湖北省襄阳市第四中学、第五中学自主招生考试数学试题

2019年襄阳四中、五中

自主招生考试数学试题

一、选择题(每题5分,共计50分)

1.下列运算结果中正确的是

A.()732321412x x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛-•-

B.()()11123+-+=+x x x x

C.1122+=++a a a

D.327x -的立方根是x 3

2.直线122++=m x a y (其中m a 、是常数)一定不经过的象限是

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

3.根据如下三视图,计算出该几何体的表面积是

A.36π

B.34π

C.30π

D.40π

4.我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题,“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔几何”,问鸡、兔的只数分别是

A.21,14

B.22,13

C.23,12

D.24,11

5.如图,正方形ABCD 对角线交于一点O,又O 是正方形O C B A 111的一个

顶点,而且两个正方形的边长相等都为a ,正方形O C B A 111绕O 在转动,则

两正方形重叠部分的面积为

A.不确定

B.

281a C.241a D.261a 6.在直角坐标系中,一束光线经过点A(3,2),先后经过x 轴、y 轴反射后

再经过点B(1,4),则光线从A 到B 经过的路线长为 A.5 B.132 C.52 D.

62

7.下列五个图像中,能表示y 是x 的函数的图像的个数是

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

8.如图,直线a x =从左往右运动,将△ABC 分成左右两部分,左边阴影部

分的面积为S,则S 关于a 的函数图像是

9.有下列四个命题:

①若，42=x 则；2=x ②若，1441222-=-x x 则；2

1=x ③命题“若，＞22bm am 则b a ＞”的逆命题；

④若一元二次方程02=++c bx ax 的两根是1和2,则方程02=+-a bx cx 的

两根是-1和2

1- 其中真命题的个数是

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

10.函数()03212≤≤-++-=x x x y 的最小值与最大值分别是

A.3,9

B.4

3,9 C.1,9 D.3,10 二、填空题(每题5分,共计30分)

11.函数x x x x y -++++=21

20中自变量x 的取值范围是___________. 12.()=--+++-32432427432_________.

13.方程012=--x x 的较大的根为a ,a 的小数部分为b ,则=++ab b a 22______.

14.⊙O 的内接梯形ABCD ，AB 过点O ，AB ∥CD ，AC 交BD 于E ，OD 交AC 于F ，AB=10，∠DAB=60°，则EF=____________.

15.二次函数m x x y +-=22与x 轴有两个不同的交点A 、B,现有下列四个命题:

①m 的取值范围是；＜1m

②A 、B 的距离；m AB -=12

③若，15-=m 当0＞y 时,x 的取值范围是3-＜x 或；＞5x

④点C ()()，＞，552-+m m 则△ABC 的面积最大值3.

其中正确命题的序号是________________.

16.如图所示,在直角坐标系中的整点(横纵坐标为整数)处： ()()()，，，，，，101101321--b b b ()，，114--b ()()()()()121110110198765，，，，，，，，，b b b b b --，…，以此类推,=2018b ________【参考公式:()12

1321+=+⋯+++n n n ). 三、解答题(共计70分)

17.(6分)已知，41

=+a a 求a a 1

-的值.

18.(6分)为绿化环境,现引进一批同类的树,三年后,这些树的树干的周长情况如图所示:

(1)这批树共有________棵；

(2)这批树干周长的中位数在第________组(从左到右)；

(3)从这批数据中任取一个,落在50～60这一组的概率为__________；

(4)求这批树干周长的平均数。

19.(8分)如图,E 在矩形ABCD 的边CD 上,沿AE 将△ADE 折叠使D 落在边BC 上的F 点。已知AB=55

,tan ∠EFC=4

3. (1)求证:△ABF ∽△FCE ；

(2)求AB 和BC 的长.

20.(8分)如图,已知正方形的边长为a ,以各边为直径在正方形内部画半圆:

(1)求阴影部分的面积；

(2)现将1000粒豆子(大小忽略不计)均匀撒在此正方形内,问大约有多少粒豆子落在阴影部分(π取3.1416).

21.(10分)已知,⊙O 的半径为10,圆内一定点M,OM=6,过M 作相互垂直的弦AC 与BD,O 到AC 、BD 的距离分别为21d d 、,求四边形ABCD

面积的最大值.

22.(10分)新华商场经市场调查得知,某商品的月销售量y (单位:吨)与销售价格x (单位:万元/吨)的关系可用如图的折线ABC 表示:

(1)求出y 与x 的函数关系式；

(2)若该商品的进价为5万元/吨,销售该商品的每月固定成本为10万元,问该商品每吨的定价多少元时,销售该商品的月利润w (单位:万元)有最大值?并求出最大值。

23.(10分)若△ABC 的三边长分别为c b a 、、,记，2

c b a p ++=,我国南宋时期著名数学家秦九韶推出三角形的面积公式为:

①⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=222222241c b a b a S 古希腊数学家海伦推出三角形的面积公式为：()()()②c p b p a p p S ---=