纠错码原理试题及答案
通信原理题库总合
通信原理题库总合(共23页) -本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-第八章错误控制编码100道题一、选择题1、已知(5，1)重复码，它的两个码组分别为00000和11111，若用于纠错，可以纠正的误码位数至少为：ba、1位b、2位c、3位d、4位2、、发端发送纠错码，收端译码器自动发现并纠正错误，传输方式为单向传输，这种差错控制的工作方式被称为：aa、FECb、ARQc、IFd、HEC3、码长ｎ=7的汉明码，监督位应是：ba、2位b、3位c、4位d、5位4、根据纠错码组中信息元是否隐蔽来分，纠错码组可以分为：ca、线性和非线性码b、分组和卷积码c、系统和非系统码d、二进制和多进制码5、汉明码的最小码距为：ba、2b、3c、4d、56、假设分组码的最小码距为5则它能检测误码的位数至少为：ca、2b、3c、4d、57、假设分组码的最小码距为5则它能纠正的误码位数至少为：aa、2b、3c、4d、58、根据纠错码各码组码元与信息元之间的函数关系来分，纠错码组可以分为：aa、线性和非线性码b、分组和卷积码c、系统和非系统码d、二进制和多进制码9、通常5位奇监督码的信息位数为：ca、2b、3c、4d、510、汉明码能够纠正的误码位数为：aa、1b、2c、3d、411、通常6位偶监督码的信息位数为：da、2b、3c、4d、512、假设分组码的最小码距为8则它能检测误码的位数至少为：ba 、6b 、7c 、8d 、913、、以下哪一个码字属于码长为5的奇监督码ca 、10001b 、10010c 、10011d 、1010014、属于码长为5的偶监督码是：ca 、00001b 、00010c 、00011d 、0010015、在“0”、“1”等概率出现情况下，以下包含直流成分最大码是：aa 、差分码b 、AMI 码c 、单极性归零码d 、HDB3码16、为了解决连0码而无法提取位同步信号的问题，人们设计了ca 、AMI 码b 、多进值码c 、HDB3码d 、差分码17、已知(5，1)重复码，它的两个码组分别为00000和11111，若用于纠错，可以纠正的误码位数至少为：ba 、1位b 、2位c 、3位d 、4位18、在一个码组内纠正t 位错误，同时检测()t e e >个误码，要求最小距离min d 应为 A 。
信息论与纠错编码课后练习题含答案
信息论与纠错编码课后练习题含答案前言信息论与纠错编码是计算机科学与通信工程中非常重要的领域。
本文档将介绍该领域中一些常见的练习题，并且配有答案供参考。
第一部分：信息论题目一假设在信道中有两个符号a和b，其发生概率分别为P(a)和P(b)。
则符号a和b在信道中的平均传输信息量为多少？答案一符号a和b分别传输的信息量为 $I(a)=-\\log_2P(a)$ 和 $I(b)=-\\log_2P(b)$。
因此，符号a和b在信道中的平均传输信息量为：$$I_{avg}=\\frac{1}{2}(I(a)+I(b))=\\frac{1}{2}(-\\log_2P(a)-\\log_2P(b))=-\\frac{1}{2}\\log_2(P(a)P(b))$$题目二以上一题中的符号为例，若P(a)=0.2，P(b)=0.8，则符号b传输的信息量是符号a的多少倍？答案二符号a和b的信息量为：$$I(a)=-\\log_2P(a)=-\\log_2(0.2)=2.322$$$$I(b)=-\\log_2P(b)=-\\log_2(0.8)=0.321$$因此，符号b传输的信息量为符号a的 $\\frac{0.321}{2.322}=0.138$ 倍。
第二部分：纠错编码题目三对于一个二元码，其生成矩阵为$G=\\begin{bmatrix}1&0&1\\\\0&1&1\\end{bmatrix}$。
请问该码的最小汉明距离是多少？答案三对于二元码，最小汉明距离等于最小权值。
该码的所有码字是：$$\\begin{bmatrix}1&0&0\\end{bmatrix}，\\begin{bmatrix}0&1&0\\end{bmatrix}，\\begin{bmatrix}1&1&0\\end{bmatrix}，\\begin{bmatrix}0&0&1\\end{bmatrix}，\\begin{bmatrix}1&0&1\\end{bmatrix}，\\begin{bmatrix}0&1&1\\end{bmatrix}，\\begin{bmatrix}1&1&1\\end{bmatrix}，\\begin{bmatrix}0&0&0\\end{bmatrix}$$因此，该码的最小汉明距离是d min=1。
信息论与纠错编码题库
第八章线性分组码8.1 什么是检错码？什么是纠错码？两者有什么不同？答：能发现错误但不能纠正错误的码称为检错码；不仅能发现错误而且还能纠正错误的码称为纠错码。
8.2 试述分组码的概念，并说明分组码的码率r的意义。
答：分组码是把信息序列以每k个码元分组，即每k个码元组成一个信息组。
n表示码长,k 表示信息位的数目，码率r=k/n，它说明在一个码字中信息为所占的比重。
8.3 什么是码的生成矩阵和校验矩阵？一个（n，k）线性分组码的生产矩阵和校验矩阵各是几行几列的矩阵？答：线性分组码的2个码字将组成n维向量空间的一个k维子空间，而线性空间可由其基底张成，因此线性分组码的个码字完全可由k个独立的向量组成的基底张成。
设k个向量为（7.3-2）将它们写成矩阵形式：（7.3-3）（n,k）码中的任何码字，均可由这组基底的线性组合生成。
即C=MG=(mk-1,mk-2,m0)G式中 M=(mk-1,mk-2,m0)是k个信息元组成的信息组。
这就是说，每给定一个信息组，通过式（7.3-3）便可求得其相应的码字。
故称这个由k 个线性无关矢量组成的基底所构成的k×n阶矩阵G为码的生成矩阵（Generator Matrix）。
校验矩阵H 的每一行代表求某一个校验位的线性方程的系数(n-k)线性分组码有r=n-k 个校验元，故须有r 个独立的线性方程，因此H 矩阵必由线性无关的r 行组成，是一个(n-k)×n 阶矩阵，一般形式为一个（n,k ）线性分组码生成矩阵有k 行n 列校验矩阵有(n-k)行n 列。
8.4 什么样的码成为系统码？系统码的生成矩阵和校验矩阵在形式上有何特点？答：若信息组为不变的形式，称在码字的任意k 位中出现的码为系统码；一个系统码的生成矩阵G ，其左边k 行k 列是一个k 阶单位方阵，系统码的校验矩阵H ，其右边r 行r 列组成一个r 阶单位方阵。
8.5 什么是对偶码？试举例说明之。
第12章纠错码答案
习题1.构造出所有长度为2的二进制编码，找出能检查出单错的编码。
是否存在纠正单错的编码，为什么？对长度为3的二进制编码，找出能纠正单错的编码。
解：长度为2的二进制编码有{00，10，01，11}；{00，10，01}；{00，01，11}；{00，10，11}；{10，01，11}；{00，10}；{00，01}；{00，11}；{10，01}；{10，11}；{01，11}；{00}；{10}；{01}；{11} 能检查出单错的编码是{00，11}；{10，01}，因为根据定理12.3 ：一个码C能查出不超过k个错误当且仅当d min(C)≥k＋1。
只有这两个编码的极小距为2，可查出单个错误，其它编码的极小距都小于2 根据定理12.4 一个码C能纠正k个错误当且仅当d min(C)≥2k＋1。
对长度为2的二进制编码，不存在纠正单错的编码。
同理，在所有长度为3的二进制编码中，能纠正单错的编码的极小距应大于等于3，这样的编码有{000，111}；{001，110}；{010，101}；{100，011}2.一个字长8位的码字在传输过程中要求两位出错的概率不超过10-3，求字母正确传输的概率。
解：设p表示一个字母在信道中正确传送的概率，那么，由于噪声干扰，产生错误传输的概率是q＝1-p。
一个n位的码字出现r个错误的概率是C n r p n-r q r，其中C n r是从n位中任取r位的不同组合数。
由题义知，应使C82p8-2（1－p）2≤10-3解得p即可。
3.给定码C＝{100111，111001，110010，101100}，求出码C中任两个码字的海明距离和码C的极小距d min(C)。
解：码100111，111001的海明距离是4，码100111，110010的海明距离是3，码100111，101100的海明距离是3，码111001，110010的海明距离是3，码111001，101100的海明距离是3，码110010，101100的海明距离是4；码C的极小距d min(C)为34.证明字长不超过2k的码不能纠k个错误，字长不超过k的码不能查k个错。
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1, 什么是ARQ？其中英文全称，其同前向纠错区别在哪里？ARQ分为几类？请绘出ARQ传输系统简单框图和等待ARQ工作流程图。
答：ARQ是自动请求重传，是一种双向差错控制系统，采用错误检测和重传。
其英文全称为automatic repeat request。
前向纠错是单向差错控制系统，即利用纠错码在接收机自动地纠正检测出的错误。
ARQ有两类：等待式和连续式。
ARQ传输系统简单框图如下：如上图所示，ARQ系统中接收机检测出错误，就向发送端发出要求重传该消息的要求，直到消息被正确接收。
ARQ有两种：等待式和连续ARQs。
等待ARQ工作流程图如下：如上图所示, 发送端发射一个码字到接收端，同时等待接收端返回一个确认信号(ACK)或否定应答(NACK, NAK) ,如果是ACK，表示成功译码，传送下个码字；如果Fail，重传前码字。
2, 什么是信道容量？请写出香农信道容量公式，并解释公式中每个参数，请从物理意义角度解释香农容量公式, 请写出香农两大贡献。
答：（1）信道容量也是给定信噪比和带宽条件下，信道能传输的最大信息速率。
香农信道容量公式为C=Blog2(1+SNR)，其中B为信道带宽，SNR为接收信号中信号功率与噪声功率之比。
（2）由信道容量公式可知，信息传输速率与带宽成正比，与信噪比对数成正比，也就就是说增加带宽和发射信号功率均可增加信息传输速率。
每个信道都存在一个信道容量C （最大信息速率），只要需要传输的信息速率R 低于C ，则存在速率为R 的码，用最大似然译码可实现任意小错误概率的信息可靠传输。
3, 纠错码主要性能衡量指标有哪些？香农限如何定义？请阐述香农有噪声信道编码定理。
答：纠错码主要性能指标：误码率和编码增益（相对于具有相同传输速率的非编码系统）。
香农限：纠错码设计的目的是获得特定的误码性能所需的新噪比最小化，根据有噪声信道编码定理,可以推出一个码率为R 的编码通信系统达到无误码传输状态所必需的最小信噪比的理论极限，这个限称之为香农限。
信息论与纠错编码题库 (1)
第三章 离散信源无失真编码3.2离散无记忆信源，熵为H[x]，对信源的L 长序列进行等长编码，码字是长为n 的D 进制符号串，问：（1）满足什么条件，可实现无失真编码。
（2）L 增大，编码效率 也会增大吗？ 解：（1）当log ()n D LH X ≥时，可实现无失真编码；（2）等长编码时，从总的趋势来说，增加L 可提高编码效率，且当L →∞时，1η→。
但不一定L 的每次增加都一定会使编码效率提高。
3.3变长编码定理指明，对信源进行变长编码，总可以找到一种惟一可译码，使码长n 满足D X H log )(≤n <D X H log )(+L 1,试问在n >D X H log )(+L1时，能否也找到惟一可译码？ 解：在n >D X H log )(+L1时，不能找到惟一可译码。
证明：假设在n >D X H log )(+L1时，能否也找到惟一可译码，则由变长编码定理当n 满足D X H log )(≤n <D X H log )(+L 1，总可以找到一种惟一可译码知：在n ≥DX H log )( ① 时，总可以找到一种惟一可译码。
由①式有：Ln ≥L X H )(logD ② 对于离散无记忆信源，有H(x)=LX H )( 代入式②得：n L≥ D x H log )(即在nL≥Dx H log )(时，总可以找到一种惟一可译码；而由定理给定熵H （X ）及有D 个元素的码符号集，构成惟一可译码，其平均码长满足D X H log )(≤n L <DX H log )(+1 两者矛盾，故假设不存在。
所以，在n >D X H log )(+L1时，不能找到惟一可译码。
3.7对一信源提供6种不同的编码方案：码1~码6，如表3-10所示信源消息 消息概率 码1 码2 码3 码4 码5 码6 u1 1/4 0 001 1 1 00 000 u2 1/4 10 010 10 01 01 001 U3 1/8 00 011 100 001 100 011 u4 1/8 11 100 1000 0001 101 100 u5 1/8 01 101 10000 00001 110 101 u6 1/16 001 110 100000 000001 1110 1110 u71/161111111000000000000111111111（1） 这些码中哪些是惟一可译码？ （2） 这些码中哪些是即时码？（3） 对所有唯一可译码求出其平均码长。
信息论与纠错编码题库
第五章 离散信道的信道容量5.1 设信道输入符号集X = { 1x , 2x ,...k x }，输出符号集Y = { 1y , 2y ...s y } ,如果信道是无噪无损信道,则其信道容量是多少?如果信道是无噪确定信道,则其信道容量又为多少? 解: 如果信道是无噪无损信道，则有k =s ，此时信道容量为max ()max (;)()log p x C I X Y H X k ===如果信道是无噪确定信道，则有ks >，此时信道容量为{}()()()max (;)max ()()max{()}log p x p x q y C I X Y H Y H Y X H Y s ==-==---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------5.2 判断以下几种信道是不是准对称信道.(1)⎥⎦⎤⎢⎣⎡3.02.05.05.03.02.0 (2)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡7.03.06.04.03.07.0 (3)⎥⎦⎤⎢⎣⎡7.01.02.02.01.07.0 (4)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡6131316161613131 解：（1）为行对称信道，不是准对称信道；（2）行集合和列集合均不同，不是准对称信道； （3）是行对称信道，也是准对称信道； （4）是准对称信道。
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------5.3 信源的最佳编码使信道码符号等概分布，而且平均码长最短，这种说法对吗？答：这种说法不对，最佳码是指对给定的信源，使平均码长达到最小的编码方法称为最佳编码，编出的码称为最佳码。
信息论与纠错编码课后作业答案6
第6章习题参考答案6.6 解：（1）首先求联合概率矩阵111412611164121111264XYP ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦最大后验概率准则即最小错误概率准则，也等同于最大联合概率准则，因此，从联合概率矩阵的每一列中选联合概率最大的发送符号作为译码输出，因此将112233,,y x y x y x →→→此时正确译码概率为11223313()()()344c p p x y p x y p x y =++=⨯=错误概率为114e c p p =-=（2）当信源等概率分布时，极大似然准则等价于最大后验概率准则，因此从信道矩阵的每一列中取转移概率最大的一个发送符号作为相应接收符号的译码输出，即是最佳译码方案，因此将112233,,y x y x y x →→→此时正确译码概率为112233111()()()(3)322c p p x y p x y p x y =++=⨯⨯=错误概率为112e c p p =-=6.10 解：（1）(;)()()D R I X Y H Y H Y X ==- 设信源的四个消息等概率出现，则有0114p p ==，12e p =[]01101111111424222201qq ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦111()()log 2[()(1)2]10.50.5224D R H Y H Y X H H =-=-+⨯=-=bit/符号 （2）按照译码准则译码时，由于后两位始终译为ee ，与发送代码后两位始终相同，故不存在误码；前两位，由于1000→→，1111→→，也不存在译码错误，因此所有码字的错误概率均为0。
或由联合概率矩阵1041188104XYP ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 正确译码的概率为111(00)(11)()1442c p p x y p x y p ee ===+==+=++=（发送e 时始终可以正确译码），因此所有码字的错误概率为0。
计算机网络crc考试题及答案
计算机网络crc考试题及答案一、选择题1. CRC（循环冗余校验）是一种：A. 纠错编码技术B. 流量控制技术C. 路由选择技术D. 地址分配技术答案：A2. CRC的基本原理是利用：A. 位移操作B. 异或运算C. 加法运算D. 除法运算答案：B3. CRC中的生成多项式是：A. 发送方选择B. 接收方选择C. 网络设备选择D. 协议规定答案：A4. CRC检验的结果为0表示：A. 传输过程中没有出现错误B. 传输过程中出现错误C. 无法确定传输是否出现错误D. 无法判断传输是否出现错误答案：A5. 在CRC中，生成多项式除法需要使用的码长为：A. 32位B. 16位C. 8位D. 根据生成多项式确定答案：D二、简答题1. 简述CRC的生成过程。
答：CRC的生成过程包括以下几个步骤：1）将发送数据进行左移运算，使其比生成多项式的次数多一个比特。
2）用生成多项式对左移后的数据进行异或运算，得到余数。
3）将余数附加在原始数据末尾，形成最终待发送的数据。
2. CRC的校验过程是怎样的？答：CRC的校验过程如下：1）接收方将接收到的数据与生成多项式进行异或运算，得到余数。
2）如果余数为0，则认为传输过程中没有出现错误；如果余数不为0，则认为传输过程中出现错误。
三、应用题假设发送方希望通过CRC来检测发送数据的错误，生成多项式为1011，发送的数据为11010111。
请回答以下问题：1. 经过CRC处理后的发送数据是什么？答：经过CRC处理后的发送数据是11010111001。
2. 接收方收到的数据为110101110010，通过CRC校验判断是否出现错误。
答：通过CRC校验，计算接收到的数据与生成多项式进行异或运算，得到余数为0。
因此，可以判断传输过程中没有出现错误。
总结：本文介绍了计算机网络CRC考试题及答案，包括选择题、简答题和应用题。
通过对CRC的基本原理、生成过程和校验过程的讲解，帮助读者理解CRC的工作原理和应用场景。
信息论与纠错编码答案1-2章
1.7一对均匀骰子面朝上点数可能从2到12，共有6×6＝36种情况，每种情况出现相互独立，因此设x 为点数之和，易有：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡36136236336436536636536436336236112111098765432)(x p x 1.8 p (s 0 ) = 0.8p (s 0 ) + 0.5p (s 2 )p (s 1 ) = 0.2p (s 0 ) + 0.5p (s 2 ) p (s 2 ) = 0.5p (s 1 ) + 0.3p (s 3 ) p (s 3 ) = 0.5p (s 1 ) + 0.7p (s 3 ) p (s 0 ) + p (s 1 ) + p (s 2 ) + p (s 3 ) = 1 p (s 0 ) = 3715， p (s 1 ) = p (s 2 ) = 376，p (s 3 ) = 3710 1.10⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------------)1()1(0)1(00)1()1(0)1(000)1()1(0000)1(00)1()1(0000)1(1110010010111100100022222222p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p e ee e e e补充题：（1）⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+=+=1)3()2()1()2(41)1(43)3()2(41)1(41)2()3()2(21)1(s p s p s p s p s p s p s p s p s p s p s p s p 求得 P(s1)=6/13 P(s2)=2/13 P(s3)=5/13 (2)p(s3/s1)*p(s1/s3) + p(s2/s1)p(s1/s2) = 3/4*1 + 1/4*1/2 = 7/8(3)P(s3) *p(s1/s3)* p(s2/s1)* p(s1/s2) * p(s2/s1) = 5/13*1*1/4*1/2*1/4 = 5/416 2.731(0)(0)(2)4412(1)(0)(1)4313(2)(1)(2)34(0)(1)(2)1p s p s p s p s p s p s p s p s p s p s p s p s ⎧=+⎪⎪⎪=+⎪⎨⎪=+⎪⎪⎪++=⎩ 解得 P(S0)=P(S2)=4/11 P(S1)=3/11 状态转移概率矩阵为310442103313044⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦信源熵为22413312413()()(/)log (/)[,][,][,]114411331144i j i j i i j H X p s p s s p s s H H H ===-=++∑∑ ＝0.84 （bit/符号）2.8香农线图如下：2(1)(1)(2)3131(2)(1)(1)(2)344(1)(2)1p s p s p s p s p s p s p s p s p s ⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎪⎩解得＝＝状态转移概率矩阵为 213310⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦信源熵为2211312()()(/)log (/)[,]433i j i j i i j H X p s p s s p s s H ===-=∑∑＝0.689（bit/符号）2.11 （1）()1loglog 6 2.585/6bit -==符号 （2）p(1)=k ，p(2)=2k ............ p(n)=nk ，n=1,2 (6)61()26211n p n k k k k ==+++==∑…… 解得k=1/21熵为 123456()[] 2.4685(/)212121212121H X H bit ==，，，，，符号 （3）一对骰子总点数为7的概率为6/36 = 1/6，因此信息量为()1loglog 6 2.5856bit -== 2.13{}{}{12}{12}(;)X x x Y y I X Y ====，健康，患病，y 阳性，阴性需要求的是491(1)(2)5050494911100100(/)()221100505149(1)(2)100100p x p x p y x p xy p y p y ==⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦==2,1(/)(;)()log()0.50.510.49log0.49log 0.02log 0.0197()0.510.490.51j i i j i j j p y x I X Y p x y p y bit ===++=∑2.16()1/61,2610000000.500.2500.25001000(/)00.2500.500.2500001000.2500.2500.51()(/)()1/61,266i i p x i p y x p xy p y x p y i ==⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦===……概率转移矩阵为易得且……5,0(/)(;)()log()10.50.2533log 63log36log 1.835()6662j i iji j j p y x I X Y p x y p y bit ===⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=∑2.29（1） 0.380.12()(0)0.54(1)0.460.160.34p xy p y p y ⎡⎤===⎢⎥⎣⎦1,0(/)(;)()log()0.760.240.320.680.38log0.12log 0.16log 0.34log 0.1457()0.540.460.540.46j i i j i j j p y x I X Y p x y p y bit ===+++=∑（2）101962723(/)8172723(/0)(;0)(/0)log()1938816log log 0.1233()27272727i i i i p x y p x I X p x p x bit =⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦==+=∑2.300123012()0.10.30.50.1()0.30.40.3100210(/)3300.60.4001()(0.1,0.3,0.5,0.1) 1.6855(/)()(0.3,0.4,0.3) 1.5710(/)x x x x x y y y y p x p y p y x H X H bit H Y H bit ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦====符号符号32003200(/)()log (/)21320.2log 0.1log 0.3log 0.2log 0.7610(/)3355()()log ()0.4log 0.20.3log 0.10.3log 0.3 2.4464(/)(/)(;)()log()i j j i i j i j i j i j j i i j j j H Y X p x y p y x bit H XY p x y p x y bit p y x I X Y p x y p y ======-=----==-=---==∑∑∑∑符号符号320010205340.2log0.2log 0.1log 0.3log 0.2log 0.81()39623i bit ==++++=∑∑由计算结果容易验证下列等式成立：)()()(;)()(/)(;)()(/)()H X H Y H XY I X Y H Y H Y X I X Y H X H Y X H XY +-=-=+=（。
信息论与纠错编码题库
信息论与纠错编码题库(总7页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第九章循环码什么是循环码如何用多项式来描述一个循环码解答：一个线性分组码，若具有如下特性，则称为循环码。
设码字c=(cn-1 cn-2 … c1 c0)将码元左移一位，得 c1=(cn-2 …c1 c0 cn-1) 也是一个码字，则称此分组码为循环码。
把码长为n的码组中的各码元当作n-1次多项式的系数若码组C=（cn-1，cn-2，……，c1，c0)，则其相应的码多项式为：C(x)= cn-1xn-1+ cn-1xn-1+ ……+ c1x+ c0对应于每一码字，可以写出相应的码字多项式(最高次数小于n次)C (x) = c n-1 x n-1 +cn-2 x n-2+…+c1 x +c0C1(x) = cn-2 x n-1+c n-3 x n-2+…+c0 x +c n-1C2(x) = cn-3xn-1+cn-4xn-2+…+cn-1x+cn-2………………………………Cn-1(x) =c0 xn-1+cn-1xn-2+…+c2 x+c1对于上述多项式，有x •C (x) + C1 (x) = cn-1 x n + cn-1 = cn-1 (xn + 1 )x •C (x) + C1 (x) ≡0 mod (xn +1)C1 (x) ≡x•C (x)x2• C (x) + C2 (x) = cn-1 (xn +1)C2 (x) ≡ x2 •C (x) mod (xn +1)……………………Ci (x) ≡xi •C(x) mod (xn + 1)……………………C n-1 (x)≡x n-1 C1(x) mod (xn+1)得出结论：在循环码中，若C(x)是一个长为n的许用码组，则xi• C(x)在按模xn+1运算下，也是一许用码组。
即若xi• C(x)≡Ci(x) （模xn+1）则Ci(x) 也是一许用码组，且为C(x)码组向左循环移位i次的结果。
信息论与纠错编码编码习题答案
第1章 信息论基础1.7 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡36136236336436536636536436336236112111098765432)(X q X 1.8 p (s 0 ) = 0.8p (s 0 ) + 0.5p (s 2 )p (s 1 ) = 0.2p (s 0 ) + 0.5p (s 2 ) p (s 2 ) = 0.5p (s 1 ) + 0.3p (s 3 ) p (s 3 ) = 0.5p (s 1 ) + 0.7p (s 3 ) p (s 0 ) + p (s 1 ) + p (s 2 ) + p (s 3 ) = 1 p (s 0 ) =3715， p (s 1 ) = p (s 2 ) = 376，p (s 3 ) = 37101.9 P e = q (0)p + q (1)p = 0.06(1-0.06)﹡1000﹡10 = 9400 < 9500 不能1.10 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------------=22222222)1(0)1()1(00)1(0)1()1(000000)1()1(0)1(00000)1()1(0)1(p p p pp p p p p p p p p p p p p p p p p p p p P 第2章 信息的度量2.4 logk2.5 I (X ; Y Z )= I (X ; Y )+ I (X ; Z ∣Y ) 2.7 010434()()()111111p s p s p s === H = 0.25(Bit/符号)2.8 H = 0.82(Bit/符号) 2.10 （1）1()log225.6()52!i I x Bit =-= （2）1352!()log ()log 413!39!i i I x q x =-=（3）)/(4.713log 234log 52log 521log )(符号－Bit U H ==⨯===（4）)/(7.313log 131log )(符号Bit X H ==- 2.11（1）H (X ) = log6 = 2.58 (Bit/符号) （2）H (X ) =2.36 (Bit/符号)（3）I (A+B=7) = - log1/6 = log6 = 2.585 (Bit) 2.12 （1）I (x i ) = -log1/100 = log100（2）H(X)=log100.2.13 039.0log )(-=Y X I2.14 R t =1000/4 (码字/秒) × H (U ) =250×9＝2250（Bit/秒） 2.15 ―log p = log 55/44。
信息论与纠错编码答案2-5
第二章作业参考答案1. 补充作业解：设{0,1,2}X =，1p p =-（1） 转移概率矩阵/2/2/2/2/2/2p p p P p p p p p p ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（2） 平稳分布001211022201012()2()2()21p p pp p p p p pp p p p p pp p p p p p ⎧=++⎪⎪⎪=++⎪⎨⎪=++⎪⎪⎪++=⎩解得01213p p p ===（3） 信源熵321()()i i i H X p H X s ==∑0(,,)322(,,)22(log log)2p p p H p p pH p p p p p =⨯==-+（4） 当做无记忆信源时，信源熵为()log 3H X =bit/符号 （5） 2()(,,)22p p H X H p =当12p p p =-=，2/3p =，即信源符号等概率分布时，2()H X 达到极大值2m a x ()l o g 3H X =bit/符号；0p =时，2()(1,0,0)0H X H ==； 1p =时，211()(0,,)log 2122H X H ===bit/符号 2.8 解：将其看作一阶马尔科夫信源转移概率矩阵为223310P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，由P 可画出香农线图。
x 1:2/3x 2:1/31由香农线图列方程组求解平稳分布112211221()()()331()()3()()1p x p x p x p x p x p x p x ⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎪⎩解得12()3/4()1/4p x p x =⎧⎨=⎩ 信源熵23211()(,)(1,0)0.6894334H X H H =+=bit/符号 2.11 解：（1）点数集合记为{1,2,3,4,5,6}X =，出现各点数的概率分别记为,1,...,6i p i =信源概率空间为123456111111666666X P ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦掷骰子的熵记为信源熵()log 6 2.585H X ==bit/符号 （2）由题意可得61111121i p i p ==⇒=∑,1,...,621i i p i ⇒==此时的信源熵为61()log 2.399i i i H X p p ==-=∑bit/符号（3）总点数为7这个事件集合为1212{(,)7}{(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}x x x x +==，其中每个组合出现的概率均为1/36，故点数和为7这个事件发生的概率为6/36=1/6，从而这个事件的自信息量为1log log log 6 2.5856i I p =-=-==bit2.16 解:由题意可写出该系统的转移概率矩阵为10000000.500.2500.2500100000.2500.500.2500001000.250.250.5P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦由题目的已知条件，每个符号等概率发出，可求得接收每个符号的概率[]01234510000000.500.2500.25001000111111[]00.2500.500.2566666600001000.250.250.5111111[]666666qq q q q q ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=11()log 6log 6 2.58566H Y ⎛⎫=-⨯== ⎪⎝⎭bit/符号51111()()()(,,)3(1)30.756244i i i H Y X p x H Y x H H =⎡⎤==⨯+⨯=∑⎢⎥⎣⎦bit/符号 (;)()() 2.5850.75 1.835I X Y H Y H Y X =-=-=bit/符号2.17 解：用“1”表示收到1，“10”表示收到10，“100”表示收到100()q ⋅表示接收符号的概率（1） 由4(14)(1;)log(1)p u I u q =，先求(1)q711(1)()(1)[4(1)4]82i i i q p u p u p p ===-+=∑代入上式可得4(14)(1)(1;)logloglog 2(1)(1)1/2p u p I u p q -===-或可由4444(1)(1;)(;1)log()p u I u I u p u ==，先求(1)q ，再求4(14)(4)1(1)(1)4p u p u p p u q -==，代入到定义式中求解（2） 由4(104)(10;)log(10)p u I u q =，先求(10)q72211(10)()(10)[4(1)22(1)]84i i i q p u p u p p p p ===-++-=∑代入上式可得24(104)(1)(10;)loglog2log 2(1)(10)1/4p u p I u p q -===-（24(104)(4)(1)(10)(10)2p u p u p p u q -==）（3） 由4(1004)(100;)log(100)p u I u q =，先求(100)q771(100)()(100)()(1)(0)(0)8i i i i i i i i q p u p u p u p u p u p u =====∑∑代入上式可得34(1004)(1)(100;)loglog3log 2(1)(10)1/8p u p I u p q -===-（34(1004)(4)(100)(1)(100)p u p u p u p q ==-）2.24 解：（法一）由(;)()()I X Y H Y H Y X =- 设信宿符号接收概率分别为0q 和1q01010.760.240.760.2411[][][][0.540.46]0.320.680.320.6822q q p p ⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()(0.54,0.46)0.9954H Y H ==bit/符号[]11()()(0.76,0.24)(0.32,0.68)0.84972i i H Y X p H Y i H H ===+=∑bit/符号从而(;)()()I X Y H Y H Y X =-=0.9954-0.8497=0.146bit/符号（法二）直接由平均互信息量的定义式,()(;)()log()X Yp y x I X Y p xy q y =∑由信源分布及信道转移概率矩阵可得XY 的联合分布0.380.120.160.34XY P ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，将其代入到定义式中可得 0.760.240.320.68(;)0.38log 0.12log 0.16log 0.34log0.540.460.540.46I X Y =+++=0.146bit/符号2.25 解：由联合概率分布可求得X 和Y 的一维概率分布[]0.10.30.50.1X P =，[]0.30.40.3Y P =及转移概率矩阵100210333205501YXP ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦()(0.1,0.3,0.5,0.1) 1.685H X H ==bit/符号()(0.3,0.4,0.3) 1.571H Y H ==bit/符号2132()()()0.1(1,0,0)0.3(,,0)0.5(,,0)0.1(0,0,1)3355XH Y X p x H Y x H H H H ==+++∑21320.3(,)0.5(,)0.7613355H H =+=bit/符号 ()()() 1.6850.761 2.446H XY H X H Y X =+=+=bit/2符号(;)()()()() 1.5710.7610.81I X Y H X H X Y H Y H Y X =-=-=-=第三章作业参考答案：3.2 答：（1）当log ()n D LH X ≥时，可实现无失真编码；（2）等长编码时，从总的趋势来说，增加L 可提高编码效率，且当L →∞时，1η→。
第二节 纠错编码原理
第二节 纠错编码原理 一、纠错编码的原理 一般来讲，信源发出的消息均可用二进制信号来表示。
例如，要传送的消息为A 和B ，则我们可以用1表示A ，0表示B 。
在信道传输后产生了误码，0错为1，或1错为0，但接收端却无法判断这种错误，因此这种码没有任何抗干扰能力。
如果在0或1的后面加上一位监督位（也称校验位），如以00表示A ，11表示B 。
长度为2的二进制序列共有种组合，即00、01、10、11。
00和11是从这四种组合中选出来的，称其为许用码组，01、10为禁用码。
当干扰只使其中一位发生错误，例如00变成了01或10，接收端的译码器就认为是错码，但这时接收端不能判断是哪一位发生了错误，因为信息码11也可能变为01或10，因而不能自动纠错。
如果在传输中两位码发生了错误，例如由00变成了11，译码器会将它判为B ，造成差错，所以这种1位信息位，一位监督位的编码方式，只能发现一位错误码。
224=按照这种思路，使码的长度再增加，用000表示A ，111表示B ，这样势必会增强码的抗干扰能力。
长度为3的二进制序列，共有8中组合：000、001、010、011、100、101、110、111。
这8种组合中有三种编码方案：第一种是把8种组合都作为码字，可以表示8种不同的信息，显然，这种编码在传输中若发生一位或多位错误时，都使一个许用码组变成另一个许用码组，因而接收端无法发现错误，这种编码方案没有抗干扰能力；第二种方案是只选四种组合作为信息码字来传送信息，例如：000、011、101、110，其他4种组合作为禁用码，虽然只能传送4种不同的信息，但接收端有可能发现码组中的一位错误。
例如，若000中错了一位，变为100，或001或010，而这3种码为禁用码组。
接收端收到禁用码组时，就认为发现了错码，但不能确定错码的位置，若想能纠正错误就还要增加码的长度。
第三种方案中规定许用码组为000和111两个，这时能检测两位以下的错误，或能纠正一位错码。
(完整版)数字通信原理第五章纠错编码习题解答
第五章 纠错编码习题解答1、已知一纠错码的三个码组为(001010)、(101101)、(010001)。
若用于检错，能检出几位错码？若用于纠错，能纠正几位错码？若纠检错结合，则能纠正几位错码同时检出几位错码？[解]该码的最小码距为d 0=4，所以有：若用于检错，由d 0≥e +1，可得e =3，即能检出3位错码； 若用于纠错，由d 0≥2t +1，可得t =1，即能检出1位错码； 若纠检错结合，由d 0≥e +t +1 （e >t ），可得t =1，e =2，即能纠正1位错码同时能检出2位错码。
2、设某(n ,k )线性分组码的生成矩阵为：001011100101010110G ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦①试确定该(n ,k )码中的n 和k ； ②试求该码的典型监督矩阵H ； ③试写出该码的监督方程； ④试列出该码的所有码字； ⑤试列出该码的错误图样表； ⑥试确定该码的最小码距。
[解] ①由于生成矩阵G 是k 行n 列，所以k =3，n =6。
②通过初等行变换，将生成矩阵G 变换成典型生成矩阵[]100101010110001011k G I Q ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦由于101110110011011101T Q P Q ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， ＝＝，可知典型监督矩阵为 []110100011010101001r H PI ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦＝ ③监督方程为542431530000a a a a a a a a a ⊕⊕=⎧⎪⊕⊕=⎨⎪⊕⊕=⎩④所有码字见下表⑤错误图样表即错误图样与校正子关系表，见下表⑥线性码的最小码距为码字的最小重量（全零码除外），所以该码的最小码距为3。
3、已知一种(7,3)循环码的全部码组为：0000000 0101110 1001011 1100101 0010111 0111001 1011100 1110010试求该码的生成多项式g (x )、典型生成矩阵G 和典型监督矩阵H ；[解]由循环码的原理知，生成多项式g (x )对应的码字为前k -1位码元均为“0”的码字，即“0010111”，所以有g (x )=x 4+x 2+x +1则生成矩阵为2643253242()1011100()0101110()10010111x g x x x x x G xg x x x x x g x x x x ⎡⎤⎡⎤+++⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 典型化可得典型生成矩阵[]100101101011100010111k G I Q ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦由于110101101111101110111101TQ P Q ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， ＝＝，可得典型监督矩阵为 []1101000011010011100101010001r H PI ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦＝4、已知一个(3,1,4)卷积码编码器的输出和输入关系为：11212343134c b c b b b b c b b b ==⊕⊕⊕=⊕⊕试画出该编码器的电路方框图和码树图。
信息论与纠错编码答案8-9章
第八章 线性分组码8.13（1）n=6 k=3，码字共2k = 8个（2）100011010101001110G ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（3）(010111)0(010111)(100011)0(010111)T TH H ⋅≠⋅=不是码字是码字8.14（1）n = 5 k = 2 （2）1010010110110100101101001G H ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦8.151000011010010100101100001111(1001)(1001100)(1100)(1100110)(1101)(1101001)100110011001101101001G G G G ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⋅=⋅=⋅=输出码字序列为8.16011110010110101101001G H ⎡⎤⎢⎥'==⎢⎥⎢⎥⎣⎦1000011010010100101100001111H G ⎡⎤⎢⎥⎢⎥'==⎢⎥⎢⎥⎣⎦（1） 1011101101G ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（3）简化译码表：（4）因为陪集首有包括两重错误图样，因此不是完备码。
8.181111010101010001110110010101001101101100100101011101011000011000000000011110100000000011100010000000011010001000000010110000100000001110000010000011000000001000000110000000100010100000H G ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦=00001000101000000000101001000000000010110⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（1）（2）标准阵列为8行16列，略。
（3）110110010110101110001 H⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦第九章 循环码9.2一个（n ，k ）循环码的所有码多项式都可以由其中一个码多项式的倍式组成，称该码多项式为对应循环码的生成多项式。
纠错编码习题解答
纠错编码习题解答第一章1.1 Solution: p=0.05(1)The correct decoding P c is P c= P0 =C40p0(1-p)4=0.8145(2)The decoding error P e is P e = P2+P4 = C42p2(1-p)2 + C44p4(1-p)0 = 0.0135(3)The decoding failure P f is P f= C41p(1-p)3 + C43p3(1-p) = 0.17201.2 Solution:Because the success rate does not fall below 99%,then the decoding failure P f <1% .And p<<1, P f = P1 = n*0.001*0.999n-1 < 0.01So n<=10 .then the maximum blocklength n such that the success rate does not fall below 99% is 10.1.3 Solution: p=0.01P f = P2 = C42p2(1-p)2 = C42 * 0.012 * 0.992 = 0.000588So the decoding failure rate is 0.000588.1.4 Solution:(a)Error: There is one error(b)Correct(c)Failure(d)Error: There is two error1.5 Solution:S1 = v1+v2+v3+v4+v6+v8+v9+v12S2 = v2+v3+v4+v5+v7+v9+v10+v13S3 = v3+v4+v5+v6+v8+v10+v11+v144 12357811151.6 Solution(1)s=(0000) ~e = 0000 0000 0000 000~c= ~e+v1 = (000000000000000)+(100010011001001)= (100010011001001)(2)s=(1011) ~e = 0000 0001 0000 000~c= ~e+v2 = (000000010000000)+(001001110100110)= (001001100100110)1.7 Solution(1) v=(1011 110) s=(110)~e = (001 0000) ~c=(1001 110)(2) v=(1100 110) s=(100)~e = (0000 100) ~c=(1100 010)(3) v=(0001 011) s=(000)~e=(0000 000) ~c=(0001 011)第二章i j .2.2 Solution1 1 1 1 1 1 1 r1-r2 1 0 0 0 1 0 1G2= 0 1 1 1 0 1 0 r2-r3 0 1 0 0 1 1 1 = G10 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 00 0 0 1 0 1 1 r3-r40 0 0 1 0 1 1G1 is systematic form.And every liner coder is equivalent to a systematic linear codeSo the (7,4) linear codes generated by G1 and G2 equivalent.2.3 Solution(a) C 0 = (000) G = (000000) C 1 = (001) G = (001110) C 2 = (010) G = (010101) C 3 = (011) G = (011011) C 4 = (100) G = (100011) C 5 = (101) G = (101101) C 6 = (110) G = (110110) C 7 = (111) G = (111000)(b)If p=0 thenIf p=1 then2.4 SolutionBecause the (4,3) even-parity code is a linear code , The minimum distance d(C i ,C j )= W min = 2 The error detection limit is L=2-1=1The error correction is t=(2-1)/2=ly 0.2.5 Solution1 1 1 0 1 0 0 01 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 r4-r3-r2-r1 0 1 1 1 0 1 0 0 H= 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1So the systematic forms is 1 1 1 0 1 0 0 00 1 1 1 0 1 0 01 1 0 1 0 0 1 01 0 1 1 0 0 0 1Because H = [P T | I n-k] and G=[I k | P]Then G = 1 0 0 0 1 0 1 10 1 0 0 1 1 1 00 0 1 0 1 1 0 10 0 0 1 0 1 1 12.6 Solution1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 10 1 1 1 0 1 0 0 H T = 1 1 1 1H= 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 11 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 11 0 0 10 1 0 10 0 1 10 0 0 1第三章3.1 solutionBecause x3+1x4+x+1 x7+x3+1x7+x4+x3x4+1x4+x+1then q(x)= x3+1 and r(x)= xcheck answer : p1(x)q(x)+r(x)= (x3+1)( x4+x+1)+x= x7+x3+1 = p2(x) so the solution is correct.3.2 Solution(a) x3+x2+1x+1 x4+x2+x+1x4+x3x3+x2+x+1x3+x2x+1x+1R(x+1) (x4+x2+x+1) = 0(b) x3+x2+x+1x2+x+1 x5+x3+x2+x+1x5+x4+x3x4+x2+x+1x4+x3+x2x2+x+1x3+x2+xx3+x2x2+x+1xso R(x2+x+1) (x5+x3+x2+x+1) = x3.3 Solution(1) Systematic code :x3i(x)=x3(x3+x2+x+1)= x6+x5+x4+x3x3+x2+1x3+x+1 x6+x5+x4+x3x6+x4+x3x5x5+x3+x2x3+x2x3+x+1x2+x+1so q(x)= Q g(x) (x3i(x)) = x3+x2+1r(x)= R g(x) (x3i(x)) = x2+x+1then c(x)= x3i(x) +r(x)= x6+x5+x4+x3 +x2+x+1or c(x)=q(x)g(x)=( x6+x5+x4+x3)( x3+x+1) = x6+x5+x4+x3 +x2+x+1(2)Nonsystematic code :C(x)=i(x)g(x)=( x3+x2+x+1)( x3+x+1)= x6+x5+x3+13.4 SolutionWhen the codeword polynomials is x6+x3+x2+xThen s(x)= R g(x) (c(x)+e(x))= R g(x) (x6+x3+x2+x+x3)= R g(x) (x6+x2+x)x3+x+1x3+x+1 x6+x2+xx6+x4+x3x4+x3+x2+xx4 +x2+xx3x3+x+1x+1so s(x)= R g(x) (c(x)+e(x))= x+1When the codeword polynomials is x5+x3+x2The s(x)= R g(x) (c(x)+e(x)) = R g(x) (x5+x3+x2+x3)= R g(x) (x5+x2)x2 +1x3+x+1 x5+x2x5+x3+x2x3x3+x+1x+1so s(x)= R g(x) (c(x)+e(x))= x+1so the resulting syndrome polynomials are the same .3.5 Solution(a)The number of cyclic codes with blocklength 15 isC51+C52+C53+C54 =5+10+10+5=30(b)The number of (15,11)cyclic codes is 3 .when g(x)= x4+x+1 or g(x)= x4+x3+1 or g(x)= x4+x3+ x2+x+1 (c)The generator polynomials for the (15,7) cyclic codes isg1(x) =(x4+x+1)(x4+x3+1)=x8+x7+x5+x4+x3+x+1g2(x) =(x4+x+1)(x4+x3+ x2+x+1)=x8+x7+x6+x4 +1g3(x) =(x4+x3+1)(x4+x3+ x2+x+1)=x8+x4+x2+x+13.6 SolutionThe parity-check polynomial h(x)=( x15+1)/g(x)And g(x) = x10+x8+x5+x4+x2+x+1x5+x3+x+1x10+x8+x5+x4+x2+x+1 x15+1x15+x13+x10+x9+x7+ x6+x5x13+x10+x9+x7+x6+x5+1x13+x11+x8+x7+x5+ x4+x3x11+x10+x9+x8+x6+ x4+x3+1x11+x9+x6+x5+x3+ x2+xx10+x8+x5+x4+x2+x+1x10+x8+x5+x4+x2+x+1So h(x)= x5+x3+x+1h*(x)= x5(x-5+x-3+x-1+1)= x5+x4+x2+1So the blocklength of the cyclic code that is dual to the (15,5) codeis 15 and the information length is 15-5=10第四章4.1 Solution p(x)= x5+x4+x32q(x)=x5+x3+1 g(x)=x3+x2+x+1 r(x)= x2+x+1so q(x)g(x)+r(x)=( x5+x3+1)( x3+x2+x+1)+( x2+x+1)= x3(x5+x4+x)=x r p(x)4.2 Solution g(x)= x4+x3+13f2f210in fq(x)=x r(x)= x2+x+1So q(x) g(x)+r(x)= x(x4+x3+1)+( x2+x+1)=x5+x4+x2+1=p(x)4.3 Solution r(x)= R g(x)[x8i(x)]=R(x8+x4+x+1)[x8(x5+x2+1)]x5+x2+x+1x8+x4+x+1 x13+x10+x8x13+x9+x6+x5x10+x9+x8+x6+x5x10+x6+x3+x2x9+x8+x5+ x3+x2x9+x5+x2+xx8+x3+xx8+x4+x+1x4+x3+1so r(x)= x4+x3+1then the codeword is 010010100011001.4.4 Solutiong(x)g(x)n-k4.5 SolutionLow-order input i(x)=x8+x6+x+1 with g(x)=x4+x+1c(x)=x12+x10+x5+x4 +x3+x2+14.6 Solutionv(x)=x6+x4+x3+x2s(x)=R g(x)[v(x)]= x+1e(x)=x4So c(x)=v(x)+e(x)=x6+x3+x2第五章5.1 Solution(a)No. Because this set does not have a unique identity element. (b)No. Because this set does not have a unique inverse. (c)Yes.(d)No. Because this set does not satisfy the property of closure.5.2 Solution x 属于{0，1,2,3,4,5}5.3 SolutionModule-5 multiplication5.4 SolutionModulo-5 arithmetic(a)2*7+6=2*2+6=4+6=4+1=0(b)(4-8)*3-2=(4+2)*3-2=1*3-2=1(c)(3+6)/2-4/3=4*3-4*2=2-3=2+2=4Modulo-7 arithmetic(a)2*7+6=2*0+6=6(b)(4-8)*3-2=(4+6)*3-2=3*3-2=2-2=0(c)(3+6)/2-4/3=2*4-4*5=1-6=1+1=25.5 SolutionBecause (01010)+(10110)=(11100)(10011)+(10110)=(00101)(11001)+(10110)=(01111)do not belong to any one of the set of vectors.So the set of vectors does not form a vector subspace of V5.5.6 SolutionThe three vectors are (00101),(11100)and (01111)10 Take any 2 linearly independent vectors ,say (01010).(10110) as the initial set of vectorswhich is not a basis of the given subspace.20 Of the remaining 5 nonzero vectors (11100)=(01010)+(10110) is linearly dependent on the 2 vector already in the set .Any one of the remaining 5 nonzero vectors except (11100) can be appended to the initial set.30 Taking ,say, (00101) as the 3rd basis vector we find all the vectors with in the subspace.123because there are 3 basis vectors.5.7 SolutionBecause r=n-k=k the code is (8,4), then it satisfy this law.Because a self-dual code should satisfy H=G.G = [I k|P]1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0H = [P T|I n-k]= 0 1 1 1 0 1 0 0 r1+r2 1 0 1 0 0 1 1 01 1 0 1 0 0 1 0 r2+r30 1 1 0 0 0 1 11 0 1 1 0 0 0 1 r3+r4 1 0 1 1 0 0 0 10 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1r1+r4 1 0 0 0 1 0 1 0 r4+r1+r2 1 0 0 0 1 0 1 1r2+r1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0r3+r3 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 11 0 0 0 1 0 1 10 1 0 0 1 1 1 0 =G0 0 1 0 1 1 0 10 0 0 1 0 1 1 11 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0PP T= 1 1 1 0 0 1 1 1 = 0 1 0 0 = I1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 00 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1So the (8,4) code with generator matrix is self-dual.第六章6.1 Solution(1)p1(x)=x4+x3+x+1(a) p1(1)=1+1+1+1=0Then p1(x) is not irreducible.(b) p1(x) is not primitive.(2) p 2(x)= x 2+x+1 (a) p 2(0)= p 2(1)=1Then p 2(x) is irreducible.(b)Image a 2+a+1=0 ,then a 2=a+1 a is a root and a ∈GF(22) So p 2(x) is primitive. (3) p 3(x)= x 3+x 2+1 (a) p 3(0)= p 3(1)=1.Then p 2(x) is irreducible.(b) Image a 3+a 2+1=0 ,then a 3=a 2+1 a is a root and a ∈GF(23) So p 3(x) is primitive.6.2 SolutionImage a 2+a+1=0 ,then a 2=a+1 The field elements of GF(22) P(0)=0+0+1=1 P(1)=1+1+1=1P(a)= a 2+a+1= a+1+a+1=0 P(a 2)= a 4+a+1= (a+1)2+a+1=0So the root of p(x)=0 are x=a and x=a 26.3 SolutionWhen β3+β2+1=0 then β3=β2+13When β3+β+1=0 then β3=β+1 The field element of GF(23)Xx3+x2+1 is the same as that constructed using x3+x+1 ,they differ only in the way in which elements are labeled.6.4 SolutionTo m1(x)=x5+x2+1m1(0)=1 , m1(1)=1 , m1(α)= α5+α2+1=α2+1+α2+1=0So the minimal polynomials of αis m1(x)=x5+x2+1To m3(x)=x5+ x4+x3+x2+1m3(0)=1 ,m3(1)=1 ,m3(α)= α5+α4+α3+α2+1=α2+1+α4+α3+α2+1=α4+α3m3(α2)= α10+α8+α6+α4+1=(α4+1)+( α3+α2+1)+(α3+α)+ α4+1=α2+α+1m3(α3)= α15+α12+α9+α6+α3=(α4+α3+α2+α+1)+( α3+α2+α)+( α4+α3+α)+( α3+α)+1=0So the minimal polynomials of α3 is m3(x)= x5+x4+x3+x2+16.5 Solution(1) Over GF(24)1 α4 x α5α5 α2 y = α3Then x = 14 -1α5 = (1/α11) α2 α4α5y α5 α2 αα5 1 α3= (1/α11) α2 *α5+α4*α3α5 *α5+1 *α3=(1/α11) 0 = 0α12 α[α2 *α5+α4*α3=α7+α7 =0α5 *α5+1 *α3=α10+α3= (α2+α+1)+ α3=α12]so the linear equations have a solution x=0 over GF(24)y=α(2) Over GF(23)Simplify the linear equations x+(α2+α)y=(α2+α+1)(α2+α+1)x+α2y=(α+1)Then the linear equations have a solution x=1 over GF (23y=1。
编码原理 习题(含答案或提示)
纠错编码课程习题及解答提示1. 奇校验码码字是011(,,,,)k m m m p −=c "，其中奇校验位p 满足方程，2 mod 1110=++++−p m m m k "证明奇校验码的检错能力与偶奇校验码的检错能力相同，但奇校验码不是线性分组码。
证明提示：奇数个差错的发生总导致校验方程不满足。
全0向量不是奇校验码码字。
2. 一个)2,6(线性分组码的一致校验矩阵为123410001000110010101110h h h h ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦H（1）求4,3,2,1,=ih i 使该码的最小码距3min ≥d 。
（2）求该码的系统码生成矩阵s G 及其所有4个码字。
解题提示：（1）对H 作行初等变换得1213142310001100101010001000h h h H h h h h h ⎡⎤⎢⎥+⎢⎥′=⎢⎥+⎢⎥++⎣⎦要使最小码距等于3，有11213423, , , h h h h h h h h ++++中任意两项为1，其余为零。
当要使最小码距大于3，有11213423,, , h h h h h h h h ++++中三项或四项均为1，其余为零。
有上述关系可以求得一组或多组关于4,3,2,1,=i h i 的解。
（2）对H ′作行初等变换得()4233121101000101001001010001T k r r h h h h h H Q I h h h ×++⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎡⎤′′==⎣⎦⎢⎥+⎢⎥⎣⎦3. 一个纠错码的全部消息与码字的对应关系如下：(00)—(00000)，(01)—(00111)，(10)—(11110)，(11)—(11001)（1）证明该码是线性分组码；（2）求该码的码长，编码效率和最小码距； （3）求该码的生成矩阵和一致校验矩阵； （4）构造该码在BSC 上的标准阵列；（5）若在转移概率310−=p 的BSC 上消息等概发送，求用标准阵列译码后的码字差错概率和消息比特差错概率。
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2014级通信专业《纠错码原理》考试题（开卷）姓名：学号：分数：第一题：根据以 为根的本原多项式为x6+x+1(1) 构造扩域GF(26)(2) 分解因式x63-1和x21-1(3) 构造可纠2个错误的二进制BCH码(4) 构造可纠2个错误的RS码第二题：采用计算机编程仿真比较相同码率的RS码与卷积码在AWGN下的性能。
其中，RS码为（23，11）格雷码的扩展码（24,12）码，卷积码为参数（2,1,2）的卷积码，其编码电路如图所示第一题根据以α为根的本原多项式为16++x x 1.构造扩域)2(6GF已知，01)(6=++=αααp ，即αα+=16，由这个等式，可构造扩域)2(6GF ：267)1(ααααααα+=+⋅=⋅=32278)(αααααααα+=+⋅=⋅=433289)(αααααααα+=+⋅=⋅= 5443910)(αααααααα+=+⋅=⋅=5655410111)(αααααααααα++=+=+⋅=⋅=22625111211)1(ααααααααααααα+=+++=++=++⋅=⋅= 321213)1(ααααααα+=+⋅=⋅= 4231314)(αααααααα+=+⋅=⋅= 53421415)(αααααααα+=+⋅=⋅=4645315161)(αααααααααα++=+=+⋅=⋅=5241617)1(ααααααααα++=++⋅=⋅=326325217181)(ααααααααααααα+++=++=++⋅=⋅= 432321819)1(ααααααααααα+++=+++⋅=⋅=54324321920)(αααααααααααα+++=+++⋅=⋅=5436543543220211)(αααααααααααααααα++++=+++=+++⋅=⋅= 542654254321221)1(αααααααααααααααα+++=++++=++++⋅=⋅=5365354222231)1(ααααααααααααα++=+++=+++⋅=⋅=4645323241)1(αααααααααα+=++=++⋅=⋅= 542425)1(ααααααα+=+⋅=⋅=262525261)(αααααααααα++=+=+⋅=⋅= 3222627)1(ααααααααα++=++⋅=⋅=432322728)(αααααααααα++=++⋅=⋅=5434322829)(αααααααααα++=++⋅=⋅=5465454329301)(ααααααααααααα+++=++=++⋅=⋅= 526525430311)1(ααααααααααααα++=+++=+++⋅=⋅= 3635231321)1(αααααααααα+=++=++⋅=⋅= 433233)1(ααααααα+=+⋅=⋅= 5243334)(αααααααα+=+⋅=⋅=3635234351)(αααααααααα++=+=+⋅=⋅=4233536)1(ααααααααα++=++⋅=⋅=532423637)(αααααααααα++=++⋅=⋅=4364353237381)(ααααααααααααα+++=++=++⋅=⋅= 542433839)1(ααααααααααα+++=+++⋅=⋅=532653254239401)(αααααααααααααααα++++=+++=+++⋅=⋅= 432643253240411)1(αααααααααααααααα+++=++++=++++⋅=⋅= 5434324142)1(ααααααααααα+++=+++⋅=⋅=542654254342431)(αααααααααααααααα++++=+++=+++⋅=⋅= 532653254243441)1(αααααααααααααααα+++=++++=++++⋅=⋅=4364353244451)1(ααααααααααααα++=+++=+++⋅=⋅=54434546)1(ααααααααα++=++⋅=⋅=526525446471)(ααααααααααααα+++=++=++⋅=⋅=326325247481)1(ααααααααααααα++=+++=+++⋅=⋅= 43324849)1(ααααααααα++=++⋅=⋅=542434950)(αααααααααα++=++⋅=⋅=5365354250511)(ααααααααααααα+++=++=++⋅=⋅= 426425351521)1(ααααααααααααα++=+++=+++⋅=⋅= 53425253)1(ααααααααα++=++⋅=⋅=426425353541)(ααααααααααααα+++=++=++⋅=⋅= 532425455)1(ααααααααααα+++=+++⋅=⋅=432643253255561)(αααααααααααααααα++++=+++=+++⋅=⋅= 54324325657)1(ααααααααααααα++++=++++⋅=⋅=543265432543257581)(ααααααααααααααααααα+++++=++++=++++⋅=⋅=543265432543258591)1(ααααααααααααααααααα++++=+++++=+++++⋅=⋅=5436543543259601)1(αααααααααααααααα+++=++++=++++⋅=⋅=5465454360611)1(ααααααααααααα++=+++=+++⋅=⋅= 5655461621)1(αααααααααα+=++=++⋅=⋅= 1)1(656263=+=+⋅=⋅=ααααααα得到扩域)2(6GF 的元素表如下：幂表示6维向量表示幂表示6维向量表示α0100100 000000 33α0010011 100000 34α010000 35α110100 2α001000 36α011010 3α000100 37α001101 4α000010 38α110110 5α000001 39α011011 6α110000 40α111101 7α011000 41α101110 8α001100 42α010111 9α000110 43α111011 10α101101 α000011 4411α110001 45α100110 12α010011 α101000 4613α010100 47α111001 14α101100 α001010 4815α010110 α000101 4916α001011 α110010 5017α011001 51α110101 18α101010 α111100 5219α010101 α011110 5320α 001111 54α 111010 21α110111 55α011101 22α 101011 56α 111110 23α 100101 57α 011111 24α 100010 58α 111111 25α 010001 59α 101111 26α 111000 60α 100111 27α011100 61α100011 28α 001110 62α 100001 29α 000111 63α1 30α 110011 31α 101001 32α1001002.分解因式163-x 和121-x由共轭根系概念，将除0、1以上元素划分，同属一个根系的元素为一组：2481632361224334851017203440714283549569183611222537445013192638415215303951576021422329434653582745,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,ααααααααααααααααααααααααααααααααααααααααααααααααααααααα54314755596162,,,,,ααααααα分别求取每组共轭根系的最小多项式，化简得：248163261361224334864225101720344065237142834()()()()()()()1()()()()()()()1()()()()()()()1()()()()(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ααααααααααααααααααααααΦ=++++++=++Φ=++++++=++++Φ=++++++=++++Φ=++++54956639183632511222537445065326131926384152643715308)()()1()()()()1()()()()()()()1()()()()()()()1()()(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ααααααααααααααααααα++=++Φ=+++=++Φ=++++++=++++Φ=++++++=++++Φ=++39515760654221422923294346535865410274554311314755512)()()()()1()()()1()()()()()()()1()()()()1()()()()(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ααααααααααααααααααα++++=++++Φ=++=++Φ=++++++=++++Φ=+++=++Φ=++++9616265)()()1x x x x αα++=++所以，因式分解结果为126311()i i x x =-=Φ∏(2.2) 分解因式x 21-1x 21-1中n=21，且找不到一个整数m 使等式n=2m -1成立，因此需要寻找非原元β。
由于6212163213m -=-==⋅，所以令3βα=，由共轭根系概念划分：453264128241648323339618123651510302060405752515239721144292718543645, , , , , , , , , , , , , , , βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα⋅⋅==================== 分别求取每组共轭根系的最小多项式，化简得：3612244833642191836322153060575139654232142242755()()()()()()()1()()()()1()()()()()()()1()()()1()()(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x αααααααααααααααααααΦ=++++++=++++Φ=+++=++Φ=++++++=++++Φ=++=++Φ=++4453)()1x x x α+=++ 所以，因式分解结果为52111()i i x x =-=Φ∏3.构造可纠2个错误的二进制BCH 码定理5：码长为12-m、纠t 个错误的二进制BCH 码的生成多项式{})(,),(),()(1231X X X LCM x g t -=φφφ由题可知，α是)2(6GF 的本原元，且016=++αα，码长63126=-=n 查表可知，α、3α的最小多项式分别为：611)(X X X ++=φ，64231)(X X X X X ++++=φ由定理5,可得码长63，可纠2个错误的二进制BCH 码的生成多项式：{})(),()(31X X LCM x g φφ=因此，)1)(1()()()(642631X X X X X X X X X g ++++++==φφ 121085431X X X X X X ++++++=所以，该码是一种5min ≥d 的(63,51)本原BCH 码，也叫循环码。