中国海洋大学实变函数复习题总汇

第一章重点:

●集合的交、并、差、余运算，对偶定理

●上、下限集的定义、求法

●有关函数集合的表示

●对等的判定建立、定理

●可数集的性质、判定

●基的判定

●具体集合的基

习题：12,20,21，22，26,28,29

第二章重点:

●边界点、内点、聚点、边界、导集、闭包等的含义和求法

●稠密集、疏朗集、孤立集的定义、性质

●开集、闭集的定义、性质、判定、构造

●Cantor集的性质

习题：5,6,7,13,16,28

第三章重点:

●外测度的性质（非负性、单调性、次可加性、次可数可加性、条件可加性、平移不变形）●测度的性质（非负性、单调性、可加性、可数可加性、平移不变形、上下连续性）

●可测集全体M关于交、并、差、余的可列运算及极限封闭，是 代数。

●可测集全体M的构成、构造（与开集闭集的关系）

习题：1，2，13,25,33

第四章重点:

●可测函数的定义、性质、判定

●可测函数全体是线性空间，关于极限封闭，与简单函数的关系

●依测度收敛，几乎处处收敛，一致收敛的定义，它们之间的关系(Egoroff, Lebesgue, Riesz

定理)。

●可测函数的构成（与连续函数的关系，Lusin定理）

习题：4，7，12，18,20,26

第五章重点:

●积分与可积的定义、性质、运算

●极限定理（Levi定理, Fatou引理, Vitali定理,Lebesgue控制收敛性定理）

●积分的绝对连续性。

●R-积分和L-积分间的关系

习题：1，2，10，12，14

12 设实函数列{})(x f n 在E 上定义，又设{})(inf )(1x f x h n n ≥=. 证明对R a ∈∀，成立

[] ∞

=<=<1][n n a f E a h E .

证明：因))(()(n x f x h n ∀≤，故当()n f x a <时，必有()h x a <，这表明

[])]([n a h E a f E n ∀<⊂<，因此[] ∞

=<⊃<1][n n a f E a h E .

另一方面，任取][a h E x <∈，由下极限的定义，知存在n ，使a x f n <)(（若否，则对任意的n ，有()n f x a ≥，这表明inf{()}()n f x h x a =≥，矛盾）. 当然有[]

∞=<∈

1

n n a f E x ，

故[]

∞=<⊂

<1

][n n a f E a h E . 综上，左等于右.

20 空间中坐标为有理数的点的全体K 成一可数集.

证明：显然{}(,,):,,K a b c a b c Q Q Q Q =∈=⨯⨯是三个可数集的乘积，从而是可数集. 21 1

R 中以互不相交的的开区间为元素的集合为至多可数集.

证明：设该集合为K . 因为对任意的开区间K b a ∈),(，存在有理数),(b a r ab ∈. 这样，可作一映射Q K f →:，使得()ab r b a f =),(. 由于K 中的开区间是互不相交的，所以这一映射是一单射. 因此Q K f K ⊂)(~，也就说明了K 是一至多可数集. 22 1R 上单调函数)(x f 的不连续点的全体A 为至多可数集.

证明：不妨设函数单增. 任取断点A x ∈0. 由于函数单调，所以在0x 点的左极限)(0x f -和右极限)(0x f +都存在，且)()(00x f x f ++<. 让断点0x 对应于开区间()

)(),(00x f x f ++，由于函数单增，所以不同断点所对应的开区间是不相交的. 再利用21题即得. 26 ]1,0[中无理数的全体成一不可数集.

证明：反证法. 假设]1,0[中无理数的全体K 是至多可数集，而]1,0[中有理数的全体0Q 是可数集，这样0[0,1]K Q = 是可数集（可数集和至多可数集的并是可数集）. 这与]1,0[是不可数集矛盾.

28 证明c a

=2，其中a 为可数基数，c 为连续基数.

证明：设},,,,{21 n r r r A =，即证明A 的所有子集的全体A

2的势为c . 作从A

2到二进位小数全体K 的映射:2A

f K →为 n a a a B f 21.0)(=，其中当B r n ∈时，1=n a ；

当B r n ∉时，0=n a . 因为不同的集合的元素不完全相同，所以该映射是单射，故

c K A =≤2. 另一方面，作映射:2A g K →为B a a a g n =).0(21 ，其中

{}:1,1,2,i i B r a i === 若，该映射也是单射，因此c K A =≥2. 综上，有c K A ==2.

29 ]1,0[上连续函数的全体[0,1]C 的基数是c .

证明：因常函数都是连续函数，故[0,1]C R c ≥=. 设0[0,1]Q Q =⋂，则它是可数集. 不妨设{}012,,...,,n Q r r r =

. 对任意的[0,1]f C ∈，让其对应于R ∞

中的实数组 {}12(),(),...,(),n f r f r f r ，则这个对应是从[0,1]C 到R ∞的一个单射. 事实上，若g f ,是

对应于同一数组的两个连续函数，即(),...2,1,)(==i r g r f i i . 对任意的实数]1,0[∈a ，存在

有理数序列{}

]1,0[⊂k i r ，使得)(∞→→k a r k i . 这样由函数的连续性得到

)()(lim )(lim )(a g r g r f a f k k i k i k ===∞→∞→，也即f g ≡，也就是说该对应是一个单射.

因此[0,1]C 和∞

R 的某子集对等，故有[0,1]C R c ∞

≤=. 综上，[0,1]C c =.

5. 证明：A B A B ⋃=⋃.

证明：因为()'''A B A B = ，所以有

()()()()()()'''''A B A B A B A B A B A A B B A B ⋃=⋃⋃=⋃⋃=⋃⋃=⋃ .

6. 在1

R 中，设[0,1]E Q =⋂，求',E E . 解： '[0,1]E E ==

7. 在2

R 中，设{}

22(,):1E x y x y =+<，求',E E .

解： {}

22

'(,):1E E x y x y ==+≤

11. 证明以下三个命题等价:(1) E 是疏朗集.(2) E 不含任何邻域.(3) c E )(是稠密集. 证明： (1)→(2)：反证法 假设存在E r x O ⊂),(, 按闭包的等价定义, ),(r x O 中任意点的任意邻域中都含有E 中的点, 与疏朗集的定义矛盾.

(2)→(3)：由假设, 对x ∀, 0δ∀>, 有E x O ⊄),(δ, 从而()

∅≠c

E

x O ),(δ，即任