第十五章工具变量估计与TSLS 1
第十五章工具变量估计与TSLS-3
内生性检验与过度识别约束检验
内生性检验
考虑模型： y1=b0+b1y2+b2z1+b2z2+u 检验y2的内生性，外生变量z1, z2, z3, z4 基本思想：
若y2内生，OLS估计量不一致，TSLS估计量一致 若y2外生，OLS估计量和TSLS估计量都一致 比较OLS估计值和TSLS估计值的差异：
ŷ2相当于把y2中与z1不相关的部分e已经剔除了。 TSLS估计量的方差通常较大！【爱】核心用户 By微0渺 上传
多个内生变量（阶条件和秩条件）
y1=b0+b1y2+b2y3+b3z1+b4z2+b5z3+u 阶条件：
除z1, z2和z3外，至少还应存在两个外生变量，分别 作为内生解释变量y2和y3的工具变量。 被排斥的外生变量至少与结构方程中包含的内生解 释变量一样多。
Cov(x1, u-b1e1) 0 OLS估计量是不一致的。【爱】核心用户 By微0渺 上传
y=b0+b1x1+b2x2+(u-b1e1) 若存在x1*的另一种可观测度量z1
z1 = x1*+a1 z1 可以作为x1的工具变量：
Cov(z1, x1) = Cov(x1*+a1, x1*+e1) 0 Cov(z1, u-b1e1) = Cov(x1*+a1, u-b1e1) = 0
ˆ ˆ ˆ ˆ y2 0 1z1 2 z2 e y2 e【爱】核心用户 By微0渺 上传
多重工具变量
第十五章工具变量估计和TSLS4
将残差û对所有外生变量（包括结构方程中外生 变量）回归，得到可决系数R2
计算统计量nR2
nR2 ~ 2(q)
大于临界值，拒绝原假设，有工具变量不是外生的 小于临界值，可SLS中的异方差和自相关问题
û对z1, z2, z3, z4回归 得到可决系数R2，计算统计量nR2
nR2~ 2(1)
为什么自由度是1，而不是4？ 外生变量虽然有4个，但对于y2情况：
若结构方程中有m个内生变量，备选IV有m+q 个，即有m+q个可能的外生差检验：
同方差假定：
Var(u|z)=E(u2|z)=2
z包含所有外生变量，但不包含内生变量 异方差检验：
û2对所有外生变量回归，检验系数的联合显 著性 不能用Ev关检验
时间序列和截面数据，TSLS估计没有区别
自相关检验
假定y2是内生的，模型（1）的估计化模型的残差 vˆ2代替v2
y1=b0+b1y2+b2z1+b2z2+d1 vˆ+2 e
模型中b系数的估计结果等同于TSLS估计
检验H0:d1=0
等同方法：引入简化模型中y2的拟合值ŷ2 ：
过度识别检验目的就是思路：
若z3 和z4都是有效工具变量，分别以其作为IV， TSLS估计量都具有一致性，估计值差异不大
若估计值差异很大，必有一个不是外生的 问题：
不知道哪个不是外生的 两个工具变量都不是外生的时=b0+b1y2+b2z1+b3z2+u
假定有两个备选变量z3 和z4：
若Cov(z3, u)=0；Cov(z4, u) =0，同时利用z3 和 z4作为工具变量，估计结果更有效！
09_模型设定偏差、随机解释变量和工具变量
回归系数的 OLS 估计量为：
β = ( X ' X )−1 X 'Y = ( X ' X )−1 X ' ( X β + ε ) = β + ( X ' X )−1 X 'ε
当 X 与扰动项不相关时，
p lim 1 X 'ε = 0 N
假设
p lim
1 N
X
'X
=
ΣX
存在，并且非奇异（逆矩阵存在），
估计也依然是无偏的，因此所建立的假设检验（t 和 F 检验）依然 有效。
加入多余变量的模型的参数的估计值为：
将 Y 的实际模型代入得：
两边取期望得：
厦门大学国际经济与贸易系 胡朝霞
6
2） 但是，回归系数的 OLS 估计量的方差不是最小方差的（大于 真实模型相应估计量的方差），因此 OLS 估计量是非有效的估计 量，即非 BLUE 估计量。它将导致回归系数估计量的精度下降， 并可能拒绝显著的解释变量。
ห้องสมุดไป่ตู้
E
(β
* 2
)
=
β2
+
β3 iβ32
=
β2
+
β3
cov( X 2 , X3 ) var( X 2 )
≠
β2
E(β 1*) = β1 + β3 i( X3 − β32 X 2 ) ≠ β1
β*
当β3 与 cov(X2,X3)的符号相同时， 2 将平均上偏；异号时，将
平均下偏。
2）如果被省略了变量 X3 与真实模型中的变量 X2 的相关系数为 0（即
1．残差的分析
残差的分析不仅可以用于自相关和异方差的鉴别，还可用于遗漏 变量和不正确的函数形式的诊查。
第15章-工具变量
第 9 章则证明了，对无法观测解释变量给出适 宜的代理变量，能消除 (或至少减轻)遗漏变量 偏误。不幸的是，我们不是总能得到适宜的代 理变量。
在前面两章，我们解释了在出现不随时间而 变化的遗漏变量情况下， 如何对面板数据应 用固定效应估计或一阶差分来估计随时间而 变化的自变量的影响。尽管这些方法非常有 用，可我们不是总能获得面板数据。
举例来说，考虑成年劳动者的工资方程中存 在无法观测之能力因素的问题。一个简单的 模型为： log（wage）=β 0+β 1educ+β 2abil+e 其中，e 是误差项。
在第 9 章中，我们证明了在某些假定下，如 何用诸如 IQ 的代理变量代替能力，从而通过 以下回归可得到一致估计量 log(wage)对 educ，IQ 回归 然而假定不能得到适当的代理变量（或它不 具备足以获取 1 一致估计量所需的性质）。
如我们在第 2 篇中所示，OLS 可以应用于时 间序列数据，而工具变量法也一样可以。15.7 节讨论了在时间序列数据中应用 IV 法时出现 的一些特殊问题。在 15.8 节中，我们将论述 其在混合横截面和面板数据上的应用。
15.1 动机：简单回归模型中的遗漏变量
面对可能发生的遗漏变量偏误（或无法观测 异质性），迄令为止我们已讨论了三种选择： （1）我们可以忽略此问题，承受有偏而又不 一致估计量的结果;
现在我们来论证，工具变量的可用性能够用于 一致地估计方程 (15. 2)中的参数。具体而言， 我们将说明式(15.4) 与式(15.5) 中的假定足以识 别参数 1 。在这一点上，参数的识别 (identification)意味着我们可以根据总体矩写 出 1 ，而总体矩可用样本数据进行估计。
为了根据总体协方差写出 1 ，我们利用方程 (15.2)：z 与 y 之间的协方差为
工具变量估计算法
工具变量估计算法
工具变量估计算法是一种统计方法，用于处理回归分析中的内生性问题。
在回归分析中，如果解释变量与误差项相关，会导致估计结果有
偏误。
工具变量估计算法通过使用一个或多个与内生解释变量相关，
但与误差项无关的变量作为工具变量，来估计回归系数的一致性估计量。
工具变量的选择必须满足一定条件：
1. 与所替代的内生解释变量高度相关；
2. 与误差项不相关；
3. 与模型中其他解释变量不相关；
4. 在同一模型中引入多个工具变量时，这些工具变量之间不相关。
工具变量估计算法的步骤包括：
1. 对一阶段回归的残差进行 IID 检验，检验结果显示扰动项非 IID；
2. 进行不可识别检验，P 值（K-P LM）均为 0.000，拒绝不可识别的
原假设；
3. 进行弱工具变量检验，F 值（K-P Wald）分别为 547.812 及
386.131，远大于 16.38 的临界值，说明不存在弱工具变量问题；
4. 进行过度识别检验，Sargan 检验的 P 值为 0.3096，接受工具变
量与结构方程扰动项不相关的原假设；
5. 进行冗余检验，P 值均为 0.000，说明工具变量不冗余；
6. 进行内生性检验，P 值为 0.000，需要返回第四步，将 IV 估计改为 GMM 估计，Sargan 统计量改为 Hansen 统计量，再次检验显示Hansen-J 检验估计结果与前文一致。
通过以上步骤，可以使用工具变量估计算法对回归分析中的内生性问题进行处理，并获得一致性估计量。
工具变量法结果解读
工具变量法结果解读一、引言工具变量法是计量经济学中一种重要的估计方法，主要用于解决内生性问题。
通过引入工具变量，工具变量法能够有效地减少误差，提高估计的准确性和可靠性。
然而，对于初学者来说，如何正确解读工具变量法的结果可能是一个挑战。
本文将详细解读工具变量法的理论基础、工具变量的选择、结果解读以及结论，以期帮助读者更好地理解和应用工具变量法。
二、工具变量法的理论基础工具变量法源于经济理论，特别是当一个或多个解释变量与误差项相关时，就会产生内生性问题。
在这种情况下，普通最小二乘法（OLS）的估计结果是有偏的。
为了解决这个问题，我们引入一个或多个与内生解释变量相关，但与误差项无关的工具变量。
这些工具变量通过与内生解释变量的线性组合来“工具化”内生解释变量，从而在估计中起到减少误差和偏误的作用。
三、工具变量的选择选择合适的工具变量是工具变量法的关键步骤。
理想情况下，一个好的工具变量应该与内生解释变量高度相关，同时与误差项无关。
在实践中，我们通常选择那些与内生解释变量相关，同时又遵循随机扰动的因素作为工具变量。
此外，工具变量的数量应该足够多，以便能够充分地“工具化”内生解释变量。
四、结果解读在应用工具变量法后，我们得到了一组估计结果。
这些结果应该如何解读呢？首先，我们需要关注估计系数的符号。
如果估计系数的符号与预期相符，那么我们可以初步认为估计结果是可靠的。
其次，我们需要检验估计结果的显著性。
常用的方法是观察估计系数的p值。
如果p值较小（通常小于0.05），则表明估计结果是显著的。
最后，我们需要检验工具变量的有效性。
这可以通过观察工具变量的系数是否接近于1来初步判断。
如果工具变量的系数接近于1，并且显著，那么我们可以认为工具变量是有效的。
此外，我们还可以使用诸如弱工具检验、过度识别检验等统计方法来进一步检验工具变量的有效性。
五、结论本文对工具变量法的结果解读进行了详细阐述。
通过关注估计系数的符号、显著性以及工具变量的有效性等方面，我们可以更好地理解和应用工具变量法。
eviews教程时间序列回归
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17
§15.3.5 含有AR项模型的估计输出
当估计某个含有AR项的模型时，在解释结果时一定要小心。在用通常的方 法解释估计系数，系数标准误差和t-统计量时，涉及残差的结果会不同于OLS的 估计结果。
要理解这些差别，记住一个含有AR项的模型有两种残差： 第一种是无条件残差
对于含有AR项的模型，基于残差的回归统计量，如R2 (回归标准误差)和 D-W值都是以一期向前预测误差为基础的。含有AR项的模型独有的统计量是
估计的AR系数ˆ i。对于简单AR(1)模型，ˆ 是无条件残差的序列相关系数。
对于平稳AR(1)模型， 在-1（极端负序列相关）和+1（极端正序列相关）之
间。一般AR(p)平稳条件是：滞后算子多项式的根的倒数在单位圆内。
平稳性定义： 如果随机过程 Yt {, y1, y0 , y1, y2 ,, yT , yT1,} 的均值和方 差、自协方差都不取决于 t，则称 Y t 是协方差平稳的或弱平稳的：
E(Yt )
对所有的 t
Var(Yt ) 2
对所有的 t
eviews教程时间序列回归
7
§15.2.2 相关图和Q-统计量
在方程工具栏选择View/Residual Tests/correlogram-Q-statistics 。 EViews将显示残差的自相关和偏自相关函数以及对应于高阶序列相关的 Ljung-Box Q统计量。如果残差不存在序列相关，在各阶滞后的自相关和 偏自相关值都接近于零。所有的Q-统计量不显著，并且有大的P值。
k 阶滞后的Q-统计量是原假设为序列没有k 阶自相关的统计量。计算
式如下
QLB
T
T 2
k rj2 j1 T
工具变量法工具变量法具体步骤
工具变量法工具变量法具体步骤工具变量法目录概念某一个变量与模型随机解释变量高度相关，但却不与为丛藓科扭口藓项相关，那么就可以用此变量与模型中相应回归系数的一个一致估计量，这个变量就称为方法变量，这种估计方法就叫工具基本原理变量法。
缺点工具变量法的关键是选择一个有效的优先选择工具变量，由于工具自变量变量可以选择中的困难，工具变量法本身存在两方面不足：一是由于工具变量不是惟一的，因而工具变量估计量有一定的任意性；其二由于误差项实际上是不可观测的，因而要寻找严格意义上与误差项无关的与所替代而随机解释变量高度相关的变量总的来说事实上是困难的。
工具变量法与内生解释变量可持续性解释变量会造成解读严重的后果：不一致性inconstent 和有偏biased ，因为频域不满足误差以解释线性为条件的期望值为0。
产生解释变量招盛纯一般有三个原因：一、遗漏变量二、测量误差三、联立性第三种情况是无法逐步解决的，前两种可以采用工具变量（IV ）法。
IV 会带来的唯一坏处是估计方差的增大，也就是说同时采用OLS 和IV 估计，则前者的方差小于后者。
但IV 的应用是有前提条件的：1.IV 与内生解释函数相关，2.IV 与u 不相关。
在小样本情况下，一般用内生解释变量对IV 进行回归，如果R －sq 值很小的话，一般t值也很小，所以对IV 质量的评价没有大的风险问题，但是当采用大样本时，情况则相反，往往是t 值很大，而R －sq 很小，这时如果采用t 值进行关键问题评价则可能出现出现问题。
这时IV 与内生解释变量之间的若干程度不是阐释太大，但是如果与u 之间有轻微的相关机构的话，则：1、导致很小的不一致性；2、有偏性，并且这种有偏性随着R －sq趋于0而趋于OLS 的有偏性。
所以现在在采用IV 时最好采用R －sq 或F －sta 作为评价标准，另外为了观测IV 与u 的关系，可以将IV 作为解释变量放入方程进行回归，如果没有其他的系数没有多的变化，则说明IV 满足第二个条件。
工具变量法IV两阶段最小二乘法TSLS
YY12
b12Y2 b23Y3
c11 X1 c12 X 2 c23 X 3 u2
u1
Y3 b31Y1 b32Y2 c33 X 3 u3
其中：Y1,Y2 ,Y3 为内生变量， X1, X 2 , X 3为外生变量。
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2）方程组系统估计法 包括：三阶段最小二乘法（3SLS）、完全信息最
大似然估计法（FIML）等。这些方法是对模型中所有 结构方程的参数同时进行估计，从而获得模型全部参 数的估计值。它利用了模型的全部方程信息，称为完 全信息方法。
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/ ˆ23 bˆ12ˆ21
cˆ12 ˆ12 bˆ12ˆ22
若已知πij，即可解出惟一的cij，第一个结构方程得以 估计。这样，结构方程的参数估计值用传统的OLS就 得到了。
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ILS的步骤
一、先对模型作识别判断，找出恰好识别的方程； 二、利用简约式和结构式参数的关系式 B
Y1 11 X1 12 X 2 13 X 3 v1 Y2 21 X1 22 X 2 23 X 3 v2 Y3 31 X1 32 X 2 33 X 3 v3
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第一阶段是对结构方程右端所包含的所有内生变量（作为解 释变量）所对应的简化式方程进行OLS估计,得到内生变量的估计 （回归)值；
Chap15_工具变量
12-2
为什么采用工具变量回归？
影响回归结果正确性的三大威胁有: 遗漏变量偏差，由于没有遗漏变量的观测数据所以不能 把它加到回归中; 双向因果关系 (X 导致了 Y, Y 导致了 X); 变量有测量误差 (X 中带有测量误差)
All three problems result in E(u|X) ≠ 0.
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4
术语: 内生性(endogeneity)和外生性(exogeneity)
内生 变量是指与 u 相关的变量 外生 变量是指与 u 不相关的变量 注记: “内生的” 字面意思指 “在系统内决定,” 即, 和 Y 共
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12-15
Example #1:学习时间对成绩的效应估计 , ctd.
Stinebrickner, Ralph and Stinebrickner, Todd R. (2008) "The Causal Effect of Studying on Academic Performance," The B.E. Journal of Economic Analysis & Policy: Vol. 8: Iss. 1 (Frontiers), Article 14.
12-9
IV 估计量, 一个 X和一个Z （续）
#2: 简单的代数 Yi = 0 + 1Xi + ui 于是, cov(Yi,Zi) = cov(0 + 1Xi + ui,Zi) = cov(0,Zi) + cov(1Xi,Zi) + cov(ui,Zi) = 0 + cov(1Xi,Zi) + 0 = 1cov(Xi,Zi) 其中 cov(ui,Zi) = 0 (工具外生性); 因此
第15章 工具变量估计与两阶段最小二乘法
15.3 两阶段最小二乘法
2SLS可用于多个内生解释变量的模型中，但 工具变量必须满足一定的条件方程才能识 别。 方程识别的阶条件：被排斥的外生变量的个 数至少与结构方程中包含的解释变量一样 多。 阶条件仅是必要条件，方程识别的充分条件 是秩条件，需要用矩阵代数来表述。
15.1 动机：简单回归模型中的遗漏变量
要求（2）容易检验，只需x对z简单回归，检 验斜率系数的显著性。 内生解释变量和工具变量也可以是二值变量 如果现在的工具变量是低劣的，即z可能与u 相关，此时IV估计也是不一致的。OLS估计 也是不一致的，但IV估计的偏误要大很多。 2 R 与OLS估计不同，IV估计中的 可能为负， 对此也没有合理的解释。
15.2 多元回归模型中的IV估计
zk 与 y2 存在某种偏相关，即约简型方程 （2） y2 0 1z1 k 1zk 1 k zk v 的系数满足： k 0
同样要求（1）不能检验，只能寄希望于经济 逻辑和反思。要求（2）可对约简型方程估 计后直接检验。 具体的IV估计量可从k+1个矩条件对应的样本 方程求出： E u 0, E z1u 0, , E zk 1u 0, E zku 0
15.1 动机：简单回归模型中的遗漏变量
借助于工具变量，回归方程的参数是可识别 （identification），即参数可用总体矩表示， 而总体矩可用样本矩来估计。用工具变量z 对回归方程两边协方差：
cov z, y 1 cov z, x cov z, u
解出： 1 cov z, y / cov z, x 由此得到工具变量估计量： z z y y
n
ˆ 1
工具变量法
Z 'y Z ' X Z ' ε Z ' X plim = plim β + plim = plim β n n n n
= ε − X (Z ' X) Z 'ε
−1
s2 =
e 'e n
−1 −1 −1
ε 'ε ε ' Z X ' Z X ' X Z ' X Z 'ε ε ' X Z ' X Z 'ε = + − 2 n n n n n n n n n
这里假定 Z 和 X 的变量数相同，因此 Z ' X 是方阵，由于假定其秩为 K，所以 Z ' X 也是满 秩的，则
Z ' X Z 'y plim n plim n = β
因此推出 IV 估计量为
-1
b IV = ( Z ' X ) Z ' y
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∑e = ∑( y − b e )
2 i i 1 b2 xi
2
3. Hausman’s Specification Test 这实际上就是基于 OLS 和 IV 来检验解释变量的严格外生性假定。 零假设：解释变量与干扰项不相关。或
H 0 : plim (1/ n ) X ' ε = 0 。
通 过 (1/ n ) X ' e 考 察 X 和 ε 的 协 方 差 是 没 有 结 果 的 ， 因 为 正 规 方 程 组 总 是 生 成
工具变量 两阶段最小二乘
n−2
∑
n
i =1 i n
ˆ Z ,X = ρ
∑
i =1
( X i − X )(Z i − Z )
2 ( Z − Z ) ∑i=1 i n
2 ( X − X ) ∑i=1 i
ˆ −β ˆ X ˆi = Yi − β u 0 IV 1IV i
工具变量估计法
一元线性回归模型
Y = β0 + β1 X + u
内生性影响图示：
X
Y
u
dY / dX = β + du / dX
ˆ 是对 β + du / dX 的估计。 β
6.1 内生性
6.1.2 内生性产生的原因
模型设定错误、测量误差和联立性
• 模型设定错误是导致内生性最常见的原因，模型 设定错误往往表现为相关变量的缺失，缺失变量 成为错误设定模型误差项的一部分，当缺失变量 和模型中其他变量相关时，就会导致这些变量的 内生性。（工资与教育、能力）、 • 不相干变量引入不会影响参数估计的无偏性和一 致性，但是会影响参数估计的有效性。
??模型设定错误是导致内生性最常见的原因模型设定错误往往表现为相关变量的缺失缺失变量成为错误设定模型误差项的一部分当缺失变量和模型中其他变量相关时就会导致这些变量的内生性
第6章
内生性和工具变量估计方法
内生性和工具变量估计方法
6.1 内生性
6.1.1 OLS估计的不一致性 6.1.2 内生性产生的原因
fathedu 作工具变量：
ln(wage) = − 0.441+ 0.059 educ
( 0.989 ) (1.686 )
工具变量估计法
多元线性回归模型
伍德里奇《计量经济学导论》（第5版）笔记和课后习题详解-第15章工具变量估计与两阶段最小二乘法【圣
伍德里奇《计量经济学导论》（第5版）笔记和课后习题详解-第15章工具变量估计与两阶段最小二乘法【圣第15章工具变量估计与两阶段最小二乘法15.1复习笔记一、动机：简单回归模型中的遗漏变量1．面对可能发生的遗漏变量偏误（或无法观测异质性）的四种选择（1）忽略遗漏变量问题，承受有偏而又不一致估计量，若能把估计值与关键参数的偏误方向一同给出，则该方法便令人满意。
（2）试图为无法观测变量寻找并使用一个适宜的代理变量，该方法试图通过用代理变量取代无法观测变量来解决遗漏变量的问题，但并不是总可以找到一个好的代理。
（3）假定遗漏变量不随时间变化，运用固定效应或一阶差分方法。
（4）将无法观测变量留在误差项中，但不是用OLS 估计模型，而是运用一种承认存在遗漏变量的估计方法，工具变量法。
2．工具变量法简单回归模型01y x uββ=++其中x 与u 相关：()Cov 0，x u ≠（1）为了在x 和u 相关时得到0β和1β的一致估计量，需要有一个可观测到的变量z，z 满足两个假定：①z 与u 不相关，即Cov（z，u）＝0；②z 与x 相关，即Cov（z，x）≠0。
满足这两个条件，则z 称为x 的工具变量，简称为x 的工具。
z 满足①式称为工具外生性条件，工具外生性意味着，z 应当对y 无偏效应（一旦x 和u 中的遗漏变量被控制），也不应当与其他影响y 的无法观测因素相关。
z 满足②式意味着z 必然与内生解释变量x 有着或正或负的关系。
这个条件被称为工具相关性。
（2）工具变量的两个要求之间的差别①Cov（z，u）是z 与无法观测误差u 的协方差，通常无法对它进行检验：在绝大多数情形中，必须借助于经济行为或反思来维持这一假定。
②给定一个来自总体的随机样本，z 与x（在总体中）相关的条件则可加以检验。
最容易的方法是估计一个x 与z 之间的简单回归。
在总体中，有01x z vππ=++从而，由于()()1Cov /ar V ，x z z π=所以式Cov（z，x）≠0中的假定当且仅当10π≠时成立。
工具变量法IV两阶段最小二乘法TSLS
原解释变量 X y2, y3,L , ym1, xk1,L , xk
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三者之间的关系
ILS是TSLS的一种特殊形式，而ILS和TSLS都 是工具变量法。即有：
系数矩阵为：
1 b12 0 c11 c12 0
,
0
1 b23 0
0
c23
b31 b32 1 0
0 c33
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计算出1，得到简化式参数 1，从而 得到模型简化式：
2）大样本下的TSLS估计量是一致的；
3）方程恰好识别时，ILS与TSLS估计一致；
4）模型可识别时，每一个结构方程都可用TSLS估计参数。
TSLS是最常用的方法——先建立理论联立结构方程组模型，再 进行单个方程的TSLS估计。
四、工具变量法IV
ILS和TSLS都属于工具变量法。工具变量法，
即对模型方程中出现随机解释变量X时，选择一个
模型可写成矩阵形式：
Y1 b12Y2 0Y3 c11 X1 c12 X 2 0 X 3 u1 0Y1 Y2 b23Y3 0 X1 0 X 2 c23 X 3 u2 b31Y1 b32Y2 Y3 0 X1 0 X 2 c33 X 3 u3
• 二、对简约式模型逐个方程求OLS，得到简约式 模型中所有的参数估计值；
• 三、将简约式参数估计值代入关系式，求结构方 程参数的估计值。
第15章 工具变量估计与两阶段最小二乘法
Eu 0, Ez1u 0,L , E zk1u 0, E zku 0
15.3 两阶段最小二乘法
如果一个内生解释变量有多个工具变量，如 何有效运用多个工具变量？以下面结构模 型为例： y1 0 1y2 2z1 u1
如果内生解释变量 y2有两个被排斥的外生变 量 z2 , z3，且都与 y2相关，则不仅其中任何 一个可作为IV，而且它们的任何线性组合也 是有效的IV。为了找到最好的IV，需选择与 y2
最高度相关的线性组合，这要求估计约简型 方程： y2 0 1z1 2 z2 3z3 v2
第十五章 工具变量估计与两阶段 最小二乘法
本章研究多元回归模型中的内生解释变 量问题。解释变量的内生性常来自遗漏 变量问题，这使OLS估计不一致。尽管 代理变量法和面板数据的固定效应法可 在某些情况下解决内生性问题，但远未 完善。本章讨论另一解决解释变量内生 性问题的方法：工具变量法（IV）。其 受欢迎程度仅次于OLS。
大样本下IV估计量近似服从正态分布，常用的推断 方法均适用，但IV估计的方差总是大于OLS方差， 特别当z与x的线性相关度很弱时，IV方差会比 OLS方差大很多。由此当x外生时，OLS估计比IV 估计有效得多。
IV估计的关键是找到好的工具变量，工具变量的两 个要求具有很大差别，要求（1）涉及无法观测的 误差项，通常无法对其进行检验，在绝大多数情 况下，我们必须借助于经济行为或反思来维持此 假定。
15.3 两阶段最小二乘法
在对 2 , 3 的联合显著性检验之后，使用估计值作
为 y2的IV： yˆ2 ˆ0 ˆ1z1 ˆ2 z2 ˆ3 z3
在多个工具条件下IV估计量称为两阶段最小二乘估 计量（2SLS）。原因是当用以上估计值作为IV时， 参数的IV估计值等同于 y1 yˆ2 , z1回归的OLS估 计值。但标准误和检验统计量不相同。
工具变量(IV)：估计与检验
与内生解释
i
变量xi相关，若不相关，则秩条件无法满足。证略
阶条件：zi中至少包含k个变量
根据是否满足阶条件可分为三种情况：
1 不可识别：工具变量个数少于内生解释变量个数
2 恰好识别：工具变量个数等于内生解释变量个数
3 过度识别：工具变量个数多于内生解释变量个数
以上介绍的矩估计法仅适用于恰好识别的情况。
3。Wright考虑了几个可能的工具变量； 其中一个是天气。例如，某牧场的降雨量低 于平均值会使牧草减少从而减少给定价格时 黄油的产量(会使供给曲线向左移动而使均 衡价格上升)，因此牧场地区降雨量满足工 具变量相关性的条件。但牧场地区降雨量对 黄油的需求没有直接影响，因此牧场地区降 雨量与ui的相关系数为零；也就是牧场地区 降雨量满足工具变量外生性条件。
谁开创了工具变量回归？
1928年的著作的“The Tariff on Animal and Vegetable Oils”的附录B。 作者是谁？ Philip Wright 还是他的儿子 Sewall Wright 文体计量学的分析
为什么IV回归是有效的？
例1: Philip Wright的问题
• 遗漏变量变量 • 变量有测量误差 • 双向因果关系。
遗漏变量偏差可采用在多元回归中加入遗漏变量 的方法加以解决，但前提是只有当你有遗漏变量 数据时上述方法才可行。
双向因果关系偏差是指如果有时因果关系是从X 到Y又从Y到X时，此时仅用多元回归无法消除这 一偏差。同样，
变量有测量误差也无法用我们前面学过的方法解 决。
因此，由于这些点是由需求和供给两者的变化 确定的，因此用OLS拟合这些点的直线既不是 需求曲线也不是供给曲线的估计。
Wright的解决办法：
第十五章工具变量估计与TSLS2
临近大学作为教育的IV
➢两阶段最小二乘（TSLS）
结构方程：
y1=b0+b1y2+b2z1+u
y2的工具变量z2
第一阶段：简化模型的OLS回归
y2 ˆ0 ˆ1z1 ˆ2 z2 e yˆ2 e
第二阶段，用ŷ2代替内生变量y2
y1对 ŷ2 和z1回归
TSLS和IV估计量的结果相同。
Cov(z2, y2) 0 Cov(z2, u) = 0
三个总体矩条件：
E(u)=0
E(z2u)= Cov(z2, u)=0 E(z1u)= Cov(z1, u)=0
IV估计
用样本矩代替总体矩：
Hale Waihona Puke n( y1i bˆ0 bˆ1 y2i bˆ2 z1i ) 0
i1
n
z1i ( y1i bˆ0 bˆ1 y2i bˆ2 z1i ) 0
i1
n
z2i ( y1i bˆ0 bˆ1 y2i bˆ2 z1i ) 0
i1
三个方程，三个未知的b参数
若y2外生，z2=y2，IV估计等同于 OLS估计 工具变量的相关性检验：
y2=0+1z1+2z2+v2 H0: 2=0
简单的扩展：
多个内生解释变量和外生解释变量
y1=b0+b1y2+b2y3+b3z1+b4z2+u
需求函数：
D=b0+b1P+b2I+u
内生变量：P和D； 外生变量：I 工资方程：
log(wage)=b0+b1educ+b2exper+u
内生变量：log(wage)和educ；外生变量：exper
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x=p0+p1x+个例子
教育的工具变量
身份证的后四位数
智商IQ
母亲的受教育水平 兄弟姐妹个数 出生的季度变量
逃课对期末成绩的影响：逃课的工具变量
住宿区离学校的距^ ar(ˆ1)
ˆ 2
nˆ
2 x
ˆ
2 x,
z
ˆ 2
SSTx Rx2,z
Rx2,z 1 ˆ 2
SSTx
根据这一公式可以计算IV估计量的方差和标准 差，构造t统计量
比较IV估计量和OLS估计量方差的大小
R2x,z1，IV估计量方差大于OLS林壑/尤美，望之/蔚然而深秀者，琅琊也。山行/六七里，渐闻/水声潺潺，而泻出于/两峰之间者，酿泉也。峰回/路转，有亭/翼然临于泉上者，醉翁亭也。作亭者/谁？山之僧/曰/智仙也。名之者/谁？太守/自谓也。太守与客来饮/于此，饮少/辄醉，而/年又最高，故/自号曰/ 醉翁也。醉翁之意/不在酒，在乎/山水之间也。山水之乐，得之心/而寓之酒也。节奏划分思考“山行/六七里”为什么不能划分为“山/行六七里”？
越战老兵的收入是否受到参加越战的影响？
log(earns)=0+1veteran+u
是否参加越战可能与收入的其他影响因素有关 如何选择veteran的工具变量？
随机抽签：号码与u不相关 号码足够小的必须服役：号码与veteran相关 征兵抽签号 醉翁亭记
1．反复朗读并背诵课文，培养文言语感。
2．结合注释疏通文义，了解文本内容，掌握文本写作思路。
3．把握文章的艺术特色，理解虚词在文中的作用。
4．体会作者的思想感情，理解作者的政治理想。一、导入新课范仲淹因参与改革被贬，于庆历六年写下《岳阳楼记》，寄托自己“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的政治理想。实际上，这次改革，受到贬谪的除了范仲淹和滕子京之外，还有范仲淹改革的另一位支持者——北宋大文学家、史学家欧
工具变量估计
y=0+1x+u
协方差的关系：
Cov(z, y)=1Cov(z, x)+Cov(z, u)=1Cov(z, x)
1
Cov( z, Cov( z,
y) x)
工具变量（IV）估计量：
ˆ1
n i 1
(
zi
z )( yi
y)
n i 1
(
z具变量
y=0+1x+u
Cov(x, u)0
OLS估计量不一致！
寻找x的工具变量z，满足：
Cov(z, u)=0
工具外生性
Cov(z, x)0
工具相关性
工具变量合适吗？
工具外生性：无法检验
工具相关性：可以检验
苏辙、曾巩合称“唐宋八大家”。后人又将其与韩愈、柳宗元和苏轼合称“千古文章四大家”。
关于“醉翁”与“六一居士”：初谪滁山，自号醉翁。既老而衰且病，将退休于颍水之上，则又更号六一居士。客有问曰：“六一何谓也？”居士曰：“吾家藏书一万卷，集录三代以来金石遗文一千卷，有琴一张，有棋一局，而常置酒一壶。”客曰：“是为五一尔，奈何？”居士曰：“以吾一翁，老于
1参数估计量
一致,好代理变量：简单回归模型中的遗漏变量
工资方程中的能力
log(wage)=0+1educ+2abil+e
代理变量IQ
log(wage)对educ和IQ回归
若没有适当的代理变量
log(wage)=0+1educ+u 1的OLS估计量不一致！
第十五章
工具变量估计与TSLS方法【爱】核心用户 By微0渺 上传遗漏变量问题
yi=0+1x1i +2x2i +ui
归入扰动项
代理变量
面板数据
yi=0+1x1i +vi vi=2x2i +ui
不一致
yi=0+1x1i +d2z2i +wi yit=0+1x1i t+ai +uit
阳修。他于庆历五年被贬谪到滁州，也就是今天的安徽省滁州市。也是在此期间，欧阳修在滁州留下了不逊于《岳阳楼记》的千古名篇——《醉翁亭记》。接下来就让我们一起来学习这篇课文吧！【教学提示】结合前文教学，有利于学生把握本文写作背景，进而加深学生对作品含义的理解。二、教学
新课目标导学一：认识作者，了解作品背景作者简介：欧阳修(1007—1072)，字永叔，自号醉翁，晚年又号“六一居士”。吉州永丰(今属江西)人，因吉州原属庐陵郡，因此他又以“庐陵欧阳修”自居。谥号文忠，世称欧阳文忠公。北宋政治家、文学家、史学家，与韩愈、柳宗元、王安石、苏洵、苏轼、
此五物之间，岂不为六一乎？”写作背景：宋仁宗庆历五年(1045年)，参知政事范仲淹等人遭谗离职，欧阳修上书替他们分辩，被贬到滁州做了两年知州。到任以后，他内心抑郁，但还能发挥“宽简而不扰”的作风，取得了某些政绩。《醉翁亭记》就是在这个时期写就的。目标导学二：朗读文章，通文
会员免费下载 顺字1．初读文章，结合工具书梳理文章字词。2．朗读文章，划分文章节奏，标出节奏划分有疑难的语句。节奏划分示例
z )(xi
x)
当z=x时，于IV估计量的统计推断
IV估计量的渐近方差
AVar(ˆ1)
z2 2
n[Cov(x, z)]2
2
n
2 x
2 x,z
渐近方差的估计
ˆ 2
n i 1
uˆi2
ˆ 2
SSTx Rx2,z SSTx
当R2x,z很小，即工具变量很不理想时，IV估计量的方 差要大得多。
IV估计量的方婚女性的教育回报
OLS估计
2)
n(
i1
yi
ˆ0
ˆ1xi
)
(n 2)
ˆ
2 x
n i1
(
xi
x)2
n SSTx
n
ˆ
2 x,
z
R2 x,z
AV^ ar(ˆ1)
ˆ 2
nˆ
2 x
ˆ
2 x,z
ˆ 2
SSTx Rx2,z
Rx2,z