第三章系统模型

可达矩阵=邻接矩阵A+单位矩阵I，并经过 一定的运算后求得。 即有 A1 =A+I 再设 A2 =(A+I)2 (用布尔代数运算规则) 一般地，通过依此运算后，可得： A1≠ A2≠ · · · · ·≠ An-1 =An 则有R= An-1 =(A+I)n-1 R----可达矩阵，它表明各节点间经过长度 不大于(n-1)条通道可以到达的程度。对于 节点数n为个的图，最长的通路长度肯定不 超过(n-1).
第2节 结构模型（Structure Model）
在开发和改造一个系统时，首先需要了 解系统中各要素间存在怎样的关系，即 了解和掌握系统的结构，即建立系统的 结构模型。 1 结构模型——就是用有向连接图来描述 系统各要素间的关系，以表示一个作为 要素集合体的系统模型。

S2 S3
S1 S5
S4
基 本 性 质
1 1 0 R 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1
#布尔代数运算规则：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=1，
建 立 单 摆 简 谐 运 动 的 类 似 模 型

θ l

设一个质量为m，长度为l的摆，其 偏离中心线的角度为θ(θ 很小)， θ(t)st:
ml
d 2 dt 2
mg 0
L G
方程的解是以 T 2 的简谐震动。
为周期
mg

L-C电路，电路中q(t)st:
1 L dt 2 LC q0 d 2q
二 、 系 统 模 型 的 分 类
这里介绍按与实体的关系分： 1 形象模型（实体与比例模型） 这种模型保留着实体的外形特征，仅在尺度上成 比例的改变。 2 模拟模型 根据相似系统原理，利用一种系统代替或近似描 述另一种系统，前者为后者的模拟模型。 3 数学模型 用各种数学符号、数值描述工程、技术、管理、 经济等有关因素及它们之间数量关系的模型。包 括网络模型、图表模型、逻辑模型和解析模型。
矩 阵 的 特 性


ຫໍສະໝຸດ Baidu

A的元素全为零的行所对应的节点为汇点。 A的元素全为零的列所对应的节点为源泉。 对应每一节点的行中元素值为1的数量，是离开 该节点的有向边数。 对应每一节点的列中元素值为1的数量，是进入 该节点的有向边数。
A
建立可以矩阵R。经计算后得： (A+I)1 ≠ (A+I)2 = (A+I)3 ∴ R= (A+I)2

物理模型
数学模型
现 实 系 统
形 象 模 型
模 拟 模 型
文 字 模 型
网 络 模 型
图 表 模 型
逻 辑 模 型
解 析 模 型
研究的速度 增加 变化方便性 抽象性
现实性 建模费用 建模时间
减少
系统模型的分类及特征比较
三 、 建 模 的 原 则 及 常 用 方 法
1 建模的原则
（1）现实性：把本质的东西和关系反映进 去，非本质的东西去掉，而又不影响反映 现实的真实程度。 （2）简明性：模型既要精确，又要简明。 （3）适应性：在运算分析方面、适应问题 的变化、操作方面等具有适应性。 （4）完整性 （5）规范性：尽量借鉴标准形式。 一般处理原则：力求达到真实性，在真实 的基础上达到简明性，最后尽可能达到适 应性要求。
2 建模一般过程
（1）明确建模目的和要求； （2）弄清系统或子系统中的主要因素及其 相互关系 ； （3）选择模型方法； （4）确定模型结构； （5）估计模型参数； （6）模型试运行； （7）对模型进行实验研究； （8）对模型进行必要修正。
3 常用建模方法




直接分析法：对内部结构和特征已经清楚的系统， 可利用已知的定律和定理，经过一定的分析和推 理，得到系统模型。如线性规划模型、存储模型。 数学关系式表达 实验法：对内部结构和特征不清楚或不很清楚的 系统，如能进行实验观察，可通过实验方法测量 其输入和输出，再根据一定的辨识方法，得到系 统模型。模拟法 统计分析法：系统结构不很清楚，且不允许直接 进行实验的系统，可以采用数据收集和统计分析 的方法建立系统模型。 类似法：建立系统的类似模型。拟合法 启发性思考法。
例：现有如下图所示7个要素组成的系 统，试建立它的关系，并求邻接矩阵 和可达矩阵。
6 7 3 4 2 5 1

有向连接图
由此可得邻接矩阵A
0 1 0 A 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 系统模型的特征


模型的本质、作用及地位
本质：利用模型与原型之间某方面的相思关系， 在研究过程中用模型来代替原型，通过对于模型的 研究得到关于原型的一些信息。 作用：①模型本身是人们对客体系统一定程度 研究结果的表达。这种表达是简洁的、 形式化的。 ②模型提供了脱离具体内容的逻辑演绎和计算的基 础，这会导致对科学规律、理论、原理的发现。③ 利用模型可以进行“思想”试验。
第 三 章 系 统 模 型
模型概念及特征 系统模型概述 系统模型的分类
建模原则及常用方法
结构模型概念及特征
结构模型
解析结构模型的建立
应 用 案 例
层次分析法
第1节 系统模型概述
一 、 一切客观存在的事物及其运动形态称为 系 “实体”（即原型）。为便于实验、分 统 析和预测，总是先把所需研究的系统结 模 构型态或运动形态变成易于考察的形式， 型 即转化为“模型”。 及 1 系统模型定义 其 系统模型是对现实系统（实体）的特征 特 及其变化规律的一种模仿、抽象或描述。 征
说 明


系统的属性是多方面的，系统模型只是系统某一 方面本质属性的描述，所以同一系统或试题，模 型不是唯一的； 模型建立是以模型与原型之间的相似性为基础的， 这里的相似可以是外表的相似，内部结构的相似 或仅为功能的相似。 模型可以是定量的，也可以是定性的，或是两者 的结合模型。 它是现实系统的抽象或模仿； 它是由反映系统本质或特征的主要因素构成； 它集中体现这些主要因素之间的关系。
ISM是美国华费尔特教授于1973年作为分析复
2 解 析 结 构 模 型 原 理
杂的社会经济系统有关问题而开发的一种方法。 其特点是把复杂的系统分解为若干子系统或要 素，利用人们的实践经验和知识，以及计算机 的帮助，最终将系统构造成多级递阶的结构模 型。ISM的程序为： 组织构造ISM小组（ 10人左右） 设定问题 选择系统要素，制定系统明细表。 构思有向图，建立连接矩阵和可达矩阵。 对可达矩阵进行分解，建立结构模型。 由结构模型转化为解析结构模型。
（1）结构模型是一种几何模型：节点表示系统 的要素，有向边表示要素间的关系。 （2）结构模型是以定性分析为主的模型。 （3）结构模型可以用矩阵形式描述，进行定性 与定量分析。 结构模型的建模方法很多如关联树（如问题树、 目标树、决策树）法、解释结构模型化（ISM） 方法、系统动力学（SD）结构模型化方法等。 本部分要求大家主要学习和掌握解析结构模型 ISM （Interpret Structure Model）方法（规 范方法、实用化方法）。
(S ) P 1, P 2 ,, Pm

级 间 分 解

级间分解π2 (P)——将系统中的所有要素， 以可达矩阵为准则划分不同层次。 在一个多级结构中，它的最上层要素Si的 R(Si)，只能由Si自身和Si的强连通要素组成； 同时Si的先行集只能由由Si自身和结构中的 下一级可能到达的要素以及Si的强连通要素 组成。若Si是最上层单元，需满足：
R(Si ) R(Si ) A(S j )

找出最高一级要素后，将其从可达矩阵中 划去相应的行与列，在从剩下的可达矩阵 中寻找新的最高级要素，依此类推。

级间划分可用下式表示：
若定义：L0 =φ，则：
2 ( P) L1 , L2 ,, Lk
，其中K为级次

Lk Si P L0 L1 Lk 1 Rk 1 (Si ) Ak 1 (S j ) Rk 1 (Si )
1有向连接图——由若干节点和有向边连接 而成的图象，即为节点和有向边的集合。 表示为：G={S，E} 2邻接矩阵A——描述图中节点两两之间的 直接关系。A中元素
1, si Rs j aij 0, si Rs j
3可达矩阵R——用矩阵形式反映有向连接 图各节点之间通过一定路径可以到达的 程度。 r 1 Si经若干路径到达Sj 0 ij 否则
L
C

解是以T 2 LC 期的简谐震动。
Ll 1 C g q(t ) (t )
为周
L-C电路图
一一对应模拟。
启 发 性 思 考 法 蒙 特 卡 罗 法 计 算 值

蒙特卡罗的特点是在所研究系统的模型 中模拟随机事件，即对于所求的值应该 设定什么样的概率过程为题进行求解的 技术方法。
在边长为1的的正方形中任意打N个点 并将n个点置于扇形部分，如使点数N 足够大，则认为近似等于正方形和扇 形面积之比，即：
1
—
1
N/n= 12/ (π×12 ×1/4)
即：
π≈4n/N
与概率现象本身没有任何关系的问题 也可用概率的方法来解决，是一种 “想法的转换”，即启发性思考方法
一 结 构 模 型 的 概 念 及 原 理



设定 问题 、形 成意 识模 型
找出 影响 要素
要素 关系 分析 （关 系图 ）
建立可 达矩阵 (M)和缩 减 矩阵 （ M /）
矩阵 层次 化处 理 (ML/)
绘制 多级 递阶 有向 图
建立 解释 结构 模型 比较/ F 学习
分析 报告
初步分析
规范分析
综合分析
ISM方法原理图
二 、 解 析 结 构 模 型 的 建 立


强 连 通 划 分
其中： Rk 1 (Si ), Ak 1 (S j ) 分别是由 P L0 L1 Lk 1 要素组成的子图 求得的可达集和先行集。 强连通划分π3(L)：级间分解后，每级要素 中可能有强连通要素，一般构成一个回路， 只需选择一个要素即可。
接 例 1 可 达 矩 阵 分 解 （ 区 域 划 分

R( S i ) S j N rij 1


(N为节点集合，rij=1表示 Si 与Sj关联)
（2）要素Sj的先行集A(Sj)——R中第Sj 列矩 阵元素为1所对应的行要素的集合。即：
A( S j ) S i N rij 1


（3）共同集合T——可达集R(Si)与先行集 A(Sj)的交集等于先行集A(Sj)的要素集合， 即：
I= (j)
R(Si) 1 1,2 3,4,5,6 4,5,6 5 4,5,6 1,2,7
T S i N R( S i ) A( S j ) A( S j )


（4）确立不同区域 任取属于共同集的两要素Su ,Sv， 若 R( S u ) R(S v ) ， 则Su ,Sv 属同一区域； 若 R( S u ) R(S v ) ，则 Su ,Sv属于不同区域。 这样运算后的集合称区域分解，可写成： 其中M为区域数。
0 ×0 =0，0 ×1 =0，1 ×0 =0， 1× 1=1
4 可达矩阵的分解
区 域 分 解
区域分解π1(S)——将要素分成区域，不 同区域的要素相互间是没有关系的。 首先将R中的元素划分为可达集和先行集 （1）要素Si的可达集R(Si)——R中第Si行 矩阵元素为1对应的列要素的集合。即：
地位：模型的本质决定了它的作用的局限性。 它不能代替以客观系统内容的研究，只有在和对客 体系统相配合时，模型的作用才能充分发挥。
3使用系统模型的必要性





系统开发的需要。在开发一个新系统时， 系统尚未建立，无法直接实验； 经济性考虑。大型复杂系统直接实验价 格昂贵； 安全性考虑。有些系统直接实验是很危 险的，有时根本不允许； 时间上考虑。社会、经济、生态系统， 惯性大，反应周期长； 系统模型易操作，分析结果易于理解。