高方差分析表
变异来源 DF SS MS
F值 显著F值
药剂处理间 3 504 168.00 20.56** F0.05(3,12) 3.49
药剂处理内 12 98 8.17
F0.01(3,12) 5.95
总变异自由度
T nk 1
5 4 1 19 处理间变异自由度
t k 1
4 1 3
处理内变异自由度
e T t
19 3 16
均方差,均方(mean square,MS)
变异程度除与离均差平方和的大小有关外，还 与其自由度有关，由于各部分自由度不相等， 因此各部分离均差平方和不能直接比较，须将 各部分离均差平方和除以相应自由度，其比值 称为均方差，简称均方(mean square，MS)。
组间变异 组内变异
离均差平方和的分解(例子分析)
共有三种不同的变异
总变异（Total variation）：全部测量值 xij与总
均数 x 27.54 间的差异 组间变异（ between group variation ）：各组
的均数 x i 与总均数 x 27.54 间的差异
什么是方差分析(例子分析)
一个因素(factor)：饲料 四个水平(level)：A1、A2、A3、A4 每一个水平重复试验四次 设1为饲料A1的平均增重，2为饲料A2的平均
增重，3为饲料A3的平均增重，设4为饲料A4 的平均增重，检验四种饲料对鱼的增重效果 是否相同，也就是检验下面的假设
H0: 1 2 3 4 HA: 1 , 2 , 3 , 4不全相等
检验上述假设所采用的方法就是方差分析
方差分析的基本思想
将所有测量值间的总变异按照其变异的来源分 解为多个部份，然后进行比较，评价由某种因 素所引起的变异是否具有统计学意义。
离均差平方和的分解
总变异
值的平方和来表示，反映随机误差的影响。
计算公式
kn
k
SSe (xij xi )2 (n 1)si2
i1 j1
i1
e k (n 1)
三种“变异”之间的关系
平方和分解 SST SSt SSe
自由度分解
T t e
导致组内数据不一致的原因 随机误差
F MSt MSe
1 t 2 e
源自文库
F值接近于l，就没有理由拒绝H0；反之，F值越大，拒 绝H0的理由越充分。数理统计的理论证明，当H0成立时， F统计量服从F分布。
1.4 f( F)
1.2
1.0
1 1, 2 5
0.8
0.6
1 5, 2 5
0.4
1 10,2 10
t k 1 4 1 3
SSe SST SSt 602 504 98 e T t 15 3 12
计算离均差平方、自由度、均方(续2)
MSt SSt / t
504 / 3 168.00
MSe SSe / e
98 /12 8.17
第7章 方差分析 Analysis of Variance
（ANOVA）
Section 7.1
Principle of ANOVA 方差分析的基本原理
什么是方差分析
ANOVA 由英国统计 学家R.A.Fisher首 创，为纪念Fisher 以F命名，故方差 分析又称 F 检验 （F test）。用于 推断多个总体均数 有无差异
组内变异（within group variation )：每组的每
x 个测量值 ij与该组均数 x i 的差异
用离均差平方和(sum of squares of deviations from mean，SS)反映变异的大小
总变异:所有测量值之间总的变异程度
计算公式
k n
SST
2.9211.462 4.271
4种饲料对鱼增重的差异显著性
x x x x 处理 平均数 i
i -27.74
i -26.28 i -27.96
A1 31.18
6.44**
4.90**
3.22*
A2 27.96
3.22*
1.68
A3 26.28 1.54
A4 27.74
Section 7.2
处理间平方和
SSt
k Ti2
i1 n
C
1 (155.92 131.42 123.72 139.82 ) C 5
15283.3 15169.03 114.27
处理内平方和
SSe SST SSt 199.67 114.27 85.40
平方和、自由度计算实例(续2)
计算显著水平为α 的最小显著差数 LSDa，然后将
任意两个处理平均数的差数的绝对值 与其比较
xi x j
若 xi x j LSDa ，则 xi 与 x j 在水平上差 异显著
若 xi x j LSDa ，则 xi与 x j 在水平上差 异不显著
LSDa计算：
LSDa t s a / 2,e xi xj
0.2
0.0
0
1
2F
3
4
F 分布曲线
单侧临界值
在第1自由度为 1 、第2自由度为 2 的F分布
曲线图下，Fa (1,2 ) 右方的面积为 a ,则称 Fa (1,2 )
为第1自由度为 1 、第2自由度为 2 的F分
布概率为 a 的单侧临界值。可查表。
a
0
F
Fa (1 , 2 )
合计Ti 平均 xi
27.9 31.8 28.4 35.9 155.9 31.18
25.7 26.8 27.9 26.2 131.4 26.28
23.6 27.3 24.9 25.8 123.7 24.74
30.8 29.0 24.5 28.5 139.8 27.96
T=550.8 x 27.54
导致组间数据不一致的原因 处理因素 随机误差
One-Factor ANOVA Partitions of Total Variation
Total Variation SST
= Variation Due to Treatment SSB
+
Commonly referred to as:
i1
x )2
k Ti2
i1 n
C
t k 1
SSt反映了各组均数 x i 的变异程度
组间变异＝①随机误差+②处理因素效应
组内变异
在同一处理组内，虽然每个受试对象接受的处 理相同，但测量值仍各不相同，这种变异称为
组内变异，也称SSe。
用各组内各测量值 xij 与其所在组的均数差
总和 Ti 72 92 56 116
T 336
平均 xi 18 23 14 29
x 21
建立检验假设
H0: 1 2 3 4 ，即4种药剂处理总体体均数
相等 HA：4种药剂处理总体均数不全相等
计算离均差平方、自由度、均方
C T 2 3362 /(4 4) 7056 nk
s xi xj 2MSe / n
LSD计算实例
s xi xj 2MSe / n 2 5.34 / 5 1.462
LSD0.05 t s 0.05/ 2,e xi xj 2.120 1.462 3.099
LSD t s 0.01
0.01/ 2,e xi x j
98.49 99.00 99.17 99.25 99.30 99.33
4.24 3.39 2.99 2.76 2.60 2.49 25
7.77 5.57 4.68 4.18 3.85 3.63
均方差、F值计算实例
MSt SSt / t
114.27 / 3 38.09
MSe SSe / e