高思导引 四年级第一讲 整数计算综合教师版
四年级奥数——高斯求和
第1讲高斯求和德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9， (99)（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为，末项为，公差为的等差数列；（2）是首项为，末项为，公差为的等差数列；（3）是首项为，末项为，公差为的等差数列；对于任意一个项数为奇数的等差数列来说，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项和末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数。
即为中项定理【例题讲解及思维拓展训练】例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？【思维拓展训练一】1、11＋12＋13＋…＋31＝？2、3＋7＋11＋…＋99＝？例2（2+4+6+......+2012）-（1+3+5+ (2011)【思维拓展训练二】1、（7+9+11+......+25）-（5+7+9+ (23)2、1+2-3+4+5-6+7+8-9+……+58+59-60例3求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。
【思维拓展训练三】1、求首项是34，公差是5的等差数列的前50项的和。
例4 求所有加6以后被11整除的三位数的和【思维拓展训练四】1、100以内所有加5后是6的倍数的数的和是多少？2、在1——400中，所有不是9的倍数的数的和是多少？3、求所有被7除余数是1的三位数的和？例5在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍。
四年级高思奥数之计数综合一含答案
第22讲计数综合一内容概述巩固以前学过的各种方法，综合运用分类与分步思想、排列与组合公式及枚举法来解决较复杂的计数问题；学会使用排阵法、捆绑法、插空法解决排队问题．典型问题兴趣篇1．现有面值1元的钞票3张，面值5元的钞票1张，面值10元的钞票2张．如果从中取出一些钞票(至少取1张)，可能凑出多少种不同的总钱数?2．一本书从第1页开始编排页码，到最后一页结束时共用了1983个数码．这本书共有多少页?3．费叔叔带着小悦、冬冬、阿奇一起到圆明园游玩．他们四人站成一排照相，其中费叔叔要站在最左边或者最右边，一共有多少种不同的站法?4．有13个球队参加篮球比赛．比赛分两个组，第一组7个队，第二组6个队．各组内先进行单循环赛(即每队都要与本组中其他各队比赛一场)，然后由两组的第1名再比赛一场决定冠亚军．请问：一共需要比赛多少场?5．从5瓶不同的纯净水，2瓶不同的可乐和6瓶不同的果汁中，拿出2瓶不同类型的饮料，共有多少种不同的选法?6．从4台不同型号的等离子电视和5台不同型号的液晶电视中任意取出3台，其中等离子电视与液晶电视至少要各有1台，共有多少种不同的取法?7．从1至9中取出7个不同的数，要求它们的和是36，共有多少种不同的取法?8．用0、1、2、3、4这五个数字可以组成多少个没有重复数字的五位数?9．用两个1、一个2、一个3、一个4可以组成多少个不同的五位数?10．在所有不超过1000的自然数中，数字9一共出现了多少次?拓展篇1．把自然数1至2008依次写成一排，得到一个多位数12345678910111213…0620072008．请问：(1)这个多位数一共有多少位?(2)从左向右数，这个多位数的第2008个数字是多少?2．商场里举行抽奖活动，在一个大箱子里放着9个球．其中红色的、黄色的和绿色的球各有3个，而且每种颜色的球都分别标有1、2、3号．顾客从箱子里摸出3个球，如果3个球的颜色全相同或者各不相同，就可以中奖．已知这两种中奖方式分别被设定为一等奖和二等奖，并且一等奖比二等奖少．问：到底哪种中奖方式是一等奖，哪种是二等奖呢?3．工厂某日生产的10件产品中有2件次品，从这10件产品中任意抽出3件进行检查，问：(1)一共有多少种不同的抽法?(2)抽出的3件中恰好有一件是次品的抽法有多少种?(3)抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有多少种?4．如图22-1，在半圆弧及其直径上共有9个点，以这些点为顶点可画出多少个三角形?5．6名学生和4名老师分成红、蓝两队拔河，要求每个队都是3名学生和2名老师，一共有多少种分队的方法?6．10个人围成一圈，从中选出3个人．要求这3个人中恰有2人相邻，一共有多少种不同选法?7．用0、1、2、3、4、5这六个数字可以组成多少个没有重复数字的四位数?其中偶数有多少个?8．用l、2、3、4这四个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数?这些三位数的和是多少?9．用两个1、两个2、两个3可以组成多少个不同的六位数?10．5名同学站成一排，在下列不同的要求下，请分别求出有多少种站法：(1)5个人站成一排；(2)5个人站成一排，小强必须站在中间；(3)5个人站成一排，小强、大强必须有一人站在中间；(4)5个人站成一排，小强、大强必须站在两边；(5)5个人站成一排，小强、大强都没有站在边上．11．6名小朋友A、B、C、D、E、F站成一排．若A，B两人必须相邻，一共有多少种不同的站法?若A、B两人不能相邻，一共有多少种不同的站法?12．学校乒乓球队一共有4名男生和3名女生．某次比赛后他们站成一排照相，请问：(1)如果要求男生不能相邻，一共有多少种不同的站法?(2)如果要求女生都站在一起，一共有多少种不同的站法?超越篇1．有6种不同颜色的小球，请问：(1)如果每种颜色的球都只有1个，从这些球中取出3个排成一列，共有多少种方法?(2)如果每种颜色的球都只有1个，从这些球中取出3个装到袋中，共有多少种方法?(3)如果每种颜色的球的数量都足够多，从这些球中取出3个排成一列，共有多少种方法?(4)如果每种颜色的球的数量都足够多，从这些球中取出3个装到袋中，共有多少种方法?2．有一些四位数的4个数字分别是2个不同的奇数和2个不同的偶数，而且不含有数字0．这样的四位数有几个?3．用l、2、3、4这四个数字组成四位数，至多允许有1个数字重复两次．例如1234、1233和2414是满足条件的，而1212、3334和3333都不满足条件．请问：一共能组成多少个满足条件的四位数?4．四年级三班举行六一儿童节联欢活动．整个活动由2个舞蹈、2个演唱和3个小品组成．请问：(1)如果要求同类型的节目连续演出，那么共有多少种不同的出场顺序?(2)如果第一个和最后一个节目不能是小品，那么共有多少种不同的出场顺序?5．在一次合唱比赛中，有身高互不相同的8个人要站成两排，每排4个人，且前后对齐．而且第二排的每个人都要比他身前的那个人高，这样才不会被挡住．一共有多少种不同的排队方法?6．有9张同样大小的圆形纸片．其中标有数字“1”的纸片有1张；标有数字“2”的纸片有2张；标有数字“3”的纸片有3张；标有数字“4”的纸片也有3张．把这9张圆形纸片如图22-2所示放置在一起，要求标有相同数字的纸片不许靠在一起．请问：(1)如果在M处放置标有数字“3”的纸片，一共有多少种不同的放置方法?(2)如果在M处放置标有数字“2”的纸片，一共有多少种不同的放置方法?7．从三个0、四个1、五个2中挑选出五个数字，能组成多少个不同的五位数?8．8个人站队，冬冬必须站在小悦和阿奇的中间(不一定相邻)，小慧和大智不能相邻，小光和大亮必须相邻，满足要求的站法一共有多少种?第22讲 计数综合一内容概述巩固以前学过的各种方法，综合运用分类与分步思想、排列与组合公式及枚举法来解决较复杂的计数问题；学会使用排阵法、捆绑法、插空法解决排队问题．典型问题兴趣篇1．现有面值1元的钞票3张，面值5元的钞票1张，面值10元的钞票2张．如果从中取出一些钞票(至少取1张)，可能凑出多少种不同的总钱数?答案：23种分析 ：根据题意，钱数的可能范围为1-28元，其中4元，9元，14元，19元，24元是不可能出现的。
高思导引-四年级-竖式问题教师版汇编
学习-----好资料第5讲竖式问题内容概述以字母或汉字表示数字的竖式问题，学会选择适当的突破口，并逐步解决问题；能够将文字叙述的题目转化为数字谜形式，便于直观地解决问题。
典型问题兴趣篇1.如图5-1所示，每个英文字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字，其中“G”代表“5”，“A”代表“9”，“D”代表“0”，“H”代表“6”.问：“I”代表的数字是多少？分析：也一定有A+E=HC=4，A+D=D，所以,它们的和一定有进位，所以，、2、F分别是1没有用，所以1、2、3、8B，现在还剩进位，所以E=7I=3.的加法竖式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代）在图5-22. （1 表相同的数字，那么每个汉字各代表什么数字？的减法竖式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相在图5-3(2)同的数字，那么每个汉字各代表什么数字？分析：，卒=1（1）观察可得：车，马=卒，所以兵=5=0，兵+兵马，所炮=，+1=5，所以马=4炮+=2以炮5240+5210=10450=2=马，所以：兵，=12）观察可得：炮，兵—兵=马，一定有借位，所以马=9，炮—兵（292=929—1221的竖式中，相同的汉字代表相同的3. 在图5-4+如果23+解数字，不同的汉字代表不同的数字，”所代表的三，那么“字++谜=30 数数字谜位数是多少？更多精品文档．学习-----好资料不同的汉字代表不同的数字，每个汉字代表一个数字，图5-5所示的竖式中，4. ”代表的四位数是多少？那么“北京奥运分析：奥++京，北+奥=0，所以可得要进位，所以；京=8 观察可得：北=1，北+京=9 ，运位，所以：奥=0+运=8，所以要进2=1809 北京奥运ABCDE所示的乘法竖式成立，那么5. 已知图5-6是多少？相同的符号代5-7的竖式中，6. (1) 在图表相同的数字，不同的符号代表不同的数字，那么☆、△、○分别代表什么数字？的竖式中，相同的符号代表5-8(2) 在图不同的符号代表不同的数字，相同的数字，那么☆、△、○分别代表什么数字？分析：三种可能，因为是三位数5、9,×△=△，所以△=1、）（1△，○=1，☆乘一位数等于四位数，所以1排除，经分析：△=5=2=2 ，○，当△=5时，☆=4、）△=15、6三种可能，排除12 （=3○=5时，△当=6☆，更多精品文档．学习-----好资料7. 如图5-9，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字，那么十个方框中数字之和是多少？分析：B×B=B，所以B=1、5、6，三种可能，经分析1排除，A×B=B，所以B=5，A为奇数，三位数乘B得三位数，所以第一个方格中添1，一百多乘一位数得四位数，所以A只能是7、9，当A=7时，C=7，矛盾不成立；当A=9时，C=7，成立；所以：195×95=18525 1+9+1+7+5+1+8+5+2+5=448. 在图5-10和图5-11中的方格内填入适当的数字，使下列除法竖式成立.分析：，所以除数9=783（1）除数×=6003 ，所以被除数×6=522=87,8787=69÷6003=2465 5=145，所以被除数8=232，所以除数=29,29×（2）除数×29=85÷2465所示的除法竖式中填入合适的数字，使得竖式成立，那么其中的商5-129.在图是多少？分析：三= 除数×7=两位数，除数×另一个一位数，所以除数只能是位数，且三位数的十位上是2 ，9=12614,14×7=98,14×=79所以除数更多精品文档．好资料学习-----后所得乘积恰好是将原来的四位数各位数字顺序910. 有一个四位数，它乘以.颠倒而得的新四位数，求原来的四位数拓展篇不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字，和5-14中，1. 在图5-13. 求出它们使竖式成立的值分析：，四个语、语=5 （1）观察得：巧=1，所以三个英相加得数，进2相加得20，所，向前进2的个位是8，所以英得6 以学=4 以学+学得数个位也是8，所1465+林=7，奥++=6，奥林+匹进2，所以林2 （）观察的奥+林有进1，所以奥6789=83，所以匹，克=9 匹+克进，在这个算式中，相2. 如图5-15不同的同的字母代表相同的数字，、A字母代表不同的数字，那么数字分别是多少？B、C分析：有借位，没有借位，C—BCA=A，—B=B,所以C—AC观察—A=4A=A，所以B=9，所以有借位且，C=8，已知C—B—B=B8、4、9不同的字母表示不同的数在图5-16的竖式中，相同的字母表示相同的数字，3. 字，并且A<B<C<D. 问：竖式中的和是多少？分析：D=5 C=4，，，观察得A=2B=3 2233+3344+4455=10032更多精品文档．学习-----好资料4. 在图5-17的竖式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字，那么“”所代表的七位数是多少？携手上海世博会分析：，个=9，手=0，上观察得，黄金三角：携=1，所=7位数的和肯定要进位，要使进1为，则博，=6位，办海=4，假设百位向前进2以会只能是2，，位，办=5，成立，1094382 ；假设百位向前进3=8当世=3时，在；，成立，1094872=8时，在=3当世小悦写了一个四位数，冬冬把这个四位数的个位抹掉，变成了一个三位数，5. 阿奇又把这个三位数的个位抹掉，变成了一个两位数，最后把这三个数加起来，小悦原来写的四位数是多少？结果刚好是7826.分析：利用位值原理ABCD+ABC+AB=78261000A+100B+10C+D+100A+10B+C+10A+B=1110A+111B+11C+D=7826D=1 56-55=1 则当则B=0 C=5时－时当A=778267770=56 7051即一个各位数字互不相同的三位数，用它的三个数字组成一个最大的三位数，6. 再用这三个数字组成一个最小的三位数，组成的这两个三位数之差正好是原来. 求原来的三位数的三位数.更多精品文档．学习-----好资料移到左边首位数字前面，所构成44，将这个7. (1) 一个自然数的个位数字是 4倍，那么原数最小是多少？的新数恰好是原数的一个五位数，将它的各位数字顺序颠倒就可以得到一个新的五位数，而且(2)/4倍，那么原来的五位数是多少这个新的五位数恰好是原数的）（1219782）（中的一个数字，不同的字母2，……908. 如图5-18，每一个英文字母代表，1 、RF分别代表什么数字？、、、代表不同的数字，则字母AQT更多精品文档．学习-----好资料分析：不QAQ×T=1符合题意，当Q=6时为5或6 当Q=5时A=2 .........QTAQ等于T=1 则........AQ×T=AQF=3R=7，Q=5，T=1，A=2，所以“美”三个汉字分别代表三个各不相同的“峡”、中的竖式里，“江”、9. 图5-19. 数字，请把这个竖式写出来分析：=6 ，所以美0,1,5,6中的一个，通过实验排除0,1,5先确定美是□□江，则=×江4或8之一，又因为江峡美或美通过确定江是2 排除，所以江=24或8=8=□□□峡，则峡由于江峡美×峡所示的除法5-2010. 请把如图竖式中空缺的数字补上，其中的商是多少？分析：1 7 则除数个位是7，商的十位数字是=6.........6□□×□□除数的十位数3=×□□□61 则商的个位数字是，7.........6□8 字是更多精品文档．学习-----好资料11. 请把图5-21中的除法竖式补充完整。
阶梯奥数 4年级 兴趣篇 第1讲 整数计算综合
问题
(1) 121×32÷8 (2) 4×(250÷8) (3) 25×83×32×125
答案 原式=121×（32÷8）=121×4=484 原式=(4×250)÷8=1000÷8=125 原式=（25×4）×（8×125）×83=100×1000×83=8300000
(1) 56×22+56×33+56×44 (2) 222×33+889×66
问题
答案
原式=56×（22+33+44）=56×99=56×（100-1） =56×100-56×1=5600-56=5544
原式=111×66+889×66=66×（111+889） =66×1000=66000
(1) 37×47+36×53 (2) 123×76－124×75
问题
(1)原式=（36+1）×47+36×53 =36×47+1×47+36×53 =36×（47+53)+47 =36×100+47=3600+47=3647
问题
原式=（20092008+1）×2009－20092008×2008－20092008
=20092008×2009+1×2009－20092008×2008－20092008
答案
=20092008×（2009-2008-1）+2009
=2009
问题 1+2－3+4+5－6+7+8－9+……+97+98－99
原式 =（1+2－3）+（4+5－6）+（7+8－9）+……+（97+98－99） =0+3+6+……+96 =（0+96）×33÷2 =48×33 =1584
四年级上册数学课件-第1单元《从结绳计数说起》北师大版
5359
2.你能看懂下面的数是怎么表示的吗？你能把其 他的数表示出来吗？
3.十万位、万位、百位上的5个珠子表示的意义有 什么不同？连一连。
4.找规律，填一填。 ⑴2002,3003,4004，5005，6006，7007，8008，9009。 ⑵6060,6040,6020，6000，5980，5960，5940，5920。
• 4.因为10个1是十，10个十是一百。。每相 邻两个计数单位之间的进率都是十所以自 然数的计数法是十进制计数法。
例题；150500000中
• 千万位上的5表示 • 十万位上的5表示 • 2760600 • 万位上的6表示 • 百位上的6表示
1.看一看，在括号里填上适当的数。 209
50506
北师大版 四年级上册 第一单元 认识更大的数
远古时代 刻石结痕子绳计计数数
五千年前 古中埃国玛及算雅象筹数形数字数码字
பைடு நூலகம் 现在
自然数的特点：
• 1.自然数是从小到大的顺序排列的。0是最 小的自然数，没有最大的自然数。
• 2.从0开始，相邻两个数后面的输总比前面 的数多1。
• 3.自然数右单数和双数组成。
高思教育数学课本第1讲加减法巧算讲义
在进行加减法计算时，“先计算括号中的部分，再从左往右依次计算”是基本的运算法则．但除此之外，还有许多运算技巧，熟练掌握各种运算技巧可以使你算得更快更准．“凑整法”是最常用的巧算方法，就是在计算时优先计算可以得到整十、整百、整千的部分，从而达到巧算的目的．要想凑出整十，两个数的末位相加应该得0，这样的情况除了00+，55+，46+．同学们在做题时要注意观察各+，28+，37+外，还有19加数的个位，看能不能找到合适的凑法．除了加法可以凑整以外，减法同样可以凑整，个位相同的两个数相减后便能得到整十的数．在进行加减法混合运算时，经常会遇到能够巧算的数不在一起的情况，这时候就需要通过调整运算顺序，把能巧算的放在一起先算．但需要注意的是，在调整的过程中，每个数都必须带着自己左边的符号一起移动，这种调整可以形象地称作“带符号搬家”．如果搬家的是算式中的第一个数，前面没有符号，在这个数之前添上一个加号即可．分析 （1）通过个位凑十来配对，但其中以1和9结尾的都分别有2个，应该如何配对呢？（2）加法配对看末位，减法应该如何配对？练习1.（1）计算：36973264168103+++++；（2）计算：24681925323922241234−++−+．除了“带符号搬家”可以调整运算次序外，“脱括号”与“添括号”也是改变运算顺序的常用手段．加减法算式中“脱括号”要遵循下面的规则：括号前面是加号，脱去括号不变号；括号前面是减号，脱去括号变符号．分析 去掉括号会变成什么样？练习2.（1）计算：()()12323454567−−−−；（2）（2（2）计算：()()437200836353−−+−． 小笑话从前，山东省有个大军阀，他横行霸道，却不学无术，经常闹笑话．一次会议开始时，他想点点名，了解一下哪些人来了，哪些人没来．可是，他一看到会的人数比较多，点名很费事．于是这个不学无术的军阀就想了一个“办法”．他认为没有来的人总是少数，只要知道哪些人没来，来的人不用一一点名，也会清楚了．于是他便大声地叫道：“没有来的人举手!”他这么喊过之后，到会的人面面相觑，都感到莫名其妙．上面只是一个小笑话，但是其实这个军阀运用了数学中“补数”的思想，只要知道了没到的人数，再用总人数减去没到的人数就可以了，只是他脱离了实际，结果闹了笑话．其实补数是速算和心算时一个重要的概念．比如，在计算45798−时，可以把98看成1002−来计算，()4579845710024571002359−=−−=−+=．在运用补数进行巧算的时候要注意补数前的符号到底是加还是减．分析 把题目中接近整百整十的数都变成补数的形式，应该怎么变？练习3.（1）计算：999999999++；（2）计算：23452993981198−−−．前面学习了“脱括号”的巧算方法，其实“添括号”也是一个重要的技巧，“添括号”与“脱括号”类似，同样要注意：括号前面是加号，添上括号不变号；（2）当然，这里所说的“括号前面”是指要添上的括号之前，而要改变的符号是新括号里的那些符号．分析 题（1）中全都是减号，在什么位置添上括号可以简化计算？题（2）中有加有减，有哪些数之间是可以凑整的？练习4.（1）计算：379131588742−−−−；（2）计算：9811451813235577+−−+−．最后我们来看两个与数字特点有关的计算：分析 仔细观察每一问里的数字都有什么特点？试着利用这些特点进行巧算．练习5. 计算：（1）714147471555++−；（2）1827364554637281+−+−+−+．（2（2）例题5本讲知识点汇总一、通过末位找到凑整的关系：加法末位和为10，减法末位相同．二、脱括号、添括号的原则：括号前面是加号，脱去/添上括号不变号；括号前面是减号，脱去/添上括号变符号．三、巧用补数：对于靠近整十整百整千的数，可以先用那些整的进行计算，再计算它们的补数．四、把每个数位分开计算．作业1. 计算：2589127175373289−++++．2. 计算：()()62235778600457−−−−．−−−．3.计算：100197396298−−−+．4.计算：3579862138734234++−．5.计算：334343433111。
第1讲：整数计算综合
第一讲整数计算综合知识点回顾一、交换律加法交换律；乘法交换律。
二、结合律加法结合律；乘法结合律。
三、分配律乘法分配律；除法分配律。
四、去（添）括号加减法去（添）括号；乘除法去（添）括号。
五、带符号搬家同级运算可以带符号搬家；加减法为第一级运算；乘除法为第二级运算。
知识点回顾四则混合计算规则：1，先算乘除法，后算加减法；2，有括号先算括号里。
部分巧算方法：1，分组法；2，凑整法；3，提公因数法；4，提公除数法；1，计算（高思学校竞赛数学导引P 2）(1)72×27×88÷(9×11×12);原式=72×27×88÷(9×11×12)=(72÷12)×(27÷9)×(88÷11)=6×3×8=144=72×27×88÷9÷11÷12去括号带符号搬家1，计算（高思学校竞赛数学导引P2）(2) 31×121-88×125÷(1000÷121).原式=31×121-88×125÷(1000÷121)=31×121-88×125÷1000×121=31×121-11×(8×125)÷1000×121=31×121-11×(1000÷1000)×121=31×121-11×121=(31-11)×121=20×121=24202，计算（高思学校竞赛数学导引P3）(1) 555×445-556×444;原式=555×445-556×444=555×445-(555+1)×444=555×445-(555×444+444)=555×445-555×444-444=555×(445-444)-444=555-444=1112，计算（高思学校竞赛数学导引P3）(2) 42×137-80÷15+58×138-70÷15原式=42×137-80÷15+58×138-70÷15=(42×137+58×138)-(80÷15+70÷15)=42×137+58×(137+1)-(80+70)÷15=(42+58)×137+58-150÷15=100×137+58-10=137483，计算（高思学校竞赛数学导引P3）20092009×2009-20092008×2008-20092008原式=20092009×2009-20092008×2008-20092008=(20092008+1)×2009-20092008×2008－20092008=20092008×2009+2009-20092008×(2008+1)=20092008×2009-20092008×2009+2009=20094，计算（高思学校竞赛数学导引P3）(1) 37×47+36×53原式=37×47+36×53=(36+1)×47+36×53=36×47+36×53+47=36×(47+53)+47=36×100+47=3647(2) 123×76-124×75原式=123×76-124×75=124×76-124×75-76=124×(76-75)-76=124-76=(124-1)×76-124×75=48原式=123×76-124×75=123×76-123×75-75=123×(76-75)-75=123-75=123×76-(123+1)×75=484，计算（高思学校竞赛数学导引P 3）1+2-3+4+5-6+7+8-9+…+97+98-99原式=(1+4+7+…+97)+(2+5+8+…98)-(3+6+9+…+99)=(98+100-102)×33÷2=96×33÷2=1584=(1+97)×33÷2+(2+98)×33÷2-(3+99)×33÷2=(1+2-3)+(4+5-6)+(7+8-9)+…+(97+98-99)=(0+96)×33÷2=0+3+6+…+96=15485，计算（高思学校竞赛数学导引P 3）100×99-99×98+98×97-97×96+96×95-95×94+…+4×3－3×2+2×1原式=99×(100-98)+97×(98-96)+95×(96-94)+…+3×(4-2)+2×1=(99+97+95+…+3+1)×2=(1+99)×50÷2×2=5000=99×2+97×2+95×2+…+3×2+1×2分组提公因数6，计算（高思学校竞赛数学导引P 3）7，计算（高思学校竞赛数学导引P3）在不大于1000的自然数中，A为所有个位数字为8的数之和，B为所有个位数字为3的数之和. A与B的差是多少？解：由题意可以知道，A为数列8,18,28,38,…，998的和，B为数列3,13,23,33,…，993的和。
小学四年级奥数教程——第一讲整理版
= 21×20÷2 = 210
⑵2＋4＋6＋8＋ ?＋ 48＋50 =（2＋50） ×25÷2
= 52×25÷2 = 650 注意：利用等差数列求和公式之前 ，一定要判断题目中的各个 加数是否构成等差数列。
练一练：
⑴计算1＋2＋3＋4＋5 ＋ ?＋ 49＋50的和 解： 原式 ＝（1＋50） ×50÷2
= 51×50÷2 = 1275 ⑵计算1＋3＋5＋7＋ ?＋ 97＋99的和 解： 原式 ＝（1＋99） ×50÷2 = 100×50÷2 = 2500 ⑶第一行放了1颗糖 ，第二行放了2颗糖 ，第三行放了3颗糖 ，依 此类推 ，第四十行放了40颗糖 ，第一～四十行一共放了多少颗 糖？ 1＋2＋3＋4＋5 ＋ ?＋ 40 =（ 1＋40） ×40÷2 = 41×40÷2 = 820（颗）
= 1006 解法二：（2＋4＋6＋ ?＋ 2012）－（ 1＋3＋5＋ ?＋ 2011）
=（2－1） ＋（4 －3） ＋ ? ＋（ 2012－2011）
= 1×1006 = 1006
练一练：
⑴ （7＋9＋ 11＋ ?＋ 25）－（5＋7＋9＋?＋ 23）
解法一 ：（25－7） ÷2＋ 1
= 18÷2＋ 1 =9＋ 1
= 90÷6＋ 1
= 15＋ 1 = 16 总和 ＝（ 1＋91） ×16÷2 = 92×16÷2
= 736
练一练：
⑵在1—400中 ，所有不是9的倍数的数的和是多少？
分析： 1—400中 ，所有“不是9的倍数的数的和 ” ，可以先求出 1—400各数的和 ，再去掉所有9的倍数的数的和 ，就能得到所 要求的结果 。而在所有9的倍数的数中 ，最小的是9，最大的 是396，相邻两数都相差9 。即这些数依次是9 、18 、27、?396。 显然 ，它们成等差数列 。项数是（ 396－9） ÷9＋ 1 ＝44 （ 1＋2＋3＋?＋ 400）－（9＋18＋27＋?＋ 396）
第一讲 华罗庚四年级数学整数计算综合
第一讲 整数计算综合羊族和狼族发生了一场惊天动地的大混战。
战斗打得天昏地暗，同族内部偶尔也会出现这种自相残杀。
战场上，▲和▼这两种武器被广泛使用，它们的作用却不相同。
战场的某个角落里，有这样一串争斗（顺序从左至右）：这场争斗最后幸存下来的是羊还是狼？故事中的▲和▼是我们新定义的运算符号，这类定义新运算的问题我们以前没有遇到过，在这类问题中，新引入的运算符号代表新的含义，而且在不同的题目中，符号代表的含义不一样。
例题 1分析：你能根据运算“。
”的定义，反推出小括号中的□。
5是多少吗？练习1、规定运算“⊗”为：a ⊗b=2×a-b.计算：（1）（6⊗5）⊗4；（2）6⊗（5⊗4）.同学们已经学过了四则运算，在这里我们先简单复习一下四则运算的各种运算律，包括交换律、结合律、分配律、去括号和添括号的法则等等。
一、交换律：加法交换律：a+b=b+a；乘法交换律：a×b=b×a.例如：123+234=234+123；123×234=234×123.二、结合律：加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)；乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c).例如：(123+234)+345=123+(234+345)；(10×11)×12=10×(11×12).三、分配律乘法分配率：()();;a b c a c b ca b c a c b c⎧+⨯=⨯+⨯⎪⎨-⨯=⨯-⨯⎪⎩()();.c a b c a c bc a b c a c b⎧⨯+=⨯+⨯⎪⎨⨯-=⨯-⨯⎪⎩例如：(234-123)×5=234×5-123×5；5×(234-123)=5×234-5×123.除法分配率：()(),.a b c a c b c a b c a c b c ⎧+÷=÷+÷⎪⎨-÷=÷-÷⎪⎩例如：(100-40)÷10=100÷10-40÷10；避免错误使用：18÷(3÷6)≠18÷3+18÷6.四、去（添）括号：1、加、减法去（添）括号：括号前面是“+”，去（添）括号后不变号；括号前面是“-”，去（添）括号后要变号。
1.1 数一数(Word教案)2023-2024学年四年级数学上册同步备课(北师大版)
1.1 数一数（Word教案）2023-2024学年四年级数学上册同步备课（北师大版）教学目标：1. 理解数的概念，能够准确地数数。
2. 掌握数的顺序，能够按照顺序排列数。
3. 培养学生的观察能力和逻辑思维能力。
教学重点：1. 数的概念和顺序。
2. 准确地数数。
教学难点：1. 数的顺序。
2. 准确地数数。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 数数用的物品，如小石子、小球等。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾之前学过的数的概念和顺序。
2. 提问：你们知道数数的重要性吗？为什么我们要学会数数呢？二、新课导入（10分钟）1. 向学生介绍数的概念，解释数是用来表示物体数量的。
2. 通过举例，让学生理解数的顺序，如1、2、3、4、5等。
3. 引导学生观察教室内的物品，让他们数一数有多少个桌子、椅子等。
三、实践操作（10分钟）1. 将学生分成小组，每组发一些小石子或小球。
2. 让学生用这些物品进行数数练习，要求他们准确地数出物品的数量。
3. 引导学生互相检查，确保每个人都能准确地数数。
四、巩固练习（10分钟）1. 出示一些数数题目，让学生独立完成。
2. 引导学生互相讨论，解决数数中的问题。
五、总结（5分钟）1. 回顾本节课所学的内容，让学生复述数的概念和顺序。
2. 强调准确地数数的重要性，提醒学生在日常生活中要多加练习。
教学反思：本节课通过让学生观察物品、进行数数练习，培养了他们的观察能力和逻辑思维能力。
在教学过程中，我注重引导学生互相讨论、解决问题，提高了他们的合作能力。
但在数数练习中，发现部分学生还存在不准确的情况，需要在今后的教学中加强个别辅导，帮助他们提高数数准确性。
作业布置：1. 完成数数练习题目。
2. 观察家中的物品，数一数并记录下来。
板书设计：1.1 数一数数的概念：表示物体数量的符号。
数的顺序：1、2、3、4、5……教学延伸：1. 引导学生探索数的其他概念，如偶数、奇数等。
2. 让学生尝试用数数的方法解决实际问题，如分配物品等。
四年级下册数学讲义奥数导引 11 整数计算综合人教版
一、常用巧算方法1、同级运算利用拆添括号或带符号搬家．拆添括号：括号前为加、乘，不变号；括号前为减、除，括号内变号（一定都是同级运算）．带符号搬家：带着数前的符号搬家，但不能“跨越”括号．2、多级运算利用分配律或提取公因数．注意：()a b c a c b c±÷=÷±÷，但()a b c a b a c÷±≠÷±÷．3、等差数列务必熟记所有公式（以递增等差数列为例）：求末项：()11na a n d=+-；求首项：()11na a n d=+-；求公差：()()11nd a a n=-÷-；求项数：()11nn a a d=-÷+；求和：()12nS a a n=+⨯÷，并且当n为奇数时，S=中间项×项数．4、其它公式（1）平方差公式：()()22a b a b a b-=+-；（2）平方和公式：()()222121216n n n n+++=++÷；（3）立方和公式：()23331212n n+++=+++．第1讲整数计算综合知识点二、 定义新运算最重要的一点是按定义计算，解题过程中常需要结合巧算方法．常考题型为求值与倒推（即解方程），还可能要证明新运算满足某些性质（如交换律、结合律、分配律等）．【例1】 观察下面算式的规律：200019941988198219761970196419581952194619401934+--++--++--+……依此类推，一直这样写下去，（1）那么最后4个自然数分别是哪4个？符号分别是加还是减？ （2）算式最终的结果为多少？【例2】 从1，2，……，9，10中任意选取一个奇数和一个偶数，并将两数相乘，可以得到一个乘积．把所有这样的乘积全部加起来，总和是多少？超越篇题目【例3】计算：136101521284950-+-+-+-+……．【例4】已知平方差公式：()()22a b a b a b-=+⨯-，计算：222222222222100999897969594934321+--++--+++--……．【例5】a bΘ表示从a开始依次增加的b个连续自然数的和，例如：4345615Θ=++=，54567826Θ=+++=，请计算：（1）415Θ；（2）在算式()7111056ΘΘ=中，方框里的数应该是多少？【例6】定义两种新运算：1a b a bΩ=-+，1a b a b∀=⨯+．用“Ω”、“∀”和括号填入下面的式子，使得等式成立（不能用别的计算符号）：73452=．【例7】现定义四种操作的规则如下：①“一分为二”：如果一个自然数是偶数，就把它除以2；如果是奇数，就先加上1，然后除以2．例如从16可以得到8，从27可以得到14．②“丢三落四”：如果一个自然数中包含数字“3”或“4”，就将其划掉．例如从5304可以得到50，从408可以得到8．（不含数字3和4的自然数不能进行“丢三落四”操作）③“七上八下”：如果一个自然数中包含数字“7”，就将所有“7”移到最左边；如果一个自然数中包含数字“8”，就将所有“8”移到最右边．例如从98707可以得到77908，从802可以得到28．（不含数字7和8的自然数不能进行“七上八下”操作）④“十全十美”：将一个自然数的个位数字换成0．例如从111可以得到110，从905可以得到900．（个位是0的自然数不能进行“十全十美”操作）（1）请写出对4176依次进行③、①、③、②、④操作后的结果；（2）从655687开始，最少经过几次操作以后可以得到0？（3）一个三位数除了“丢三落四”外，其它三个操作各进行一次之后得到的结果是8，求有多少个这样的三位数．【例8】下表是同学们都很熟悉的九九乘法口诀表，表中所有乘积的总和是多少？【习题1】（拓展篇第7题）在不大于1000的自然数中，A为所有个位数字为8的数的和，B为所有个位数字为3的数之和．A与B的差是多少？补充题目【习题2】定义运算※为：()a b a b ⨯-+（1）求5※7，7※5（2）求()1234※※，()1234※※（3）这个运算“※”有交换律、结合律吗？【习题3】将1~2013的奇数排成一列，然后按每组1、2、3、4、5、……的个数规律分组如下（每个括号为一组）：（1）（3，5）（7，9，11）（13，15，17，19）（21，23，25，27）……，则第20个括号内的各数之和是多少？最后一个括号呢？（最后一组可能个数不足）【习题4】规定：A ○B 表示A 、B 中较大的数，A △B 表示A 、B 中较小的数．若()()535396A B B A +⨯+=△△，且A 、B 均为大于0的自然数，那么A B ⨯可能是多少？。
第一单元 数一数 教案2023-2024学年数学四年级上册-北师大版
教案标题：第一单元数一数教学目标：1. 让学生掌握数的概念，理解数的意义和作用。
2. 培养学生运用数学语言表达和交流的能力。
3. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
教学内容：1. 数的概念：数的定义、数的分类、数的表示方法。
2. 数的意义和作用：数的实际意义、数的运算意义、数在生活中的应用。
3. 数的表示方法：数字表示法、符号表示法、图形表示法。
教学重点：1. 数的概念的理解和掌握。
2. 数的意义和作用的理解和应用。
3. 数的表示方法的掌握和应用。
教学难点：1. 数的概念的理解和掌握。
2. 数的意义和作用的理解和应用。
教学准备：1. 教师准备：教案、课件、教具。
2. 学生准备：课本、练习本、文具。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师通过生动的例子，引导学生思考数的概念。
2. 学生分享自己对数的理解和认识。
二、探究（15分钟）1. 教师引导学生学习数的概念，讲解数的定义、分类和表示方法。
2. 学生通过小组合作，探究数的意义和作用。
3. 教师组织学生进行数的表示方法的练习，巩固所学知识。
三、实践（15分钟）1. 教师设计实际问题，引导学生运用数学知识解决。
2. 学生独立完成实际问题，巩固所学知识。
3. 教师组织学生进行交流，分享解题思路和方法。
四、总结（5分钟）1. 教师引导学生总结数的概念、意义和表示方法。
2. 学生分享自己的学习心得和体会。
五、作业（5分钟）1. 教师布置作业，巩固所学知识。
2. 学生认真完成作业，巩固所学知识。
教学反思：在教学过程中，教师应注重学生的参与和互动，引导学生主动探究和学习。
同时，教师应关注学生的学习情况，及时给予指导和帮助。
通过本单元的学习，学生能够掌握数的概念、意义和表示方法，能够运用数学知识解决实际问题，提高数学素养。
需要重点关注的细节是“探究（15分钟）”环节。
这个环节是学生对数的概念进行深入理解和应用的关键环节，也是培养学生数学思维和解决问题能力的重要环节。
数一数(教案)2023-2024学年数学四年级上册 北师大版
教案标题：数一数年级：四年级学科：数学版本：北师大版课时：2课时教学目标：1. 让学生理解数的概念，能够正确数数。
2. 培养学生的观察能力和逻辑思维能力。
3. 培养学生运用数学语言进行表达和交流的能力。
教学重点：1. 数的概念和数数的方法。
2. 观察能力和逻辑思维能力的培养。
教学难点：1. 数的概念的理解。
2. 观察能力和逻辑思维能力的培养。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 教学用具：计数器、计数卡片等。
教学过程：第一课时：一、导入（5分钟）1. 教师通过故事、图片或实物引导学生观察，让学生发现生活中的数。
2. 学生分享自己发现的数，并说出数的意义。
二、探究（15分钟）1. 教师引导学生观察计数器或计数卡片，让学生理解数的概念。
2. 教师示范数数的方法，让学生跟随数数。
3. 学生分组进行数数活动，互相交流数数的方法和经验。
三、实践（15分钟）1. 教师给出一些数，让学生进行数数练习。
2. 学生互相检查数数的结果，讨论并解决出现的问题。
四、总结（5分钟）1. 教师引导学生总结数数的方法和注意事项。
2. 学生分享自己的学习心得。
第二课时：一、复习（5分钟）1. 教师引导学生复习上节课的学习内容，让学生回顾数的概念和数数的方法。
2. 学生进行数数练习，巩固所学知识。
二、拓展（15分钟）1. 教师引导学生观察生活中的数，让学生发现数的规律和特点。
2. 学生进行数的分类和排序活动，培养观察能力和逻辑思维能力。
三、应用（15分钟）1. 教师给出一些实际问题，让学生运用数数的方法进行解决。
2. 学生进行小组讨论，互相交流解决问题的方法和经验。
四、总结（5分钟）1. 教师引导学生总结数数的方法和注意事项。
2. 学生分享自己的学习心得。
教学反思：本节课通过故事、图片或实物引导学生观察，让学生发现生活中的数，培养了学生的观察能力和逻辑思维能力。
通过数数活动，让学生理解数的概念，并掌握数数的方法。
在教学过程中，教师应及时关注学生的学习情况，给予及时的指导和反馈，帮助学生巩固所学知识。
学而思讲义四年级第一讲(整数与数列)
左边的正三角形即为自然数列的平方和， 将其翻转两次得到右边的两个三角形数 表。现把三个三角形重叠在一起，每个位置上都有三个数，其和都是 2n+1，一共有 1+2+3+…+n 个位置，所以三个数表的和为（2n+1） （1+2+3+…+n） ，那么一个三角形数 2 2 2 2 表的和，即 1 +2 +3 +…+n =（2n+1） （1+2+3+…+n）÷3=（2n+1） （1+n）n÷2÷3，经 整理= n（n+1） （2n+1）÷6 四年级秋季班（七级下） 1.2
2、金字塔数列=中项 2 即：1 + 2 + 3 + … +（n-1）+ n +（n-1）+ … + 3 + 2 + 1 = n 图示：
2
四年级秋季班（七级下） 1.1
2010 年四年级秋季班 第一讲 整数与数列 程雪
三、平方差公式：a - b =（a+b）×（a-b） ……两数平方差=两数和×两数差 几何证明：
2
2
b
a 2 2 a - b 表示的是图中大正方形减去黑色小正方形后的空白部分的面积，沿虚线将空白部分减 成两部分再拼接起来，即为一个长方形的面积。该长方形长为 a+b，宽为 a-b，面积为（a+b） ×（a-b） ，得证。 特例: 两数相差为 1，其平方差就是两数和 2 2 37 -36 =（37+36）×（37-36）=37+36 四、平方差公式拓展： （逆向思维）既然平方差=和×差，那么两个数相乘能否转化为平方差的形式呢？ 1、若两数的奇偶性相同，则这两数的乘积可化为平方差的形式。 如：41×39 41=a+b，39=a-b ，利用和差公式即可算出 a=40，b=1（a 即是 41 与 39 的平均数） 2 2 所以 41×39=（40+1）×（40-1）=40 -1 2、进而，若两数相差不大，且两数和为整十整百时，乘积改写为平方差可简化计算 2 2 如：68×72=（70-2）×（70+2）=70 -2 =4900-4=4896 五、自然数列的平方和公式 2 2 2 2 1 +2 +3 +…+n =n（n+1） （2n+1）÷6 图示证明： 1 2 3 … n n 3 2 3 … … n
华数思维训练导引四年级上
华数思维训练导引四年级上华数思维训练导引——计算问题（三）整数与数列《思维训练导引》四年级第01讲计算问题第03讲整数与数列1、如图1-1所⽰的表中有55个数，那么它们的和加上多少才等于1994？1 7 13 19 25 31 37 43 49 55 612 8 14 20 26 32 38 44 50 56 623 9 15 21 27 33 39 45 51 57 634 10 16 22 28 34 40 46 52 58 645 11 17 23 29 35 41 47 53 59 65图1-1解：它们的和=3×5+9×5+15×5+21×5+27×5+33×5+39×5+45×5+51×5+57×5+63×5=（33×11）×5=1815[或者：它们的和=（31+32+33+34+35）×11=1815]1994-1815=179答：它们的和加上179才等于1994。
2、计算：1000+999-998-997+996+995-994-993+……+108+107-106-105+104+193-102-101。
解：1000+999-998-997+996+995-994-993+……+108+107-106-105+104+193-102-101=（1000+999-998-997）+（996+995-994-993）+……+（108+107-106-105）+（104+193-102-101）=4+4+……+4+4=［（1000-101）÷1+1］÷4×4=9003、计算：（1+3+5+……+1989）-（2+4+6+……+1988）。
解：（1+3+5+......+1989）-（2+4+6+ (1988)=1+（3-2）+（5-4）+……+（1989-1988）=1+1×（1989-1）÷2=1+994=9954、利⽤公式l×l+2×2+……+n×n＝n×（n+1）×（2×n+1）÷6，计算：15×15+16×16+……+21×21。
小学培优数学：四年级知识导引
几何图形剪拼 殊的剪拼方法.
第五讲(应用总10) 掌握速度、路程、时间的概念，以及它们之间的数量关系.掌握基本相遇问题和基本追及问题的
行程问题一 解法；学会用比较的方法分析同一段路程上不同的运动过程.重点掌握画线段图的分析方法.
第六讲(组合总3) 理解抽屉原理的基本含义，并能利用抽屉原理对一些简单问题进行说明.在考虑某些问题时，需
第二十三讲(组合总 求最大值与最小值的问题，解题时宜首先考虑起主要作用的量，有时还需要局部调整或者枚举各
5) 最值问题一 种可能情形.和为定值的两数的乘积随着两数之差的增大而减小.
第二十四讲(组合总6) 逻辑推理一
简单的逻辑推理问题，学会假设法和列表法(P142)
.
第十三讲(计算总8) 多位数与小数
求解含有小数的四则运算问题，除了运用已学的各种整数计算方法外，还可以移动小数点来简化 计算.求解带有省略号的多位数的四则运算问题，一般采用从简单情况出发找规律、通过算式的 变形进行凑整、直接列竖式等方法.
第十四讲(应用总
13)
平
均数问题
掌握平均数的基本概念.学会利用基准数法计算平均数，通过总量的变化计算平均数的变化，分 析多组数的平均数与总平均数之间的关系.
运动过程较为复杂的行程问题，一般通过分段、比较等方法进行考虑.在往返问题中考虑多次相 遇和多次追及的过程，需要注意从整体考虑两个对象的路程和或路程差，并从中找到规律.
第二十讲(数字谜8) 掌握幻方的概念，了解三、四阶幻方的构造方法；解决具有与幻方类似性质的数阵图问题；进一
幻方与数阵图扩展 步学习重数分析的方法；通过计算重数来处理数阵图中的最大最小问题.
数列与数表 性，计算时常常考虑周期性，或进行合理估算.
奥数思维训练导引(4年级讲义)一
第1讲整数计算综合 (2)第2讲和差倍问题三 (10)第3讲还原问题与年龄问题 (19)第4讲数阵图初步 (26)第1讲整数计算综合内容概述熟练运用已学的各种方法解决复杂的整数四则运算问题；学会利用加减抵消、分组计算方法处理各种数列的计算问题。
学会处理“定义新运算”的问题，初步体会用字母表示数。
典型问题兴趣篇1. 计算：(1) 121×32÷8;(2) 4×(250÷8)(3) 25×83×32×1252. 计算：(1) 56×22+56×33+56×44(2) 222×33+889×66.3. 计算：(1) 37×47+36×53(2) 123×76－124×75。
4. 计算：100－99+98－97+96－95+…+12－11+10.5. 计算：50+49－48－47+46+45－44－43+…－4－3+2+1.6. 计算：(1+3+5+7+…+199+201) －(2+4+6+8+…+198+200).7. 计算：1+2+3+4+…+48+49+50+49+48+…+4+3+2+1.8. 下面是一个叫做“七上八下”的数字游戏。
游戏规则是：对一个给定的数，按照由若干个7和8组成的口令进行一连串的变换。
口令“7”是指在这个数中插入一个数字，使得新生成的数尽量大；口令“8”是指将这个数中的一个数字去掉，也要使新生成的数尽量大。
例如：给出的数是1995，口令是“8→7，”在第一个口令“8”发出后变成995，在第二个口令“7”发出后变成9995。
如果给出数“6595”以及口令“8→7→8→7→8→8”，问：变换后依次得到的6个数的和是多少？9. 规定运算“∇”为：a∇b= (a+1) ×(b－1), 请计算：(1)8∇10; (2) 10∇8.10. 规定运算“☺”为：a☺b=a×b－(a+b), 请计算：(1) 5☺8; (2) 8☺5; (3) (6☺5)4; (4)6☺ (54)拓展篇1. 计算：(1)72×27×88÷(9×11×12);(2) 31×121－88×125÷(1000÷121).2. 计算：(1) 555×445－556×444;(2) 42×137－80÷15+58×138－70÷15.3. 计算：20092009×2009－20092008×2008－20092008.4. 计算：1+2－3+4+5－6+7+8－9+……+97+98－99.5. 计算：100×99－99×98－98×97－97×96－96×95－95×94+…+4×3－3×2－2×1.6. 在不大于1000的自然数中，A为所有个位数字为8的数之和，B为所有个位数字为3的数之和. A与B的差是多少？7. 求图1-1中所有数的和.8. 已知平方差公式：22()()-=+⨯-，计算：a b a b a b22222222-+-+-++-201918171615219. 计算：951×949－52×48.10. 规定运算“Θ”为：aΘb=a+2b－2, 计算：(1) (8Θ7)Θ6; (2)8Θ(7Θ6)11. 规定运算“ ”为：a b=(a+1) ×(b－2). 如果6 ( 5)=91, 那么方格内应该填入什么数？12. 规定：符号“∆”为选择两数中较大的数的运算，“∇”为选择两数中较小的数的运算，例如：3∆5=5，3∇5=3请计算：1∆2∆3∇4∆5∆6∇7∆…∇100.（运算的顺序是从左至右）超越篇1. 观察下面算式的规律：2000+1991－1988－1982+1976+1970－1964－1958+1952+1946－1940－1934+……一直这样写下去，那么最后4个自然数分别是哪4个？符号分别是加还是减？算式最终的结果为多少？2. 从1, 2, ……, 9, 10 中任意选取一个奇数和一个偶数，并将两数相乘，可以得到一个乘积，把所有这样的乘积全部加起来，总和是多少？3. 计算：1－3+6－10+15－21+28－ (4950)4. 已知平方差公式：22()()a b a b a b-=+⨯-, 计算：222222222222+--++--+++--1009998979695949343215. aΘb表示从a开始依次增加的b个连续自然数的和，例如：4Θ3=4+5+6=15, 5Θ4=5+6+7+8=26, 请计算：(1) 4Θ15 (2) 在算式（ Θ7）Θ11=1056中，方框里的数应该是多少？6. 定义两种运算：aΩb=a－b+1, a∀b=a×b+1, 用“Ω”、“∀”和括号填入下面的式子，使得等式成立（不能用别的计算符号）：7 3 4 5=27.现定义四种操作的规则如下：①“一分为二”：如果一个自然数是偶数，就把它除以2；如果是奇数，就先加上1，然后除以2. 例如从16可以得到8，从27可以得到14.②“丢三落四”：如果一个自然数中包含数字“3”或“4”，就将其划掉，例如从5304可以得到50，从408可以得到8. （不含数字3和4的自然数不能进行“丢三落四”操作）③“七上八下”：如果一个自然数中包含数字“7”，就将所有“7”移到最左边；如果一个自然数中包含数字“8”，就将所有“8”移到最右边。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第1讲整数计算综合内容概述熟练运用已学的各种方法解决复杂的整数四则运算问题；学会利用加减抵消、分组计算方法处理各种数列的计算问题。
学会处理“定义新运算”的问题，初步体会用字母表示数。
典型问题兴趣篇1.计算：(1) 121×32÷8;答案：484解析：原式=121×（32÷8）=121×4=484(2) 4×(250÷8)答案：125解析：原式=(4×250)÷8=1000÷8=125(3) 25×83×32×125答案：8300000解析：原式=（25×4）×（8×125）×83=100×1000×83=83000002.计算：(1) 56×22+56×33+56×44答案：5544解析：原式=56×（22+33+44）=56×99=56×（100-1）=56×100-56×1=5600-56=5544(2) 222×33+889×66.答案：66000解析：原式=111×66+889×66=66×（111+889）=66×1000=660003.计算：(1) 37×47+36×53答案：3647解析：原式=（36+1）×47+36×53=36×47+1×47+36×53=36×（47+53）+47=36×100+47=3600+47=3647(2) 123×76－124×75答案：48解析：原式=（124-1）×76－124×75=124×76-1×76－124×75=124×（76-75）-76=124-76=484.计算：100－99+98－97+96－95+…+12－11+10.答案：55解析：原式=（100-99）+（98-97）+（96-95）+…+（12-11）+10=1×45+10=555.计算：50+49－48－47+46+45－44－43+…－4－3+2+1.答案：51解析：原式=（50+49－48－47）+（46+45－44－43）+…+（6+5－4－3）+2+1=4×12+2+1=516.计算：(1+3+5+7+…+199+201) －(2+4+6+8+…+198+200).答案：101解析：原式=1+3+5+7+…+199+201-2-4-6-8-…-198-200=1+（3-2）+（5-4）+（7-6）+…+（199-198）+（201-200）=1+1×100=1017.计算：1+2+3+4+…+48+49+50+49+48+…+4+3+2+1.答案：2500解析：原式=（1+49）×49÷2×2+50=50×49+50=50×（49+1）=50×50=25008. 下面是一个叫做“七上八下”的数字游戏。
游戏规则是：对一个给定的数，按照由若干个7和8组成的口令进行一连串的变换。
口令“7”是指在这个数中插入一个数字，使得新生成的数尽量大；口令“8”是指将这个数中的一个数字去掉，也要使新生成的数尽量大。
例如：给出的数是1995，口令是“8→7，”在第一个口令“8”发出后变成995，在第二个口令“7”发出后变成9995。
如果给出数“6595”以及口令“8→7→8→7→8→8”，问：变换后依次得到的6个数的和是多少？答案：22478解析：6595→695→9695→995→9995→999→99695+9695+995+9995+999+99=224789.规定运算“∇”为：a∇b= (a+1) ×(b－1), 请计算：(1)8∇10; (2) 10∇8.答案：81；77解析：（1)原式=（8+1）×（10-1）=9×9=81（2）原式=（10+1）×（8-1）=11×7=7710. 规定运算“☺”为：a☺b=a×b－(a+b), 请计算：(1) 5☺8; (2) 8☺5; (3) (6☺5)☺4; (4)6☺ (5☺4)答案：27；27；53；49解析：（1）原式=5×8-（5+8）=40-13=27（2）原式=8×5-（8+5）=40-13=27（3）原式=【6×5-（6+5）】☺4=【30-11】☺4=19☺4=19×4-（19+4）=76-23=53 （4）原式=6☺【5×4-（5+4）】=6☺【20-9】=6☺11=6×11-（6+11）=66-17=49拓展篇1.计算：(1)72×27×88÷(9×11×12);答案：144解析：原式=72×27×88÷9÷11÷12=（72÷12）×（27÷9）×（88÷11）=6×3×8=144(2) 31×121－88×125÷(1000÷121).答案：2420解析：原式=31×121－11×（8×125）÷1000×121=31×121－11×1000÷1000×121=31×121－11×121=（31-11）×121=20×121=24202.计算：(1) 555×445－556×444;答案：111解析：原式=（556-1）×445－556×444=556×445-1×445－556×444=556×（445-444）-445=556-445=111(2) 42×137－80÷15+58×138－70÷15.答案：13748解析：原式=42×137+58×138－80÷15－70÷15=42×（138-1）+58×138－（80÷15+70÷15）=42×138-42×1+58×138－（80÷15+70÷15）=（42+58）×138-（80+70）÷15-42=100×138-150÷15-42=13800-10-42=137483.计算：20092009×2009－20092008×2008－20092008.答案：2009解析：原式=（20092008+1）×2009－20092008×2008－20092008=20092008×2009+1×2009－20092008×2008－20092008=20092008×（2009-2008-1）+2009=20094.计算：1+2－3+4+5－6+7+8－9+……+97+98－99.答案：1584解析：原式=（1+2－3）+（4+5－6）+（7+8－9）+......+（97+98－99）=0+3+6+ (96)（0+96）×33÷2=48×33=15845.计算：100×99－99×98+98×97－97×96+96×95－95×94+…+4×3－3×2+2×1.答案：5000解析：原式=99×(100-98)+97×(98-96)+95×(96-94)+……+3×(4-2)+2×1=2×(99+97+95+……+3+1)=2×(1+99)×50÷2=50006.在不大于1000的自然数中，A为所有个位数字为8的数之和，B为所有个位数字为3的数之和. A与B的差是多少？答案：500解析：从1到10，从11到20，从21到30，……这样没10个数中都有一个各位数字是3和一个个位数字是8的数。
且每一组两个数的差都是8-3=5,1000÷10=100,100×5=5007. 求图1-1中所有数的和.答案：495解析：每一列的数字和构成等差数列求和=中间项×项数，即3×5+5×5+×7×5+……+19×5=（3+5+7+……+19）×5=（3+19）×9÷2×5=11×45=4958. 已知平方差公式：22()()a b a b a b -=+⨯-，计算： 2222222220191817161521-+-+-++-答案：210解析：原式=（20+19）×（20-19)+(18+17）×（18-17）+……+（2+1）×（2-1）=20+19+18+17+……+2+1=（20+1）×20÷2=2109. 计算：951×949－52×48.答案：900003解析：平方差公式，原式=（950+1）×（950-1）-（50+2）×（50-2）=9502-12-（502-22）=（9502-502）+（22-12）=（950+50）×（950-50）+（2+1）×（2-1）=1000×900+3×1=900000310. 规定运算“Θ”为：a Θb=a+2b －2, 计算：(1) (8Θ7) Θ6; (2) 8Θ(7Θ6)（1）答案：30（2）答案：40（1）解析：原式=（8+2×7-2）Θ6=20Θ6=20+2×6-2=30(2) 解析：原式=8Θ（7+2×6-2）=8Θ17=8+2×17-2=4011. 规定运算“”为：a b=(a+1) ×(b －2). 如果6 (5)=91, 那么方格内应该填入什么数？答案：4解析：6x=（6+1）×(x-2)=91 x=15y 5=(y+1)×(5-2)=15 y=412. 规定：符号“∆”为选择两数中较大的数的运算，“∇”为选择两数中较小的数的运算，例如：3∆5=5，3∇5=3请计算：1∆2∆3∇4∆5∆6∇7∆…∇100.（运算的顺序是从左至右）答案：99解析：∆=大数，∇=小数，100前面为∇，99前面为∆，最后为99∇100=99超越篇1. 观察下面算式的规律：2000+1991－1988－1982+1976+1970－1964－1958+1952+1946－1940－1934+……一直这样写下去，那么最后4个自然数分别是哪4个？符号分别是加还是减？算式最终的结果为多少？答案：-20，-14，+8，+2；2002解析：原式按符号分组（2000+1994-1988-1982）+（1976+1970-1964-1958）+（1952+1946-1940-1934）+…… 每组第一个数公差为242000÷24=83 (8)所以最后4个自然数为-20，-14，+8，+2原式为等差数列，项数为：（2000-14）÷6+1=332共有332÷4=83组每一组和为24，所以原式=24×83+8+2=20022. 从1, 2, ……, 9, 10 中任意选取一个奇数和一个偶数，并将两数相乘，可以得到一个乘积，把所有这样的乘积全部加起来，总和是多少？答案：750解析：1×（2+4+6+8+10)+3×（2+4+6+8+10)+5×（2+4+6+8+10)+7×（2+4+6+8+10)+9×（2+4+6+8+10)=(1+3+5+7+9)×（2+4+6+8+10)=30×25=7503. 计算：1－3+6－10+15－21+28－ (4950)答案：2500解析：原式=4950+（1-3）+（6-10）+（15-21）+……（4753-4851）=4950-2-4-6-……-98=4950-（2+4+6+……98）=4950-2450=25004. 已知平方差公式：22()()a b a b a b -=+⨯-, 计算： 222222222222100999897969594934321+--++--+++--答案：10100解析：原式=+-+-+-+-)()()()(9395949697999810022222222…… +)()(13242222-+-=（100+98）×（100-98）+（99+97）×（99-97）+（96+94）×（96-94）+……（4+2）×（4-2）+（3+1）×（3-1）=394×2+378×2+……10×2=（394+378+……10）×2=101005. a Θb 表示从a 开始依次增加的b 个连续自然数的和，例如：4Θ3=4+5+6=15, 5Θ4=5+6+7+8=26, 请计算：(1) 4Θ15 (2) 在算式（Θ7）Θ11=1056中，方框里的数应该是多少？答案：165；10解析：（1）原式=4+5+6+……17+18=（4+18）×15÷2=165（2）小括号外等差数列中间数：1056÷11=96小括号内等差数列和：96-5=91小括号内等差数列中间数：91÷7=13所以方框里的数为：13-3=106. 定义两种运算：a Ωb=a －b+1, a ∀b=a ×b+1, 用“Ω”、“∀”和括号填入下面的式子，使得等式成立（不能用别的计算符号）：7 3 4 5=2答案：（7∀A3）Ω（4∀5）=27.现定义四种操作的规则如下：①“一分为二”：如果一个自然数是偶数，就把它除以2；如果是奇数，就先加上1， 然后除以2. 例如从16可以得到8，从27可以得到14.②“丢三落四”：如果一个自然数中包含数字 “3”或“4”，就将其划掉，例如从5304可以得到50，从408可以得到8. （不含数字3和4的自然数不能进行“丢三落四”操作） ③“七上八下”：如果一个自然数中包含数字“7”，就将所有“7”移到最左边；如果一个自然数中包含数字“8”，就将所有“8”移到最右边。