高考数学专题讲义数列综合

第八讲 数列综合

★★★高考在考什么 【考题回放】

1.（宁夏）已知a b c d ，，，成等比数列，且曲线2

23y x x =-+的顶点是()b c ，，则ad 等于（ B ）

Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．2-

2.(江西)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1221S =，则25811a a a a +++=

．7

3.（辽宁卷） 在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则

n S 等于

A ．1

2

2n +- B.3n C. 2n D.31n -

【解析】因数列{}n a 为等比，则1

2n n a q -=，因数列{}1n a +也是等比数列，

则

22121122212

(1)(1)(1)22(12)01

n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a q q q +++++++++=++⇒+=++⇒+=⇒+-=⇒=

即2n a =，所以2n S n =，故选择答案C 。

4.（湖南）设集合{123456}M =，，，，，， 12k S S S ，，，都是M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的{}i i i S a b =，，{}j j j S a b =，（i j ≠，{123}i j k ∈、，，，，），都有

min min j j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪

≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭

，，（min{}x y ，表示两个数x y ，中的较小者），则k 的最大

值是（ B ）

A ．10

B ．11

C ．12

D ．13

5.(陕西卷) 已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足10S n =a n 2

+5a n +6且a 1,a 3,a 15成等比数列，

求数列{a n }的通项a n .

解析：解: ∵10S n =a n 2+5a n +6， ① ∴10a 1=a 12

+5a 1+6，解之得a 1=2或a 1=3．

又10S n －1=a n －12

+5a n －1+6(n ≥2)，②

由①－②得 10a n =(a n 2－a n －12

)+6(a n －a n －1)，即(a n +a n －1)(a n －a n －1－5)=0 ∵a n +a n －1>0 ， ∴a n －a n －1=5 (n ≥2)．

当a 1=3时，a 3=13，a 15=73． a 1， a 3，a 15不成等比数列∴a 1≠3;

当a 1=2时，a 3=12， a 15=72， 有a 32

=a 1a 15 ， ∴a 1=2， ∴a n =5n －3．

6.（广东卷）已知公比为(01)q q <<的无穷等比数列{}n a 各项的和为9，无穷等比数列{}

2

n

a 各项的和为

81

5

. (I)求数列{}n a 的首项1a 和公比q ； (II)对给定的(1,2,3,,)k k n =，设()k T 是首项为k a ，公差为21k a -的等差数列，求(2)T 的

前10项之和；

解: (Ⅰ)依题意可知,⎪⎩⎪

⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-32358119

112121

q a q a q a

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,1

323-⎪

⎭

⎫

⎝⎛⨯=n n a ,所以数列)

2(T

的的首项为221==a t ,公差

3122=-=a d ,

15539102

1

21010=⨯⨯⨯+⨯=S ,即数列)2(T 的前10项之和为155.

★★★高考要考什么

本章主要涉及等差（比）数列的定义、通项公式、前n 项和及其性质，数列的极限、无穷等比数列的各项和．同时加强数学思想方法的应用，是历年的重点内容之一，近几年考查的力度有所增加，体现高考是以能力立意命题的原则．

高考对本专题考查比较全面、深刻，每年都不遗漏．其中小题主要考查1()a d q 、、

n n n a S 、、间相互关系，呈现“小、巧、活”的特点；大题中往往把等差（比）数列与函

数、方程与不等式，解析几何 等知识结合，考查基础知识、思想方法的运用，对思维能力要求较高，注重试题的综合性，注意分类讨论．

高考中常常把数列、极限与函数、方程、不等式、解析几何等等相关内容综合在 一起，再加以导数和向量等新增内容，使数列综合题新意层出不穷．常见题型：

（1）由递推公式给出数列，与其他知识交汇，考查运用递推公式进行恒等变形、推理与综合能力．

（2）给出S n 与a n 的关系，求通项等，考查等价转化的数学思想与解决问题能力．

（3）以函数、解析几何的知识为载体，或定义新数列，考查在新情境下知识的迁移能力． 理科生需要注意数学归纳法在数列综合题中的应用，注意不等式型的递推数列．

★ ★★ 突 破 重 难 点

【范例1】已知数列{}n a ，{}n b 满足12a =，11b =，且111131144

13144

n n n n n n a a b b a b ----⎧=++⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩（2n ≥）

（I ）令n n n c a b =+，求数列{}n c 的通项公式； （II ）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和公式n S ．

解：（Ｉ）由题设得11()2(2)n n n n a b a b n --+=++≥，即12n n c c -=+（2n ≥） 易知{}n c 是首项为113a b +=，公差为２的等差数列，通项公式为21n c n =+．

（II ）解：由题设得111()(2)2n n n n a b a b n ---=

-≥，令n n n d a b =-，则11

(2)2

n n d d n -=≥．

易知{}n d 是首项为111a b -=，公比为12的等比数列，通项公式为11

2

n n d -=． 由

1211

2

n n n n n a b n a b -+=+⎧⎪

⎨-=⎪⎩，

解得 11

22

n n a n =++， 求和得21122n n n S n =-+++．

【变式】（文）在等差数列{}n a 中，11a =，前n 项和n S 满足条件

242

,1,2,1

n n S n n S n +==+，

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）记(0)n a

n n b a p p =>，求数列{}n b 的前n 项和n T 。

解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ,由

2421n n S n S n +=+得：12

1

3a a a +=，所以22a =，即211d a a =-=，又1

211122()42212

n n n n n n a nd a n S a nd a n a a n S a a n ++⨯+++===

+++⨯＝2(1)

1n n a n a +++，所以n a n =。

（Ⅱ）由n a

n n b a p =，得n n b np =。所以23123(1)n n n T p p p n p np -=+++

+-+，

当1p =时，1

2

n n T +=； 当1p ≠时，

234123(1)n n n pT p p p n p np +=+++

+-+，

23

1

1

1(1)(1)1n n n n n n p p P T p p p p

p np

np p

-++--=+++

++-=--

即11

,12(1),11n n

n n p T p p np p p

++⎧=⎪⎪

=⎨-⎪-≠⎪-⎩。