2020考研数学水平测试之线性代数测试(基础试题)(含详细答案)
最新线性代数试题精选与精解(含完整试题与详细答案-考研数学基础训练)
精品文档线性代数试题精选与精解（含完整试题与详细答案，2020考研数学基础训练）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.设3阶方阵A =（α1，α2，α3），其中αi （i =1,2,3）为A 的列向量，若| B |=|（α1+2α2，α2，α3）|=6，则| A |=( )A.-12B.-6C.6D.12【答案】C【解析】本题考查了矩阵行列式的性质。
有性质可知，行列式的任意一列（行）的(0)k k ≠倍加至另一列（行），行列式的值不变。
本题中，B 是由A 的第二列的2倍加到了第一列形成的，故其行列式不变，因此选C 。
【提醒】行列式的性质中，主要掌握这几条：（1）互换行列式的两行或两列行列式要变号；（2）行列式的任意一行（列）的(0)k k ≠倍加至另一行（列），行列式的值不变；（2）行列式行（列）的公因子（公因式）可以提到行列式的外面。
【点评】本题涉及内容是每年必考的，需重点掌握。
热度：☆☆☆☆☆；可出现在各种题型中，选择、填空居多。
【历年考题链接】 （2008,4）1．设行列式D=333231232221131211a a a a a a a a a =3，D 1=333231312322212113121111252525a a a a a a a a a a a a +++，则D 1的值为（ ） A ．-15 B ．-6 C ．6D ．15答案：C 。
2.计算行列式32 3 20 2 0 0 0 5 10 2 0 2 0 3 ----=( )A.-180B.-120精品文档C.120D.180 【答案】A【解析】本题考查了行列式的计算。
行列式可以根据任意一行（列）展开。
一般来说，按含零元素较多的行或列展开计算起来较容易。
本题，按第三列展开，有：441424344433313233 3 0 2 0 302 2 10 5 000033(1)2105 0 0 2 00022 3 2 333(002)6(1) =630180.210A A A A A A A ++--=⋅+⋅+⋅+⋅=-----=⋅+⋅-=---⨯=-【提醒】还要掌握一些特殊矩阵的行列式的计算，如对角矩阵，上（下）三角矩阵，还有分块矩阵。
2020年10月04184线性代数真题及答案
2020年10月《线性代数》真题一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分。
在每小题列出的四个备选项汇总，只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
）1.设()0125101232a x a x x f +=-=，则=0a （）A.-7B.-4C.4D.72.设A 为3阶矩阵，将A 的第2行与第3行互换得到矩阵B ，再将B 的第1列的（-2）倍加到第3列得到单位矩阵E ，则=A （）A.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010100021B.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-010100021C.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-010100201D.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010100201 3.若向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111α，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3112α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=k 623α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=k 2024α的秩为2，则数=k （）A.1B.2C.3D.44.设线性方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛211111111321x x x a a a 有无穷多个解，则数=a （）A.-2B.-1C.1D.25.设2阶矩阵A 满足032=+A E ，0=-A E ，则=+E A （）A.23-B.32-C.32D.23 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。
请在每小题的横线上填上正确答案，错填、未填均无分。
）6.行列式=1641931421______。
7.设3解矩阵()321,,βββ=B ，若行列式2-=B ，则行列式=-13122,,3ββββ______。
8.已知n 阶矩阵A 满足O E A A =--2，则=-1A ______。
（用矩阵A 表示）9.设A 为2阶矩阵，若存在矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1021P ，使得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-20011AP P ，则=A ______。
10.设向量组()T0,0,11=α，()T 4,2,02=α，()Tt ,3,13-=α线性无关，则数t 的取值应满足______。
2020考研数学之线性代数第四章线性方程组基础与强化训练题（含答案,强..
考研数学之线性代数第四章线性方程组基础与强化训练题（含答案，强烈推荐）习题部分一．填空（每题2分）１．设方程组22112122x x kx x kx x 有非零解，则k。
2．线性方程组960654032321321321x x x x x x x x x 有非零解，则。
3．方程组211111111321x x x aa a有无穷多解，则a。
4．非齐次线性方程组b AX（A 为m n 矩阵）有惟一解的的充分必要条件是____________。
5．设A 是n 阶方阵,21,是齐次线性方程组O AX 的两个不同的解向量,则A。
6．设A 为三阶方阵，秩2A r ，321,,是线性方程组b b AX 的解，已知10131321,，则线性方程组b AX 的通解为。
7．三元线性方程组b AX的系数矩阵的秩2A r ，已知该方程组的两个解分别为1111，1112，则b AX 的全部解可表为。
8．设1686493436227521a A，欲使线性齐次方程组O AX 的基础解系有两个解向量，则a =。
9．当a时，线性方程组233321321321321x ax x ax x x x x x 无解。
10．方程组321011032x x x =0的基础解系所含向量个数是___ ______。
11．若5元线性方程组b AX的基础解系中含有2个线性无关的解向量，则Ar 。
12．设线性方程组414343232121a x x a x x a x x a x x 有解，则4321a ,a ,a ,a 应满足条件。
13．设齐次线性方程组为021nx x x ，则它的基础解系中所包含的向量个数为。
14．设21,是非齐次线性方程组b AX 的解向量，则21是方程组的解向量．15．设s,,,21为非齐次线性方程组b AX 的一组解，如果ssc c c 2211也是该方程组的一个解，则sc c c 21。
16．设矩阵1111110A ，则齐次线性方程组O X A E 的一个基础解系为。
(2020年编辑)线性代数试题及答案
线性代数（试卷一）一、 填空题（本题总计20分，每小题2分） 1. 排列7623451的逆序数是_______。
2. 若122211211=a a a a ，则=16030322211211a a a a 3. 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =，其中E 为n 阶单位矩阵，则CAB =-1。
4. 若A 为n m ⨯矩阵，则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是_________5. 设A 为86⨯的矩阵，已知它的秩为4，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为__2___________。
6. 设A 为三阶可逆阵，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1230120011A，则=*A 7.若A 为n m ⨯矩阵，则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是8.已知五阶行列式1234532011111112140354321=D ，则=++++4544434241A A A A A 9. 向量α=(2,1,0,2)T-的模（范数）______________。
10.若()Tk 11=α与()T121-=β正交，则=k二、选择题（本题总计10分，每小题2分） 1. 向量组r ααα,,,21 线性相关且秩为s ，则(D) Ａ．s r = Ｂ．s r ≤Ｃ．r s ≤ Ｄ．r s <2. 若A 为三阶方阵，且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A (A)Ａ．8 Ｂ．8-Ｃ．34 Ｄ．34-3．设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( d )Ａ．)()(A R B R ≤ Ｂ．)()(A R B R <Ｃ．)()(A R B R =Ｄ．)()(A R B R ≥4. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则()*kA 等于_____。
c)(A *kA )(B *A k n)(C *-A kn 1)(D *A5. 设n 阶矩阵A ，B 和C ，则下列说法正确的是_____。
2020考研数学之线性代数基础测试题6
2020考研数学之线性代数基础测试题6一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．设abc ≠0，则三阶行列式00000d c b a的值是（ ）A ．aB ．-bC ．0D ．abc2．若三阶方阵A 等价于矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100000020，则A 的秩是（ ） A ．0 B ．1 C ．2D ．33．设A 为n 阶方阵，且A 3=E ，则以下结论一定正确的是（ ） A ．A =EB ．A 不可逆C ．A 可逆，且A -1=AD ．A 可逆，且A -1=A 24．设A 为3阶矩阵，若|A |=k ，则|-k A |是（ ） A ．-k 4 B ．-3k C ．-kD ．k 35．设α1，α2，α3线性相关，则以下结论正确的是（ ） A ．α1，α2一定线性相关B ．α1，α3一定线性相关C ．α1，α2一定线性无关D ．存在不全为零的数k 1，k 2，k 3使k 1α1+k 2α2+k 3α3=06．设u 1, u 2是非齐次线性方程组Ax =b 的两个解，则以下结论正确的是（ ） A ．u 1+ u 2是Ax =b 的解B ．u 1- u 2是Ax =b 的解C ．k u 1是Ax =b 的解（这里k ≠1）D ．u 1- u 2是Ax =0的解7．设3阶矩阵A 的特征值为1，3，5，则A 的行列式|A |等于（ ） A ．3 B ．4 C ．9D ．158．设矩阵A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-21232321，则A 是（ ） A ．正交矩阵 B ．正定矩阵C ．对称矩阵D ．反对称矩阵9．二次型f(x 1, x 2)=2221214x x 6x x ++的矩阵是（ ）A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡4421B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡4331 C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡4061 D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡4151 10．设ξ1，ξ2是矩阵A 的属于特征值λ的特征向量，则以下结论正确的是（ ）A ．ξ1+ξ2是λ对应的特征向量B ．2ξ1是λ对应的特征向量C ．ξ1,ξ2一定线性相关 D ．ξ1，ξ2一定线性无关二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
线性代数考试题及答案
线性代数考试题及答案**线性代数考试题及答案**一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 矩阵A的行列式为0，则矩阵A（）A. 可逆B. 不可逆C. 可交换D. 不可交换答案：B2. 若矩阵A和B均为n阶方阵，且AB=0，则（）A. A=0或B=0B. A和B至少有一个为0C. A和B都为0D. A和B可能都不为0答案：D3. 向量组α1，α2，…，αs线性无关，则（）A. s ≤ nB. s > nC. s ≥ nD. s < n答案：A4. 矩阵A的特征值是（）A. 矩阵A的行最简形式B. 矩阵A的列最简形式C. 矩阵A的对角线元素D. 满足|A-λE|=0的λ值答案：D5. 矩阵A和B相等的充要条件是（）A. A和B的对应元素相等B. A和B的行向量组相同C. A和B的列向量组相同D. A和B的秩相等答案：A6. 若矩阵A可逆，则下列说法正确的是（）A. |A|≠0B. A的秩为nC. A的行列式为1D. A的转置矩阵可逆答案：AA. r(A+B) = r(A) + r(B)B. r(AB) ≤ min{r(A), r(B)}C. r(A) = r(A^T)D. r(A) = r(A^-1)答案：C8. 向量组α1，α2，…，αn线性相关，则（）A. 存在不全为0的k个向量，使得k个向量线性组合等于0B. 存在不全为0的n个向量，使得n个向量线性组合等于0C. 存在不全为0的n+1个向量，使得n+1个向量线性组合等于0D. 存在不全为0的m个向量，使得m个向量线性组合等于0，其中1≤m≤n答案：DA. r(A+B) = r(A) + r(B)B. r(AB) ≤ min{r(A), r(B)}C. r(A) = r(A^T)D. r(A) = r(A^-1)答案：B10. 若矩阵A和B均为n阶方阵，且AB=0，则（）A. A=0或B=0B. A和B至少有一个为0C. A和B都为0D. A和B可能都不为0答案：D二、填空题（每题4分，共20分）1. 若矩阵A的行列式|A|=2，则矩阵A的伴随矩阵的行列式|adj(A)|= _ 。
2020年08月04184线性代数真题及答案
2020年8月《线性代数》真题说明：在本卷中，A T表示矩阵A的转置矩阵，A∗表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩.第一部分选择题一、单项选择题：本大题共5小题，每小题2分，共10分。
在每小题列出的备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其选出。
1.设α1,α2,β1,β2是三维列向量，且行列式|α1,α2,β1|=m，|α1,β2,α2|=n，则行列式|α1,α2,β1+β2|=（）A.m−nB.n−mC.m+nD.mn【答案】A【解析】|α1,α2,β1+β2|=|α1α2β1|+|α1α2β2|=m+(−1)×n=m−n.2.设A为3阶矩阵，将A的第2列与第3列互换得到矩阵B，再将B的第1列的(−2)倍加到第3列得到单位矩阵E，则A−1=（）。
A.(120 001 010)B.(1−20 001 010)C.(10−2 001 010)D.(102 001 010)【答案】C【解析】A(100001010)=BB(10−2010001)=EA(100001010)(10−2010001)=EA−1=(100001010)(10−2010001)=(10−2001010)3.设向量组a1,a2,a3线性无关，而向量组a2,a3,a4线性相关，则（）A.a1必可由a2,a3,a4线性表出B.a2必可由a1,a3,a4线性表出C.a3必可由a1,a2,a4线性表出D.a4必可由a1,a2,a3线性表出【答案】D【解析】因为向量组a1,a2,a3线性无关，所以向量组a1,a2,a3中任意一个均不能由其他两个表示出来，所以就排除了A、B、C三个选项；又因为向量组a2,a3,a4线性相关，所以向量组a2,a3,a4中至少有一个可以由其他两个线性表示，所以D 是正确的。
参见教材P116。
4.若3阶可逆矩阵A的特征值分别是1,−1,2，则|A−1|（）A.-2B.−12C.12D.2【答案】B【解析】因为|A|=1∗−1∗2=−2，所以|A−1|=1|A|=−12.参见教材P160。
线性代数试题(完整试题与详细答案)
线性代数试题（完整试题与详细答案）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．行列式111101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．22．设A 为2阶矩阵，若A 3=3，则=A 2（ ） A ．21 B ．1 C ．34 D ．23．设n 阶矩阵A 、B 、C 满足E ABC =，则=-1C （ ） A ．AB B ．BA C ．11--B AD ．11--A B4．已知2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A 的行列式1-=A ，则=-1*)(A （ ） A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛----d c b aB ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a c b dC ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a cb d D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a5．向量组)2(,,,21≥s s ααα 的秩不为零的充分必要条件是（ ） A ．s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组 B ．s ααα,,,21 中至少有一个非零向量 C ．s ααα,,,21 全是非零向量D ．s ααα,,,21 全是零向量6．设A 为n m ⨯矩阵，则n 元齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充分必要条件是（ ）A ．n r =)(AB ．m r =)(AC ．n r <)(AD ．m r <)(A 7．已知3阶矩阵A 的特征值为-1，0，1，则下列矩阵中可逆的是（ ） A ．A B ．AE - C ．A E -- D ．A E -2 8．下列矩阵中不是．．初等矩阵的为（ ）A ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101010001B ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101010001C ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100020001D ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1010110019．4元二次型4332412143212222),,,(x x x x x x x x x x x x f +++=的秩为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001010100A ，则二次型Ax x T 的规范形为（ ）A ．232221z z z ++ B ．232221z z z ---C ．232221z z z --D ．232221z z z -+二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
线性代数考研测试题及答案
线性代数考研测试题及答案线性代数是数学中的一个重要分支，广泛应用于科学、工程和经济学等领域。
下面提供一套考研线性代数测试题及答案，供参考。
### 线性代数考研测试题一、选择题（每题2分，共10分）1. 矩阵的秩是指：A. 矩阵中非零行的最大数目B. 矩阵中非零列的最大数目C. 矩阵中线性无关行的最大数目D. 矩阵中线性无关列的最大数目2. 方程组 \( Ax = b \) 有唯一解的充分必要条件是：A. \( A \) 是方阵B. \( A \) 是可逆矩阵C. \( b \) 不为零向量D. \( A \) 的列向量线性无关3. 向量空间 \( V \) 的基具有以下性质：A. 基是唯一的B. 基向量的数量是固定的C. 基向量可以任意选取D. 基向量可以进行线性组合4. 线性变换 \( T \) 的核是指：A. \( T \) 的值域B. \( T \) 的零空间C. \( T \) 的逆映射D. \( T \) 的特征向量5. 特征值和特征向量的概念在以下哪个矩阵中不适用：A. 可逆矩阵B. 对角矩阵C. 零矩阵D. 单位矩阵二、填空题（每题2分，共10分）6. 若矩阵 \( A \) 可逆，则 \( A \) 的伴随矩阵 \( \text{adj}(A) \) 与 \( A \) 的乘积等于______。
7. 向量 \( \mathbf{v} = (1, 2, 3) \) 在基 \( \{\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2, \mathbf{b}_3\} \) 下的坐标表示为 \( (x, y, z) \)，若 \( \mathbf{b}_1 = (1, 0, 1) \)，\( \mathbf{b}_2 = (0, 1, 1) \)，则 \( x + z = ______ \)。
8. 若 \( A \) 是一个 \( n \times n \) 矩阵，且 \( A^2 = A \)，则称 \( A \) 为______。
线性代数考试题及答案
线性代数考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 向量空间中，向量组的线性相关性指的是：A. 向量组中的向量可以相互表示B. 向量组中存在非零向量可以表示为其他向量的线性组合C. 向量组中的向量线性无关D. 向量组中的向量可以线性独立答案：B2. 矩阵A的秩是指：A. A的行向量组的极大线性无关组所含向量个数B. A的列向量组的极大线性无关组所含向量个数C. A的行数D. A的列数答案：B3. 对于矩阵A，若存在矩阵B，使得AB=BA=I，则B是A的：A. 逆矩阵B. 伴随矩阵C. 转置矩阵D. 正交矩阵答案：A4. 线性变换的特征值是指：A. 变换后向量的长度B. 变换后向量的方向C. 变换后向量与原向量的比值D. 变换后向量与原向量的夹角答案：C5. 一个矩阵的特征多项式是：A. 矩阵的行列式B. 矩阵的逆矩阵C. 矩阵的伴随矩阵D. 矩阵的迹答案：A6. 线性方程组有唯一解的条件是：A. 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩B. 系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩C. 系数矩阵的秩大于增广矩阵的秩D. 系数矩阵的行列式不为零答案：D7. 矩阵的迹是：A. 矩阵的对角线元素之和B. 矩阵的行列式C. 矩阵的逆矩阵D. 矩阵的伴随矩阵答案：A8. 矩阵的伴随矩阵是：A. 矩阵的转置矩阵B. 矩阵的逆矩阵C. 矩阵的对角线元素的乘积D. 矩阵的行列式答案：B9. 向量空间的基是指：A. 向量空间中的一组向量B. 向量空间中线性无关的一组向量C. 向量空间中线性相关的一组向量D. 向量空间中任意一组向量答案：B10. 矩阵的转置是：A. 矩阵的行列互换B. 矩阵的行列互换C. 矩阵的行向量变成列向量D. 矩阵的列向量变成行向量答案：A二、填空题（每空2分，共20分）1. 一个向量空间的维数是指该空间的_________。
答案：基的向量个数2. 矩阵A的行列式表示为_________。
答案：det(A)3. 线性变换的矩阵表示是_________。
线性代数考试题及答案考研
线性代数考试题及答案考研一、选择题1. 设矩阵A的秩为1，矩阵B与矩阵A相抵消，那么矩阵B的秩为：- A. 0- B. 1- C. 2- D. 不确定2. 若矩阵A可逆，且AB=0，则：- A. A可逆，B不可逆- B. B可逆，A不可逆- C. A和B都可逆- D. A和B都不可逆二、填空题1. 若向量组\[a_1, a_2, a_3\]线性相关，则至少存在不全为零的实数\[c_1, c_2, c_3\]，使得\[c_1a_1 + c_2a_2 + c_3a_3 =\_\_\_\_\_\_。
2. 设矩阵\[A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\]，矩阵\[A\]的特征值是\_\_\_\_\_\_。
三、解答题1. 已知矩阵\[B = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 2\end{bmatrix}\]，求矩阵\[B\]的逆矩阵。
2. 设\[x\]是\[3 \times 1\]的列向量，\[A\]是\[3 \times 3\]的矩阵，若\[Ax = 0\]，证明\[x\]是矩阵\[A\]的零空间的基。
答案一、选择题1. 正确答案：A. 0解析：若矩阵B与矩阵A相抵消，则B的列向量是A的行向量的线性组合，因此B的秩小于等于A的秩。
由于A的秩为1，所以B的秩为0。
2. 正确答案：D. A和B都不可逆解析：若AB=0，则A和B至少有一个是不可逆的。
因为如果A可逆，则AB=I，这与AB=0矛盾。
同理，如果B可逆，则AB=I，也与AB=0矛盾。
二、填空题1. 正确答案：0解析：线性相关意味着存在不全为零的系数使得向量和为零向量。
2. 正确答案：2, -1解析：通过计算特征多项式\[|A - λI| = 0\]，解得特征值为2和-1。
三、解答题1. 解：矩阵B的逆矩阵计算如下：\[B^{-1} = \frac{1}{\det(B)} \cdot \text{adj}(B)\]其中，\[\det(B) = 2 \cdot 2 - 1 \cdot 4 = 0\]，因此矩阵B 不可逆，没有逆矩阵。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2020考研数学水平测试之线性代数测试（基础试题）（含详细答案）一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)1．3阶行列式j i a =011101110---中元素21a 的代数余了式21A =（ ） A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．22．设矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22211211a a a a ，B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++121112221121a a a a a a ，P 1=⎪⎪⎭⎫⎝⎛0110，P 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1101，则必有（ ） A ．P 1P 2A =B B ．P 2P 1A =B C ．AP 1P 2=BD ．AP 2P 1=B3．设n 阶可逆矩阵A 、B 、C 满足ABC =E ，则B -1=（ ） A ．A -1C -1B ．C -1A -1C ．ACD ．CA4．设3阶矩阵A =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000100010，则A 2的秩为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．35．设4321,,,αααα是一个4维向量组，若已知4α可以表为321,,ααα的线性组合，且表示法惟一，则向量组4321,,,αααα的秩为（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．46．设向量组4321,,,αααα线性相关，则向量组中（ ） A ．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合 B ．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合 C ．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合D ．每一个向量都可以表为其余向量的线性组合7．设321,,ααα是齐次线性方程组Ax =0的一个基础解系，则下列解向量组中，可以作为该方程组基础解系的是（ ） A ．2121,,αααα+ B ．133221,,αααααα+++ C ．2121,,αααα-D ．133221,,αααααα---8．若2阶矩阵A 相似于矩阵B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3202，E 为2阶单位矩阵，则与矩阵E -A 相似的矩阵是（ ）A ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4101B ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--4101C ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--4201D ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---42019．设实对称矩阵A =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--120240002，则3元二次型f(x 1,x 2,x 3)=x T Ax 的规范形为（ ）A ．232221z z z ++ B ．232221z z z -+ C ．2221z z + D ．2221z z - 10．若3阶实对称矩阵A =（ij a ）是正定矩阵，则A 的正惯性指数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2D ．3二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)11．已知3阶行列式33323123222113121196364232a a a a a a a a a =6，则333231232221131211a a a a a a a a a =_______________.12．设3阶行列式D 3的第2列元素分别为1，-2，3，对应的代数余子式分别为-3，2，1，则D 3=__________________.13．设A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0121，则A 2-2A +E =____________________.14.设A 为2阶矩阵，将A 的第2列的（-2）倍加到第1列得到矩阵B .若B =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321，则A =______________.15.设3阶矩阵A =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333220100，则A -1=_________________.16.设向量组1α=（a,1,1）,2α=（1,-2,1）, 3α=（1,1,-2）线性相关，则数a=________. 17.已知x 1=(1,0,-1)T, x 2=(3,4,5)T是3元非齐次线性方程组Ax =b 的两个解向量，则对应齐次线性方程组Ax =0有一个非零解向量ξ=__________________.18.设2阶实对称矩阵A 的特征值为1，2，它们对应的特征向量分别为1α=(1，1)T,2α=(1，k)T，则数k=_____________________.19.已知3阶矩阵A 的特征值为0，-2，3，且矩阵B 与A 相似，则|B +E |=_________. 20.二次型f(x 1,x 2,x 3)=(x 1-x 2)2+(x 2-x 3)2的矩阵A =_____________. 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.已知3阶行列式ij a =4150231-xx 中元素12a 的代数余子式A 12=8，求元素21a 的代数余子式A 21的值.22.已知矩阵A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=0111，B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2011,矩阵X 满足AX +B =X ，求X .23.求向量组1α=(1,1,1,3)T ，2α=(-1,-3,5,1)T ，3α=(3,2,-1,4)T ，4α=(-2,-6,10,2)T的一个极大无关组，并将向量组中的其余向量用该极大无关组线性表出.24.设3元齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321ax x x x ax x x x ax ，（1）确定当a 为何值时，方程组有非零解；（2）当方程组有非零解时，求出它的基础解系和全部解.25.设矩阵B =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛504313102，（1）判定B 是否可与对角矩阵相似，说明理由；（2）若B 可与对角矩阵相似，求对角矩阵Λ和可逆矩阵P ，使P -1BP =Λ26.设3元二次型3221232221321222),,(x x x x x x x x x x f --++=,求正交变换x =Py ,将二次型化为标准形. 四、证明题（本题6分）27.已知A 是n 阶矩阵，且满足方程A 2+2A =0,证明A 的特征值只能是0或-2.参考答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分}1.C2.A3.D4.B5.C6.A7.B8.C9.D 10.D 1.【解析】.1)10()1(0111)1(1221=-⨯-=--=+A 2．【解析】本题考查的是矩阵的初等变换，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1101,011021p p 是初等矩阵．21p p 表示矩阵2p 作了一次l 、2两行对换，故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011121p p ．令⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0111p ，则P 也是一个初等矩阵，PA 就表示A 作了一次1、2两行的对换，且将对换后的矩阵的第2行加到第1行得到的新矩阵，即B PA ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22111222211122211211a a a a a a a a a a 0111，故本题正确选项为A ． 3．【解析】由于A.B 、C 均为可逆矩阵，且ABC=E ，故1111CC ----=C A AB A ，即11--=C A B ，所以1-B.)(111CA C A =--⋅-4．【解析】,0000001000001000100001000102⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A 故2A 的秩为1．7．【解析】 选项A 、C 、D 都线性相关，如A:,0)(,0)(212122121=-++-=++--ααααααααC D:.0)()()(333221=-+-+-αααααα故本题选B ．9．【解析】由实对称矩阵A 可知：23322221321.442),,(x x x x x x x x f -+-= )44(223322221x x x x x +--=23221)2(2x x x --=故二次型的规范形为.2221z z -二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 11．61 12．-413．⎥⎦⎤⎢⎣⎡---112214.⎥⎦⎤⎢⎣⎡41125 15．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--00102/113/12/10 16．-217．T )6,4,2(（或官柏非震倍数）18．-1 19．-420．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----110121011 11.【解析】因为.6363232326963642323332312322211312113332312322]2131211333231232221131211===a a a a a a a a a a a a a a a a u a a a a a a a a a a 故⋅==613662!3332312322211311a a a a a a a a a 12.【解析】.4132)2()3(13-=⨯+⨯-+-⋅⨯=D 15．【解析】→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛↔⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001100011120110113001100010220100333100333010220001100→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--00110002110101230003001100021101011011300110001202011013I⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--001100021101031210001故⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-0010211312101A 16.【解析】 由于向量组321,,ααα线性相关，令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==21112111),,(321a A TT T ααα则036)3363(21103321121112111,0||=--=+----=+---=--=a a a aa aA 即知a= -2．18.【解析】 因为A 是实对称矩阵，属于不同特征值的特征向量相互正交，所以1×1+1×k -0 故k= -1.19.【解析】 因A ～B ，故A 、B 的特征值相同，则B+E 的特征值为1，-1，4，则｜B+E ｜=1×（-1）×4= -4．三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分） 20．解,84450)1(2112=-=-=+x x A （3分） 故z=-2． （5分）.54132413)1(1221=---=--=+x A （9分）22．解 由AX+B=X ，得(E-A)X=B ． （2分）又⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-1112A E 可逆，且，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--211131)(1A E （6分）所以⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-313131)(1B A E X （9分） 23．解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=8540124604120231124131015162312311),,,(4321αααα（3分） ,0000010020100010700070041202311⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------→（6分） 从而321,,ααα为一个极大无关组（极大无关组不唯一） （8分） 且⋅++=32402|0αααα24．解 (1)由方程组的系数行列式,0)1)(2(111111.||2=-+==a a aa a A 得a= -2或a=l ，（2分）此时r(A)=2或r(A)=1，均小于3，方程组有非零解． （4分）(2)当a= -2时，,000110101211121112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=A 得到基础解系,)1,1,1(T=ξ（5分）此时全部解为ξk （A 为任意常数）； （6分）当a=l 时，,000000111111111111.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A得到基础解系,)1,0,1(,)0,1,1(21TT-=-=ξξ 此时全部解为21221,(k k k k I ξξ+为任意常数）． 25．解(1)由,0)6()1(||2=--=-λλλB E得到B 的特征值为,6,1321===λλλ对于121==λλ，由于(E- B) x=0有两个线性无关解， 故B 有3个线性无关的特征向量， 从而a 可与对角矩阵相似．(2)对于121==λλ，两个线性无关的特征向量为,)1,0,1(,)0,1,0(21T T -==αα对于63=λ，对应的特征向量.)4,3,1(3T =α取⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=410301110),,(,611321αααP A ，则P 可逆， 则有.1A BP P =-26．解二次型的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=110121011A由,0)3)(1(||=--=-λλλλA E 得A 的特征值，,0,3,1321===λλλ对应的特征向量分别,)1,1,1(,)1,2,1(,)1,0,1(321T T T =-=-=ααα 单位化得：⋅=-=-=T T T )31,31,31(,)61,62,61(,)2],0,21(321βββ令),,,(321βββ=p 则P 为正交矩阵，经正交变换x=Py ， 可将二次型化为标准形.32221y y + 四、证明题（本题6分）27.证 设A 是A 的任一特征值，x 是属于A 的特征向量，即Ax=Ax ，所以.)(22x x A x A λλ== 由,22O A A =+得.)2(2)2(222O x x x x A A =+=+=+λλλλ 因为z 是非零向量，所以,022=+λλ 即A =0或A= -2。