第十一章 动量定理

p2
p1
dp Fi ( e) dt
t2 i 1 t1
n
(11－10)
在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于在这段时间内作用于质点系 外力冲量的矢量和。
动量定理的投影式：
dp x X (e ) dt
( p2 x p1x I xe)
( p2 y p1 y I ye)
3.293m3v
p px p y 4.263m3 v
2 2
px ( p, i ) arccos 50.58, p
( p, j ) arccos
py p
140.58
质点系动量的另一算法：
设质点系内各质点对固定点O的矢径为 ri，则
v i d ri , dt
px mi vix m vcx
py mi viy m vcy
pz mi viz m vcz
若一个质点系由多个刚体组成，则质点系动量可写为
p pi mi vci ,
式中 mi 、vci 分别为第 j 个刚体的质量和它的质心的速度。
例11-2 求图示均质物体或物体系统的动量。
p mv
或
C
v
ω
p mr ，方向同 v
O
⑷均质杆质量为 m ，杆长为L，绕杆端轴O 以角速度ω转动， 则
vc L / 2
ω
p mvc
1 m L 2
C
见续后
（5）均质杆质量为m，长度为l，图示瞬时A端 速度为v，求其动量。
解：AB 杆做平面运动，
B P ωAB
vB
对于整个质点系
d(mi vi ) Fi dt Fi (i ) dt
(e) i 1 i 1 i 1
n
n
n
d (mi vi ) d (mi vi ) dp,
(Fi (e) dt) dIi(e)
( Fi ( i ) dt ) 0
n
dp ( Fi ( e ) dt ) dI i( e )
vA
vE
E
A θ D
O
ω
解：⑴曲柄OA的质心在其中点E，且
L vE 2
•见续后
pOA m1v E 1 m1L 2
⑵求整个机构的动量。 由于系统的动量为各部分的 矢量和，即， p pOA pBD pB pD
∵ 规尺和两个滑块的质心 在 A 点， B
m2
已求得OA的动量 pOA 1 m1L 2
F X (t )i Y (t ) j Z (t )k
则冲量计算的投影式为
I x X (t )dt
t1
t2
I y Y (t ) dt
t1
t2
I z Z (t ) dt
t1
t2
冲量的量刚：
⑶力系的冲量
与动量的量纲相同
dim I = dim Ft = MLT－1 = dim mv
解： 以 AB、CD段液体为研究对象： 设流入、流出的速度分别为v1 、v2，
管壁对流体的动反力为Nx 、 Ny d12 d 22 则 Q v1 v2 4 4
第十一章 动量定理
§11-1 动量与冲量
一、动量
⒈质点的动量：
质点的质量与速度的乘积 mv 称为质点的动量。 动量是矢量，其方向与速度方向一致。 若 则
v vxi v y j vz k mv mv x i mv y j mv z k
v m
mv
⒉质点系的动量：
n
质点系内各质点动量的矢量和，称为质点系的动量主矢，简 称为质点系的动量。用 p 表示.。
令 N = N ’+N ” ， 式中 N ’— W、 Pa、 Pb 相平衡的管壁静反力， A 即 W+Pa+Pb+N ’=0 Pa v1
B
N ”— 由于流体的动量变化而产生 的动反力。
则
N
W C Pb
D
v2
N ”=ρQ (v2－v1)
Nx” =ρQ (v2x － v1x ) Ny” =ρQ (v2y－ v1y )
v1
• 见后续
已知 m1 = 2m2 = 4m3 ，v1 = v2 = v3 = v ，求系统动量。
v3
m3 45°
v2
m2
y
p
m1v1
m1
v1 O
m2v2
45° m3v3
解： p m1v1 m2v2 m3v3
py m1v1 m3v3 sin 45
x
px m2v2 m3v3 cos 45 2.707m3v
作用于质点系中力系的各力冲量的矢量和
称为力系的冲量，即
I I i Fi (t )dt
t2 t1
t2 t1
I
F (t )dt
i
t2
t1
R(t )dt
结论：力系的冲量等于力系的主矢在同
一时间内的冲量。
§11-2
一、质点的动量定理
动量定理
质点动量定理 的微分形式
d 若质量 m 恒定，则牛顿 ( mv ) F dt 第二定律可写为 或 d (mv ) Fdt
管壁对流体的约束反力 N （表面力）
(4) 根据质点系动量定理：
W N
C
D
dp Fi ( e ) dt
i 1
n
Pb
v2
可得
Q(v2 v1 )
液体流动的欧拉定理
Pa Pb W N
•关于液体流动的欧拉定理的讨论
Q(v2 v1 ) Pa Pb W N
dp y
dt dp z Z (e ) dt
Y (e )
p2 z p1z I z(e)
例11-4 已知 定子m1，转子m2 ；角速度ω；偏心距为e。
求 基础对电机的反力。
y c1 ω
解：研究定子与转子组成的系统，受力 如图，系统的动量为 p = p 1+ p 2 ∴ p = p2 = m2ωe
其投影式为
欧拉动水 反力公式
流体动反力公式的一些应用：
（1）流体管道动压力的计算，即 N 壁 = － N ”=ρQ (v1 － v2) （2）在大流量、高流速 的管道的弯头处管壁强 度校核以及弯头处支座安装的依据。
（3）输送散体（粮食、矿石等）机械动压力的 计算。
例11-6
已知流量 Q，密度ρ，流入截面 AB 的直径为 d1，流出 截面 CD 的直径为 d2 。求附加动反力。
dri p mi v i mi dt
d dt
m r
i i
m r m r
i i
c
质心坐标式
d (m r ) m d rc m v p c c dt dt
结论：质点系的动量等于质点系的总质量与其 质心速度的乘积。
质点系的动量 p 在直角坐标系中的投影为
φ
C
瞬心为P，∵vA= v vA AB AP l sin
v
mvc
v vC AB CP 2 sin mv p mvC 2 sin
•见续后
vA
A
⑹
皮带轮传动系统由均质轮和均质皮带组成， 该系统的动量等于多少？
m
m2 O2 C O1 m1
？
ω1
ω2
∵系统对称于两轮轴心连线，
(11－6)
即：质点的动量对时间的导数等于作用于其上的力。
在t1至t2时间内积分，得

v2
v1
t2
d (mv ) Fdt
t1
t2
质点动量定理 的积分形式
mv 2 mv1 Fdt I
t1
(11－7)
即：质点在 t1 至 t2 时间内动量的改变量等于作用于其上的力在同 一时间内的冲量。
A
e
p2
m2g
Fy
MA
Fy (m1 m2 ) g m2 2 e cos t Fx m2 e sint ,
三、质点系动量定理的应用

流体在管道内流动的动压力 动量守恒
质点系动量定理的应用
1．流体在管道中流动时的动压力
关于流体的几个概念：
流体的密度： 流体单位体积的质量 ( Kg/m3 )。 稳定流动（定常流动）： 流体各质点流经空间某固定点时，其速度和压强 等都不随时间而改变。 流量 Q ： 单位时间内流经某截面的流体体积(m3/s)。 流体的不可压缩性： 流经各截面的流量不变。
p = p轮1 + p轮2 + p带 = ( 2 m1 + m )v
(2) p带’ =
d 2R 2( d R ) m 2v m v mv = m v = p带 L L L
例11-3
椭圆规机构如图，已知规尺 BD = 2L , 质量为2m1，滑 块 B、D 的质量均为 m2；曲柄OA = L，质量为 m1，以匀角速度ω 绕轴O 转动。求: 图示瞬时， ⑴ 曲柄 OA 的动量；⑵ 整个机 构的动量。 B
p mi v i
i 1
动量的量纲为 dim mv = MLT-1
在国际单位制 中，动量的单 位为 kg· m/s。
例11-1 三物块用绳连接如图示，其质量为 m1=2m2 =4m3 ，如绳的质量和变形均不计， 则三物块均以同 样的速度v运动。求该质点系的动量。
v3
m3 45°
v2
m2
m1
∴系统质心必在该连线上， 系统质心的速度始终为零， ∴系统的动量 p = Mvc = 0 。